应用相似三角形测量

相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。

本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。

相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。

例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。

2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。

即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。

例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。

3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。

设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。

4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。

设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。

二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。

例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。

2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。

这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。

3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。

通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。

4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。

通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。

相似三角形的应用例析相似三角形是平面几何中的重要的内容之一，其应用十分广泛．举例说明如下．1、测量底部不能到达的建筑物的高例1 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1．7米，求路灯杆AB的高度(精确到0．1米)．2、测量池塘宽例2如图，有一池塘要测量两端AB的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长至D，使AC并延长至D，使15CD CA=，连接BC并延长至E，使15CE CB=，连接ED，如果量出25mDE=，那池塘宽多少A BCE D3、利用影长测量建筑物的高度例3高4m的旗杆在水平地面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，求该建筑物的高度．4、测量电线杆的高例4如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60cm，求电线杆的高．5、测量台阶例5 汪老师要装修自己带阁楼的新居（右图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯AC 时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1. 75m．他量得客厅高 AB= 2. 8m，楼梯洞口宽AF=2m．阁楼阳台宽EF = 3m．请你帮助汪老师解决下列问题：（1）要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米（2）在（1）的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶小于 20c m，每个台阶宽要大于20c m，问汪老师应该将楼梯建儿个台阶为什么参考答案例1：【分析】根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD//AB，可证得：△ABE∽△CDE，∴BD DE DE AB CD += ①同理：BDGD HG HG AB FG ++= ② 又CD ＝FG ＝1．7m ，由①、②可得：BD GD HG HG BD DE DE ++=+ 即BDBD +=+10533，解之得：BD ＝7．5m ， 将BD ＝7．5代入①得：AB=5．95m≈6m．答：路灯杆AB 的高度约为6m ．【点评】 本题通过多次平行线，利用相似三角形解决．把实际问题转化为相似问题，建立数学模型，做到学以致用．例2：【分析】这个问题的实质是△ECD∽△BCA，利用两个三角形相似求池塘宽DE AB CD AC AB DE ===155，.解： CD CA CE CB ==1515，∴==CD CA CE CB 15 又∵∠ECD＝∠BCA ∴△ECD∽△BCA∴==DE AB CD AC 15∴==⨯=AB DE m 5525125()．【点评】 通过测量池塘宽，能够综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．例3：【分析】 画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB //＝C B BC //， 于是得，BC =B A AB//×B /C /=16（m ）． 即该建筑物的高度是16m ．例4：【分析】 本题所叙述的内容可以画出如图那样的几何图形，即DF=60cm=，GF=12cm=，CE=30m ，求BC ．由于△ADF∽△AEC，AC AF EC DF =，又△AGF∽△ABC，∴ BC GF AC AF =，∴ BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长．解： ∵AE⊥EC，DF∥EC，∴∠ADF=∠AEC，∠DAF=∠EAC，∴△ADF∽△AEC．∴AC AF EC DF =．又GF⊥EC，BC⊥EC，∴GF∥BC，∠AFG=∠ACB，∠AGF=∠ABC，∴△AGF∽△ABC，∴BC GF AC AF =，∴BC GF EC DF =．又∵ DF=60cm=，GF=12cm=，EC=30m ，∴ BC=6m．即电线杆的高为6m ．【点评】 “测量电线杆的高”问题本身就是利用数学问题去处理实际问题，还有许多实际问题都可以用数学问题来解决，运用相似三角形相似的相关知识解决在生活中的一些实际问题；必须要正确地理解知识的内涵，比如手臂向前伸直与地面平行，刻度平行于电线杆，由此构造“相似三角形对应成比例的线段”．在应用过程中，要时时围绕三角形相似这一宗旨．例5：【分析】 （1）根据题意有AF∥BC，∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90º， ∴△ABC∽△GFA．∴FGAB AF BC =得BC=(m)，CD=2+=(m)． (2)设楼梯应建n 个台阶，则＞，＜，解得14＜n ＜16，∴楼梯应建15个台阶．。

解得PQ=90(m).
60 90
，
因此，河宽大约为90 m.
[知识拓展] 利用相似三角形进行测量的一般步骤: ①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与 表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任 意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三 角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的
比例式，解出未知量;④检验并得出答案.
顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
例3 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形 的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，集中大院光线构成两个相 似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求 金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDF，又
点拨：入射角＝反射角
∵入射角＝反射角, ∴∠AEB＝∠CED. ∵人、旗杆都垂直于地面,
∴∠B＝∠D＝90°. ∴ AB. BE
CD DE
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距
离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高
度．
问题思考
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界
AC BC A'C ' B'C '
1.8m
B
3m C
1.8 3
A'
A'C ' 90
求得 A'C'=54m 答：这栋高楼的高度是54m.
?
B'
90m
C'
如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标
点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直， 接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过

