网格中画相似(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1AE BE =，F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点G ，与CD 的延长线交于点P ，则AG GC的值为（ ）．A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:52．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE =∠EFC ，AD:BD=5:3，CF =6，则DE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 3．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在平行四边形ABCD 中，以对角线AC 为直径的圆O 分别交BC ，CD 于点M ，N ，若13AB =，14BC =，9CM =，则线段MN 的长为（ ）A．18013B．10 C．12613D．15．下列各组线段能成比例的是（）A．1.5cm，2.5cm， 3.5cm，4.5cm B．1cm，2cm，3cm，4cmC．3cm， 6cm， 4cm， 8cm D．2cm，10cm，5cm，15cm 6．如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（）A．5米B．6米C．8米D．10米7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．2B．3C．1 D．1.58．如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A．6 B．9 C．10 D．259．如图，△ABC、△FGH中，D、E两点分别在AB、AC上，F点在DE上，G、H两点在BC上，且DE ∥BC ，FG ∥AB ，FH ∥AC ，若BG ：GH ：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（ ）A ．2：1B ．3：2C ．5：2D ．9：4第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明参考答案10．如图在ABC 中，其中D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且31AD =，29DB =，30AE =，32EC =．若50A ∠=︒，则图中1∠、2∠、3∠、4∠的大小关系正确的是（ ）．A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．23∠∠=D ．14∠<∠ 11．如图，在ABCD 中，7AB =，3BC =，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交的延长线于点E ，若2BF =，则线段EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．83D ．7412．如图，菱形ABCD 的边长为10，面积为80，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．2.5B ．5C ．22D ．3二、填空题13．在梯形ABCD 中，//AD BC ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，:1:9AOD COB S S =，那么BOC DOC S S =△△:__________．14．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道1．计算：()1013tan30132π-⎛⎫+︒--- ⎪⎝⎭；2()01 3.14tan 603π⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭．3．计算01(2)1tan602π︒⎛⎫---- ⎪⎝⎭4．计算：100()3tan 30(13π---+5．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan 245°＋34tan 230°－cos60°.614cos 45()|2|2-︒++-7．计算：10()2cos 451(3.14)4π-︒-+-+-. 45(2017-直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化简求出答案．45(2017-9．计算：01(24602sin π⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭． 2cos6012+-原式利用负整数指数幂法则，【答案】-1【分析】直接利用绝对值、算术平方根、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简13．计算 01(12cos302︒⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭15．计算：022tan 60( 3.14)()2π--︒--+-+二次根式的化简是解决本题的关键.16．计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°17．计算：10()(1)2cos6092π-++-+ 2cos609+18．计算：40111 1.414)2sin 602︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭19101()2cos60(2π)2---︒+-．【答案】3.【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.【详解】原式31213=+-+=【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.21．计算：1145tan 603-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭°°22．计算：02(2020)sin 45()2︒--+- 12sin 45(2︒-【点睛】此题考查计算能力，掌握零次幂的定义，23．计算：222cos602sin 45tan 60sin 303︒-︒+︒-︒．24．计算：012sin 45(2)()3π-︒+--．252012cos30()2-+︒+-．26．计算：1201tan 452cos60(2)2π-⎛⎫︒-︒+--- ⎪⎝⎭=3．【点睛】本题考查了特殊角三角函数、0指数幂、负整数指数幂等知识，熟知相关知识点是解题关键．27．计算：（13）﹣2﹣（π）02|+4tan60°．28．计算)013460.2cos ⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭ 29．计算()0cot 3012sin 60cos60tan 30︒--︒+︒+︒．【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．30．计算：2tan452sin60 cot302cos45︒-︒︒-︒．。

