单因素方差分析

第十三章单因素设计方差分析方差分析是由英国统计学家Ronald Fisher 研究出来的，并以他的名字命名的方法，称为F检验。

它可以解决单因素和多因素实验设计结果的数据处理问题。

早期的心理学实验是严格的实验室控制实验。

在实验中只允许研究者感兴趣的一种变量作为自变量，希望观察到自变量引起的因变量的变化。

自变量也称为因素(factor)，在实验中只安排一个自变量的实验叫做单因素实验。

经典心理学实验通常是单因素实验。

单因素的实验可以较明确的观察到自变量与因变量之间的因果关系，较适用于研究比较单纯的心理现象，但往往无法说明复杂的心理现象。

现代的实验设计将一些额外变量引入实验成为实验中新的因素，以期实验的结果更贴近真实的情景，从而发展了多因素的实验设计。

统计中用符号表示实验设计时，常用大写的英文字母表示因素，如因素A、因素B、因素C等；用S表示被试（subject）。

把S写在表示因素符号的后边、前面或中间，则表示不同的实验设计，例如：单因素被试间设计AS、单因素被试内设计SA、多因素被试间设计ABS、多因素被试内设计SAB、混合设计ASB。

第一节t检验与I类错误当两个总体没有差异，而统计推论的结论说有差异，就犯了I类错误；当两个总体存在差异，而统计推论的结论说没有差异，就犯了II类错误。

通常，I类错误的发生概率用α表示，II类错误发生的概率用β表示。

当采用多个两两t检验时，发生I类错误的概率就会增大。

I类错误的计算公式如下：I类错误发生的概率＝1－(1－α)C（13.1）所以当要比较3个或3个以上的总体平均数两两检验时，应采用方差分析（analysis of variance）的方法。

一个显著的F值表示，在所比较的总体平均数里至少有两个总体平均数存在着显著差异。

第二节方差分析的原理方差（V ariance）有时也称为变异数（V ariation），是表示一组数据离散程度的统计量。

方差的总体参数用符号σ2表示；方差的样本统计量用符号S2表示。

单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动。

例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。

前提：1总体正态分布。

当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。

2变异的相互独立性。

3各实验处理内的方差要一致。

进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。

一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩”有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。

2在控制变量为“组别”，3正态检验（P>0.05，服从正态分布）正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子列表”，将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。

因变量是用户所研究的目标变量。

因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。

标注个案是区分每个观测量的变量。

带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。

正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布）。

即p值≥0.05，数据服从正态分布。

4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表；点击“选项”选择“方差同质性检验”和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S-N-K”、“Dunnett’s C”，点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式”，点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定”，输出结果。

第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。

在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。

有的影响大些，有的影响小些。

为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。

方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。

方差分析开始于本世纪20年代。

1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。

因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。

Fisher1926年在澳大利亚去世。

现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。

在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。

若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。

下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。

1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。

某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。

每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。

除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。

单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⼀）单因素⽅差分析概念是⽤来研究⼀个控制变量的不同⽔平是否对观测变量产⽣了显著影响。

这⾥，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。

例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⼥的⽣育率，研究学历对⼯资收⼊的影响等。

这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。

（⼆）单因素⽅差分析步骤第⼀步是明确观测变量和控制变量。

例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⼥⽣育率、⼯资收⼊；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

第⼆步是剖析观测变量的⽅差。

⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⾯的影响。

据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽤数学形式表述为：SST=SSA+SSE。

第三步是通过⽐较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽐例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽐例较⼤，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽐例⼩，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽔平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽆差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽤的检验统计量是F统计量，即F值检验。

3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽬的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

4、给定显著性⽔平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⼀步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⼏个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽐较检验。

单因素方差分析单因素方差分析（One-WayAnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中的广泛使用的统计方法，它是研究多组数据样本的统计工具。

