2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为()1+iA. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)2.已知集合M={x|x2+x−6≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−3,2]C. (0,3]D. [−3,+∞)3.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 6πB. 8πC. 7πD. 11π4.下列说法正确的是()A. f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，则f(x)≥0的充分条件是b2−4ac≤0B. 若m，k，n∈R，则mk2>nk2的充要条件是m>nC. 对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，x02≥0D. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β5.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i6.某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A. 10B. 12C. 16D. 207.阅读下面的程序框图，若输入a,b,c的值分别是2，1，7，则输出的值是()A. 3B. 6C. 8D. 98. 若0<α<π2，cos(π3+α)=13，则cosα=( )A. 2√2+√36B. 2√6−16C. 2√6+16D. 2√2−√369. 已知数列{a n }是公差为12的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.若a 2,a 6,a 14成等比数列，则S 5=( )A. 252B. 35C. 352D. 2510. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (1,+∞)D. (12,+∞)11. 点S ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，S ，O 在平面ABC 的同侧，∠ABC =120°，AB =BC =2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S −ABC 的体积为√3，则该球的表面积为( )A. 18πB. 16πC. 20πD. 25π12. 设f(x)=e x +b x +c ，若方程f(x)=x 无实根，则( )A. b >1，c <1B. b >1，c >−1C. b ≤1，c <1D. b ≤1，c >−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=9，|b ⃗ |=4，夹角为120°，a ⃗ ⋅b⃗ = ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2，则2x −y 的最大值为______．15. 设A 是抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与双曲线C 2：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点．若点A 到抛物线C 1的准线距离等于32p ，则双曲线C 2的离心率等于______．16. 有三家分别位于△ABC 顶点处的工厂，已知AB =AC =5，BC =6，为了处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP ，BP ，CP ，则AP +BP +CP 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π．2(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．(1)求证：AB1⊥平面A1BC．(2)当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．19.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21. 求证：1+122+132…+1n 2<2−1n (n ∈N ∗,n ≥2)22. 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数).点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,π6)，(ρ2,23π)． (1)写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(Ⅰ)解不等式：f(x)+f(x −1)≤2；(Ⅱ)当a >0时，不等式2a −3≥f(ax)−af(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．2.答案：A解析：本题考查了一元二次不等式的解法和集合的交集运算.先解不等式，再求交集．解：因为M={x|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，N={x|x>0}，所以M∩N=(0,2]，故选A．3.答案：C解析：解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S=2π×1×2+12×2π×1×2+π×12=7π，故选：C．由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.答案：D解析：解：对于A，当a<0时，由b2−4ac≤0不能得到f(x)≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2>nk2的一定能推出m>n，但是，当k=0时，由m>n不能推出mk2>nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02<0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D由充分必要条件的判定方法判断A，B，直接写出全程命题的否定判断C，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可以判断D本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定、命题的逆否命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，空间直线与平面位置关系的判断，属于中档题．5.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．6.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．根据题意，用间接法分析：先计算从2名女教师和4名男教师中任选3人的选法数目，再分析其中没有女生，即全部为男生的选法数目，分析可得答案．解析：解：根据题意，从2名女教师和4名男教师中任选3人，有C63=20种选法，其中没有女生，即全部为男生的选法有C43=4种，则少有1名女教师要参加这项工作的选法有20−4=16种；故选C．7.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．根据模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a=2，b=1，c=7，不满足a<b，所以执行m=b+c=8;故选C．8.答案：C解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．由已知角的范围可求π3+α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，由于α=(π3+α)−π3，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵0<α<π2，∴π3<π3+α<5π6，∴sin(π3+α)=√1−cos2(π3+α)=2√23，∴cosα=cos[(π+α)−π]=cos(π+α)cosπ+sin(π+α)sinπ=13×12+2√23×√32=1+2√66．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了等差数列的求和与等比数列的性质，属于基础题．根据等比数列的性质求得等差数列的首项，然后求解其前n项和即可．解：∵a 2,a 6,a 14成等比数列，∴a 62=a 2a 14，即(a 1+5×12)2=(a 1+12)(a 1+13×12)， 解得a 1=32， ∴S 5=5a 1+5×42d =152+5=252，故选A ．10.答案：A解析：本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 解：x ∈(12,+∞)时，x 2+32x =(x +34)2−916>1，函数f (x )=log a (x 2+3x2)(a >0且a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0， 所以a >1，∴函数f(x)的定义域为x 2+32x >0， 解得x <−32或x >0，由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间(0,+∞)， 故选A ．11.答案：D解析：解：三棱锥O −ABC ，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且AB =BC =2，∠ABC =120°， ∴BC =2√3，∴∴△ABC 外接圆半径2r =2√3sin120°=4，即r =2∴S △ABC =12×2×2×sin120°=√3， ∵三棱锥S −ABC 的体积为√3，∴S到底面ABC的距离ℎ=3，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S−ABC补成一个同底等高的棱柱，则圆心O到平面ABC的距离d=32．球的半径为：R2=d2+r2=254球的表面积：4πR2=25π．故选：D求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.答案：D解析： f(x)>x恒成立是解题关键，本题考查函数零点与方程的根的关系，属基础题．解：由题意，若方程f(x)=x无实根，可得 f(x)>x恒成立，e x>(1−b)x−c对任意x恒成立．∴1−b>0, −c<1 或b=1,−c≤0，故选D．13.答案：−18)=−18．解析：解：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=9×4×cos120°=9×4×(−12故答案为：−18．利用数量积定义即可得出．本题考查了数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：先根据约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2画出可行域，由{x =2x +y =2得A(2,0)， 当直线z =2x −y 过点A(2,0)时， z 最大是4， 故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.答案：√3解析：解：不妨设A(x 0,y 0)，y 0>0，由题意可得x 0+p2=32p ，∴x 0=p ， 又A 在抛物线C 1：y 2=2px(p >0)上，所以y 0=√2p ，从而，ba =√2， 可得c 2−a 2a 2=2，所以e =ca =√3．