专题19 瓜豆小题1．如图，线段AB 为O 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，点P 是O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt PCD ∆，且使60DCP ∠=︒，连接OD ，则OD 长的最大值为 231+ ．【解答】解：如图，作COE ∆，使得90CEO ∠=︒，60ECO ∠=︒，则2CO CE =，23OE =，OCP ECD ∠=∠，90CDP ∠=︒，60DCP ∠=︒，2CP CD ∴=，∴2CO CP CE CD==， COP CED ∴∆∆∽，∴2OP CP ED CD==， 即112ED OP ==（定长）， 点E 是定点，DE 是定长，∴点D 在半径为1的E 上，231OD OE DE +=+，OD ∴的最大值为231+，故答案为231+．2．如图，30AOB ∠=︒，4OD =，当点C 在OA 上运动时，作等腰Rt CDE ∆，CD DE =，则O ，E 两点间距离的最小值为 223+ ．【解答】解：30AOB ∠=︒，4OD =，点C 在OA 上运动时，CD DE =，CD DE ⊥， C ∴为主动点，E 为从动点，D 为定点，由“瓜豆原理”， C 在OA 上运动，则E 在垂直OA 的直线上运动，当DC OA ⊥时，如答图：过E 作EM OA ⊥于M ，交OB 于N ，则直线MN 即为E 的运动轨迹，OM 的长为O ，E 两点间距离的最小值，30AOB ∠=︒，4OD =，DC OA ⊥，2CD ∴=，CD DE =，2DE ∴=，90OCD CDE ∠=∠=︒，//DE OA ∴，而EM OA ⊥，90DEN ∴∠=︒，30EDN ∠=︒，∴在DEN ∆中可得433DN =，4343ON ∴=+，OMN ∆中可得343(4)22323OM =⨯+=+，故答案为：223+．3．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为底向右侧作等腰直角EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为 2 ．【解答】解：如图1，过点G 作GP AB ⊥于点P ，GQBC ⊥于点Q ，连接BD ，根据题意知，90ABC ∠=︒，90PGQ ∠=︒．90PGF FGQ QGE FGQ ∴∠+∠=∠+∠=︒．PGF QGE ∴∠=∠．又EFG ∆是等腰直角三角形，且90FGE ∠=︒，GF GE ∴=．在GPF ∆与GQE ∆中，90GPF GQE PGF QGE GF GE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()GPF GQE AAS ∴∆≅∆．GP GQ ∴=，12GBP GBE ABC ∠=∠=∠．∴点G在BD所在的直线上运动．F 为AB 边上的一个动点，如图2，当点F 与点B 重合时，点G 的位置如图所示．当点F 与点A 重合时，记点G 的位置为G ''．∴点G 的运动轨迹为线段GG ''．过点C 作CG BD '⊥于点G '．1||2min CG CG BD ∴='=．正方形ABCD 的边长为2，22BD ∴=．||2min CG ∴=．故答案是：2．4．如图，已知点A 是第一象限内的一个定点，若点P 是以O 为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP ，以AP 为边向AP 右侧作等边三角形APB ．当点P 在O 上运动一周时，点B 运动的路径长是 4π ．【解答】解：如图，连接AO 、OP ，将AO 绕点A 逆时针旋转60︒，得线段AO '，连接O B '、OO '，AO AO '=，60OAO '∠=︒，OAO '∴∆为正三角形， APB ∆为正三角形，60PAB ∴∠=︒，PA BA =，PAB OAB OAO OAB '∴∠-∠=∠-∠，PAO BAO ∴∠=∠，在APO ∆与ABO ∆'中，AO AO PAO BAO PA BA ='⎧⎪∠=∠'⎨⎪=⎩，APO ABO ∴∆≅∆'，2OP O B '∴==，O '∴即为动点B 运动的路径，∴当点P 在O 上运动一周时，点B 运动的路径长是4π，5．如图，正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为 5．【解答】解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，连接FH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥⊥于M ，又90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，MH BN ∴=，2BE =，4EC ∴=， EHC ∆是等边三角形，HN EC ⊥，4EC EH ∴==，2EN NC ==，60HEC ∠=︒，4BN MH ∴==， FGE ∆是等边三角形，FE GE ∴=，60FEG HEC ∠=︒=∠，FEH GEC ∴∠=∠，在FEH ∆和GEC ∆中，EF GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FEH GEC SAS ∴∆≅∆，FH GC ∴=，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，5FH HM ==，故答案为5．6．如图，菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是对角线AC 上的动点，连接EF ，将线段EF 绕点F 按逆时针旋转30︒，G 为点E 对应点，连接CG ，则CG 的最小值为 2 ．【解答】解：如图取CD 的中点K ，连接FK ，KG ，EK ，延长KG 交BC 于J ，作CH JK ⊥于H ．