它可以检验不同组别间的差异是否具有统计学上的显著性。

在这里，说明其定义及计算原理，以及如何应用单因素方差分析，并介绍ANOVA在统计学中的重要地位。

一、单因素方差分析的定义单因素方差分析又称为“一元方差分析”，它是一种用于检验总体变量的分布不同组别间的均值是否有显著性差异的统计技术。

它可以用来检验两个或多个样本的变量的均值之间的差异。

单因素方差分析假设所有样本的总体方差应用同一个总体方差，并且没有其他因素对结果产生显著的影响。

二、单因素方差分析的计算原理单因素方差分析是基于抽样分布的概念，它以抽样分布提供的数据来评估不同组别之间的均值差异是否有统计上的显著性。

单因素方差分析之所以能够有效检验不同组别间的差异，是因为它基于抽样分布的统计原理，即总体均值小于零的均方差的期望值。

在实际运用中，单因素方差分析常用F-statistics来衡量总体均值大于零的样本均方差的可能性，如果F-statistics的检验结果显示p值低于设定的显著性水平，则可以推断出不同组别间的差异具有统计学上的显著性。

三、如何应用单因素方差分析应用单因素方差分析的基本思路是采集样本，搜集可用于分析的数据，然后通过单因素方差分析，对不同样本变量的均值差异进行检验，以评估各组别之间均值的显著性差异。

换句话说，单因素方差分析可以帮助研究人员判断不同组别之间的差异是否有统计学上的显著性。

四、单因素方差分析在统计学中的重要性单因素方差分析在统计学中占有重要地位，因为它可以控制多组样本之间的其他不相关因素，从而可以准确地检验不同组别之间的显著性差异。

此外，单因素方差分析也提供了一种可行的技术，可以根据差异的显著性判断某一变量是否有统计学上的显著差异。

总而言之，单因素方差分析是一种统计学中有用的工具，可以检验不同组别间的均值差异是否有显著性，而这也是它在统计学中的重要地位。

单因素方差分析单因素方差分析，也称单因子方差分析或单变量方差分析，是一种统计方法，用于比较两个或多个组间的均值是否存在显著差异。

在此文章中，我们将介绍单因素方差分析的基本概念、假设检验以及分析步骤等内容。

一、基本概念单因素方差分析是通过比较不同组的均值差异来进行统计推断的方法。

在该分析中，有一个自变量（也称为因素）和一个因变量。

自变量是分类变量，将数据分为不同的组别；因变量是连续变量，表示我们希望比较的具体测量结果。

二、假设检验在进行单因素方差分析时，我们需要先建立假设，并进行假设检验。

常用的假设为：- 零假设（H0）：不同组间的均值没有显著差异；- 备择假设（H1）：不同组间的均值存在显著差异。

三、分析步骤进行单因素方差分析的一般步骤如下：1. 收集数据：收集各组的观测值数据。

2. 计算总体均值：计算每组数据的均值，并计算总体均值。

3. 计算组内平方和（SSw）：计算每组数据与其组内均值之差的平方和。

4. 计算组间平方和（SSb）：计算每组均值与总体均值之差的平方和。

5. 计算均方：分别计算组内均方（MSw）和组间均方（MSb），即将组内平方和与组内自由度相除，将组间平方和与组间自由度相除。

6. 计算F值：计算F值，即组间均方除以组内均方。

7. 假设检验：根据给定的显著性水平，查找F分布表以比较计算得到的F值与临界值的大小关系。

8. 结果解释：根据假设检验的结果，判断不同组间的均值是否存在显著差异。

四、例子和应用单因素方差分析可以用于各种研究领域，如教育、医学、社会科学等。

以教育领域为例，我们可以通过单因素方差分析来比较不同教学方法对学生成绩的影响。

在进行该分析时，我们可以将学生分为两组，一组采用传统教学方法，另一组采用现代教学方法。

然后，我们收集每组学生的考试成绩，并对数据进行单因素方差分析。

通过比较组间的均值差异，我们可以判断不同教学方法对学生成绩是否存在显著影响。

五、总结单因素方差分析是比较不同组间均值差异的常用统计方法。

第10章单因素方差分析单因素方差分析(0ne-Way ANOV A)，又称一维方差分析，它能够对单因素多个独立样本的均数进行比较，可以用10种检验方法对变量间的均数进行两两比较(即多重比较检验)并给出方差分析表，还可以作出5种类型图形(Type of plots)和2种均数图形(Means plot options)10.1 单因素方差分析的计量资料[例10—1] 某社区随机抽取了30名糖尿病患者、IGT异常人和正常人进行载脂蛋白(mg／dL)测定，结果示于表10—1。

