初二数学《相似三角形综合应用》

相似三角形的综合运用相似1。

定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形。

2。

相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例，对应角相等。

3.相似三角形的判定●(1)平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

●（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.●（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

●（4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。

4。

相似三角形的性质●（1）对应边的比相等，对应角相等.●（2）相似三角形的周长比等于相似比。

●（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.●（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5。

三角形中位线定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.6。

梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半。

7.相似三角形的应用：１、利用三角形相似,可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

知识考点:会综合运用相似三角形的有关概念、定理解答有关问题。

另外,直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似的性质运用，是近几年中考的热点题型。

【精典例题】：【例1】如图，已知，在边长为1的正方形ABCD 的一边上取一点E ，使AE ＝41AD ，从AB 的中点F 作HF ⊥EC 于H 。

(1)求证：FH ＝FA; （2)求EH ∶HC 的值。

证明：（1)连结EF ，FC ，在正方形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，∠A ＝∠B ＝900∵AE ＝41AD ，F 为AB 的中点，∴BCFBAF AE = ∴△EAF ∽△FBC,∴∠AEF ＝∠BFC,∠EFA ＝∠CFB ∴∠EFC ＝900，21=FC EF 又∵∠EFC ＝∠B ＝900 ∴△EFC ∽△FBC∴∠HEF ＝∠BFC ，∠ECF ＝∠BCF ∴∠AEF ＝∠HEF,∠AFE ＝∠HFE ∴△EAF ≌△HEF ∴FH ＝FA （2）由（1）得21=FC EF ，由（1）易证△EHF ∽△EFC,从而可得EC EH EF ⋅=2，同理CE CH FC ⋅=2，于是EH ∶HC ＝2EF ∶2FC ＝1∶4 变式：如图，在矩形ABCD 中，65=BC AB ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且EC ＝61BC ，FC ＝53CD,FG ⊥AE 于G ，求证：AG ＝4GE 。

课件相似三角形的应用(多场景)课件：相似三角形的应用一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛应用于日常生活和工程实践。

相似三角形的应用不仅体现在数学领域，还涉及物理学、建筑学、地理学等多个领域。

本课件旨在介绍相似三角形的基本概念及其在不同领域的应用，帮助大家更好地理解相似三角形的实用价值。

二、相似三角形的基本概念1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。

2.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都相等。

3.判定相似三角形的方法：AA（角角）相似定理、SAS（边角边）相似定理、SSS（边边边）相似定理。

三、相似三角形在数学领域的应用1.解直角三角形：利用相似三角形的性质，可以求解直角三角形中的未知边长和角度。

2.求解相似多边形：在解决多边形问题时，相似三角形的应用可以帮助我们求解多边形的边长、面积等几何量。

3.解析几何：在解析几何中，相似三角形的应用可以帮助我们求解直线、圆等几何图形的方程。

四、相似三角形在物理学领域的应用1.测量不规则物体的体积：利用相似三角形，可以求解不规则物体的体积，如测量岩石、木材等。

2.测量距离：在物理学实验中，相似三角形的应用可以帮助我们测量不易直接测量的距离，如测量地球到月球之间的距离。

3.解析力学：在解析力学中，相似三角形的应用可以帮助我们求解力的分解、力的合成等问题。

五、相似三角形在建筑学领域的应用1.设计建筑结构：相似三角形的应用可以帮助建筑师设计出稳定、美观的建筑结构。

2.测量建筑物的尺寸：在建筑物的施工过程中，相似三角形的应用可以帮助测量建筑物的尺寸，确保施工质量。

3.求解建筑物的高度：利用相似三角形，可以求解建筑物的高度，如测量塔的高度、建筑物之间的距离等。

六、相似三角形在地理学领域的应用1.测量地球表面距离：相似三角形的应用可以帮助测量地球表面两点之间的距离，如测量城市之间的距离。

初中数学知识归纳相似三角形的应用相似三角形是初中数学中重要的概念和应用之一。

在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。

本文将归纳相似三角形的应用，以帮助初中数学学习者更好地理解和运用这一知识点。

一、相似三角形的判定在应用相似三角形之前，我们首先需要学习如何判定两个三角形是否相似。

对于两个三角形而言，如果它们对应的内角相等，并且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。

具体来说，可以利用下列方法判定两个三角形的相似性：1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

二、相似三角形的比例关系相似三角形的一个重要性质是对应边的比例关系。

设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a、b、c和A、B、C，那么可以得到以下比例关系：1. 边比例关系：a/A = b/B = c/C2. 高比例关系：相似三角形的高与对应边成比例，即三角形的高与底边之间的比值相等。

三、相似三角形的应用相似三角形的应用十分广泛，下面将介绍相似三角形在几何学中的常见应用：1. 测量高度和距离：通过相似三角形的高比例关系，可以利用已知的三角形高度和距离，计算出未知的高度和距离。

这在实际生活中的测量和计算中具有重要意义，如测量建筑物的高度、飞机的高度和距离等。

2. 建模和缩放：在建模过程中，我们可以通过相似三角形将现实世界的物体缩小或放大，并保持其形状不变。

这种方法常用于制作模型、设计蓝图和三维计算机图形等领域。

3. 解决实际问题：相似三角形的应用也可以帮助求解实际生活中的问题。

例如，在日常生活中使用地图导航时，我们可以利用地图上的比例尺和相似三角形的原理，推算出实际距离与地图距离之间的比例关系。

4. 定比分点：相似三角形的比例关系还可以用于求解点的定比分点问题。

相似三角形及其应用相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。

在几何学中，相似三角形是一个重要的概念，具有广泛的应用。

本文将介绍相似三角形的性质以及它在实际问题中的应用。

一、相似三角形的性质1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的两边成比例，且包含这两边的夹角相等，则这两个三角形相似。