四边形ABCD 是菱形，FCE FCK ∴∠=∠，CB CD =，//AB CD ，180DCB B ∴∠+∠=︒，120B ∠=︒，60DCB ∴∠=︒，BE EC =，CK KD =， CK CE ∴=，ECK ∴∆是等边三角形，CF CF =，FCK FCE ∠=∠，CK CE =，()FCK FCE SAS ∴∆≅∆，FK FE ∴=，FG FE =，FE FG FK ∴==，1152EKG EFG ∴∠=∠=︒， 60CKE ∠=︒，45CKJ ∴∠=︒，∴点G 在直线KJ 上运动，根据垂线段最短可知，当点G 与H 重合时，CG 的值最小， 在Rt CKH ∆中，45CKH ∠=︒，90CHK ∠=︒，122CK CD ==， 2CH KH ∴==，CG ∴的最小值为2，故答案为2．7．已知边长为6的等边ABC ∆中，E 是高AD 所在直线上的一个动点，连接BE ，将线段BE 绕点B 逆时针旋转60︒得到BF ，连接DF ，则在点E 运动的过程中，当线段DF 长度的最小值时，DE 的长度为 332．【解答】解：连接CF ，等边ABC ∆，AB BC ∴=，线段BE 绕点B 逆时针旋转60︒得到BF ，BE BF ∴=，ABE CBF ∠=∠，()ABE BCF ASA ∴∆≅∆，F 点在直线CF 上运动，CF AE ∴=，30BCF ∠=︒，F ∴点在直线CF 上运动，当DF CF ⊥时，DF 最小，3CD =，332CF ∴=， 332AE ∴=， 33AD =，332DE ∴=， 故答案为332．8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，6∠=︒，点F在AB=，60DAC线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是23．【解答】解：连接OE，四边形ABCD是矩形，∠=︒，DAB∴=，90AO DO∠=︒，60DAC∴∆是等边三角形，DAOADO∠=︒，∴=，60DA DO∆是等边三角形，DFE∴=，60DE DF∠=︒，EDFADF ODE∴∠=∠，=，又AD DO=，DF DE∴∆≅∆，ADF ODE SAS()∠=∠，∴=，DOE DAOOE AF=，∴点E在射线OE上运动，且OE AF当点F在线段AO上从点A至点O运动时，∴点E的运动路程是AO，在Rt ADB ∆中，设AD x =，则2BD x =， 222(2)6x x ∴-=，解得23x =（负值舍去），23AD AO ∴==，即点E 的运动路程为23，故答案为：23．9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，16AC =，12BC =，点P 在以AB 为直径的半圆上运动，由点B 运动到点A ，连接CP ，点M 是CP 的中点，则点M 经过的路径长为 5π ．【解答】解：90ACB ∠=︒，16AC =，12BC =， 2222161220AB AC BC ∴=+=+=，连接AP ，BP ，AB 是直径，90APB ∴∠=︒，即AP BP ⊥，取BC ，AC 的中点E 和F ，连接ME ，MF ，EF ，在BPC ∆中，M ，E 为PC 、BC 的中点，//ME BP ∴，12ME BP =， 在APC ∆中，点M 、F 为PC 、AC 的中点，//MF AP ∴，12MF AP =， ME MF ∴⊥，即90EMF ∠=︒，∴点M 在以EF 为直径的半圆上，1102EF AB ∴==， ∴点M 的运动路径长为12552ππ⨯⨯=， 故答案为：5π．10．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕点E 顺时针旋转60︒得到EG ，连接CG ，则CG 的最小值为 52．【解答】解：将线段EB 绕E 顺时针旋转60︒至M ，连接GM ，过C 作CN GM ⊥于N ，过E 作EP CN ⊥于P ，如图：60BEM FEG ∠=∠=︒，BEF MEG ∴∠=∠，在BEF ∆和MEG ∆中，BE ME BEF MEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF MEG SAS ∴∆≅∆，90GME B ∴∠=∠=︒，G ∴在射线MG上运动，CN GM ⊥，CN ∴的长度即是CG 的最小值，CN GM ⊥，EP CN ⊥，90GME ∠=︒，∴四边形MEPN 为矩形，1NP ME BE ∴===，Rt EPC ∆中，3EC BC BE =-=，18030PEC BEM MEP ∠=︒-∠-∠=︒，1322CP EC ∴==， 52CN CP NP ∴=+=， 故答案为：52． 11．如图，已知点(3,0)A -，(0,3)B ，(1,4)C -，动点P 在线段AB 上，点P 、C 、M 按逆时针顺序排列，且90CPM ∠=︒，CP MP =，当点P 从点A 运动到点B 时，则点M 运动的路径长为 6 ．【解答】解：点(3,0)A -，(0,3)B ，32AB ∴=，(1,4)C -，动点P 在线段AB 上，90CPM ∠=︒，CP MP =，∴22CP CM =，P 为主动点，M 为从动点，C 为定点， 由“瓜豆原理”得P 运动路径()AB 与M 运动路径之比等于CP CM， ∴点M 运动的路径长为23262÷=， 故答案为：6．12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，5BC =，2CD =，点E 是边AC 所在直线上的一动点，连接DE ，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，连接BF ，则BF的最小值为 72．【解答】解：如图，以BD 为边作等边三角形DBH ，连接EH ，过点H 作HN BD ⊥于N ，5BC =，2CD =，3BD ∴=， DHB ∆是等边三角形，HN BD ⊥，32DN BN ∴==，DB DH =，60HDB ∠=︒，72CN ∴=，将DE 绕点D 顺时针方向旋转60︒得到DF ，DE DF ∴=，60EDF ∠=︒，EDF HDB ∴∠=∠，EDH FDB ∴∠=∠，在DHE ∆和DBF ∆中，DE DFEDH FDB DH DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DHE DBF SAS ∴∆≅∆，EH BF ∴=，∴当EH 有最小值时，BF 有最小值，由垂线段最短可得：当EH AC ⊥时，EH 有最小值，此时，EH AC ⊥，90ACB ∠=︒，HN DB ⊥，∴四边形CNHE是矩形，72HE CN ∴==， 故答案为：72． 