山东省济南市历城二中2016-2017学年高二下学期2月18日
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历城二中高二52级数学周末作业 （一）2017.2.18一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3．设命题2:,2n p n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．2,2n n n ∀∈>B ．2,2n n n ∃∈≤C ．2,2n n n ∀∈≤D ．2,2n n n ∃∈=5．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.162C.54+162+6.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,43,x y x x y 则y x z 3-=的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．554 7．如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足030PAB ∠=，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8．若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）A ．2B ．-2C ．13 D ．12- 9．如果双曲线经过点(p ，且它的渐近线方程为y x =，那么该双曲线方程为（ ）A.22312y x -= B.22122x y -= C.22136x y -= D.22122y x -= 10.给出以下四个函数的大致图象：则函数()()()()ln ln ,,,x xx e f x x x g x h x xe t x x x====对应的图象序号顺序正确的是（ ） A ．②④③①B ．④②③①C ．③①②④D ．④①②③12.设直线)0(0≠=++m m y x 与曲线:E )0(122>=+a by a x 相交于B A ,两点，O 是坐标原点，且1()2OP OA OB =+，若直线OP 的斜率为21-，则曲线E 的离心率是 （ ）A.22 B.23 C.3 D.26二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若数列{}n a 满足()*11521,3,2,3n n n a a n N n a a a --=∈≥==，则2016a 等于 _____________14． 曲线2-x xy =在点)1 ,1(-处的切线方程是________15．设圆x 2＋y 2＝2的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小值时，切线l 的方程为____________．16．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是____________(写出所有正确命题的编号). ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2 ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、(12分)在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，满足1tan2tan 2C C += （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知ABC ∆不是钝角三角形，且()sin 2sin 2.c B A A =+-=，求ABC ∆的面积．18.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，).1(2,11--==n n na S a n n（Ⅰ）求数列数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设数列}1{1+n n a a 的前n 项和为T n ，求证.4151<≤n T19.（10分） 已知关于错误！未找到引用源。
的不等式：错误！未找到引用源。
的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数错误！未找到引用源。
的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。
．20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.（Ⅰ）求证：PA ∥平面EDB ； （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ； （III ）求二面角C －PB －D 的大小.21．（12分）已知函数1()ln 1 af x x ax x-=-+- （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; （Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性; （III ）若()f x 在区间[2,3]上是增函数，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率12e =，且长轴长等于4.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,F F 分别是椭圆C 的左右两个焦点，过2F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，求1F AB ∆面积最大值（III ）若直线AB 的斜率存在，B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．历城二中高二52级数学周末作业 （一）参考答案 BBCAD ACDBA DB x ＋y －2＝0， ①③④17、解：（Ⅰ）由1tan 2tan 2C C +=cossin 223sin cos 22C CC C +=所以13sin cos 22C C=⋅所以sin C =又(0,)C π∈ 所以3C π=或23C π=（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=⋅即sin cos 2sin cos B A A A ⋅=⋅不能约分当cos 0A =时，,,236A B C πππ===2c b ==，所以ABC S ∆=当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，得2b a =3C π=，c =22223c a b ab a =+-=解得2,4a b ==，所以2B π=，ABC S ∆=18.解：（Ⅰ）由)1(2--=n n na S n n 得n na a n S S a n n n n n 4)1(111--+=-=+++即41=-+n n a a}{n a 数列∴是以1为首项，4为公差的等差数列.34-=∴n a n（Ⅱ）12111+++=n n n a a a a T )14()34(11391951511+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n )141341131919151511(41+--++-+-+-=n n 41)1411(41<+-=n 又易知n T 单调递增，故,511=≥T T n 得.4151<≤n T 19. （Ⅰ）由12≤-m x ，得2121+≤≤-m x m . 不等式的整数解为2，∴21221+≤≤-m m ⇒53≤≤m ，又不等式仅有一个整数解，4=∴m （Ⅱ）即解不等式431≥-+-x x当1≤x 时，不等式为431≥-+-x x ,0≤⇒x 不等式的解集为{}0≤x x ； 当31≤<x 时，不等式为431≥-+-x x ,φ∈⇒x 不等式的解集为φ； 当3>x 时，不等式为431≥-+-x x ,4≥⇒x 不等式的解集为{}4≥x x ， 综上，不等式的解集为),4[]0,(+∞-∞20．解析：（Ⅰ）证明: 如图所示，连接AC ，AC 交BD 于O ，连接EO. ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点.EO 是中位线，∴PA ∥EO, EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB. （Ⅱ）证明: ∵PD ⊥底面ABCD ，且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC.∵PD ＝DC ， 可知△PDC 是等腰直角三角形.而DE 是斜边PC 的中线，∴DE ⊥PC.①同样，由PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC,又PD ∩CD ＝D ∴BC ⊥平面PDC.而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE.②由①和②且PC ∩BC ＝C 可得DE ⊥平面PBC.而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB.又EF ⊥PB 且DE ∩EF ＝E ，∴PB ⊥平面EFD.（III ）解 由（2)知，PB ⊥DF.故∠EFD 是二面角C －PB －D 的平面角. (9)由（2)知DE ⊥EF ，PD ⊥DB.设正方形ABCD 的边长为a ，则PD ＝DC ＝a ，BD ，PB ，PC ，DE ＝2a ，在Rt △PDB 中，DF ＝3在Rt △EFD 中，sin ∠EFD＝∴∠EFD ＝60°. ∴二面角C －PB －D 的大小为60°.22. 解： （Ⅰ）由题意知12c e a ==，a=2224,3a b ∴==， 椭圆的方程为：22143x y +=……………………………2分 （Ⅱ）设),,(),,(2211y x N y x M 不妨设,0,021<>y y ， 11212121()2F MN S F F y y y y ∆=-=-， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x m y x 得096)43(22=-++my y m ，得,43163221+++-=m m m y ,43163222++--=m m m y则11212121()2F MNS F F y y y y ∆=-=-=--------4分 令12+=m t ，则1≥t ，则121212,1313F MNt S t t t∆===++ ………………5分令,13)(tt t f +=.33,3213时等号成立当且仅当=≥+t t t 当1≥t 时，[)∞+，在1)(t f 上单调递增， 有112()(1)4,3,4F MN f t f S ∆≥=≤= 即当0,1==m t 时，这时所求三角形面积的最大值为3. ……………7分（III ）证明：∵B E 、两点关于x 轴对称，∴22(,)E x y -直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =得：112112()y x x x x y y -=-+………………10分又)1(),1(2211-=-=x k y x k y ，∴212121211221)()(2y y y y y y m y y y x y x x +++=++=将439,436221221+-=+-=+m y y m m y y 代入得：4=x ， ∴直线AE 与x 轴交于定点)0,4(．………………………………………12分。