4. 相似三角形中对应边的比例关系：如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么AB与DE的比例等于AC与DF的比例，BC与EF的比例等于AC与DF的比例，AB与DE的比例等于BC与EF的比例。

二、相似三角形的应用1. 测量难以直接获取的距离：通过相似三角形的比例关系，可以利用已知的距离和长度来计算无法直接测量的距离和长度。

例如，在实际测绘中，可以通过测量一棵树的阴影以及测量人的身高和阴影长度，来计算树的高度。

2. 解决高空物体的测量问题：在很多时候，无法直接测量高空物体的高度，但可以通过相似三角形的比例关系来间接计算。

比如，在测量高楼的高度时，可以通过测量建筑物的阴影长度以及测量阴影与高楼的投影角度，来计算出高楼的实际高度。

3. 三角测量法的应用：在导航、航海和地理测量等领域，三角测量法是一种常用的测量技术。

这种方法利用相似三角形的性质，通过测量三角形的边长和角度来计算未知的长度和距离。

4. 建筑工程中的应用：在建筑工程中，相似三角形的概念经常被应用于设计、施工和测量。

通过相似三角形的比例关系，可以确定建筑物的尺寸、高度和角度，保证工程的准确性和稳定性。

5. 几何模型的相似：在计算机图形学和动画制作中，相似三角形的概念被广泛应用。

通过构建相似的几何模型，可以实现图形的放大、缩小和形变，从而实现各种特效和动画效果。

总结：相似三角形是几何学中一个重要的概念，用于描述两个或多个三角形的形状和尺寸关系。

《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义及性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。

相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：两个相似三角形的对应角大小相等。

2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度比值相等。

3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。

4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们要牢记并熟练运用。

二、相似三角形在实际生活中的应用1、测量高度在实际生活中，我们常常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等，而直接测量往往比较困难。

这时就可以利用相似三角形的知识来解决。

例如，要测量一棵大树的高度，我们可以在与大树底部水平的地面上立一根标杆，然后测量出标杆的长度以及标杆和大树的影长。

由于太阳光线是平行的，所以标杆和大树与地面形成的三角形是相似的。

设标杆高为 a，标杆影长为 b，大树影长为 c，则根据相似三角形的性质，可得大树的高度为：＼（H ＝＼frac{ac}｛b}＼）2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。

比如，要测量一条河的宽度，我们可以在河的一侧选定一个点 A，在对岸选定一个点 B，然后在河的这一侧再找一个点 C，使得 AC 垂直于河岸。

接着，在 AC 的延长线上找一个点 D，使得 B、D 两点的连线经过点 C。

测量出 AC、CD 的长度。

因为三角形 ABC 和三角形 ADC相似，所以根据相似比可以计算出河宽 AB 的长度。

3、计算角度在一些几何问题中，通过相似三角形的关系可以计算出未知的角度。

例如，已知两个相似三角形的对应边的夹角，通过相似三角形对应角相等的性质，可以求出其他角的大小。

三、相似三角形在工程中的应用1、建筑设计在建筑设计中，相似三角形的原理被广泛应用。

比如，设计师在设计楼梯时，需要考虑楼梯的坡度和踏步的高度、宽度等比例关系，以保证楼梯的安全性和舒适性。

平面几何中的相似三角形的综合应用的综合应用在平面几何中，相似三角形是一种常见的几何形状，它们有着相似的内部角度以及对应边长的比例关系。

相似三角形具有广泛的综合应用，涉及到各个领域的问题解决和计算。

本文将介绍相似三角形的基本性质和应用，并通过实际问题探索其综合应用。

一、相似三角形的基本性质相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。

两个相似三角形的对应角度相等，而对应边长之间的比例保持一致。

在两个相似三角形ABC和DEF中，我们可以得到以下关系：1. 角度相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F2. 边长比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF二、相似三角形的应用场景相似三角形的性质使得它们在实际问题的求解中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 测量高度问题在无法通过直接测量的情况下，可以利用相似三角形的性质求解对象的高度。