13．如图，O 的直径2AB =，C 为O 上动点，连结CB ，将CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到CD ，连结OD ，则OD 的最大值为 21+ ．【解答】解：如图，以OB 为边在AB 的下方作等腰直角三角形OBE ，连接CE ，BD ，将CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到CD ，BC CD ∴=，90DCB ∠=︒，45DBC ∴∠=︒，2BD BC =，OBE ∆是等腰直角三角形，OE BE ∴=，45OBE ∠=︒，21OB BE ==，22BE OE ∴==，DBC OBE ∠=∠， OBD CBE ∴∠=∠，又2DBOBCB BE ==， DBO CBE ∴∆∆∽，∴2ODDBCE CB ==，2OD CE ∴=， ∴当CE 有最大值时，OD 有最大值，当点C ，点O ，点E 三点共线时，CE 有最大值为212+， OD ∴的最大值为21+，故答案为：14．如图，矩形ABCD 中，6AD =，8DC =，点E 为对角线AC 上一动点，BE BF ⊥，43BE BF =，BG EF ⊥于点G ，连接CG ，当CG 最小时，CE 的长为325 ．【解答】解：如图，过点B 作BP AC ⊥于点P ，连接PG ，43BEABBF BC ==，ABC EBF ∠=∠，ABC EBF ∴∆∆∽，CAB FEB ∴∠=∠，90APB EGB ∠=∠=︒，ABP EBG ∴∆∆∽，∴15sin 3ABEBAC PB GB BAC BC ====∠，ABP EBG ∠=∠，ABE PBG ∴∠=∠，ABE PBG ∴∆∆∽，BPG BAE ∴∠=∠，即在点E 的运动过程中，BPG ∠的大小不变且等于BAC ∠，∴当CG PG ⊥时，CG 最小，设此时AE x =，53AEABPG PB ==，35PG x ∴=，CG PG ⊥，PCG BPG BAC ∴∠=∠=∠，∴53CP PG =， 代入35PG x =，解得CP x =， 18sin sin 5CP BC CBP BC BAC =⋅∠=⋅∠=， 185x ∴=， 185AE ∴=． 325CE ∴=， 故答案为：325． 二．解答题（共4小题）15．如图，在等边ABC ∆中，6AB =，BD AC ⊥，垂足为D ，点E 为AB 边上中点，点F 为直线BD 上一点．当点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且2DN NC =，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60︒得到线段EP ，连接FP ，当12NP MP +最小时，直接写出DPN ∆ 的面积．【解答】解：以M 为顶点，MP 为一边，作30PML ∠=︒，ML 交BD 于点G ，过点P 作PH ML ⊥于点H ，设MP 交BD 于点K，如图，Rt PMH ∆中，12HP MP =，12NP MP ∴+最小即NP HP +最小，此时N 、P 、H 共线， 将线段EF 绕点E 顺时针旋转60︒得到线段EP ，F ∴在射线QF 上运动，则点P 在MP 上运动，根据“瓜豆原理”， F 为主动点，P 是从动点，E 为定点，60FEP ∠=︒，则F 、P 轨迹的夹角60QKP FEP ∠=∠=︒， 60BKM ∴∠=︒，30ABD ∠=︒，90BMK ∴∠=︒，30PML ∠=︒，60BML ∴∠=︒，BML A ∴∠=∠，//ML AC ∴，18090HNA PHM ∴∠=︒-∠=︒，BD AC ⊥，90BDC HNA PHM ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形GHND 为矩形，DN GH ∴=，等边ABC ∆中，6AB =，BD AC ⊥，3CD ∴=，又2DN NC =，∴等边ABC ∆中，6AB =，点E 为AB 的中点，点M 为BE 中点，32BM ∴=，sin 6sin 6033BD AB A =⋅=⨯︒=， Rt BGM ∆中，1324MG BM ==，33cos304BG BM =⋅︒=， 114MH MG GH ∴=+=，934GD BD BG =-=， Rt MHP ∆中，113tan3012HP MH =⋅︒=， 433PN HN HP GD HP ∴=-=-=， 14323DPNS PN DN ∆∴=⋅=． 16．若4AC =，以点C 为圆心，2为半径作圆，点P 为该圆上的动点，连接AP ．（1）如图1，取点B ，使ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，将点P 绕点A 顺时针旋转90︒得到AP '．①点P '的轨迹是 圆 （填“线段”或者“圆” )； ②CP '的最小值是 ；（2）如图2，以AP 为边作等边APQ ∆（点A 、P 、Q 按照顺时针方向排列），在点P 运动过程中，求CQ 的最大值．（3）如图3，将点A 绕点P 逆时针旋转90︒，得到点M ，连接PM ，则CM 的最小值为 ．