专题五 相似三角形的综合应用课件

(2)设 AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴EC＝2x，由(1)得：AB2＝AE·AC，∴AB＝ 3x，又 ∵BA⊥AC，∴BC＝2 3x，∴∠ACB＝30°，∵F 是 BC 中点，∴BF＝ 3x，∴BF＝AB＝ AD，又∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABD，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BF，∴四边形 ABFD 是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形 ABFD 是菱形．
︵︵ 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴AB＝AC.∴∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ ABD∽△AEB (2)∵△ABD∽△ AEB，∴AABE＝AADB，∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1 ×4＝4，∴AB＝2，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB＝90°，在 Rt△ABD 中，BD2＝AB2＋ AD2＝22＋12＝5，∴BD＝ 5
三、相似三角形的存在性问题 变式 6.(2014·东营)如图，直线 y＝2x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，把△AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，过点 B 的抛物线 y＝－ x2＋bx＋c 与直线 BC 交于点 D(3，－4)． (1)求直线 BD 和抛物线的解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 M 作 MN 垂直于 x 轴， 垂足为点 N，使得以 M，O，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
∠CAP＝∠BCP，∴△PCA∽△PBC，∴PPCB＝PPAC，∴PC2＝PA·PB
【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为：把等积式或者比例式中的四条线段分别 看做两个三角形的对应边．然后，通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或 比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式， 相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的 圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题
(2)解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴OADC＝BBOA，∴A4C＝160，解得：AC＝230
变式 2.如图，BD 是⊙O 的直径，A，C 是⊙O 上的两点，且 AB＝AC，AD 与 BC 的延 长线交于点 E.
(1)求证：△ABD∽△AEB； (2)若 AD＝1，DE＝3，求 BD 的长．
变式 4.(2014·柳州)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线 段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQ⊥AB 的延长线于点 Q.
(1)求线段 PQ 的长； (2)问：点 P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．
(1)由题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠QPE＝90°，∵四边形 ABCD 是 正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A ＝∠Q＝90°，又∵PD＝PE，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1.
(2)∵△PFD∽△BFP，∴PBBF＝PPDF，∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF， ∴PPDF＝ABFP，∴ABFP＝PBBF，∴PA＝PB，∴PA＝12AB＝12，∴当 PA＝12时，△PFD∽△BFP.
变式 1.(2014·陕西)如图，⊙O 的半径为 4，B 是⊙O 外一点，连接 OB，且 OB＝6，过点 B 作⊙O 的切线 BD，切点为 D，延长 BO 交⊙O 于点 A，过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为
C. (1)求证：AD 平分∠BAC；
(2)求 AC 的长．
解：(1)证明：连接 OD，∵BD 是⊙O 的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC， ∴∠2＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，即 AD 平分∠BAC
变式 5.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示 的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两 边长 x，y.
解：作 DE⊥BC 于 E.∵FG∥DE，∴△CFG∽△CDE，∴CCGE＝DFGE，∴2244－－y8＝2x0，∴y ＝－45x＋24.∴S 矩形＝xy＝x(－45x＋24)＝－45x2＋24x＝－45(x－15)2＋180.∵a＜0，∴当 x＝ 15 时，S 矩形最大为 180，此时 y＝12，即当 x＝15，y＝12 时，矩形面积最大．
二、相似三角形与四边形知识的综合 变式 3.(2014·泰安)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB ＝∠ACB. (1)求证：AABE＝AADC； (2)若 AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F 是 BC 中点，求证：四边形 ABFD 是菱形．
解：(1)∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又 ∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴AABE＝AACB，又∵AB＝AD，∴AABE＝AADC
解：(1)∵y＝2x＋2，∴当 x＝0 时，y＝2，∴B(0，2)，当 y＝0 时，x＝－1，∴A(－1， 0∴kb)．＝＝y＝∵2－，－抛2，x物2∴＋线直xy＋＝线2－；BxD设2的＋直解b线x析＋B式cD过为的点：解By析＝(0式，－为22)x，y＋D＝2(k3x，＋－b4，)，由∴题2－意＝4，c＝，得－9b－＋＝432＝b，＋3kc＋，b解，得解：得bc：＝＝21，，
(2)存在．设 M(a，－a2＋a＋2)．∵MN 垂直于 x 轴，∴MN＝－a2＋a＋2，ON＝a，∵y＝－2x＋2，∴y＝0 时，x
＝1，∴C(1，0)，∴OC＝1.∵B(0，2)，∴OB＝2，当△ BOC∽△MNO 时，∴MBON＝OONC，∴－a2＋2 a＋2＝1a，解得：a1
＝1，aபைடு நூலகம்＝－2，M(1，2)或(－2，－4)；当△ BOC∽△ONM 时，OBON＝MOCN，∴2a＝－a2＋1 a＋2，∴a＝1＋4 33或1－4 33，
∴M(1＋4
33，1＋8
33)或(1－4
33，1－8
33)．∵M
在第一象限，∴符合条件的点
M
的坐标为(1，2)，(1＋4
33，1＋8
33 )
第二十七章 图形的相似
专题五 相似三角形的综合应用
一、相似三角形与圆的知识的综合 教材母题 (教材 P58 第 8 题) 如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2＝PA·AB.
解：如图，连接 AC，BC，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AB⊥CD， ∴∠APC＝∠CPB＝90°，∴∠CAP＋∠ACP＝90°，∠BCP＋∠ACP＝90°，∴