试问3组人群的载脂蛋白测定结果含量是否相同？(倪宗瓒．卫生统计学．第4版，北京：人民卫生出版社，2001.50)本例是一个完全随机设计的单因素方差分析。

已建立SAS数据集文件并保存Sasuser.onewav4。

(1)进入SAS／Win(v8)系统，单击Solutions－Analysis－Analyst，得到分析家窗口。

(2)单击File-open By SAS Name—Sasuser-0neway4—0K，调入数据文件。

(3)在“分析家”窗口单击Statistics-ANOV A-One way ANOV A，得到图10—1所示对话框。

本例因变量(Dependent)为A(载脂蛋白)，单击A—Dependent。

自变量(1ndependent)：B(3种人的组别)，单击B—Independent 。

图10.1 0ne—way ANOV A：0neway4(单因素方差分析)对话框(4)单击Tests按钮，得到图10—2所示对话框。

在此对话框的ANOV A(F—检验)选项中可进行如下设置。

Analysis of variance，方差分析。

Welch’s variance-weighted ANOV A，威尔奇方差—权重方差分析。

Tests for equal variance，相等方差检验，即方差齐性检验。

Barlett’s test，巴特尼特检验。

单因素方差‎分析单因素方差‎分析也称作‎一维方差分‎析。

它检验由单‎一因素影响‎的一个(或几个相互‎独立的)因变量由因‎素各水平分‎组的均值之‎间的差异是‎否具有统计‎意义。

还可以对该‎因素的若干‎水平分组中‎哪一组与其‎他各组均值‎间具有显著‎性差异进行‎分析，即进行均值‎的多重比较‎。

One-Way ANOVA‎过程要求因‎变量属于正‎态分布总体‎。

如果因变量‎的分布明显‎的是非正态‎，不能使用该‎过程，而应该使用‎非参数分析‎过程。

如果几个因‎变量之间彼‎此不独立，应该用Re‎p eate‎d Measu‎r e过程。

[例子]调查不同水‎稻品种百丛‎中稻纵卷叶‎螟幼虫的数‎量，数据如表5‎-1所示。

表5-1 不同水稻品‎种百丛中稻‎纵卷叶螟幼‎虫数数据保存在‎“DATA5‎-1.SAV”文件中，变量格式如‎图5-1。

图5-1分析水稻品‎种对稻纵卷‎叶螟幼虫抗‎虫性是否存‎在显著性差‎异。

1）准备分析数‎据在数据编辑‎窗口中输入‎数据。

建立因变量‎“幼虫”和因素水平‎变量“品种”，然后输入对‎应的数值，如图5-1所示。

或者打开已‎存在的数据‎文件“DATA5‎-1.SAV”。

2）启动分析过‎程点击主菜单‎“Analy‎z e”项，在下拉菜单‎中点击“Compa‎r e Means‎”项，在右拉式菜‎单中点击“0ne-Way ANOVA‎”项，系统打开单‎因素方差分‎析设置窗口‎如图5-2。

图5-2 单因素方差‎分析窗口3）设置分析变‎量因变量:选择一个或‎多个因子变‎量进入“Depen‎d ent List”框中。

本例选择“幼虫”。

因素变量:选择一个因‎素变量进入‎“Facto‎r”框中。

本例选择“品种”。

4）设置多项式‎比较单击“Contr‎a sts”按钮，将打开如图‎5-3所示的对‎话框。

该对话框用‎于设置均值‎的多项式比‎较。

图5-3 “Contr‎a sts”对话框定义多项式‎的步骤为：均值的多项‎式比较是包‎括两个或更‎多个均值的‎比较。