【解答】解：（1）①连接CP 、BP '，如图1所示： ABC ∆是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，AC AB ∴=，由旋转的性质得：AP AP '=，90PAP '∠=︒， PAC P AB '∴∠=∠，在ABP '∆和ACP ∆中，AP AP P AB PAC AB AC '=⎧⎪'∠=∠⎨⎪=⎩，()ABP ACP SAS '∴∆≅∆，2BP CP '∴==，即点P '到点B 的距离等于定长， ∴点P '的轨迹是以B 为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②ABC ∆是等腰直角三角形，4AC =，242BC AC ∴==，当点P '在线段BC 上时，CP '最小422BC BP '=-=-； 故答案为：422-；（2）以AC 为边长作等边ACD ∆，连接DQ 、CP ，如图2所示： APQ ∆和ACD ∆是等边三角形，AP AQ ∴=，4AC AD CD ===，60PAQ CAD ∠=∠=︒， DAQ CAP ∴∠=∠，在ADQ ∆和ACP ∆中，AD AC DAQ CAP AQ AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADQ ACP SAS ∴∆≅∆，2DQ CP ∴==，当C 、D 、Q 三点共线时，CQ 有最大值426CD DQ =+=+=；（3）如图3所示：M 点的轨迹是以MM '为直径的一个圆O '， 则2PM PA ==，426PM PA '==+=，则CO '是梯形PMM P ''的中位线，1(26)42CO '∴=+=， 连接MM '''，则90MM M ''''∠=︒，2P M PM ''''∴==，4MM PP ''''==，624M M MM '''''''∴=-==，∴△MM M ''''是等腰直角三角形，2MM '∴= 42MM '''=，22O M '''∴=，422CM CO O M ''''∴=-=-；故答案为：422-．17．如图，O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在O上，点P是线段AB的中点，若B在O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P 运动的路径是一个圆，只要证点P 到定点M 的距离等于定长r ，由图中的定点、定长可以发现M ，r ．【解答】（1）解：连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接HP ，如图1所示： 则HP 是ABO ∆的中位线，112HP OB ∴==， P ∴点到H 点的距离固定为1，B ∴在O 上运动一周，点P 运动的路径是以点H 为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO 并延长AO 交O 于点M 、N ，如图2所示： ABC ∆是等边三角形，点P 是线段AB 的中点，PC AB ∴⊥，1122PA PB AB BC ===， 332PC PA AB ∴==， 当点B 运动到点M 位置时，点P 运动到点P '位置，PC 最短， 523AM OA OM =-=-=，1322AP AM '∴==， 332PC ∴=； 当点B 运动到点N 位置时，点P 运动到点P ''位置，PC 最长， 527AN OA ON =+=+=，1722AP AN ''∴==， 732PC ∴=； PC ∴长的取值范围是337322PC ．18．如图①，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于点(1,0)A -、(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式．（2）当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若ABQ ∆的面积是BPQ ∆面积的4倍，求点P 的横坐标．（3）如图②，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向ABM ∆外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，ABN ∆的面积是否变化？如果不变，请求出ABN ∆的面积；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）二次函数经过(1,0)A -，(3,0)，∴代入得220(1)(1)033b c b c⎧=--+⋅-+⎨=-++⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，所以二次函数的表达式为223y x x =-++．（2）①如图所示，当P 在x 轴上方时，过点P 作PF x ⊥轴于点F ，过点E 作QE x ⊥轴于点E ，过点B 作BG AP ⊥于点G ，可得AQE APF ∆∆∽，∴AQAE QEAP AF PF ==，142112ABQ BPQ AQ BGS AQ S QPQP BG ∆∆⋅⋅===⋅⋅， ∴45AQAP =，∴45AQ AEQEAP AF PF ===，设点2(,23)P a a a -++，OF a ∴=，223PF a a =-++，(1)1AF a a ∴=--=+，244(23)55QE PF a a ==⋅-++，44(1)55a AE AF +∴==，4(1)41155a a OE AE AO +-∴=-=-=，Q ∴点的坐标可表示为41(5a -，24(23))5a a ⋅-++， (3,0)B ，C 为二次函数与y 轴交点，(0,3)C ∴，可得BC 的解析式为3y x =-+，Q 在BC 上，∴2441(23)355a a a -⋅-++=-+， 解得352a +=或352-． ②如图所示，当P 在x 轴下方时，同理①可求出P 点的横坐标为3132+或3132-， 313102--<<， ∴当P 点横坐标为3132-时，P 在抛物线的AC 段， 综上所述，P 点的横坐标为352+或352-或3132-． （3）如图所示，以AB 为底在x 轴上方作等腰直角三角形ABK ，连接NK ，过点K 作KH x ⊥轴于点H ， AMN ∆和ABK ∆均为等腰直角三角形，∴AN AK AM AB=，NAM BAK ∠=∠， NAM MAK BAK MAK ∴∠+∠=∠+∠，NAK MAB ∴∠=∠，NAK MAB ∴∆∆∽，NKA MBA ∴∠=∠， (0,3)C ，(3,0)B ，OC OB ∴=，45MBA NAK KAB ∴∠=︒=∠=∠， //NK AB ∴，两条平行线之间的距离相等，N ∴在运动时，N 到AB 的距离保持不变，其距离都等于KH 的长， 在等腰直角三角形KAB 中，4AB =，122KH AB ∴==，∴1142422ABN S AB KH ∆=⋅⋅=⋅⋅=． 综上所述，ABN ∆的面积不变，为4．。