通过测量已知物体的高度和距离，以及观察者与物体的垂直角度，可以利用相似三角形的比例关系计算出未知物体的高度。

2. 倾斜角度计算当无法直接测量物体的倾斜角度时，可以利用相似三角形的性质进行计算。

通过在已知角度下测量物体的高度和距离，以及物体上两点的水平距离，可以建立相似三角形，从而计算出物体的倾斜角度。

3. 长度比例计算相似三角形的比例关系还可以应用于求解长度比例问题。

例如，在地图上测量两地的实际距离，然后通过相似三角形的比例关系计算出地图上表示的距离。

4. 面积比例计算相似三角形的面积比例也是重要的应用之一。

通过相似三角形的边长比例，可以推导出面积比例。

这在建筑设计等领域中经常使用，用于估算或设计房屋、地块等物体的面积。

5. 圆的相似性在圆的几何学中，相似三角形也有重要的应用。

两个圆可以通过相似三角形的性质进行比较，从而判断其相似性或相等性。

这对于建模、制图和计算圆的属性非常关键。

三、相似三角形综合应用示例为了更好地理解相似三角形的综合应用，以下是一个实际问题的求解示例：问题：一根高塔竖直安放在地面上。

相似三角形综合内容分析相似三角形是初中数学中的重点，也是难点．相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察．本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题．知识结构G1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型．【例1】过ABC∆的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E．求证：2AE AFED FB=．【难度】★★【答案】略．【解析】过点D作//DG AB交CF于点G．//DG AB∴AE AFED GD=，DG CDBF CB=；AD是中线，∴2BC CD=，∴12DGBF=；∴2AE AFED BF=．【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．模块一：平行线与相似三角形知识精讲例题解析B CDEF【例2】如图，已知ABC∆中，AD、BE相交于G，:3:1BD DC=，:1:2AG GD=．求:BG GE的值．【难度】★★【答案】11．【解析】点G作//GM BC交AC于点M．//GM BC∴AG GMAD CD=，EG GMEB CB=；:1:2AG GD=，∴13AG GMAD CD==，:3:1BD DC=，∴14DCBC=，∴112GMBC=，∴112GEEB=，∴:BG GE的值为11．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型．【例3】如图，在ABC∆中，点D在线段BC上，75BAD∠=︒，30CAD∠=︒，AD = 2，BD = 2DC，求AC的长．【难度】★★【答案】3．【解析】过点D作//DM AB交AC于点M．//DM AB，∴75BAD ADM∠=∠=；又180ADM AMD DAM∠+∠+∠=，30CAD∠=∴75AMD∠=，∴AMD ADM∠=∠，∴2AD AM==．//DM AB，∴AM BDAC BC=．又2BD DC=，∴23BD AMBC AC==．∴3AC=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识．【例4】已知：P为ABC∆的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D和点E．求证：1AD AEDC EB+=．【难度】★★【答案】略．【解析】过点A作//GH BC分别交CE、BD的延长线于点G、H．MN是中位线，//.AM MB AN NC MN BC∴==，，////GH BC MN∴．∴AM GPMB PC=GP PC∴=//GH BC∴GH GPBC PC=GH BC∴=；//GH BC∴AD AH AE AGDC BC EB BC==，∴1AD AEDC EB+=．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识．【例5】AD是ABC∆的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM = x·AB，AN = y·AC，（0x≠，0y≠）．（1）如图1，当ABC∆为等边三角形且30α=︒时，求证：AMN∆∽DMA∆；（2）如图2，证明112x y+=．【难度】★★★【答案】略【解析】（1）ABC∆是等边三角形，AD是中线，30,90;BAD DAC ADB∴∠=∠=∠=30,30MDBα=∠=即，60ADM∴∠=ADM DAC N∠=∠+∠30N∴∠=;MAD N∴∠=∠AMD AMN∠=∠AMN DMA∴∆∆∽；（2）过B作//BQ MN交AD延长线于点Q，过C作//CP MN交AD于点P，//BQ CP∴∴BD DQDC PD=AD是中线,BD DC∴=,QD DP∴=//BQ MN∴1AB AQ AD DQx AM AD AD+===//CP MN∴1AC AP AD DPy AN AD AD-===∴112x y+=．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点．ABCDNM图11、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下：分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法．【例6】如图，AD 是ABC ∆的内角平分线．求证：AB BDAC DC=． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】过点C 作//CM AB 交AD 的延长线于点M ． //CM AB ∴AB BD CM DC=，BAD M ∠=∠ AD 是角平分线∴BAD DAC ∠=∠；∴M DAC ∠=∠∴AC CM = ∴AB BDAC DC=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．模块二：角平分线与相似三角形知识精讲例题解析ACDMAB CD【例7】如图，AD是ABC∆的外角平分线．求证：AB BDAC CD=．【难度】★★【答案】略．【解析】过点B作//BM AC交DA的延长线于点M．//BM AC，∴AC CDBM DB=，DAC M∠=∠AD是外角平分线，∴MAD CAD∠=∠；∴M MAD∠=∠，又MAB MAD∠=∠，∴M MAB∠=∠．∴AB BM=．∴AB BDAC DC=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识．【例8】在ABC∆中，120BAC∠=︒，AD平分BAC∠交BC于点D．求证：111AD AB AC=+．【难度】★★【答案】略．【解析】过点C作//CM AD交BA于点M．//CM AD，∴AB ADBM CM=，DAC ACM BAD M∠=∠∠=∠，AD平分BAC∠，120BAC∠=．∴60BAD CAD∠=∠=；∴60M ACM∠=∠=，ACM∴∆是等边三角形．∴AC CM AM==．∴AB ADAB AM MC=+即AB ADAB AC AC=+．∴111AD AB AC=+．【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识．ABC DEFG【例9】如图，在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，CFG B ∠=∠过点C 作CE // AB ，交CAB ∠的平分线AD 于E ．（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：FC ADCG ED =． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】 （1）①ADB EDC ∆∆∽、②CAB GCF ∆∆∽．证明①：//CE AB ∴ADB EDC ∆∆∽ 证明②：//CE AB 180CAB ACE ∴∠+∠=，90CAB ∠=，90ACE ∴∠=;CAB ACE ∴∠=∠CFG B ∠=∠ ∴CAB GCF ∆∆∽（2）由CAB GCF ∆∆∽得FC ABCG AC=ADB EDC ∆∆∽ ∴AB ADEC DE=//CE AB ，EAB CED ∴∠=∠，CAE EAB ∠=∠， ;CAE E ∴∠=∠，CA CE ∴= ∴AB AD AC DE = ∴ FC ADCG DE=． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识．