【文数答案】2021哈三中高三(二模)答案

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列命题中正确的是（）A. 对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0B. 函数y = log2(x + 1)在定义域内单调递减C. 若a > b > 0，则a - b > 0D. 若x > 1，则x^2 > x3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，公差d = 2，则S10 =（）A. 90B. 100C. 110D. 1204. 下列复数中，不属于第四象限的是（）A. 2 + 3iB. -1 - 2iC. -2 + 3iD. 1 - 2i5. 已知直线l的方程为2x - y + 1 = 0，则直线l的斜率为（）A. 2B. -2C. 1/2D. -1/26. 函数y = e^x在区间（0，+∞）上的（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数7. 已知等比数列{an}的公比q = 1/2，若a1 = 16，则第5项a5 =（）A. 2B. 4C. 8D. 168. 下列各式中，正确的是（）A. sin(π/2) = 1B. cos(π/3) = √3/2C. tan(π/4) = 1D. cot(π/6) = √39. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(-1) = 1，f(1) = -1，则f(0) =（）A. 0B. 1C. -1D. 210. 下列命题中正确的是（）A. 若a > b > 0，则a/b > 1B. 若a < b < 0，则a/b < 1C. 若a > b > 0，则a + b > 2D. 若a < b < 0，则a - b < 211. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，则数列的前n项和为（）A. n(n + 1)/2B. n(n + 1)(n + 2)/6C. n(n + 1)(n + 2)/4D. n(n + 1)(n + 2)/312. 下列复数中，不属于纯虚数的是（）A. 3iB. -2iC. 4iD. -5i二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数y = log2(x + 1)的定义域为__________。

2021年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，B＝{y|y＝4x﹣2}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，0）B．[0，1）C．（0，1）D．（﹣1，0]2．复数z满足（z+i）i＝﹣3+i，i为虚数单位，则z等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 3．2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60B．65C．70D．754．已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知平面向量，满足||＝||＝1，且|2+|＝|+|，则与的夹角为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣ln（﹣x），则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．x﹣y＝0B．x﹣y﹣2＝0C．x+y﹣2＝0D．3x﹣y﹣2＝0 7．已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C（点B在点A，C之间）若|BC|＝2|BF|，则|AF|＝（）A．B．4C．6D．128．设a＞1＞b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．B．（）2020＜（）2021C．log a＞log b D．a b＞b a9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π10．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（﹣π，π）上有且只有3个零点，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．11．设O为坐标原点，直线x＝2a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．32B．16C．8D．412．设函数f（x）＝e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sin x上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]二、填空题（共4小题）.13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为．14．（2﹣x2）（1﹣）5的展开式中的常数项为．15．已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB⊥AC，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为．16．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，则C＝，的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝1，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567年利润y（单位：亿元）29333644485259（1）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2021年（年份代号记为8）的年利润；（2）当统计表中某年年利润的实际值大于由（1）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（1）中预测的该公司2021年的年利润视作该年利润的实际值，现从2014年至2021年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：＝，＝﹣．