相似三角形的应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，通过这种比例关系，我们可以运用相似三角形解决各种实际问题。

本文将重点介绍相似三角形的应用领域及其在数学和几何中的具体运用。

一、相似三角形在实际问题中的应用1. 测量高度和距离：相似三角形的应用在测量高度和距离方面非常常见。

例如，在无法直接测量建筑物或树木的高度时，可以通过相似三角形的比例关系，利用已知的高度和距离来计算未知的高度。

类似地，当无法直接测量两个物体之间的距离时，可以利用相似三角形的比例关系来推算出距离。

2. 图像的放大和缩小：在艺术和设计领域中，相似三角形的应用非常重要。

当我们需要将一幅图像进行放大或缩小时，可以利用相似三角形的性质来确定新图像与原图像的比例关系，从而实现图像的变形。

3. 建筑设计与规划：在建筑设计与规划中，相似三角形的应用也非常普遍。

通过相似三角形可以计算出建筑物的高度、宽度、长度等尺寸信息，从而帮助设计师进行准确的规划和设计。

二、相似三角形在数学中的应用1. 比例和比值的计算：相似三角形的比例关系可以用来计算不同长度之间的比例和比值。

通过相似三角形的性质，我们可以建立起各种数学关系式，进行比例和比值的计算，从而解决许多实际和抽象的问题。

2. 三角函数的定义和性质：在三角函数的定义和性质中，相似三角形也扮演着重要角色。

例如，在定义正弦、余弦和正切函数时，就需要利用相似三角形的性质来推导出它们的数学表示式。

相似三角形的运用使得三角函数的计算和应用更加简便和灵活。

3. 几何图形的相似性判定：相似三角形的性质在判定几何图形的相似性方面起着至关重要的作用。

根据相似三角形的比例关系，我们可以通过对角、边长比较等方法来判断两个图形是否相似，并进一步推导出它们之间的其他性质。

总结：相似三角形在实际问题、数学和几何中都有着广泛的应用。

通过运用相似三角形的比例关系，我们可以解决测量、计算和设计等问题，在数学和几何中推导出各种定理和性质。

相似三角形的应用举例相似三角形是指在形状相似的两个三角形中，对应的角度相等，而对应的边长成比例关系。

这一性质使得相似三角形在实际生活中有着广泛的应用。

本文将举例介绍相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计等领域的具体应用。

一、地理测量中的相似三角形应用地理测量中常常使用相似三角形原理来测量高处物体的高度以及难以直接测量的距离。

以测量一座建筑物的高度为例，通过在平面上选择两个不同位置，测量出与地平线夹角相同的两个点，再利用三角形相似原理计算出建筑物的高度。

这样的测量方法可以避免测量过程中的误差和测量的困难，提高测量的准确性和效率。

二、影视制作中的相似三角形应用在影视制作中，相似三角形的应用尤为重要。

例如，在电影中要制作一个逼真的远景特写，如果直接拍摄远处的景象，可能会因为远离拍摄现场而导致细节无法清晰展现。

为了解决这个问题，可以利用相似三角形的原理，在近距离拍摄一个类似的模型或者画面，然后通过电脑生成与实景相似的远景效果。

这种利用相似三角形的方法可以在节约成本的同时，制作出逼真的远景特写效果。

三、建筑设计中的相似三角形应用相似三角形在建筑设计中有着广泛的应用，特别是在设计高层建筑时更是如此。

以设计一座摩天大楼为例，建筑师需要保证高楼的结构坚固稳定，同时也要满足美学上的要求。

在设计过程中，利用相似三角形的原理可以根据大楼的比例尺度，在小模型上进行实际尺寸的计算和预测。

这种预测方法不仅可以方便地展示设计方案，还可以在施工前发现和修正设计中的不足之处，提高整体设计质量。

通过上述几个具体例子，我们可以看到相似三角形在地理测量、影视制作和建筑设计中的重要应用。

相似三角形原理的运用，使得我们能够更加准确地进行测量、制作出逼真的特效和设计出稳固美观的建筑物。

这一应用不仅提高了工作效率，还为我们提供了更多实际问题的解决方案。

因此，相似三角形的学习与应用在我们的生活中具有重要的意义。

利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。

假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。

通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。

所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。

而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。

2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。

如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。

