学案1：2.3.1 抛物线及其标准方程
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2.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1.理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程及其推导过程,并能根据条件确定抛物线的标准方程.
2.通过抛物线的定义的学习,加深对离心率的理解.
学习过程
一、预习提示
问题1:抛物线是如何定义的?
问题2:如何理解抛物线y2=2px(p>0)中p的几何意义?
问题3:画出抛物线的四种形式的图象,并写出它的标准方程,焦点坐标及准线方程.
问题4:如何来理解抛物线的定义?
问题5:求解抛物线的标准方程时,如何建立坐标系?
二、预习检测 问题1:抛物线y=-2x2的准线方程是 ( )
(A)x=-. (B)x=. (C)y=. (D)y=-.
问题2:若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 ( )
(A)-2. (B)2. (C)-4. (D)4.
问题3:抛物线x2=-2y上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于 .
三、课堂探究
【问题1】(1)已知抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),求抛物线的标准方程;
(2)已知抛物线的焦点在坐标轴上,且抛物线过点(-3,2),求它的标准方程.
【拓展问题1】求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.
【拓展问题2】抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10,求点P的坐标.
【问题2】(1)点M与点F(0,-2)的距离比它到直线l:y-3=0的距离小1,求点M的轨迹方程;
(2)已知圆C的方程为x2+y2-10x=0,求与y轴相切且与C外切的动圆圆心P的轨迹方程.
【拓展问题1】已知点P(m,3)是抛物线y2=2x上的动点,点P在y上的射影为M,点A的坐标是A(,4),则+的最小值是 ( ) (A). (B)4. (C). (D)5.
【拓展问题2】已知直线l:x+1=0及圆C:(x-2)2+y2=1,若动圆M与l相切,且与圆C外切,试求动圆圆心M的轨迹方程.
四、当堂达标
1.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则点P坐标为 ( ) (A)(,±). (B)(,±). (C)(,±). (D)(,±).
2.焦点在x轴,且经过点(2,2)的抛物线的标准方程是 .
3.求与椭圆+=1有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线的方程.
答案
一、问题1:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点;定直线l叫做抛物线的准线.
问题2:抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,焦点坐标为(,0),所以p表示焦点到准线的距离.如果抛物线y2=2px(p>0)的标准方程已给出,则焦点的横坐标为一次项系数的,焦点在其它位置时,也有相类似的规律.
问题3:
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) (,0) x=-
y2=-2px(p>0) (-,0) x=
x2=2py(p>0) (0,) y=-
x2=-2py(p>0) (0,-) y=
问题4:(1)抛物线的定义实质上可以归结为“一动三定”,即一个动点;一个定点F,即焦点;一条定直线l,即准线;一个定值,即动点到焦点和准线的距离之比为定值1.
(2)定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过定点F且垂直于l的一条直线.
问题5:根据抛物线的定义导出它的标准方程时,要考虑怎样选择坐标系才能得到标准方程.过抛物线的焦点F做准线的垂线,垂足为K,则一般将直线KF作为一条坐标轴,线段KF的中点作为原点,这样建出的坐标系得到的抛物线的方程最简单,不含常数项. 二、预习检测
问题1:C 解析:抛物线的标准方程为x2=-y,故准线方程为y=.
问题2:D 解析:椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以抛物线y2=2px的焦点为(2,0),则p=4.
问题3: 解析:点N到焦点F的距离等于其到准线y=的距离,则点N到直线y=1的距离等于.
三、【问题1】解析:(1)∵抛物线的焦点在y轴上,并且经过点M(,-2),
∴可设它的标准方程为x2=-2py(p>0).
又∵点M在抛物线上,
∴()2=-2p(-2),即p=,
∴所求方程是x2=-y.
(2)设所求的抛物线方程为
y2=-2px或x2=2py(p>0),
∵抛物线过点(-3,2),∴22=-2p(-3)或(-3)2=2p·2,
得p=或p=,故所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.
【拓展问题1】解析:抛物线的焦点一定在坐标轴上,故焦点为(4,0)或(0,-3),当焦点为(4,0)时,抛物线的标准方程为y2=16x,当焦点为(0,-3)时,抛物线的标准方程为x2=-12y.
【拓展问题2】解析:设点P的坐标为(x,y),∵|PF|=10,∴1+x=10,∴x=9,把x=9代入方程y2=4x中,解得y=±6,∴点P的坐标是(9,±6).
【问题2】解析:(1)设点M坐标为(x,y),
∵点M到点F的距离比它到直线l:y=3的距离小1,
∴点M到点F的距离与它到直线l:y=2的距离相等,
即点M的轨迹是以F(0,-2)为焦点,直线l:y=2为准线的抛物线. ∵=2,且开口向下,∴点M的轨迹方程为x2=-8y.
(2)设P点坐标为(x,y),半径为R,
∵动圆P与y轴相切,∴R=|x|.
∵动圆与定圆C:(x-5)2+y2=25外切,
∴|PC|=R+5.
∴|PC|=|x|+5.
当点P在y轴上或y轴右侧时,即x≥0,则|PC|=x+5,即点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,故方程为y2=20x(x≥0);
当点P在y轴左侧时,即x<0,则|PC|=-x+5,此时点P的轨迹是x轴的负半轴,即方程y=0(x<0).
故点P的轨迹方程为y2=20x(x≥0)或y=0(x<0).
【拓展问题1】C
解析:延长PM交抛物线的准线于N,如图,则+=,由抛物线定义知,+==,则只有当A,P,F三点共线时,++有最小值:=5,所以,+的最小值为.
【拓展问题2】解析:设M(x,y),M到直线l的距离为d.
∵动圆M与l相切且与圆C外切,∴|MC|=d+1.
∴动点M到定点C的距离与到定直线x=-2的距离相等.
∴动点M的轨迹是以C(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,其方程为y2=8x.
由问题2及其拓展可以得出什么结论?
求动点的轨迹的一个常用方法:几何定义法,所谓“几何”,是指挖掘条件的几何意义,所谓“定义”,是指所挖掘的几何意义是否符合某种曲线的定义.
四、1.B 解析:设P(x,y),则点P到焦点的距离为2, ∴点P到准线x=-的距离也是2,即x+=2,
∴x=,∴y=±,∴选B.
2.y2=6x 解析:设抛物线的标准方程为y2=2px,代入点(2,2)得p=3,所以方程为y2=6x.
3.解析:根据抛物线的性质,所求抛物线的方程应为标准方程.椭圆的焦点为(1,0)和(-1,0),当抛物线的焦点为(-1,0)时,抛物线焦点在x轴负半轴,此时方程为y2=-4x,同理可求,焦点为(1,0)时,抛物线的标准方程为y2=4x,所以所求的方程为y2=4x或y2=-4x.