DAB CEI【例10】如图，ABC ∆中，AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，交BI 延长线于E ，连接CI ．（1）ABC ∆变化时，设2BAC α∠=．若用α表示BIC ∠和E ∠，那么BIC ∠=______，E ∠=______；（2）若AB = 1，且ABC ∆与ICE ∆相似，求AC 长． 【难度】★★【答案】（1）90α+，α；（2）略． 【解析】（1）180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=，∴1801802ABC ACB BAC α∠+∠=-∠=-．AI 、BI 分别平分BAC ∠、ABC ∠，∴ 12IBC ABC ∠=∠，CI 平分ACB ∠．∴12ICB ACB ∠=∠．180IBC ICB BIC ∠+∠+∠=()()1180180902BIC IBC ICB ABC ACB α∴∠=-∠+∠=-∠+∠=+．CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线， ∴ 12ACE ACD ∠=∠．()1902ICE ICA ACE ACD ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=． 90BIC ICE E α∠=∠+∠=+，E α∴∠= ．（2）ABC ∆与ICE ∆相似，90ICE ∠=， ABC ∴∆是直角三角形时，分三种情况：① 当90ABC ∠=时，E α∠=，2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ．E BCA α∴∠=∠=． 90BAC BCA ∠+∠=， 30α∴=． ∴ 22AC AB ==；② 当90BCA ∠=时，E α∠=，2BAC α∠=， E BAC ∴∠≠∠ ．E ABC α∴∠=∠=，90BAC ABC ∠+∠=， 30α∴=， ∴ 1122AC AB ==； ③ 当90BAC ∠=时， 2BAC α∠=， 45α∴=． ∴ 1AC AB ==；综上所述，1122AC =或或．【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识．B ACDABCD图1图21、a 2 = b·c 与相似三角形 常见及扩展模型如下：由图1可证：2AB BD BC =；由图2可证：2AB BD BC =，2AD BD DC =，2AC CD CB =．【例11】如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ．求证：2AD BD DC =．【难度】★ 【答案】略． 【解析】AD BC ⊥， ∴90ADB ADC ∠=∠=．∴90BAD B ∠+∠=．90BAC ∠= ，∴90C B ∠+∠=， ∴BAD C ∠=∠．∴ABD CAD ∆∆∽ ，∴AD BDCD AD=． ∴2AD BD CD =•．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识．模块三：a 2 = b·c 与相似三角形知识精讲例题解析AB CDABCDE HABCDEF【例12】如图，已知等腰三角形ABC 中，AB = AC ，高AD ，BE 相交于点H ．求证：24DH DA BC =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】AD 、BE 是高， ∴90ADB BEC ∠=∠=．∴90HBD C ∠+∠=， 90CAH C ∠+∠=．∴HBD CAH ∠=∠， ∴HBD CAD ∆∆∽． ∴HD BDCD AD=即DH AD BD CD =AB AC AD BC =⊥，， ∴12BD DC BC ==．∴BAD C ∠=∠．∴214DH AD BC =， ∴24DH AD BC =．【总结】本题考查“双高”模型相似的知识．【例13】如图，在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD = BD ，过E 的直线EF // AB 交AD 于点F ． （1）AF = BE ；（2）AF 2 = AE ·EC ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）//EF AB ，AF 不平行EB ，∴四边形FABE 是梯形．又AD BD =， ∴DAB DBA ∠=∠．∴四边形FABE 是等腰梯形， ∴AF BE =； （2）90AEB CEB ∠=∠=，∴90EBA EAB ∠+∠=， 90ECB EAB ∠+∠=．∴EBA ECB ∠=∠． ∴EBA ECB ∆∆∽．∴EB EAEC EB =． ∴2EB EA EC =•，∴2AF EA EC =•．【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质．【例14】如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AD 于点 H ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ．求证：2DF CF BF =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AF点F 在AD 的垂直平分线上， ∴AF FD =， FAD ADF ∠=∠．FAD FAC DAC ∠=∠+∠，ADF BAD B ∠=∠+∠∴FAC DAC BAD B ∠+∠=∠+∠．又AD 平分BAC ∠， ∴BAD DAC ∠=∠， ∴FAC B ∠=∠．又AFC AFB ∠=∠， ∴EBA ECB ∆∆∽， ∴AF FCFB AF=． ∴2AF CF BF =•， ∴2DF CF BF =•．【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理及相似三角形的判定及性质知识．【例15】如图1，在ABC ∆中，P 是边AB 上的一点，联结CP ，要使ACP ∆∽ABC ∆，还需要补充一个条件．（1）补充的条件是___________________，或者____________________． （2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：如图2，在ABC ∆中，60A ∠=︒，22AC AB AB BC =+，求B ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】（1）ACP B ∠=∠；APC ACB ∠=∠；（或者2AC AB=• （2）延长AB 到D ，使BD CB = ∴BCD BDC ∠=∠22AC AB AB BC =+• ∴2AC AB AD =• ∴∆ D ACB ∴∠=∠180A ACD D ∠+∠+∠=∴3180D A ∠+∠= 而60A ∠= ∴40D BCD ∠=∠= 80ABC BCD D ∴∠=∠+∠=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识．AB C D E FGH ABC P图1A BCDEFGH TH1、内接矩形与相似三角形 相关模型：常用结论：AT DEAH BC=．【例16】如图，ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，四边形DEFG 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形DEFG 的边长．【难度】★★【答案】6037．【解析】设正方形DEFG 的边长为a ，过点C作CH AB ⊥交AB 于点H ，易知：////DG CH DE AB ，DG AD CH AC ∴=，DE CD AB AC = 1DG DECH AB ∴+=在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，， 5AB ∴=，125CH =． 11255a a ∴+=， 6037a ∴=， ∴正方形DEFG 的边长为6037． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．模块四：内接矩形与相似三角形知识精讲例题解析ABC DEF GABCHGFE D【例17】ABC ∆中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC = 15，BC 边上的高AD = 10，求正方形EFGH 的面积．【难度】★★ 【答案】36．【解析】设正方形EFGH 的边长为a ，易知： ////HE AD HG BC ，．HE BH AD BA ∴=，HG AHBC AB =．