根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。

所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。

3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。

如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。

其中，L
为相机离物体的距离。

这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。

所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。

利用相似三角形测高在日常测高工作中，我们经常会遇到需要测量某些高度的情况，比如建筑物的高度、电线杆的高度等等。

这时候，我们可以利用相似三角形的原理来进行测量，从而得到准确的高度数据。

下面，我们来详细介绍一下怎样利用相似三角形测高。

相似三角形的原理在几何学中，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形就是相似三角形。

如果两个相似三角形的一个对应角度分别相等，那么它们的边长之比也相等。

具体的公式如下：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC分别为大三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别为小三角形DEF的三条边长。

利用这个公式，我们可以很方便地计算出未知高度的值。

利用相似三角形测高的步骤在实际工作中，利用相似三角形测高的步骤主要包括以下几个方面：1.确定测量位置：首先要根据目标的高度和周围环境的条件，确定一个适合的测量位置。

最好选择平整、无遮挡、无杂物的地方，以确保测量的准确性。

2.测量三角形边长：在合适的位置摆放设备，如测距仪、测角仪、自动水平仪等，测量出大三角形ABC的三个边长（AB、BC、AC），并记录下来。

3.建立相似三角形：根据测量所得的数据，可以计算出大三角形ABC的三个角度，从而可以建立小三角形DEF。

在实际测量中，可以利用测量设备来测量小三角形的两条边长（DE、EF）。

4.计算未知高度：利用上述公式，可以计算出未知高度DF的值，从而得到目标的高度。

需要注意的是，在实际测量中，还需要考虑误差的影响因素，比如气象条件、设备精度等等，以尽可能提高测量的准确性。

利用相似三角形法测量高度，是一种简单而有效的方法，适用于许多领域的测量工作。

在实际使用过程中，需要认真把握每个步骤，尽可能减少误差的影响，并结合实际条件和测量要求，选择合理的设备和测量方法。

相似三角形的应用测量高楼的高度相似三角形是一个重要的几何概念，在实际应用中有着广泛的用途。

本文将以测量高楼高度为例，介绍相似三角形的应用。

首先，我们需要了解相似三角形的定义。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形。

利用相似三角形的性质，我们可以通过测量一个已知高度的物体与其影子的长度来计算出高楼的高度。

假设在某一时刻，我们观察到一个人的身高与他的影子的长度之间存在一个比例关系。

我们可以称这个比例为k。

现在，我们希望测量一座高楼的高度。

我们可以先测量这座高楼的影子的长度，然后利用相似三角形的性质来计算高楼的高度。

假设高楼的影子长度为x，那么根据相似三角形的性质，高楼的高度H与其影子的长度x之间也存在一个比例关系，比例为k。

即：H / x = k根据这个等式，我们可以通过代入已知值来求解高楼的高度。

但在实际中，我们往往无法直接测量高楼与其影子的长度。

因此，我们需要进行一些转换和间接测量。

一种常用的方法是利用测量自己的身高和自己的影子的长度，然后再测量高楼的影子的长度。

设自己的身高为h，自己的影子长度为y。

根据相似三角形的性质，自己的身高与自己的影子的长度之间也存在一个比例关系，比例为k。

即：h / y = k然后，我们测量高楼的影子长度为x。

利用比例关系，我们可以得到：H / x = h / y通过这个等式，我们可以计算出高楼的高度H。

此外，我们还可以利用更多的相似三角形来进行测量。

对于一个高楼来说，我们可以选择不同位置的观察点，并测量不同位置的影子长度。

通过构建更多的相似三角形，我们可以得到更准确的高楼高度测量结果。

需要注意的是，相似三角形的应用需要在实际测量中谨慎操作，确保测量过程中的角度、距离等都能够得到准确的结果。

同时，在测量高楼高度时，也需要考虑到地平线的倾斜度、地球曲率等因素，以确保测量结果的准确性。

总的来说，相似三角形的应用在测量高楼高度等实际问题中起到了重要的作用。

相似三角形应用举例在我们的日常生活和学习中，相似三角形的应用无处不在。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