故答案为：√3．设出A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为32p ，得到A 的横坐标，利用A 在抛物线上，求出a ，b 关系，然后求解离心率即可．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．16.答案：495解析：解：由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245， ∵4+6>5+245，∴AP +BP +CP 的最小值为495． 故答案为：495．由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245，即可求出AP +BP +CP 的最小值．本题考查AP +BP +CP 的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵a =1，b =√2，B =A +π2．∴A 为锐角，∴由正弦定理可得：sinA =asinB b=1×sin(A+π2)√2=√2，两边平方整理可得：sin 2A =1−sin 2A2，解得：sinA 2=13，有sinA =√33．(2)∵C =π−A −B =π2−2A ，∴由正弦定理可得：c =asinC sinA=1×sin(π2−2A)sinA =cos2A sinA=2cos 2A−1sinA=1−2sin 2A sinA=1−2×(√33)2√33=√33， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×√33×√33=√26．解析：(1)由已知可得A 为锐角，由正弦定理可得sinA =asinB b=cosA √2，两边平方整理可解得sin A 的值．(2)利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得c ，根据三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题． 18.答案：解：(1)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，BC ⊥AB ，且AA 1=AB =2 ∴A 1A ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC∴A 1A ⊥BC又∵BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A∴BC ⊥平面AA 1B 1 B ，平面AB 1⊂平面ABB 1A ∴BC ⊥AB 1∵四边形A 1ABB 1是正方形∴A 1B ⊥AB 1又∵BC ∩A 1B =B∴AB 1⊥平面A 1BC(2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ∵BC ⊥平面A 1ABB 1∴∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ∵BC =2∵AO =12AB 1=√2，sin∠ACO =sinθ=AOAC∴AC═2√2,AO =√2在Rt △AOC 中，sinθ=12∴θ=π6∴BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6 解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ， 则B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(2,0，0)A 1(0，2，2) 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC B 1(0,0，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) ∵直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ∴sinθ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12即BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6解析：(1)证明BC ⊥AB 1，A 1B ⊥AB 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB 1⊥平面A 1BC ． (2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ，说明∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ，在Rt △AOC 中，求解直线AC 与平面A 1BC 所成的角．解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，求出B ，A ，C ，A 1，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．19.答案：(1)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况． 其中a ≥b 的情况由(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P =39=13．(2)因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人，设抽到B 班同学的人数为X ， ∴X 的可能取值为1，2，3． P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 20C 53=110．∴X 的分布列为：数学期望为E(X)=1×310+2×35+3×110=95．解析：本题考查茎叶图和古典概型及离散型随机变量分布列和期望问题，属于一般题． (1)根据茎叶图解决概率问题；(2)离散型随机变量的分布列和数学期望问题．20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．21.答案：证明：∵1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n ．解析：利用1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，即可证明结论． 本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ，(φ为参数)，消去参数φ，化为普通方程是x 2+(y −3)2=9； 由{x =ρcosθy =ρsinθ,(θ为参数)． ∴曲线C 的普通方程可化为极坐标ρ=6sinθ，(θ为参数)． (2)方法1：由A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)是圆C 上的两点， 且知，∴ |AB|为直径，∴|AB |=6．方法2：由两点A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)化为直角坐标中点的坐标是A(3√32,32)，B(−3√32,92)， ∴ A 、B 两点间的距离为|AB |=6．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．(1)消去参数φ，把曲线C 的参数方程化为普通方程；由公式{x =ρcosθy =ρsinθ，把曲线C 的普通方程化为极坐标方程；2)方法1：由A 、B 两点的极坐标，得出，判定AB 为直径，求出|AB|；方法2：把A 、B 化为直角坐标的点的坐标，求出A 、B 两点间距离|AB|．23.答案：解：(Ⅰ)原不等式等价于：当x ≤1时，−2x +3≤2，即12≤x ≤1．当1<x ≤2时，1≤2，即1<x ≤2． 当x >2时，2x −3≤2，即2<x ≤52． 综上所述，原不等式的解集为{x|12≤x ≤52}.(Ⅱ)当a >0时，f(ax)−af(x)=|ax −1|−|ax −a|=|ax −1|−|a −ax|≤|ax −1+a −ax|=|a −1|，所以，2a −3≥|a −1|，解得a ≥2．解析：(Ⅰ)分当x ≤1时、当1<x ≤2时、当x >2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a >0时，利用绝对值三角不等式可得f(ax)−af(x)≤|a −1|，结合题意可得2a −3≥|a −1|，由此解得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （ ） A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,4} D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）A.5B.45C.25D.5【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12 yx=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x y C. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=.则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C.(,)2e-∞ D.(,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x -=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由2sin c A=，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________．【答案】17 【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n-1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u u v v 得()1,1,1m v =-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u u u v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v u u u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DBλ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得x =2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12y y +=……③ 212219k y y k=-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y k λ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+， 若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；（2）已知+∈R c b a ,,，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可；（2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立.（2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。