20．已知F 1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆C 上，且|PF1|+|PF2|＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l椭圆C于M，N两点，记直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝3，求直线l方程．21．已知函数f（x）＝x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，求证：f（x2）＞﹣4．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l0的极坐标方程为θ＝（ρ≥0）．已知直线l1过点A（2，0），且l1与l0垂直．（1）求直线l1的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l1与曲线C交于M，N两点，求|AM|与|AN|的等比中项．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln（1﹣x2）}，B＝{y|y＝4x﹣2}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，0）B．[0，1）C．（0，1）D．（﹣1，0]解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{y|y＞0}；∴∁R B＝{y|y≤0}；∴A∩（∁R B）＝（﹣1，0]．故选：D．2．复数z满足（z+i）i＝﹣3+i，i为虚数单位，则z等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：∵（z+i）i＝﹣3+i，∴﹣i•i（z+i）＝﹣i（﹣3+i），化为z+i＝3i+1，∴z＝2i+1，故选：A．3．2020年11月，兰州地铁2号线二期开通试运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字，每人只能去一个地方，西站十字一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．60B．65C．70D．75解：根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去兰州老街、西固公园、西站十字．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81种情况，若西站十字没人去，即四位同学选择了兰州老街、西固公园．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16种情况，故西站十字一定要有人去有81﹣16＝65种情况，即西站十字一定有人去的游览方案有65种；故选：B．4．已知α为第二象限角，sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．解：∵sinα+cosα＝，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝﹣．故选：A．5．已知平面向量，满足||＝||＝1，且|2+|＝|+|，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：∵，∴，，，∴，∴，且，∴与的夹角为．故选：C．6．已知函数f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x2﹣ln（﹣x），则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．x﹣y＝0B．x﹣y﹣2＝0C．x+y﹣2＝0D．3x﹣y﹣2＝0解：根据偶函数的图象关于y轴对称，所以在关于y轴对称的两点处，函数值相等，且切线也关于y轴对称，所以切点关于y轴对称，切线斜率互为相反数．∴f（1）＝f（﹣1）＝1，故切点为（1，1），x＜0时，f′（x）＝，所以f′（1）＝﹣f′（﹣1）＝1．故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0．故选：A．7．已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C（点B在点A，C之间）若|BC|＝2|BF|，则|AF|＝（）A．B．4C．6D．12解：y2＝4x的焦点F为（1，0），准线为x＝﹣1，过B向准线作垂线垂足为D，过A点向准线作垂线垂足为E，准线与x轴交点为H，根据抛物线性质可知|BD|＝|BF∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠C＝30°，∠EAC＝60°又∵|AF|＝|AE|，∴∠FEA＝60°∴|AF|＝|AE|＝EF|，∵|EF|＝2|HF|＝4，即有|AF|＝4．故选：B．8．设a＞1＞b＞0，则下列不等式恒成立的是（）A．B．（）2020＜（）2021C．log a＞log b D．a b＞b a解：对于A：∵a＞1＞b＞0，∴＜，故A错误；对于B：2020＜2021，故＞，故B错误；对于C：∵a＞1＞b＞0，不妨令a＝2，b＝，则log a＝1，log b＝1，故C错误；对于D：∵a＞1＞b＞0，∴a b＞a0＝1，b a＜b0＝1，故D正确；故选：D．9．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．2πC．6πD．24π解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD．底面ABCD为矩形，其中PD⊥底面ABCD．AB＝1，AD＝2，PD＝1．则该阳马的外接球的直径为PB＝．∴该阳马的外接球的表面积为：．故选：C．10．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（﹣π，π）上有且只有3个零点，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．