A B C O y x 《网格中的变换作图》评测练习一、选择题1、点A 关于原点O 对称的点A ′是直线y=2x-1和直线y=5的交点，则点A 的坐标是（ ）（A ）（3，-5） （B ）（-3,5） （C ）（-3，-5） （D ）（3,5）2、若△ABC ∽△DEF ，相似比为1：3，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）(A)1：9 (B)1：3 (C)1：2 (D) 1：33、下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是( )A ．等边三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．矩形4、如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△A′B′C′,若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是( )A ．110°B ．80°C ．40°D ．30°二、填空题1、已知△ABC 的各顶点坐标分别为A （-1，2），B （1，-1），C （2，1），将它进行平移，平移后A 移到点（-3，a ），B 移到点（b ，3），则C 移到的点的坐标为2、点P 关于x 轴对称的点是（3，-4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是_______3、已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称，则a+b 的值是__________4、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是__________三、解答题1、如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （-1，-1），B （-3，-3），C （0，-4），将△ABC 先向右平移4个单位，再沿着x 轴对称得△C B A '''.（1）画出△C B A '''，并写出点A '，B '，C '的坐标； （2）求△ABC 的面积.2、已知如图2中A 、B 分别表示正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别记为S 1、S 2（网格中最小的正方形的面积为一个单位面积），请你观察并回答问题．（1）填空：S 1：S 2的值是__________．（2）请你在图C 中的网格上画一个面积为8个平方单位的轴对称图形．3、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB 1C 1．(1) 在网格中画出△AB 1C 1；(2) 计算点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）4、在平面直角坐标系中,△EFG 的各个顶点的坐标分别为E(-1,0),F(-2,1),G(-1,3),分别画出：（1）△EFG 关于y 轴对称的△E 1F 1G 1；△E 1F 1G 1关于x 轴对称的△E 2F 2G 2；（2）△EFG 关于原点对称的三角形；（3）由上面的两个小题可以发现，一个图形的中心对称变换和这个图形的轴对称变换之间存在什么关系？第3题图 第2题图参考答案一、选择题CADB二、填空题1、（0,5）；2、（-3,4）；3、2；4、（3,2）或（-3，-2）三、解答题1、（1）图略，A ′（3,1）； B ′（1,3）； C ′（4,4）；（2） 4Δ=ABC S2、（1） （2）图略3、（1）图略； （2）4、△EFG 关于原点对称的三角形，与△EFG 关于x 、y 轴连续对称一次所得的三角形重合； 25π11:9:21=S S。

