课时作业15：2.3.1 抛物线及其标准方程
- 格式：docx
- 大小：80.73 KB
- 文档页数：5
§2.3 抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(4,0) D．(－4,0)
答案 B
解析 ∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．
2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2.由题设知－p2＝－1，即p＝2，故焦点坐标为()1，0.故选B.
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.12 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－p2，它与圆相切，所以必有3－－p2＝4，p＝2.
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
答案 B
解析 由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
5．过点F(0,3)，且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )
A．y2＝12x B．y2＝－12x
C．x2＝12y D．x2＝－12y
答案 C
解析 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x2＝12y. 6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－43 B．－1 C．－34 D．－12
答案 C
解析 因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－p2，且点A(－2,3)在准线上，故－p2＝－2，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝3－0－2－2＝－34.
7．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )
A．2 B．22
C．23 D．4
答案 C
解析 抛物线C的准线方程为x＝－2，焦点F(2，0)，由|PF|＝42及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝32，从而纵坐标yP＝±26.
∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝12×2×26＝23.
二、填空题
8．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.
答案 －18
解析 y＝ax2可化为x2＝1ay.
∵准线方程为y＝2，∴a<0且－14a＝2，
∴a＝－18.
9．若椭圆x23＋4y2p2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为________．
答案 6
解析 由题意知，左焦点为－p2，0，则c＝p2.
∵a2＝3，b2＝p24，
∴3＝p24＋p24，得p＝6.
10．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________． 答案
1516
解析 抛物线方程化为x2＝14y，准线为y＝－116.由于点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离也为1，所以点M的纵坐标等于1－116＝1516.
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
考点 求抛物线的最值问题
题点 根据抛物线定义转换求最值
答案 2
解析 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝|4＋6|－32＋42＝2.
三、解答题
12．已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；
(2)3x2＋5y＝0；
(3)y2＝a2x(a≠0)．
考点 抛物线的几何性质
题点 与准线、焦点有关的简单几何性质
解 (1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，p2＝32，
所以焦点坐标为－32，0，准线方程为x＝32.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－53y，
知抛物线开口向下，
2p＝53，p＝56，p2＝512，
所以焦点坐标为0，－512，准线方程为y＝512. (3)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝a22，p2＝a24，
所以焦点坐标为a24，0，准线方程为x＝－a24.
13．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x2a2－y2b2＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点32，6，求抛物线和双曲线的方程．
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点32，6代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点32，6到两焦点距离之差2a＝1，
所以双曲线的标准方程为x214－y234＝1.
14．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．
考点
题点
答案 17－1
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径r＝1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|－r＝17－1.
15．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
解 (1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，
且p2＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线
x＝－1的距离为2， 即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝2－－41－4＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为|－4|22＋12＝455.