1HE HGAD BC∴+=， 11015a a∴+=， 6a ∴=，∴正方形EFGH 的面积为36．【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点．【例18】如图，已知ABC ∆中，AC = 3，BC = 4，90C ∠=︒，在ABC ∆内部求做一正方形，问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此时正方形的边长．【难度】★★【答案】如图截取，正方形边长为127． 【解析】设正方形CDEF 的边长为a ，易知： ////EF CB DE AC ，．DE BE AC AB ∴=，EF AECB AB=， 1DE EFAC CB∴+=． 在Rt ABC ∆中，34AC CB ==，，134a a∴+=．127a ∴=． ∴正方形DEFC 的边长为127． 【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别．【例19】如图，ABC∆中，四边形DEFG为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，1ADG CDES S∆∆==，3BEFS∆=，求ABC∆的面积．【难度】★★【答案】9．【解析】过点D作//DH CB交AB于点H，可得DGH EFB∆≅∆．4DAHS∆∴=．易证CDE DAH∆∆∽，214CDEDAHS CDS DA∆∆⎛⎫∴==⎪⎝⎭．12CDDA∴=，13CDCA∴=．CDE CAB∆∆∽，219CDECABS CDS CA∆∆⎛⎫∴==⎪⎝⎭．9CBAS∆∴=．【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方．【例20】锐角ABC∆中，BC= 6，=12ABCS∆，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN // BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ABC∆公共部分的面积为y（y > 0）．（1）ABC∆中边BC上高AD = ______；（2）当x = ______时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；（3）当PQ在ABC∆外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（并写出定义域）；当x 取何值时，y取得最大值，最大值为多少？【难度】★★★【答案】（1）4；（2）125；（3）略．【解析】（3）//MN CB，AT AM MNAD AB BC∴==．∴46AT x=．∴23xAT=．243TD x∴=-．()222224436333xS MN TD x x x x⎛⎫∴=•=-=-+=--+⎪⎝⎭公共．22124635y x x x⎛⎫∴=-+<≤⎪⎝⎭，当3x=时，y取最大值，max6y=．【总结】本题要灵活应用三角形内接矩形求面积，结合二次函数的求最值问题．AB CDPNMQ图1 图2AB CDEF1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：【例21】已知，在等腰ABC∆中，AB = AC = 10，以BC的中点D为顶点作EDF B∠=∠，分别交AB、AC于点E、F，AE = 6，AF = 4，求底边BC的长．【难度】★★【答案】46．【解析】EDC B BED∠=∠+∠，而EDC EDF FDC∠=∠+∠，∴B BED EDF FDC∠+∠=∠+∠．又EDF B∠=∠，∴BED FDC∠=∠．AB AC=，∴B C∠=∠．EDB DCF∴∆∆∽．BE BDDC CF∴=．106104BDDC-∴=-，24DC BD∴=．又12CD DB BC==，46BC∴=．【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查．模块五：一线三等角与相似三角形知识精讲例题解析AB CDE 【例22】如图，直角梯形ABCD 中，AB // CD ，90ABC ∠=︒，点E 在边BC 上，且34AB BE EC CD ==，AD = 10，求AED ∆的面积．【难度】★★ 【答案】24． 【解析】90ABC ∠=，//AB CD ，∴90DCB ABC ∠=∠=．又34AB BE EC CD ==， ABE ECD ∴∆∆∽．∴AEB EDC ∠=∠． ∴34AE AB ED EC ==．90EDC DEC ∠+∠=，∴90AEB DEC ∠+∠=． ∴90AED ∠=． 在Rt AED ∆中，10AD =，68AE ED ∴==，． 24AED S ∆∴=．【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等．【例23】矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C ．（1）设Rt CBD ∆的面积为1S ，Rt BFC ∆的面积为2S ，Rt DCE ∆的面积为3S ，则1S ______23S S +（用“ > ”、“ = ”、“ < ”填空）；（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明． 【难度】★★ 【答案】（1）=；（2）BFC CED ∆∆∽；BFC DCB ∆∆∽； CED DCB ∆∆∽．【解析】（1）过点C 作CH BD ⊥交BD 于点H ，易得； （2）BCD DCE F FBC ∠+∠=∠+∠，而90BCD F ∠=∠= ．∴FBC DCE ∠=∠．BFC CED ∴∆∆∽．【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质．【例24】在矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 3，P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP ⊥PE ，垂直为P ，PE 交CD 于点E ．（1）连接AE ，当APE ∆与ADE ∆全等时，求BP 的长；（2）若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式；当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？（3）若PE // BD ，试求出此时BP 的长． 【难度】★★★ 【答案】（1；（2）()2130322y x x x =-+<<，当32x =时，y 取最大值，最大值为98； （3）43． 【解析】（1）APE ∆与ADE ∆全等， 90APE ADE ∠=∠=， BAE AED ∠=∠ ， 而BAE PAE ∠>∠，ADE APE ∴∆≅∆． 3AD AP ∴==．在Rt ABP ∆中，222AB BP AP +=， BP ∴=（2）易证ABP PCE ∆∆∽， 得AB BPPC CE=， 即23x x y =-． ∴()2130322y x x x =-+<<．221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴当32x =时，y 取最大值，最大值为98； （3）联结BD 交AP 于点Q ． //PE BD ，90APE AQD ∴∠=∠=．9090QAD ADQ BAQ QAD ∴∠+∠=∠+∠=，．∴BAQ ADQ ∠=∠， Rt ABP Rt DAB ∴∆∆∽． AB BP AD AB ∴=， 43BP ∴=． 【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合．AB CDEFM【例25】如图，直角梯形ABCD中，90BCD∠=︒，AD // BC，BC = CD，E为梯形内一点，且90BEC∠=︒，将BEC∆绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到DCF∆，联结EF 交CD于M．已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC的值为（）A．53B．35C．43D．34【难度】★★【答案】C．【解析】旋转后，CEB CFD∆≅∆．5CB CD∴==，3CE CF==，BE DF=，90BEC DFC∠=∠=．在Rt CBE∆中，222BE CE BC+=，4BE∴=．4DF∴=．90ECF∠=，90ECD DCF∴∠+∠=．又90DCF FDC∠+∠=ECD FDC∴∠=∠//CE DF∴43DM DFMC EC∴==．