第二十七章相似27.3位似一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是A．位似中心是点B，相似比是2：1B．位似中心是点D，相似比是2：1C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2【答案】C【解析】如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，连接AF，CE，∴位似中心在点G，H之间，又∵AC=2EF，∴相似比为2：1，故选C．2．在平面直角坐标系中，点A（–6，2），B（–4，–4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是A．（–3，1）B．（–12，4）C．（–12，4）或（12，–4）D．（–3，1）或（3，–1）【答案】D【解析】∵△ABC的一个顶点A的坐标是（–6，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，∴点A′的坐标是：（–12×6，12×2）或（–12×（–6），–12×2），即点A′的坐标为（–3，1）或（3，–1）．故选D．3．如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（–1，2），则点A2的坐标为A．（1，–4）B．（2，–4）C．（–4，2）D．（–2，1）【答案】B【解析】∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，而点A1的坐标为（–1，2），∴点A2的坐标为（2，–4）．故选B．学科-网4．如图，在6×6网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①、②的下列四个说法中正确的是A．一定不相似B．一定位似C．一定相似，且相似比为1：2 D．一定相似，且相似比为1：4【答案】C【解析】由已知图形可得：三角形①、②一定相似，且相似比为1：2．故选C．5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD，则CD的长度是A．2 B．1C．4 D．25【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．6．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC=__________．【答案】4 7【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且43 OEEA=，∴47OEOA=，则47FG OEBC OA==．故答案为：47．7．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O是位似中心，相似比为1：2，点D的坐标为（0，22），则点B的坐标是__________．【答案】（2，2）【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O是位似中心，相似比为12，点D的坐标为（0，2），∴DE=EF2，则AB=BC=2，∴点B的坐标是：（2，2）．故答案为：（2，2）．8．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，若△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为__________；【答案】19．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（–1，0），以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是__________．【解析】过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，∴∠BDC=∠B'EC=90°．∵△ABC的位似图形是△A'B'C，∴点B、C、B'在一条直线上，∴∠BCD=∠B'CE，∴△BCD∽△B'CE．∴CDEC=BCB C'，又∵BCB C'=12，∴CDCE=12，又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（–1，0），∴CE=3，∴CD=32．∴OD=52，∴点B的横坐标为：–2.5．故答案为：–2.5．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别A（1，3），B（2，1），C（4，2），以坐标原点为位似中心，在第三象限画出与△ABC位似的三角形，使相似比为2：1，并写出所画三角形的顶点坐标．【解析】如图所示：，则A′（–2，–6），B′（–4，–2），C′（–8，–4）．11．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1：2．（1）请在图中画出位似中心；（2）若AB=2cm，则A′B′等于多少？【解析】（1）如图所示，点O即为位似中心；（2）∵ABA B''=OAOA'=12，且AB=2cm，∴A′B′=2AB=4cm．12．如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（1，–6）．（1）在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为__________；（2）以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且相似比为1：2，并写出点C2的坐标为__________．【解析】（1）如图所示：点P即为所求，P（–1，–2）；故答案为：（–1，–2）；（2）如图所示：△AB2C2即为所求，点C2（1，–3）；故答案为：（1，–3）．13．如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、C的坐标分别是（1，–1）、（2，1）、（1，1）．（1）作图：以点O为位似中心在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍（不要求写出作图过程）；（2）直接写出点A、B、C对应点A′、B′、C′的坐标．【解析】（1）如图，四边形OA′B′C′为所求．（2）由图可知，A′（–2，2），B′（–4，–2），C′（–2，–2）．14．在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（–1，2）．（1）点B的坐标为__________，△ABC的面积为__________；（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A1、B1，点B1在第一象限；学-科网（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为__________．【解析】（1）点B的坐标为（2，2），△ABC的面积为12×3×2=3，故答案为：（2，2）、3；（2）如图，△A1B1C1即为所求．（3）若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为（2a，2b），故答案为：（2a，2b）．。

