2021年天津市数学中考专题训练网格作图题1

2021中考数学专题训练轴对称与中心对称一、选择题1. 下列四个交通标志图中，为轴对称图形的是()2. 点(－1，2)关于原点的对称点坐标是()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(1，2) D．(2，－1)3. 如图，在4×4的正方形网格中，已有四个小正方形被涂黑.若将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则该小正方形的位置可以是()A.(一，2)B.(二，4)C.(三，2)D.(四，4)4. 2018·达州下列图形中是中心对称图形的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°6. 如图，在RtABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为A ．52B ．3C ．2D ．727. 如图，线段AB 外有C ，D 两点(在AB 同侧)，且CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB 的度数为( )A .80°B .90°C .100°D .110°8. 如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 ( ) A .B .C .6D .3二、填空题9. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，∠BAC ≠90°.将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出______个中心对称图形．10. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为.11. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.12. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).13. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.14. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、作图题15. 如图，在对R t△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到R t△O′A′B′.(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2)设P(x，y)为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．16. 如图，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．DCBAO4O3O2O1EDCBAO5O4O3O2O1四、解答题17. 如图，Rt△ABC的顶点A，B，C关于直线MN的对称点分别为A'，B'，C'，其中∠A=90°，AC=8 cm，点C，B，A'在同一条直线上，且A'C=12 cm.(1)求△A'B'C'的周长; (2)求△A'CC'的面积.18. 如图，在△ABC中，AB 边的垂直平分线DE 分别与AB 边和AC 边交于点D和点E ，BC 边的垂直平分线FG 分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC 的长.19. [材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．20. 如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF 、HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．图1 图2 图3 图42021中考数学 专题训练 轴对称与中心对称-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B [解析] 如图，把(二，4)位置的小正方形涂黑，则整个图案构成一个以直线AB 为对称轴的轴对称图形.4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由作法得CG ⊥AB.∵AC ＝BC ，∴CG 平分∠ACB ，∠A ＝∠B ＝40°. ∵∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°， ∴∠BCG ＝12∠ACB ＝50°.6. 【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =， ∴CF 为斜边AB 上的中线， ∵22345AB =+=， ∴1522CF AB ==．故选A ．7. 【答案】C8. 【答案】D[解析]分别以OB ，OA 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2，P 1P 2交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长=PN +PM +MN=P 1N +P 2M +MN=P 1P 2，根据轴对称的性质可知OP 1=OP 2=OP=，∠P 1OP 2=120°，∴∠OP 1M=30°，过点O 作MN 的垂线段，垂足为Q ，在Rt △OP 1Q 中，可知P 1Q=，所以P 1P 2=2P 1Q=3，故△PMN 周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】3 [解析] 在这里具有中心对称图形特征的是平行四边形，所以两个三角形中对应相等的两条边重合只能拼一个．因为三角形只有三条边，所以只有三种情况．10. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积=×24=12.11. 【答案】10[解析] ∵AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E ，F ，∴AE=BE ，AF=CF .∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm .12. 【答案】③13. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.14. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、作图题15. 【答案】解：(1)解图(2)设坐标纸中方格边长为单位1.则P(x ，y )――→以O 为位似中心放大为原来的2倍(2x ，2y )――→沿y 轴翻折(－2x ，2y )――→向右平移4个单位(－2x ＋4，2y )――→向上平移5个单位(－2x ＋4，2y ＋5).16. 【答案】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．O DCBAO 4O 3O 2O 1EO DCBAO 5O 4O 3O 2O 1四、解答题17. 【答案】解:(1)∵Rt △ABC 的顶点A ，B ，C 关于直线MN 的对称点分别为A'，B'，C'，AC=8 cm ，A'C=8cm ，∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A'=∠A=90°.∴△A'B'C'的周长为A'C'+B'C'+A'B'=AC+A'C=12+8=20(cm). (2)由(1)得A'C'=AC=8 cm ，∠A'=90°，∴△A'CC'的面积为A'C ·A'C'=×12×8=48(cm 2).18. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC. ∵△BEG 的周长为16， ∴EB+GB+GE=16. ∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16. ∴AC+2GE=16. ∵GE=3， ∴AC=10.19. 【答案】解：(1)(1，－1) (－6，－5) (2)12(3)设点D 的坐标为(x ，y)．若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1；若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3；若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝5. 综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．20. 【答案】【思维教练】(2)AD ＝DH ＋AH ，由折叠性质和全等三角形得出DH ＝HN ，FN ＝AH ，即AD ＝FH ，由叠合矩形的概念可知∠FEH ＝90°，利用勾股定理求出AD ；(3)观察图形的特点，可以考虑从CD 的中点横向和竖向折叠或从分别从每个角的位置向内折叠构成矩形，利用构成的直角三角形求解得出结果．解：(1)AE ，GF ；1∶2(2分)(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∠FEH ＝90°，又EF ＝5，EH ＝12.∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.(4分)由折叠的轴对称性可知，DH ＝HN ，AH ＝HM ，CF ＝FN.易证△AEH ≌△OGF ，∴CF ＝AH.(5分)∴AD ＝DH ＋AH ＝HN ＋FN ＝FH ＝13.(6分)(3)本题有以下两种基本折法，如解图1，解图2所示．(作出一种即可)1 2 按解图1的折法，则AD ＝1，BC ＝7；按解图2的折法，则AD ＝134，BC ＝374.(10分)。