解：f（x）＝sinωx+cosωx＝sin（ωx+），由f（x）＝0得ωx+＝kπ，k∈Z，得ωx＝kπ﹣，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，则f（x）对应的零点为﹣，，，，，……，若f（x）在（﹣π，π）上有且只有3个零点，则，得，得＜ω≤，故选：A．11．设O为坐标原点，直线x＝2a与双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A．32B．16C．8D．4解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别将x＝2a，代入可得y＝±2b，即D（2a，2b），E（2a，﹣2b），则S△ODE＝×2a×4b＝4ab＝8，∴c2＝a2+b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴C的焦距的最小值为2×2＝4，故选：D．12．设函数f（x）＝e x+2x﹣a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝sin x上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[﹣1+e﹣1，1+e]B．[1，1+e]C．[e，1+e]D．[1，e]解：曲线y＝sin x上存在点（x0，y0），∴y0＝sin x0∈[﹣1，1]．函数f（x）＝e x+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．下面证明f（y0）＝y0．假设f（y0）＝c＞y0，则f（f（y0））＝f（c）＞f（y0）＝c＞y0，不满足f（f（y0））＝y0．同理假设f（y0）＝c＜y0，则不满足f（f（y0））＝y0．综上可得：f（y0）＝y0．令函数f（x）＝e x+2x﹣a＝x，化为a＝e x+x．令g（x）＝e x+x（x∈[﹣1，1]）．g′（x）＝e x+1＞0，∴函数g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．∴a的取值范围是[﹣1+e﹣1，e+1]．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为﹣4．解：在坐标系中画出可行域，如图所示由z＝3x﹣2y可得y＝，则﹣表示直线z＝3x﹣2y在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线3x﹣2y＝0经过点A时，z最小，由可得A（0，2），此时最小值为：﹣4，则目标函数z＝3x﹣2y的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．14．（2﹣x2）（1﹣）5的展开式中的常数项为﹣8．解：（2﹣x2）（1﹣）5的展开式中的常数项为2﹣•（﹣1）2＝﹣8，故答案为：﹣8．15．已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB⊥AC，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为16π．解：取BC中点E，连接AE，DE，因为AB⊥AC，所以△ABC的外心E为BC的中点，因为BC＝CD＝BD＝2，所以△BCD为等边三角形，故DE⊥BC，因为△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，所以DE⊥平面ABC，则球心O在DE上，因为△BCD中，BC＝CD＝BD＝2，所以DE＝3，OE＝＝1，因为AE＝＝，则R2＝OA2＝OE2+AE2＝1+3＝4，故R＝2，S＝4π×4＝16π．故答案为：16π．16．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知，则C＝，的取值范围为（﹣，0）∪（0，2）．解：因为，所以（2a﹣b）cos C＝cos B（cos B cos C≠0），所以（2sin A﹣sin B）cos C＝sin C cos B，即2sin A cos C＝sin（C+B）＝sin A，又sin A＞0，所以cos C＝，则C＝，因为cos B≠0，所以B∪（，），而＝2cos B，故∈（﹣，0）∪（0，2）．故答案为：，（﹣，0）∪（0，2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝1，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）{a n}是递增的等比数列，设公比为q，a1＝1，且q＞1，由2a2，a3，a4成等差数列，可得3a3＝2a2+a4，即3q2＝2q+q3，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），则a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（Ⅱ）＝＝＝﹣，则前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，AB⊥BD，BC⊥CD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC＝1，，二面角D﹣BA﹣C的大小为60°．（1）证明：平面MNC⊥平面BCD；（2）求直线BM和平面MNC所成角的余弦值．【解答】（1）证明：在Rt△BCD中，N是斜边BD的中点，∴．∵M、N分别是AD、BD的中点，∴MN∥AB，，又MC＝1，∴MN2+NC2＝MC2，即MN⊥NC．∵AB⊥BD，MN∥AB，∴MN⊥BD，∵BD∩NC＝N，BD、NC⊂平面BCD，∴MN⊥平面BCD，∵MN⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面BCD．（2）解：法一：由（1）知，MN⊥平面BCD，故AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC．又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，∴，．以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），，，，，，∴，，．