1、比例线段及性质 (1)比例线段的概念
(2)比例性质：基本性质、更比性质、合比性质、等比性质、比例中项 2、三角形一边的平行线性质定理及其推论
3、相似三角形的判定及性质
(1) 相似三角形的判定方法：预备定理、AA 、SSS 、ASA 、HL 、传递性 (2)相似三角形的性质
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4、三角形相似的基本模型：
(1)平行型：如图，“A”型即公共角对的边平行，“X”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似；
常见条件：
①//DE BC ，②::AD AB AE AC =，③AD AC AE AB ⋅=⋅，④ADE B ∠=∠
(2)相交线型：如图，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角(或对顶角)的两边成比例，就可以判定两个三角形相似.
常见条件：①AD AB AE AC ⋅=⋅②::AD AC AE AB =③ ADE C ∠=∠ (3)旋转型：
常见条件：已知△BAC ∽△DAE ， 求证：△BAD ∽△CAE.
E
A
B
C
D
D
C
B A
F
E
B
C
D
已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠DAE=45°.找出相似的三角形. 已知△ABC 是等边三角形，∠DAE=120°.找出相似的三角形.
常见条件：
① 已知∠B=∠C=∠EDF ，找出相似的三角形.
② 已知∠B=∠C=∠EDF ，D 为BC 的中点，找出相似的三角形. (5)一线三等角：
常见条件：B C EDF ∠=∠=∠ (6)子母三角形：(相交线型推广)
常见条件：①，2AC AD AB =⋅③2
BC BD BA =⋅④2CD AD BD =⋅
(7)双高型推广：
左图两对相似三角形：ABD △∽△ACE △OCD ∽△OBE 中图六对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE
右图八对相似三角形：ABD △∽△ACE ∽△OCD ∽△OBE △ADE ∽△ABC △ODE ∽△OBC (后两个相似写出证明过程)
常见条件：①ABD ACE ∠=∠，②ADB AEC ∠=∠，③,CE AB BD AC ⊥⊥. 5、常见的三角形面积比
(1)如图一：△ABC 中，若BD ：CD=m ：n ， 则S △ABD ：S △ACD=m ：n
(2)如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比 等于两个三角形BC 边上的高之比.
(3)蝴蝶定理：在梯形ABCD 中，若AO ：OC=m ：n ，则： 1) S △AOD ：S △COD=S △AOB ：S △BOC=m ：n 2) S △AOD ：S △AOB=S △COD ：S △BOC=m ：n 3)S △COD=S △AOB 4)S △AOD ：S △BOC=2
2
:m n
O
D
C
B
A
精解名题
例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。
(1)求证：△ABP∽△PCE；
(2)求等腰梯形的腰AB的长；
(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由。解：(1)∵∠APE+∠EPC=∠APC=∠B+∠BAP且∠APE=∠B
∴∠EPC=∠BAP∵等腰梯形ABCD∴∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE
(2)延长BA、CD交于一点Q
∵∠C=∠B=60°∴△QBC为等边三角形
∵AD∥BC ∴△QAD也为等边三角形
∴AB=QB-QA=BC-AD∵AD=3cm,BC=7cm∴AB=4cm
(3)存在。BP=1cm或BP=6cm
∵CD=AB=4cm ∴当DE:EC=5:3时，DE=2.5cm,EC=1.5cm
∵△ABP∽△PCE
∴∴设BP=x cm,得，解得x=1或x=6
∵∴BP为1cm或6cm.
例2.已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，AD与BE交于点F。
(1)求证：△BDF∽△BEC；
(2)如果AB=12，BD=4，求S△BDF：S△BEC
解：（1）∵等边△ABC ∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC∵BC=CE ∴△ABD≌△BCE ∴∠ADB=∠BEC ∵∠FBC=∠CBE ∴△BDF∽△BEC
(2)作AC边上高BH.∵等边△ABC，AB=12 ∴BH=，CH=6
∵△ABD≌△BCE ∴CE=BD=4 ∴HE=2∴BE=
∵∠FBC=∠CBE ∴△BDF∽△BEC
∴
例3. 如图，已知在△ABC中，D为AC上一点且CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于点E，联结AE。
(1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；
(2)图中有无相似三角形？若有，请写出所有的相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由；
(3)求△BEC与△BEA的面积之比。
解（1）∵∠BAC+∠ABD=∠BDC且∠BAC=45°，∠BDC=60°
∴∠ABD=15°
∵CE⊥BD ∴∠CED=90°，∠ECA=30°，CD=2DE
∵CD=2AD ∴DE=AD ∴∠EAD=∠AED=30°
∴∠BAE=15°=∠ABD ∴AE=BE
∵∠CEA=120°∴∠ECA=∠EAC=30°∴CE=AE
∴DE=DA；EC=EA=EB
(2)△ADE∽△AEC和△BCD∽△ACB
(3)2：1
例4：如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC
边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC于F。
(1)找出图中的相似三角形，并证明；
(2)求DF的长；
(3)设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。
解：(1)△ABC∽△FEC∽△DEA
(2)过点A作AG∥DF，AG与BC相交于点G
∴∠GAC=∠DEA ∵∠DEA=∠B ∴∠GAC=∠B ∴△GAC∽△ABC
∴AG:AB=AC:BC ∴AG:8=12:16 AG=6 ∵四边形AGFD是平行四边形∴DF=AG=6
(3)∵DE=x ∴EF=6-x ∵BF=y ∴CF=16-y由△ABC∽△FEC，CF:EF=AC:AB
(16-y):(6-x)=12:8 y=3
7
2
x (0∵∠AED=∠ACE且∠DAE=∠EAC ∴△ADE∽△AEC ∵∠CEB=90°且BE=CE ∴∠CBD=45°=∠CAB
∵∠BCD=∠ACB ∴△BCD∽△ACB
∵且CD=2AD
∴∴
∵
