§1.2充分条件与必要条件（1）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】掌握充分条件与必要条件的概念【知识回顾】1.判断下列命题的真假①“若a2＋b2＝0，则ab＝0”的逆否命题；②“若a>b，则ac>bc”的逆命题③“若a<b<0，则b>a”的逆否命题；④“若a<b<0，则ab<b2”的逆否命题2.小结：【新知构建】充分条件和必要条件．一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作，并且说p是q的，q是p的例1 下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？那些命题中的p 是q的必要条件？（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；（2）若x2＝y2，则x＝－y；（3）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（4）若f(x)＝x，则f(x)在R上为增函数；（5）若x为无理数，则x2为无理数.小结：例2判断下列各组语句中，p是q的什么条件？（1）p：a＞b，q：a＋2＞b；（2）p：x2－x＞0，q：x＞1；（3）p：x≠2，q：x2－2x≠0；（4）p：m＜－3，q：方程x2＋2x－m＝0无实根.小结：【当堂练习】1．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.“x>2”是“(x－1)2>1”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．4.设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件小结：【课后作业】1．设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．若等比数列{a n}的公比为q，则“q>1”是“an＋1>an(n∈N)”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4.设x∈R，则“x>5”是“2x2＋x－1>0”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件。
1．2 充分条件与必要条件1．充分条件和必要条件“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件(1)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说：如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．[温馨提示] (1)从逻辑关系上看①如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；②如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；③如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充要条件；④如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)从集合间的关系上看①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；②若A ⊇B ，则A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；④若A B 且B A ，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．(3)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即p ⇒q ⇔q ⇐p .②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”或“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”．充分、必要条件及充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＞B ，q ：BC ＞AC ；(2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4；(3)p ：|a ·b |＝a ·b ，q ：a ·b >0；(4)p ：a >b ，c >0，q ：ac >bc .充要条件的证明已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件、充要条件的应用如果p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，求实数m的取值范围．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a＜0B．a＞0C．a＜－1 D．a＜13．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．(3)已知M＝{x|(x－a)2＜1}，N＝{x|x2－5x－24＜0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．1．若本例中“若p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”其他条件不变，求实数m的取值范围．2．若p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)不变，若綈p是綈q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？3．本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件．A组训练1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在下列三个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③6．“lg x >lg y ”是“x >y ”的__________条件．7．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．8．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以为x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．9．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件．(1)p ：f (x )是周期函数，q ：f (x )是正弦函数；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形是矩形，q ：四边形的对角线互相平分；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.10．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．B 组训练1．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 2．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．3．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．4．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．1．2 充分条件与必要条件参考答案1．充分条件和必要条件“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件(1)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说：如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．[温馨提示] (1)从逻辑关系上看①如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；②如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；③如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充要条件；④如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)从集合间的关系上看①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；②若A ⊇B ，则A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；④若A B 且B A ，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．(3)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即p ⇒q ⇔q ⇐p .②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”或“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”．充分、必要条件及充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＞B ，q ：BC ＞AC ；(2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1. (链接教材P 9例1、P 10例2及P 11例3)[解] (1)由三角形中大角对大边可知，若A ＞B ，则BC ＞AC ；反之，若BC ＞AC ，则A ＞B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x ＞1可以推出x 2＞1；由x 2＞1得x ＜－1或x ＞1，不一定有x ＞1.因此p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b ＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．方法归纳(1)如果命题“若p ，则q ”为真命题，即p ⇒q ，那么p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件．如果命题“若p ，则q ”为假命题，即p q ，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．(2)若原命题“若p ，则q ”为真命题，且逆命题“若q ，则p ”也为真命题，即p ⇔q ，那么p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件．1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4；(3)p ：|a ·b |＝a ·b ，q ：a ·b >0；(4)p ：a >b ，c >0，q ：ac >bc .解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．(3)∵若a·b>0，则|a·b|＝a·b成立，∴q⇒p，当a＝0时，虽有|a·b|＝a·b，但没有a·b>0，∴p q，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，但q p(当c<0时，有a<b)，故p是q的充分不必要条件．充要条件的证明已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．(链接教材P11例4)[证明]如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d.(1)充分性：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ，在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r.所以除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P，因此直线l与⊙O相切．(2)必要性：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，因此d＝OP＝r.所以d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．方法归纳要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明一个是充分条件，另一个是不必要条件．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根．设为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件、充要条件的应用如果p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[解] p ：x (x －3)<0，即0<x <3，q ：2x －3<m ，则x <m ＋32.由题意知p ⇒q ，q p ，则在数轴上表示不等式如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．方法归纳根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．一元二次方程ax ＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1[解析] ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1x 2＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞01a＜0⇔a ＜0， 由于{a |a ＜－1}{a |a ＜0}，故答案应为C.[答案] C[错因与防范] (1)本题极易错选A ，错因是求的一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，而不是充分不必要条件．(2)解答此类问题要正确区分各种条件的关系是解题的关键．如若要证“p 是q 的充要条件”则p 是条件，q 是结论；若要证“p 的充要条件是q ”，则q 是条件，p 是结论，这是易错点．3．(2013·高考山东卷)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈qp ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．1.定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要条件．其基本步骤是：(1)(2013·高考福建卷)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.[答案] A2．等价转化法等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：(2)已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 綈p ：x ＝2且x ＝3，綈q ：x ＋y ＝5.可知綈p ⇒綈q ，而綈q 綈p .所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：(3)已知M ＝{x |(x －a )2＜1}，N ＝{x |x 2－5x －24＜0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] 由(x －a )2＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由x 2－5x －24＜0，得－3＜x ＜8.∵N 是M 的必要条件，∴M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7. 故a 的取值范围为[－2,7]．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－21＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．[拓展探究] 根据一个命题是另一个命题的充分条件、必要条件、充要条件确定某个参数的取值范围时，一般利用集合间的包含关系进行求解．1．若本例中“若p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m ＞9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9. 2．若p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件．以下解法同衍变1.(略)3．本例中p 、q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件．解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m 10＝1＋m ，m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．单独成册[学业水平训练]1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |.2．(2013·高考福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A.3．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若“{a n}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，a n＝2a n－1成立．当a n＝0，n＝1,2,3,4，…时满足a n＝2a n－1，n＝2,3,4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由已知p：x＜－1或x＞1，则q⇒p，q p，∴q是p的充分不必要条件．由互为逆否命题的两个命题同真假得綈p是綈q的充分不必要条件．5．在下列三个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x＞2或x＜－2⇒x3＞8或x3＜－8，不一定有x3＜－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故③正确．6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y.而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y lg x>lg y.答案：充分不必要7．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分8．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2＜1，即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵f (x )是周期函数f (x )是正弦函数，但由f (x )是正弦函数⇒f (x )是周期函数， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，四边形的对角线互相平分四边形是矩形，∴p 是q 的充分不必要条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2， ∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．10．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，即Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．[高考水平训练]1．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 解析：选B.x 2－x ＜0⇔0＜x ＜1，运用集合的知识易知．A 中0＜x ＜1是p 的充要条件；B 中－1＜x ＜1是p 的必要条件；C 中12＜x ＜23是p 的充分条件； D 中12＜x ＜2是p 的既不充分也不必要条件．应选B. 2．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )＜0}，故有a ＞2.答案：(2，＋∞)3．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1.当a ＜0时，∵f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，∴方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．4．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716， 因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2. 所以A ＝{y |716≤y ≤2}． 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．。