∵正方形边长为4，
∴OK=2，KC=2，
∴KC=CE，
∴CH是△OKE 中位线
∴ ，
作GM⊥CD，垂足为点M，
∵G点为EF中点，
∴GM是△FCE的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
在Rt△MHG中， ，
故答案 ： ．
【点睛】本题综合考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等内容，解决本题的关键是能作出辅助线构造直角三角形，得到三角形的中位线，利用三角形中位线定理求出相应线段的长，利用勾股定理解直角三角形等．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知 ， ，即可推出 ；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出 ，从而求出 ．
2. 的值等于（）
A. B. C.1D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】解：由题意可知， ，
故选：A．
【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可．
3.据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（）
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可；
（Ⅱ）现将 补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可．
【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1，
∴ ，
故答案为： ；
（Ⅱ）如图，取 与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接 并延长，与半圆相交于点E，连接 并延长，与 的延长线相交于点F，则OE为 中位线，且 ，连接 交 于点G，连接 并延长，与 相交于点P，因为 ，则点P即为所求．
∴abc＞0，

专题复习(三)网格作图题1．拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.(1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1；(2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.解：(1)如图，四边形AB1C1D1为所作．(2)如图，四边形AB2C2D2为所作．2．二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标；(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于x轴对称的图形，B1点的坐标是(1，0)．(2)如图所示，△A2B2C2即为△ABC绕原点O按逆时针旋转90°的三角形，B2点的坐标是(0，1)．3．模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．(3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)．4．拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1；第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转90°得到△A2B2C2；第4次，将△A2B2C2绕点B2顺时针旋转90°得到△A3B2C3，依次旋转下去．(1)在网格中画出△A′B′C′和△A2B2C2；(2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.解：(1)△A′B′C′和△A2B2C2的图象如图所示.(2)通过画图可知，△ABC至少在第8次旋转后得到△A′B′C′.5.如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1.(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称；(3)在(1)、(2)中所得到的△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴；若不成轴对称，请说明理由．解：(1)如图所示，△A1B1C1，即为所求．(2)如图所示，△A2B2C2，即为所求．(3)如图所示，△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称，直线a，b即为所求．6．级二模)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 在小正方形的顶点上．将△ABC 向下平移2个单位得到△A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 1.(1)在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1；(2)计算线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积．(重叠部分不重复计算)解：(1)如图，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 1为所作．(2)线段AC 在变换到A 2C 1的过程中扫过区域的面积S ＝2×2＋90·π·（22）2360＝4＋2π.7．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形△A 1B 1C 1；(2)请画出△ABC 关于原点O 成中心对称的图形△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．解：(1)如图所示．(2)如图所示．(3)找出A 关于x 轴的对称点A′(1，－1)，连接BA′，与x 轴交点即为P.如图所示，点P 坐标为(2，0)．8．模拟)如图，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3，3)，B(－1，0)，C(4，0)．(1)经过平移，可使△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，请直接写出此时点C 的对应点C 1坐标；(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；(3)以点A 为位似中心放大△ABC ，得到△AB 2C 2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△AB 2C 2.解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位再向左平移3个单位，故C1坐标为(1，－3)．(2)如图所示，△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4，4)．(3)如图所示，△AB2C2即为所示．。