设平面MNC的法向量，则，即，令，则y＝0，z＝1，∴，设直线BM和平面MNC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，∵θ∈[0，]，∴cosθ＝＝＝．故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．法二：由（1）知，MN⊥平面BCD，故AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，又AB⊥BD，∴∠CBD为二面角D﹣BA﹣C的平面角，即∠CBD＝60°，∴．取CN的中点E，连接BE，则BE⊥CN，且，又∵平面MNC⊥平面BCD，平面MNC∩平面BCD＝NC，∴BE⊥平面MNC，∴∠BME即为直线BM和平面MNC所成的角．在Rt△ABD中，，∴，∵∠BME∈[0，]，∴，故直线BM和平面MNC所成角的余弦值等于．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2014年至2020年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份20142015201620172018201920201234567年份代号x29333644485259年利润y（单位：亿元）（1）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2021年（年份代号记为8）的年利润；（2）当统计表中某年年利润的实际值大于由（1）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（1）中预测的该公司2021年的年利润视作该年利润的实际值，现从2014年至2021年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率．参考公式：＝，＝﹣．解：（1）根据表中的数列，计算可得，所以＝，故＝﹣＝43﹣5×4＝23，所以y关于x的线性回归方程为＝5x+23，当x＝8时，＝5×8+23＝63（亿元），所以该公司2021年的年利润预测值为63亿元；（2）由（1）可知2014年至2021年的年利润的估计值分别为28，33，38，43，48，53，58，63（单位：亿元），其中实际利润大于相应的估计值的有3年，故这8年中被评为A级利润年的有3年，被评为B级利润年的有5年，所以从2014年至2021年这8年中随机抽取2年，恰有1年为A级利润年的概率为＝．20．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l椭圆C于M，N两点，记直线AM，AN 的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝3，求直线l方程．解：（1）由，可得，∴椭圆C的方程为，将代入可得，∴b2＝1，∴椭圆方程为．（2）易求得右焦点F（1，0），若直线l斜率不存在时，k1+k2＝0，不合题意，舍去设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立方程：，化简得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设直线l与椭圆C的两个交点为M（x1，y1），N（x2，y2）．根据韦达定理得，而，又有k1+k2＝3，所以＝＝＝＝＝＝＝3，解得，∴直线．即．21．已知函数f（x）＝x2﹣4x+alnx（a∈R，a≠0），f′（x）为函数f（x）的导函数．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若存在实数x1，x2，且x1＜x2，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，求证：f（x2）＞﹣4．解：（1）函数f（x）＝x2﹣4x+lnx的导数为f′（x）＝2x﹣4+，则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣4+1＝﹣1，切点为（1，﹣3），可得切线的方程为y+3＝﹣（x﹣1），即为x+y+2＝0；（2）函数f（x）＝x2﹣4x+alnx的导数为f′（x）＝2x﹣4+（x＞0）＝，①当△＝16﹣8a＜0，即a＞2，2x2﹣4x+a＞0恒成立，可得f′（x）＞0恒成立．即有f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当△＝16﹣8a＞0，即a＜2，可得2x2﹣4x+a＝0的两根为x＝1±，②当0＜a＜2时，1+＞1﹣＞0，f′（x）＞0，可得x＞1+，或0＜x＜1﹣；f′（x）＜0，可得1﹣＜x＜1+，即f（x）的增区间为（1+，+∞），（0，1﹣）；减区间为（1﹣，1+）；③当a≤0时，1+＞0，1﹣≤0，f′（x）＞0，可得x＞1+；f′（x）＜0，可得0＜x＜1+，即f（x）的增区间为（1+，+∞）；减区间为（0，1+）；（3）证明：函数f（x）＝x2﹣4x+alnx的导数为f′（x）＝2x﹣4+（x＞0）＝，由题意可得x1，x2是2x2﹣4x+a＝0的两根，且x2＝1+，0＜a＜2，可得x2∈（1，2），设g（x）＝f（x）+4＝x2﹣4x+alnx+4，1＜x＜2，又a＝4x﹣2x2，可得g（x）＝x2﹣4x+（4x﹣2x2）lnx+4，g′（x）＝2x﹣4+（4﹣4x）lnx+（4x﹣2x2）•＝4（1﹣x）lnx，由1＜x＜2可得4（1﹣x）lnx＜0，即g（x）在（1，2）递减，则g（x）∈（0，1），显然g（x）＞0恒成立，则f（x2）＞﹣4．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l0的极坐标方程为θ＝（ρ≥0）．已知直线l1过点A（2，0），且l1与l0垂直．（1）求直线l1的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设直线l1与曲线C交于M，N两点，求|AM|与|AN|的等比中项．解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x2＝2y；射线l0的极坐标方程为θ＝（ρ≥0）．已知直线l1过点A（2，0），且l1与l0垂直．所以直线l1的斜率为，且经过点A（2，0），整理得直线l1的直角坐标方程为，根据，转换为极坐标方程为．