通过利用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，下面就让我们一起来看看一些具体的例子。

一、测量物体的高度假设我们想要测量一棵大树的高度，但又无法直接测量。

这时候，相似三角形就派上用场了。

我们可以在同一时刻，在大树旁边立一根已知长度的杆子，然后分别测量杆子的影子长度和大树的影子长度。

因为在同一时刻，太阳光线的角度是相同的，所以杆子和它的影子以及大树和它的影子分别构成了两个相似三角形。

假设杆子的高度为h1，杆子影子的长度为 s1，大树影子的长度为 s2，大树的高度为 h2。

根据相似三角形的性质，我们可以得到：h1 ／ s1 ＝ h2 ／ s2通过已知的 h1、s1 和 s2，就可以计算出大树的高度 h2。

例如，杆子高度为2 米，影子长度为15 米，大树影子长度为9 米。

那么：2 ／ 15 ＝ h2 ／ 915h2 ＝ 2 × 915h2 ＝ 18h2 ＝ 12 米所以，这棵大树的高度约为 12 米。

二、计算河的宽度当我们面对一条河流，想要知道它的宽度，但又无法直接跨越测量时，相似三角形同样能帮助我们解决问题。

我们可以在河的一侧选择一个点A，然后在河的对岸选择一个点B，使得 A、B 两点与河岸基本在同一直线上。

接着，在河的这一侧，沿着河岸选定一个点 C，使得 AC 垂直于河岸，并测量出 AC 的长度。

然后，我们再沿着 AC 的方向向前走一段距离，到达点 D，使得点 D、A、B 三点在同一直线上，并且测量出 CD 的长度。

由于三角形 ABC 和三角形 ADC 有一个共同的角∠A，并且∠ACB＝∠ACD ＝ 90°，所以这两个三角形相似。

假设河宽为AB ＝x，AC ＝a，CD ＝b。

根据相似三角形的性质，我们有：AC ／ AB ＝ CD ／ AC即 a ／ x ＝ b ／ a通过已知的 a 和 b，就可以计算出河的宽度 x。

相似三角形的应用相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，对应边成比例。

在数学和几何学中，相似三角形具有广泛的应用，本文将探讨相似三角形在实际问题中的应用和意义。

一、地理测量地理测量是相似三角形应用的典型领域。

在实际测量过程中，我们经常会遇到难以直接测量的地理距离或高度。

通过使用相似三角形的原理，我们可以利用已知的尺寸测量未知的尺寸。

举例来说，当我们想要测量一座高山的高度时，可以在水平地面上测量该高山的基座与观测点的距离，并同时测量观测点与该高山的顶点的夹角。

然后，我们可以构造一个与已知角度相等且具有比例关系的三角形，如此，我们就可以通过比例计算出高山的真实高度。

二、建筑设计相似三角形在建筑设计中也扮演着重要的角色。

当建筑师设计建筑物的平面图时，通常需要考虑到各种限制条件，如建筑物所在地的面积、材料的成本和现有建筑的布局。

相似三角形的应用可以帮助建筑师在平面图中精确计算出各个部分的尺寸。

举例来说，当建筑师需要设计一个大厦的外墙高度时，可以先测量周围已有建筑物的高度，然后利用相似三角形的原理创建一个比例，从而计算出大厦外墙的高度。

三、影视制作在影视制作领域，相似三角形的应用同样不可或缺。

特效动画、绿幕合成和特殊镜头的制作都需要准确的测量和计算。

相似三角形可以帮助摄影师和特效团队准确地计算出场景中各个元素的尺寸和位置关系。

举例来说，当制作一个动画场景时，摄影师可以首先测量实际场景中各个元素的尺寸和位置，然后通过相似三角形的原理将这些尺寸和位置比例应用到动画场景中，从而创造出逼真且准确的效果。

