课时作业15：2.3.1 抛物线及其标准方程
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§2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)
考点 抛物线的标准方程
题点 与准线、焦点有关的问题
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－p2，由题设知－p2＝－1，即p＝2，故焦点坐标为()1，0，故选B.
2．一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为( )
A．x＝1 B．x＝116 C．y＝－1 D．y＝－116
考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程
题点 求抛物线的准线方程
答案 C
解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考点
题点
答案 D
解析 抛物线的准线为y＝－1，∴点A到准线的距离为5， 又∵点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，
∴距离为5.
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－43 B．－1 C．－34 D．－12
考点
题点
答案 C
解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
∴p2＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．
又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝0－32＋2＝－34.
5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
考点 抛物线的标准方程
题点 抛物线方程的应用
答案 C
解析 由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由定义知点P到准线的距离为4，故p2＋2＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为( )
A．2 B．22 C．23 D．4
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求点坐标
答案 C
解析 抛物线C的准线方程为x＝－2，焦点F(2，0)，由|PF|＝42及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝32，从而纵坐标yP＝±26. ∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝12×2×26＝23.
7．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于( )
A.92 B．6 C.72 D．3
考点
题点
答案 D
解析 F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，
若FA→＋FB→＋FC→＝0，则F为△ABC的重心，
∴A，B，C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，
即等于32，
∴|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝xA＋12＋xB＋12＋xC＋12＝3.
二、填空题
8．若抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程是y＝2，则a＝________.
考点 抛物线的标准方程
题点 与准线、焦点有关的问题
答案 －18
解析 抛物线方程化为标准形式为x2＝1ay.
其准线方程为y＝－14a＝2，所以a＝－18.
9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
考点 抛物线的定义
题点 抛物线定义的直接应用
答案 9
解析 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线为x＝－1.由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9. 10．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
考点 求抛物线的最值问题
题点 根据抛物线定义转换求最值
答案 2
解析 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝|4＋6|－32＋42＝2.
三、解答题
11．已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；
(2)3x2＋5y＝0；
(3)y2＝a2x(a≠0)．
考点 抛物线的几何性质
题点 与准线、焦点有关的简单几何性质
解 (1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，p2＝32，
所以焦点坐标为－32，0，准线方程为x＝32.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－53y，
知抛物线开口向下，
2p＝53，p＝56，p2＝512，
所以焦点坐标为0，－512，准线方程为y＝512.
(3)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝a22，p2＝a24， 所以焦点坐标为a24，0，准线方程为x＝－a24.
12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x2a2－y2b2＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点32，6，求抛物线和双曲线的方程．
考点 抛物线的几何性质
题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题
解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．将点32，6代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点32，6到两焦点距离之差2a＝1，
所以双曲线的标准方程为x214－y234＝1.
13．(2018·潍坊联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．
考点
题点
答案 17－1
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径r＝1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|－r＝17－1.
14．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．
考点 抛物线的标准方程
题点 求抛物线方程
解 (1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，
所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线， 且p2＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线
x＝－1的距离为2，
即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，
即A(1,2)，
同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝2－－41－4＝－2，
故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为|－4|22＋12＝455.
