第6讲多因素试验资料的方差分析

第六讲 多因素试验资料的方差分析M ULTIFACTOR ANALYSIS OF V ARIANCE多因素试验是指同时研究n 个因素对试验指标的作用，以及它们的共同作用。

多因素试验的最大优点首先在于除了一次试验可以同时明确多个因素的效应，还可以分析出因素间的相互作用（互作），便于选定最优处理组合。

其次，多因素试验可增加误差项的自由度，降低试验误差。

因此比单因素试验精确度更高。

最后，多因素实验所得的结论确切、具体、论据充足。

如单独进行品种对比试验，结果只能粗略地明确品种间的优劣，如果与饲料水平、饲喂方式结合进行三因素试验，可具体明确用一定的饲喂方式在特定的饲料水平下，哪个品种优于哪个品种。

论据、内容都比单因素试验结果丰富。

田间试验中也常要考察哪个品种在何时播种以及在何种密度下的产量表现，同时还可以采用区组设计来安排重复，以便控制系统误差，提高试验的准确性。

现以三因素试验的资料介绍其方差分析方法。

第一节 线性模型与期望均方一、线性数学模型设A 、B 、C 三个因素各含a 、b 、c 个水平，共abc 个处理组合，每个处理组合重复数为r 。

则其任一观察值的线性数学模型为：kl j i l ijk jk ik j i k j i kl j i e y +++++++++=ραβγβγαγαβγβαμ)()()()(其中kl j i l ijk jk ik j i k j i e ,,)(,)(,)(,)(,,,,ραβγβγαγαβγβαμ依次表示总体平均数、A 、B 、C 主效应， A ×B 、A ×B 、B ×C 、A ×B ×C 互作效应，重复(区组)效应和随机误差。

在样本资料中依次分别由),(,x x x A -)(x x B -，)(x x C -，)(x x x x B A AB +--，)(x x x x C A AC +--，)(x x x x C B BC +--，)(x x x x x x x x BC AC AB C B A ABC ----+++，)(x x R -，)(x x x x R ABC ijkl +--进行估计。

B A x x x ,,,，R ABC BC AC AB C x x x x x x ,,,,,分别表示全试验总平均数，A 、B 、C 各水平均数、AB 、AC 、BC 、ABC 处理组合均数和重复均数。

二、期望均方三个因素试验的效应按固定模型，随机模型和混合模型的不同其期望均方的组成列于表6—1。

如果试验不采用区组设计，可在表中去掉区组的效应及相应的方差组分。

表6—1 三因素有重复试验的均方（MS ）和期望均方（EMS ）22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222eeeeABCe ABCe ABCe C B A BC e BCABC e BC e C B AC e ACABC e AC e C A AB ABC e ABABC e AB e B A Ce AAC AC ABC e C e C B BC e BBC AB ABC e B e B A AC e AAC AB ABC e A e A B e B e Re R e R MS r r r MS C B A ar ar r ar MS C B br br r br MS C A cr r cr r cr MS B A abr abr ar br r abr MS C acr ar acr ar cr r acr MS B bcr br bcr br cr r bcr MS A abc abc abc abc MS R C B A MS EMSσσσσσσσκσσσσσσκσσσσσσκσκσσσσσκσσσσσσσσκσκσσσσσσσκσκσσσσσσσκσσσκσσσκσ误差项或随机固定，、随机模型固定模型变异来源+++⨯⨯++++⨯++++⨯+++++⨯++++++++++++++++++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 由平方和（SS ）和自由度（df ）所得的各项均方（MS ），可依据歌变异来源项的期望均方（EMS ），分别选择合适的被比量均方（分母）来计算各项F 值，并进行F 检验。

各项平方和与自由度的剖分以下例加以说明。

第二节 三个因素试验结果的分析一、2×2×3三个因素试验的方差分析例1 试验安排三个因素分别是：A 因素为猪的饲喂方式限食（A 1）与不限食（A 2），a=2；B 因素为猪的性别公猪（B 1）与母猪（B 2），b=2；C 因素为饲料组成，基础饲料（C 1），基础饲料75%加麸25%（C 2），基础饲料和麸各占50%（C 3）；c=3。