专题20 胡不归小题 1．如图：在矩形ABCD中，1AB．3BC，P为边AD上任意一点，连接PB，则

1

2PBPD

的最小值为( )

A．122 B．2 C．3 D．32

【解答】解：如图，

连接BD， 在矩形ABCD中，1ABDC．3BC， 3tan3DCDBC

BC

30DBC 作30DBNDBC， 过点D作DMBN于点M，BN交AD于点P． 60MDB //ADBC 30PDBDBC 30MDP 12PMPD

此时12BPPDBPPM最小，最小值为BM的长， MBDCBD 90BMDC BDBD ()BMDBCDAAS 3BMBC 答：12PBPD的最小值为3． 故选：C． 2．如图，AC是圆O的直径，4AC，弧120BA，点D是弦AB上的一个动点，那么

12ODBD的最小值为( )

A．32 B．3 C．31

2

D．13

【解答】解：BA的度数为120， 60C，

AC是直径，

90ABC，

30A，

作//BKCA，DEBK于E，OMBK于M，连接OB．

//BKAC，

30DBEBAC，

在RtDBE中，12DEBD，

12ODBDODDE，

根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，12ODBD的值最小，最小值为OM， 30BAOABO，

60OBM，

在RtOBM中， 2OB，60OBM，

sin603OMOB， 12DBOD的最小值为

3

，

故选：B．

3．如图，在矩形ABCD中，3AB，4BC，点E是边AD上一点，点F是矩形内一点，

30BCF，则

1

2EFCF的最小值是( )

A．3 B．4 C．5 D．23 【解答】解：过F作//GHCD，交AD于G，BC于H，