四、遥感技术遥感技术利用卫星或飞机上的传感器来获取地球表面的信息，然后通过相似三角形的应用来测量地球表面的高度、距离和坐标。

相似三角形在遥感图像处理中扮演着重要的角色，可以帮助科学家和地理学家研究地球表面的变化和特征。

举例来说，当科学家想要测量一片森林的总面积时，可以先使用遥感图像获取该森林的部分面积，并且可以测量出图像上的距离。

么做到的呢？
测量金字塔高度
方法：为了测量金怎字样测塔出 的高度OB，先 竖一根已知长度的木棒OA的EE长，？ 测量棒子的影 长AD与金字塔的影长OA，即可近似算出金
字塔的高度OB.
B
E 2m
O
D
A(F)
B
O
201m
E 2m
3m
D
A(F)
例4、如图,如果木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为 201 m，求金字塔的高度BO．
2、为了测量一螃蟹池塘的宽AB，在岸边找到一 点C，使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上 找到一点E，使DE⊥AC,测出AD=35m，DC=35m，
DE=30m，则池塘的宽AB为__6_0___m。
A
B
D
E
C
3、小丽利用影长测量棠树学校旗杆的高度.由于旗杆
靠近初中教学楼,在某一时刻旗杆影子中的一部分映
为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目 标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC， 然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE 的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，
EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
解：∵∠ADB=∠EDC,∠B=∠C=
90°∴ △ABD ∽△ECD
相似三角形的应用举例
学习目标：
1、会用相似三角形的有关性质, 测量一些不能直接测量的物体的 高度和宽度.
2、进一步了解数学建模的思想， 培养分析问题、解决问题的能力。
埃及金字塔
埃及金字塔是古埃及帝王利（用法所老）学陵知墓识，，世界七大建筑奇 迹之一。数量众多，分布广泛你。能测出金字塔
埃及共发现金字塔96座，的大高小度不吗一，？其中最高大的是开罗