由体重55±3（kg ）的公、母猪中随机取样48头大白猪（公、母各半），每12头一组，随机分配在12个（2×2×3）处理组中，共4组，r=4。

限饲日喂两次，以不剩料为限，体重达100±3（kg ）结束试验，试验结果如表6—2，原始数据减去500g ，即x ／=x －500。

表6—2 各试验组结束时日增重 x －500（g ）方差分析步骤（一）先制作四个辅助表：1、 把A 、B 当成一个因素与C 因素构成的辅助表①；2、 列出A 与B 两因素的二向表，辅助表②；3、 列出A 与C 两因素的二向表，辅助表③；4、 列出B 与C 两因素的二向表，辅助表④。

辅助表① 辅助表②72642209247325821691482595614202265464971917815136156531770560614596422122111321CAB T B A B A B A B A T C C C r = 726434223792371316912022355117811770432121B A T A A T B B cr ⨯= 辅助表③ 辅助表④7264220924732582371311361244133335511073122912494221321CAT A A T C C c br ⨯= 726422092473258234749951210126737921214126313154221321CB T B B TC C C ar ⨯=（二）计算各平方和与自由度：C=T/abcr=72642 /（2×2×3×4）=1099285.3总平方和：7.26942121148992222=-+++=-∑=C C x SS T Λ 总处理平方和：2.114244)482614596(2222=-+++=-∑=C C rT SS ABCABC Λ 重复平方和：7.2450322)1876173619241728(22222=-⨯⨯+++=-∑=C C abcT SS r r误差平方和：8.13067=--=r ABC T e SS SS SS SS 辅表②平方和：8.511643)1691202217811770(22222=-⨯+++=-∑=C C crT SS ABABA 因素平方和：8.546432)37133551(222=-⨯⨯+=-∑=C C bcr T SS AA B 因素平方和：4.2133432)34723792(222=-⨯⨯+=-∑=C C acrT SS B BA ×B 互作平方和：6.2436=--=⨯B A AB B A SS SS SS SS 辅表③平方和：2.530142)113612291249(2222=-⨯+++=-∑=C C brT SS ACAC ΛC 因素平方和：1.4598422)220924732582(2222=-⨯⨯++=-∑=C C abrT SS C CA ×C 互作平方和：3.156=--=⨯C A AC C A SS SS SS SS 辅表④平方和：2.791542)99512631315(2222=-⨯+++=-∑=C C arT SS BCBC ΛA ×C 互作平方和：7.1183=--=⨯CB BC C B SS SS SS SSA ×B ×C 互作平方和：3.369=------=⨯⨯⨯⨯⨯C B C A B A C B A ABC C B A SS SS SS SS SS SS SS SS df T =abcr －1=2×2×3×4－1=47 dr ABC =abc －1=2×2×3－1=11 df r =r ―1=4―1=3df e =df T ―df ABC ―df r =33[=（abc ―1）（r ―1）] df A =a ―1=2―1=1 df B =b ―1=2―1=1 df A ×B =（a ―1）（b ―1）=1 df C =c ―1=3―1=2 df A ×C =（a ―1）（c ―1）=2 df B ×C =（b ―1）（c ―1）=2bf A ×b ×c =（a ―1）（b ―1）（c ―1）=2 （三）列方差分析表，做F 检验：表6-3 三因素试验的方差分析表7.26942470.3968.130673317.1843.369249.19.5917.1183212.783.1562*15.66.24366.24361**81.51.22991.45982*39.54.21334.2133138.18.5468.54612.114241106.29.8167.24503总变异误差总处理重复变异来源<⨯⨯⨯<⨯⨯C B A C B C A B A C B A F MS SS df查F 值表：F 0.05(1,33)=4.15；F 0.01(2,33)=5.34，表明，饲料各水平间的增重效果存在极明显的差异，性别不同对增重亦有影响，不同饲喂方式与性别间存在着明显的交互作用。

不同饲喂方式(A) 间及A ×C 、B ×C 、A ×B ×C 互作间差异不明显。

有时为了提高F 检验的灵敏度，还可以将差异较不显着的互作合并于误差项中。

如可将A ×C 、A ×B ×C 互作及误差项合并，合并误差MSe=（156.3+369.3+13067.8）/（2+2+33）=367.42可作为F 检验的分母。

但本例仍用表6-3中的误差项检验。

（四）作多重比较（SSR 法）：性别（B ）仅分二个水平，故无须作多重比较，仅对C 及A ×B 间作多重比较。