（2）直线l1的直角坐标方程为，转换为参数方程为（m为参数），代入x2＝2y，得到，所以|AM||AN|＝，由于|AM|与|AN|的等比中项k，即，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）的最小值为．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝m，求证：．解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣m|﹣|x+2m|＝，∴f（x）∴f（x）在区间（﹣∞，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣3m＝﹣，∴m＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，要证，只要证b4+a4≥ab，即证（a2+b2）2﹣2a2b2≥ab，即证2a2b2+ab﹣1≤0，即证（2ab﹣1）（ab+1）≤0，即证2ab≤1，即证2ab≤a2+b2，显然1＝a2+b2≥2ab，当且仅当a＝b＝时取等号．∴．。

2021-2022年高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量 含答案一、选择题1 ．（上海市普陀区xx 高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）如图,△是边长为的正三角形,点在△所在的平面内,且(为常数).下列结论中,正确的是.当时,满足条件的点有且只有一个..当时,满足条件的点有三个..当时,满足条件的点有无数个..当为任意正实数时,满足条件的点是有限个.2 ．（上海市浦东区xx 高考二模数学（文）试题 ）已知则与的夹角为二、填空题 3 ．（上海市闸北区xx 高三第二学期期中考试数学(文)试卷）在平面直角坐标系中,以向量与向量为邻边的平行四边形的面积为____.4 ．（上海市徐汇、松江、金山xx 高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,有以下命题成立:设点是线段的三等分点,则有.将此命题推广,设点是线段的六等分点,则()12345OA OA OA OA OA OA OB ++++=+ .5 ．（上海市普陀区xx 高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若圆的半径为3,单位QPO B A第13题图第18题向量所在的直线与圆相切于定点,点是圆上的动点,则的最大值为___________6 ．（上海市闵行区xx高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知的重心为,则____________.7 ．（上海市闵行区xx高三4月质量调研考试数学(文)试题）已知是夹角为的两个单位向量,向量若,则实数的值为_____________.8 ．（上海市黄浦区xx4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）在正△中,若,则_____. 9．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）在中,,,,则面积等于__________. 10．（上海市长宁、嘉定区xx高考二模数学（文）试题）已知向量bka+=-=若不超过5,则k的取值范围是____________.a||).,5(),2,2(b三、解答题11．（上海市闸北区xx高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分14分已知和,,且,求的值.12．（上海市浦东区xx高考二模数学（文）试题）本题共有2个小题,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分9分.已知向量向量与向量的夹角为,且.(1)求向量 ;(2)若向量与共线,向量,其中、为的内角,且、、依次成等差数列,求的取值范围.上海市16区xx 高三二模数学（文）试题分类汇编4：平面向量参考答案一、选择题1. C2. ;二、填空题3. ;4. ;5.6. ;7. ;8. 2;9. ;10.三、解答题 11. )sin cos ,2sin (cos θθθθ++-=+22)sin (cos )2sin (cos θθθθ+++-)sin (cos 224θθ-+=.由,得.25244cos 14sin 2±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-±=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πθπθ 502314sin 4cos 4cos 4sin 44sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴ππθππθππθθ或 ,另解:(2sin cos ,sin cos )a b θθθθ+=-++ 222128(2sin cos )(sin cos )4cos )25a b θθθθθθ∴+=-+++=--= ①由298(sin cos )12sin cos 625θθθθ-=-=,得,sin cos 25θθ∴+==- ② 由①、②得12.解:(1)设.由,得 ①又向量与向量的夹角为,得 ②由①、②解得或,或(2)向量与共线知; 由知22,,0333B AC A πππ=+=<< ()212cos ,cos cos ,cos 2C n p A C A ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭, 2221cos 21cos 2cos cos 22A C n p C A --∴+=+=+ 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2510,2,1cos 2333332A A A πππππ⎛⎫<<<+<∴-≤+< ⎪⎝⎭, 得,即, q34668 876C 蝬32435 7EB3 纳33244 81DC 臜39218 9932 餲.x 36369 8E11 踑 36539 8EBB 躻 27970 6D42 浂29310 727E 牾20464 4FF0 俰。