相似三角形的应用相似三角形是数学中重要的概念之一，它不仅有助于我们理解和解决各种几何问题，还在实际生活中有着广泛的应用。

本文将探讨相似三角形的应用领域及其在实际问题中的作用。

一、地图测量地图测量是相似三角形的主要应用之一。

在地理学和土地测量学中，我们常常需要通过测量实际地理空间的长度、宽度和高度来绘制地图。

然而，由于实际地理空间往往非常庞大，直接进行测量是非常困难的。

这时，利用相似三角形的性质可以大大简化测量工作。

以测量高楼大厦为例，我们可以在地面上选择一个适当的位置，测量自己与建筑物顶部的距离，并测量自己与建筑物底部的距离。

通过计算这两个距离的比例，我们可以得到建筑物的实际高度。

这是因为相似三角形的对应边长之比是恒定的。

二、影视特效制作影视特效制作是另一个相似三角形的应用领域。

在电影和电视剧中，许多场景是通过特殊摄影技术合成的，其中相似三角形的原理被广泛使用。

例如，当我们在电影中看到一个巨大的怪物或者人物，实际上他们是通过在摄影棚中拍摄小模型或演员，然后利用相似三角形原理对其进行缩放而成的。

通过调整比例和透视，摄影师可以使观众看到与实际情况一样的景象，使画面更加真实和吸引人。

三、建筑设计相似三角形在建筑设计中的应用非常广泛。

建筑师通常需要在保持建筑物原有比例的前提下进行设计和规划，而相似三角形提供了实现这一目标的有效方法。

例如，在设计一栋大楼时，建筑师可能需要根据已有建筑物的高度来计算新楼层的高度。

通过利用相似三角形的原理，建筑师可以快速得到新楼层的高度，而无需进行实际测量。

此外，在建筑设计中，相似三角形还可以应用于计算建筑物的比例缩放，提供透视效果以及计算斜坡的倾斜角度等方面。

四、远距离测量相似三角形还可以用于远距离测量，如测量高山的高度或者河流的宽度。

以测量高山的高度为例，由于高山常常十分险峻且无法直接到达其顶峰，因此直接测量高度是困难的。

然而，我们可以选择一点较低的位置，在水平方向上测量与高山顶峰的距离，然后利用相似三角形的原理计算出高山的高度。

利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。

这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。

当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。

通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。

然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。

方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。

这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。

然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。

根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。

最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。

方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。

这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。

然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。

根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。

最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。

在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。

此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。

因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。

数学相似三角形应用举例相似三角形是指具有相似形状但不一定相等大小的三角形。

数学中，在相似三角形之间存在着各种有意义的关系，这些关系在实际中有广泛的应用。

下面我将为大家举例说明相似三角形的应用。

首先，相似三角形在地图比例尺的确定中起到了重要的作用。

地图上的距离是实际距离的缩放版本，而这个缩放比例就是通过相似三角形来确定的。

我们可以通过测量地图上两个地点的距离，然后测量这两个地点的实际距离，通过相似三角形的比例关系，就可以计算出地图的比例尺，从而准确地测量其他地点的距离。

其次，相似三角形在工程测量中也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要测量高楼大厦的高度。

然而，直接测量高楼大厦的高度是非常困难的，而且也不安全。

这时，我们可以利用相似三角形的原理。

我们可以在地面上选择一个安全的位置，测量出到高楼大厦的距离和自己的高度，然后再测量出到高楼大厦顶部的夹角。

通过相似三角形的比例关系，可以计算出高楼大厦的高度。

此外，相似三角形还可以用于计算塔尖的高度。

在船舶导航中，我们需要确定灯塔的高度，以便进行航行计划。

然而，由于灯塔通常会建在陡峭的悬崖上，直接测量灯塔的高度非常困难。

这时，我们可以借助相似三角形的原理。

我们可以在海面上选择一个远离灯塔的位置，测量出到灯塔的距离和自己的水平高度，然后再测量出到灯塔塔尖的仰角。

通过相似三角形的比例关系，可以计算出灯塔的高度。

最后，相似三角形还在数学教育中有着重要的应用。

通过相似三角形，我们可以对学生进行数学思维的培养和训练。

让学生通过实际问题的解决，去发现数学中的规律和关系，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

总之，相似三角形在地图比例尺确定、工程测量、船舶导航和数学教育中都有广泛的应用。

通过相似三角形的原理，我们可以准确地测量距离、确定高度，并培养学生的数学思维能力。

相似三角形不仅是数学的重要概念，也是实际问题解决的有力工具。

通过深入理解相似三角形的应用，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，为我们的生活和工作带来便利。

3. △ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的
A
高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边
长为 x 毫米。
PE N
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE AD
PN = BC
B Q DM C
因此 80–x = x ，得 x=48（毫米）.
80
120
∴
=
EF DF
∴
OB=
EF·OA =200
DF
因此金字塔的高为200m.
影子形成
2. 要测量我校的旗杆高度，现有皮尺一把、标杆一根、镜 子一面，请你和你的同伴选择其中两种工具，设计一套测量旗 杆的方案，并画出示意图.
△ABO∽△AEF
OB
OABiblioteka =EFAF
OB = OA ·EF AF
旗杆测量
还可以有其他方法测量吗？
当堂练习
1.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长 为3米,则树高为______米. 2.如图，小亮晚上走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两 盏灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时， 他自己的影子长为3米，左边的影子长为1.5米，又知自己身高 1.8米，两盏灯的高度相同，且两盏灯之间的距离为12米，求路 灯的高。
24.3 相似三角形的应用 ——利用相似三角形测量物体的高度
华华东东师师大大·●七九年年级级下上册册
如图，如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m，测OA长为 300m，求金字塔的高度BO.

相似三角形应用举例利用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度，宽度以及视线遮挡问题。

例1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。

如图27．2-8，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO练习：1、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高多少m。

3、小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米．已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为几米．OBDC A ┏┛OBA(F)ED例2、为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S 共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS 垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.练习、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为多少米．例3．已知左右并排的两棵大树高分别是AB=8cm,CD=12cm,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵数的一条水平直路从左到右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点Ｃ．S TPQ R ba练习、1、如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度。

相似在测量中的应用学习目标：1.了解多种测量方法2.学会用相似的测量方法解决实际问题相似三角形可应用于生活中的很多方面，主要是：测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）测距（不能直接测量的两点的距离）一、常用四种基本测量为测量地面上旗杆的高度，我们能用哪些测量方法呢？（一）、利用阳光下的影子（太阳光线可以近似的看作平行线）如图，某同学身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长有2米，此路灯高有米．变式：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1.6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么，塔高AB= m．（二）利用镜子的反射（入射角等于反射角）小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．教学大楼的高度AB是米（三）利用标尺（近大远小）例. 如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为cm．若幻灯片上图形的面积是50cm2,这屏幕上的面积是cm2(四)利用标杆小明在地面直上立一根标杆EF，沿着直线BF后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E 、旗杆的顶点A在同一直线上,已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，竹竿的高度为EF=2.8m，人和竹竿的水平距离DF=1.5m，人和旗杆的水平距离BF=14m。

求旗杆的高度变式：⑴如图，已知左右并排的两棵树高分别是AB=8m，CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，小明眼睛离地面的高度EF为1.6m，他沿着正对这两棵树的一条水平直路从左到右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？⑵①如图一：小明想测量一棵树的高度AB，在阳光下，小明测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），墙壁上的影长CD为1.5米，落在地面上的影长BC为3米，则树高AB为多少米．②如图二：在阳光下，小明在某一时刻测得与地面垂直、长为1m的杆子在地面上的影子长为2m，在斜坡上影长为1.5m，他想测量电线杆AB的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=3m，BC=10m，求电线杆的高度．二、利用两次相似性质测量例. 如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）变式：⑴如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时．求：①小明在A处时人影的长度是多少米？②小明从A处走到B处时人影的长度减小了多少米？⑵如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．求小亮在路灯D下的影长和建筑物AD的高．⑶如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划﹣地排列在马路的﹣侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．⑴请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子．⑵标杆EF的影长为多少m？。