【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识．模块六：旋转与相似三角形例题解析【例26】在ABC∆中，CA = CB，在AED∆中，DA = DE，点D、E分别在CA、AB上．（1）如图1，若90ACB ADE∠=∠=︒，则CD与BE的数量关系是____________；（2）若120ACB ADE∠=∠=︒，将AED∆绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE的数量关系是____________．【难度】★★【答案】（1）CD BE=；（2）CD．【解析】（1）90ACB ADE∠=∠=∴//DE BC∴AD DCAE EB=∴CD BE=；（2）过点C作CH AB⊥交AB于点H120ACB∠=30CAB∴∠=∴CAAH=∴ACAB==由ADE ACB∆∆∽，得：AD ACAE AB=DAE CAB∠=∠，∴ACD ABE∆∆∽∴CD ACBE AB==，∴CD=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识．A BCDE图1 图2FAB (Q )CD (O )EPPABCD (O )ABCD (O )QPQ EFEF 图1图2图3【例27】把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45C F ∠=∠=︒，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD ∆∽CDQ ∆，则此时AP CQ =______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为α．其 中090α︒<<︒，问AP CQ 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变． 【解析】（1）略；（2）易证APD CDQ ∆∆∽， 得：AP ADCD CQ=AP CQ CD AD ∴•=•．又4AC = CD AD ∴== 8AP CQ ∴•=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．【例28】如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 2，30A ∠=︒，点E 、F 分别是线段BC 、AC 的中点，联结EF ．（1）线段BE 与AF 的位置关系是______，AFBE=______； （2）如图2，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），联结AF 、BE ，则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当CEF ∆绕点C 顺时针旋转α时（0180α︒<<︒），延长FC 交AB 于点D ， 如果6AD =-α的度数．【难度】★★★【答案】（12）成立；（3）略． 【解析】（1）略；（2）由ACB FCE ∆∆∽， 得：AC FCCB CE=．BCE ACF ∠=∠， ∴BCE ACF ∆∆∽． ∴AF ACBE BC== （3）过点D 作DH BC ⊥交BC 于点H ， 6AD =-， 2BD ∴=．在Rt DBH ∆中，60B ∠=， 1BH ∴，3DH =3CH ∴=， 45DCH ∴∠=， 45ACD ∴∠=． 135ACF ∴∠=．135α∴=．【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线．BACE FABCEF图1图2ABCDEF【例29】如图，已知ABC ∆与ADE ∆都是等边三角形，点D 在BC 边上（点D 不与B 、C重合），DE 与AC 相交于点F ．（1）求证：ABD ∆∽DCF ∆；（2）若BC = 1，设BD = x ，CF = y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）当x 为何值时，79AEF ABD S S ∆∆=？【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）ABC ∆、ADE ∆是等边三角形 60,60B C E EDA ∴∠=∠=∠=∠=CDF FDA B DAB ∠+∠=∠+∠,CDF DAB ∴∠=∠ ABD DCF ∴∆∆∽；（2）由（1）得ABD DCF ∆∆∽，AB BDDC CF ∴=11x x y ∴=-()201y x x x ∴=-+<<；（3）易证ABD AEF ∆∆∽， AB ADAE AF∴=279AEF ABD S AE S AB ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭ 222279AE AF AB AD ∴== ADE ∆是等边三角形 AD AE ∴= 222279AE AF AB AE ∴== 224981AF AB ∴=1AB = 79AF ∴= 72199y CF ∴==-=， 229x x ∴-+=解得1221,33x x == ∴当2133x x ==或时，79AEF ABD S S ∆∆=．【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识．模块七：函数与相似三角形例题解析【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （a ，0）（a < 0），联结BP ，过点P 作PC ⊥PB 交过点A 的直线l 于点C （2，b ）．（1）求b 与a 之间的函数关系式；（2）当a 取得最大的整数时，求BC 与x 轴的交点Q 的坐标．【难度】★★【答案】（1）212b a a =-+；（2）8,07Q ⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】（1）90BPO OPC BPO PBO ∠+∠=∠+∠= OPC PBO ∴∠=∠90BOP PAC ∠=∠=BPO PCA ∴∆∆∽ OP OBAC AP∴=即22a b a-=--∴212b a a =-+；（2）0a <a ∴取得最大的整数时1a =-32b ∴=-//OB ACOB OQAC QA∴=，即2322OQ OQ =- 87OQ ∴=∴8,07Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【总结】本题考查相似的判定及性质等知识．x【例31】函数kyx=和kyx=-（0k≠）的图像关于y轴对称，我们把函数kyx=和kyx=-（0k≠）叫做互为“镜子”函数，类似地，如果函数y = f（x）和y = h（x）的图像关于y轴对称，那么我们就把函数y = f（x）和y = h（x）叫做互为“镜子”函数．（1）函数y = 3x– 4的“镜子”函数是________________；（2）函数223y x x=-+的“镜子”函数是________________；（3）如图所示，一条直线与一对“镜子”2yx=（x > 0）和2yx=-（x < 0）的图像分别交于点A、B、C，如果CB : AB = 1 : 2，点C在函数2yx=-（x < 0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是12，求点B的坐标．【难度】★★【答案】略【解析】（1）34y x=--；（2）223y x x=++（3）分别过点A、B、C作CC BB AA'''、、垂直于x轴，垂足分别为C B A'''、、．设点2,B mm⎛⎫⎪⎝⎭、2,A nn⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m>，0n>由题意，得点1,42C⎛⎫-⎪⎝⎭．4CC'∴=,2BBm'=，2AAn'=，A B n m''=-,12B C m''=+．易知////CC BB AA''', 又:1:2CB AB=所以，可得12().22222(4)3n m mm n n⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，化简得3111433n mm n-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得m=，B∴⎝⎭．【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题．【例32】如图，已知梯形ABCD，AD // BC，AB = AD = 5，3tan4DBC∠=．E为射线BD上一点，过点E作EF // DC交射线BC于点F，连接EC，设BE = x，ECFBDCSyS∆∆=．