课时作业8：2.4.1 抛物线及其标准方程
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2．4.1 抛物线及其标准方程
基础梳理
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离______的点的轨迹叫做抛物线．________叫做抛物线的焦点，________叫做抛物线的准线．
想一想：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
2．抛物线方程的几种形式．
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px
(p＞0) p2，0 x＝－p2
y2＝－2px (p＞0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py
(p＞0) 0，p2 y＝－p2
x2＝－2py
(p＞0) 0，－p2 y＝p2
想一想：抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)有什么区别？
自测自评
1．已知曲线C：y2＝2px上一点P的横坐标为4，P到焦点的距离为5，则曲线C的焦点到准线的距离为( )
A.12 B．1 C．2 D．4
2．抛物线x2＝y上的点M到原点的距离为6，则M到焦点的距离为( ) A.92 B.94 C.53 D.52
3．焦点坐标为(0，2)的抛物线的标准方程为________________________________________________________________________．
基础巩固
1．对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为(0，116)
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为(116，0)
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>p2)，则点M的横坐标是( )
A．a＋p2 B．a－p2
C．a＋p D．a－p
3．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为( )
A．1 B．1或4
C．1或5 D．4或5
4．与圆x2＋y2－4x＝0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是__________．
能力提升
5．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是(
)
A.12 B.32 C．1 D.3
6．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
7．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程为____________________．
8．类似于抛物线的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m后，则水面宽是________ m.
9．如图所示，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
10．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到1 m)?
答 案
基础梳理
1．相等 定点F 定直线l
想一想：【解析】不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．想一想：【解析】y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样，y2＝2px(p>0)：焦点p2，0，对称轴为x轴；y＝ax2(a>0)，即x2＝1ay，焦点0，14a，对称轴为y轴．
自测自评
1．【答案】C
2．【解析】易得M(2，2)，所以所求距离为2＋14＝94.
【答案】B
3．【解析】因为焦点坐标为(0，2)，故标准方程可设为x2＝2py(p＞0)，其中p2＝2，所以p＝4.故标准方程为x2＝8y.
【答案】x2＝8y
基础巩固
1．【解析】抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1)，因此选A.
【答案】A
2．【解析】设M(x0，y0)，由点M到焦点的距离为a，可得点M到准线x＝－p2的距离也为a，即x0＋p2＝a，所以x0＝a－p2.
【答案】B
3．【解析】因为点M到对称轴的距离为4，所以点M的坐标可设为(x，4)(或(x，－4))，又因为M到准线的距离为5，所以42＝2px，x＋p2＝5，解得x＝4，p＝2或x＝1，p＝8.
【答案】B
4．【解析】若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点(2，0)与到定直线x＝－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴．
【答案】y2＝8x(x＞0)或y＝0(x＜0)
能力提升
5．【解析】抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)，双曲线x2－y23＝1的一条渐近线方程为3x－y＝0，根据点到直线的距离公式可得d＝32，故选B.
【答案】B
6．【解析】a2x2＋b2y2＝1，可化为x21a2＋y21b2＝1，因为a>b>0，所以1a2<1b2，其表示焦点在y轴上的椭圆；而ax＋by2＝0可化为y2＝－abx，其表示开口向左的抛物线，故应选D.
【答案】D
7．【解析】抛物线y2＝4x的焦点是(1，0)．所以所求圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.
【答案】(x－1)2＋y2＝1
8．【解析】如右图所示，建立平面直角坐标系
设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，将A(2，－2)代入方程得m＝－2，∴x2＝－2y，将yB＝－3代入得xB＝6，∴水面宽是2xB＝26.
【答案】26
9．【答案】解：依题意，|OB|＝83，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝43，
y＝|OB|cos 30°＝12.
因为点B(43，12)在x2＝2py上，
所以(43)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
10．【答案】解：如图所示，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，
代入抛物线方程，得p＝12.
故得抛物线方程为x2＝－y.
因为B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝2，
即|AB|＝2，则|AB|＋1＝2＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋2)m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