（1）求BD的长；（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）8BD=；（2）()21108648y x x x=-+<<【解析】（1）//AD BC，ADB DBC∴∠=∠．3tan4DBC∠=，3tan4ADB∴∠=．过点A作AH BD⊥交BD于点H，AB AD=，4BH HD∴==．8BD∴=．（2）//EF CD，BEF BDC∴∆∆∽，8BE BF xBD BC∴==．∴2264BEFBDCS BE xS BD∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭．8BEFEFCS BF xS FC x∆∆==-，∴2864ECFBDCS x xS x∆∆-=•．∴()21108648y x x x=-+<<．【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比可以转化为底边（或者高）的比．ABCDEFA BCDE FP NMQ【习题1】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD，垂足为F．求证：111AB CD EF+=．【难度】★★【答案】略．【解析】AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴////AB CD EF∴EF DFAB DB=，EF BFCD DB=∴1EF EFAB DC+=，即111AB CD EF+=．【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用．【习题2】如图，在Rt ABC∆中，90B∠=︒，BC = 4cm，AB = 8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，点P为AB边上一点，过点P作PQ // BC交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，若AP = 3cm，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．【难度】★★【答案】34．【解析】DE是中位线，122DE BC cm∴==．D是AB中点，142DA BA cm∴==．//PQ ED，AP PQAD DE∴=．342PQ∴=，32PQ∴=．DN PN PD=-，∴12DN=．∴34S PQ DN=•=公共．【总结】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用．随堂检测ABCDFPQ图1图2【习题3】 如图，已知ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，且 90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF ∆的顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合．将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，且AP = AQ 时，求证：BPE ∆≌CQE ∆；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE ∆∽CEQ ∆；并求当BP = a ，92CQ a = 时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）52PQ a =．【解析】（1）E 是中点，BE EC ∴=．AP AQ =，BP CQ ∴=． AB AC =， B C ∴∠=∠．BPE CQE ∴∆≅∆．（2）DEF FEC B BPE ∠+∠=∠+∠，而45B DEF ∠=∠=，BPE QEC ∴∠=∠． 45B C ∠=∠=，BPE CEQ ∴∆∆∽，BP BECE CQ∴=，92a BE a CE ∴=， 292CE BE a∴⋅=，BC ∴=．在Rt ABC ∆中，3AB AC a ==，32AQ a ∴=，2AP a =．∴在Rt APQ ∆中，52PQ a =．【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．AB CDEF【作业1】 如图，已知AB // EF // CD ，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论．【难度】★★ 【答案】略【解析】BED BCD S BE S BC ∆∆=，BED ABD S EDS AD ∆∆=，又ED ECAD BC=，1BED BED BCD ABD S S S S ∆∆∆∆∴+=，即111BCD ABD BEDS S S ∆∆∆+=． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比．【作业2】 已知AD 、AE 分别为的内、外角平分线，M 为DE 的中点，求证：22AB BMAC CM=．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】联结AM ， AD AE 、分别是内、外角的平分线，90DAE ∴∠=．M 是DE 的中点，MA MD ∴=，MA MD ∴=， MAC CAD ADM ∴∠+∠=∠．又ADM BAD B ∠=∠+∠，MAC CAD BAD B ∴∠+∠=∠+∠．BAD DAC ∠=∠，MAC B ∴∠=∠， MAC MBA ∴∆∆∽MC MA ACMA MB AB∴==22AB MB AC MA ∴=． 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识．课后作业ABCD EM【作业3】 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一 起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若AFG ∆绕点旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为点D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）．（1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；（2）ABC ∆的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角 坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D 使BD = CE ，求出点D 的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=；（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请证明 你的结论；若不成立，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）EAD EBA ∆∆∽；DAE DCA ∆∆∽；EBA ACD ∆∆∽；证明：ADE B BAD ∠=∠+∠ BAE DAE BAD ∠=∠+∠ 而B DAE ∠=∠ ADE BAE ∴∠=∠ 又B C ∠=∠ EBA ACD ∴∆∆∽； （2）解：ABC ∆、AGF ∆是等腰直角三角形， 45,FAG C ∴∠=∠=,ADC ADE ∠=∠DAE DCA ∴∆∆∽，AED CAD ∴∠=∠．ABC ∆是等腰直角三角形， AO BC ⊥， BO OC ∴=．DO OE ∴=，AB BDDC CF ∴=． AO BC ⊥， DA AE ∴=． AED ADE ∴∠=∠． CDA CAD ∴∠=∠． DC CA ∴=． 2BC =，AC ∴=DC ∴=1OD ∴=．()1D ∴；由此可知：222BD CE ED ===，222BD CE DE ∴+=；ABC DEF G图1图2（3）成立，将ABD ∆绕点A 旋转，使得AB 与AC 重合，如图，此时D 的对应点是H ，联结HE ，可得ABD ACH ∆≅∆．45ABD ACH ∴∠=∠=，BD HC =，AD AH =，BAD HAC ∴∠=∠；45ACB ∠=，90HCE ∴∠=在Rt HCE ∆中，222HC EC HE +=，45DAE ∠=，45BAD EAC ∴∠+∠=，即45EAC HAC ∴∠+∠= 45HAE ∴∠=， DAE HAE ∴∠=∠． ADE AHE ∴∆≅∆．DE HE ∴=． ∴222BD EC DE +=．【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合．。

相似三角形综合应用内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题模型一 角分线模型1、内角平分线AD 是ABC ∆的角平分线，则AB BDAC CD=2、外角平分线BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，则AB BDAC CD=模型二 梯形模型若AD BC a b =∶∶，则22ADE ABE BEC DEC S S S S a ab b ab =∶∶∶∶∶∶△△△△自检自查必考点DCBADCBAEDCBA考点一 与公共边有关的相似问题【例1】 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若90BFA ∠=︒，则下列四对三角形：①BEA △与ACD △；②FED △与DEB △；③CFD△与ABG △；④ADF △与CFB △，其中相似的为（ ）GABCDEFA ．①④B ．①②C ．②③④D ．①②③【例2】 如图，矩形ABCD 中，BE AC ⊥于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）FE DCB AA ．2212BF AF =B ．2213BF AF =C ．2212BF AF >D ．2213BF AF <【例3】 如图，ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，交BE 于G ，FD 、AC 的延长线交于点H ，求证：2DF FG FH =⋅.HG DF E C BA【例4】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ．求证：AC FA BC FD=． 中考满分必做题321FD E C BA【巩固】在Rt ABC △中，过直角顶点B 作斜边AC 的垂线BD ，取BC 的中点E ，连接ED 并延长交BA 的延长于点F ，求证：FD ABFB BC= F E DCB A【例5】 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2FD FB FC =⋅．EFD C B A【巩固】如上图，在ABC ∆中，2FD FB FC =⋅，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：AD 平分BAC ∠．EFD C B A【例6】 已知，如图，ABC ∆为等边三角形，120DAE ∠=︒且DAE ∠的两边交直线BC 于D E ，两点，求证：2BC BD CE =⋅．EDC B A考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD BC ∥，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒，将BEC ∆绕C 点旋转90︒使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连EF 交CD 于M ．已知53BC CF ==，，则:DM MC 的值为（ ）A ．5:3B ．3:5C ．4:3D ． 3:4MFEDCB A【例8】 如图，四边形ABCD 和BEFG 均为正方形，求::AG DF CE =_________.ABEGGFEDCBA【例9】 （1）如图1，等边ABC △中，D 为AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边EDC △，连接AE ，求证：AE BC ∥．（2）如图2，将（1）中的等边ABC △改为以BC 为底边的等腰三角形，所作的EDC △改成相似于ABC △，请问：是否有AE BC ∥？证明你的结论．EDCBA D EBCA考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图，ABC △内有一点P ，过P 作各边的平行线，把ABC △分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积123S S S ，，分别为112，，，则ABC △的面积是________． P S 3S 2S 1I HGFE D CBA【例11】 如图所示，ABCDEF 是一个凸六边形，P 、Q 、R 分别是直线BA 与EF 、FE 与CD 、DC 与AB的交点，S 、T 、U 分别是BC 与ED 、DE 与AF 、FA 与CB 的交点，如果AB PR CD =∶∶RQ EF QP =∶，求证：BC US DE ST FA TU ==∶∶∶．TSURQPFEDCBA【例12】 已知：ABC ∆的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．（1）如图l ，若ABC ∆为锐角三角形，且45ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，求证：FG DC AD +=；（2）如图 2，若135ABC ∠=︒，过点F 作FG BC ∥，交直线AB 于点G ，则FG DC AD 、、之间满足的数量关系是_________；（3）在（2）的条件下，若52AG =，3DC =，将一个45︒角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M N ，两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P Q ，两点，若32NG =，求线段PQ 的长． 图1GF E D CBA图2GFEDCBA图3NQ PABCD E FG MK HM GFEDCBAPQ N考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图，ABC ∆中，39085AC C BC AB ∠=︒==，，，点P 从B 出发，沿BC 方向以2/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向也以1/s 的速度移动，若P Q ，分别从B C ，出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？【例14】 如图，在矩形ABCD 中，126AB BC ==，，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2/秒的速度移动，点Q 沿DA 边以1/秒的速度从点D 开始移动，如果P Q ，同时出发，用t （秒）表示移动的时间(06)t ≤≤．（1）当t 为何值时，QAP ∆为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC 面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． （3）当t 为何值时，以点Q A P ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似．QPD CBA【例1】 如图，已知在等腰△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D ．若过A ，D ，C三点的圆O 的半径为3，则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似，若存在，则DP 的长为_________．（09年浙江丽江中考试题）【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，2），点P 是线段OA 上的一个动点（不与O ，A重合），过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ．连接AN 并延长交x 轴于点B ，连接ON ．设OQ ＝t ，△BMN 与△MON 相似时，则△BMN 的面积为_____________．（09年甘肃中考试题）【例3】 如图，∠ACB ＝90°，CD 是∠ACB 的平分线，点P 在CD 上，CP ＝2．将三角板的直角顶点放置在点P 处，绕着点P 旋转，三角板的一条直角边与射线CB 交于点E ，另一条直角边与直线CA 、直线CB 分别交于点F 、点G ．中考满分必做题BACDB M Q O PNAyx（1）当点F 在射线CA 上时 ①求证：PF ＝PE ．②设CF ＝x ，EG ＝y ，求y 与x 的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接EF ，当△CEF 与△EGP 相似时，求EG 的长．（12年中考模拟试题）【例4】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，AB ＝10，tan A ＝43．点P 是CE延长线上的一动点，过点P 作PQ ⊥CB ，交CB 延长线于点Q ．设EP ＝x ，BQ ＝y ． （1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）连接PB ，当PB 平分∠CPQ 时，求PE 的长；（3）过点B 作BF ⊥AB 交PQ 于F ，当△BEF 和△QBF 相似时，求x 的值．（2012年上海模拟试题）【例5】 如图1，在Rt △AOC 中，AO ⊥OC ，点B 在OC 边上，OB ＝6，BC ＝12，∠ABO ＋∠C ＝90°，动点M 和N 分别在线段AB 和AC 边上． （1）求证：△AOB ∽△COA ，并求cos C 的值；（2）当AM ＝4时，△AMN 与△ABC 相似，求△AMN 与△ABC 的面积之比；ACB F PD GE ACBPD备用图A PC Q EB ABCE备用图ABC E备用图（3）如图2，当MN ∥BC 时，以MN 所在直线为对称轴将△AMN 作轴对称变换得△EMN ．设MN＝x ，△EMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2012年上海模拟试题）【例6】 如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，点O 为AB 边的中点，点M 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），AD ⊥AB ，垂足为点A ．连接MO ，将△BOM 沿直线MO 翻折，点B 落在点B 1处，直线MB 1与AC 、AD 分别交于点F 、N ． （1）当∠CMF ＝120° 时，求BM 的长；（2）设BM ＝x ，y ＝ △CMF 的周长△ANF 的周长 ，求y 关于x 的函数关系式。