2021中考三轮冲刺作图题专题突破（1）1．作图与计算如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，且O 与AB 交于点D ；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作图的基础上，若2BC =，30A ∠=︒，则由BD ，BC 和劣弧CD 所围成的封闭图形的面积为_______________．2．如图，ABC ∆为一钝角三角形，且90BAC ∠>︒（1）分别以AB ，AC 为底向外作等腰Rt DAB ∆和等腰 Rt EAC （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）已知P 为BC 上一动点，通过尺规作图的方式找出一点P ，连接PD ，PE ，使得 PD PE ⊥并证明． 3．如图, 在 45ABC AB AC BAC =∠=︒中，，.(1)用尺规作图方法，按要求作图:①作ABC 的高BD ;①作BAC ∠的平分线AM ，分别交BD BC 、于点E F 、;(要求:保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)求证:点D 在AB 的垂直平分线.上; .(3)在(1)所作的图中，探究线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论.4．如图，OABC 内接于O ，动手操作.(1)求作：三角形ABC 的内切圆I ；要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹.(2)若AI 与O 交于点D ，连接,BD DC .求证:BD DI DC ==.5．如图所示的是ABC ．()1求作,O 使圆心O 在AB 边上，且O 经过A C 、两点，(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) ()2设边AB 与你所作的O 的另一个交点为点,D 连接CD ，若DCB A ∠=∠．求证：BC 是O 的切线． 6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C ，M 均在格点上，且5BM =，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，请在网格中找出格点N ，连结MN ，使得//MN AC ；（2）如图2，请在线段AB 上找出点N ，使得MN 平分ABC 的周长．7．如图，已知ABC ∆()AB AC BC <<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：（1）在边BC 上找一点M ，使得：将ABC ∆沿着过点M 的某一条直线折叠，点B 与点C 能重合，请在图①中作出点M ；（2）在边BC 上找一点N ，使得：将ABC ∆沿着过点N 的某一条直线折叠，点B 能落在边AC 上的点D 处，且ND AC ⊥，请在图①中作出点N .8．如图，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图，不写作法，但要保留清晰的作图痕迹．（1）如图1，A ，B ，C ，D 四个点在同一个圆上，且AB//CD ，请作出这个圆的一条直径；（2）如图2，四边形ABCD 是菱形，且A ，B ，C 三点在同一个圆上，请找出这个圆的圆心．9．已知：如图，ABC ∆中，AB BC =，120B ∠=︒．（1）用直尺和圆规作出AB 的垂直平分线，分别交AC ，AB 于点M ，N （保留作图痕迹，不写作法）；（2）猜想CM与AM之间有何数量关系，并证明你的猜想．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．（1）依题意补全图形（保留作图痕迹），并求证四边形BPEQ是菱形；（2）若AB＝6，F为AB的中点，且OF+OB＝9，求PQ的长．11．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、M均在格点上，P为线段OM上的一个动点．（1）OM的长等于________；OP 时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点P （2）当点P在线段OM上运动，且4的位置（保留作图的痕迹）．12．新定义：如图1，E、F、G、H四点分别在四边形ABCD的四条边上，若四边形EFGH为矩形，我们称矩形EFGH为四边形ABCD的内接矩形．（1）如图2，网格中的每个小四边形都是正方形，由35个小正方形组成的矩形ABCD，E、F在格点上，请在图2中画出四边形ABCD的内接矩形EFGH．（2）如图3，矩形EFGHABCD 中，矩形EFGH 为四边形ABCD 的内接矩形5AB =，点E 在线段AB 上且2,6BE BC ==，求BF 的长．（3）①如图4，平行四边形,5,60ABCD AB B =∠=︒，E 在AB 上，请你在图4中画出其内接矩形EFGH （尺规作图，并保留作图痕迹），F 在BC 边上．①在①的条件下，EG 最小值为____________13．如图，①ABC 内接于①O ，AB 是①O 的直径，过点A 作AD 平分①BAC ，交①O 于点D ，过点D 作DE ①BC 交AC 的延长线于点E ．（1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）；（2）判断并证明：直线DE 与①O 的位置关系；（3）若AB =10，BC =8，求CE 的长．14．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图①ABC 是一个格点三角形，点A 的坐标为（-2，2）．（1）点B 的坐标为 ，①ABC 的面积为 ；（2）在所给的方格纸中，请你以原点O 为位似中心，将①ABC 缩小为原来的一半（仅用直尺）； （3）在（2）中，若P （a ，b ）为线段AC 上的任一点，则缩小后点P 的对应点P 1的坐标为 ． （4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．①如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，①ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作①ABC的高AH．15．如图，在Rt①ABC中，①C=90°，点D是AB的中点，AC＜BC．(1)试用无刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)．(2)在(1)的条件下，若DE分Rt①ABC面积为1﹕2两部分，请探究AC与BC的数量关系．16．如图，将①ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（1）边AC的长等于_____．（2）以点C为旋转中心，把①ABC顺时针旋转，得到①A'B'C'，使点B的对应点B'恰好落在边AC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出旋转后的图形，并简要说明作图的方法（不要求证明）．17．如图（甲、乙），AB为半圆①O1的直径，AO1为半圆①O2的直径，仅用无刻度的直尺完成下列作图：（1）如图甲，C 为半圆①O 1上一点，请在半圆①O 1找个点D ，使得D 恰为AC 的中点；（2）如图乙，E 为半圆①O 2上一点，请在半圆①O 2找个点F ，使得F 恰为AE 的中点．18．已知①ABC ．（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接OD OE 、求证：OD OE =； （3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且①BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．19．如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F ，再分别以点 B 、F 为圆心，大于12BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P ，连接 AP 并延长交 BC 于点 E ，连接 EF ． （1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形 ABEF 是菱形；（2）若菱形 ABEF 的边长为 2，AE ＝ 2 ABEF 的面积．20．在边长为1的正方形网格图中，点B 的坐标为(2，0)，点A 的坐标为(0，－3)．（1）在图1中，请建立合适的坐标系，把线段AB 绕原点旋转180°得线段DE （其中A 与D 是对应点），则四边形ABDE 是 形，面积等于 ．（2）在图2中，仅使用无刻度的直尺，作出以AB 为边的矩形ABFG ，使其面积为11（保留作图痕迹，不写做法）21．如图，在图中求作①P ，使①P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到①AOB 两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）22．如图，已知ABC ∆是锐角三角形()AC AB <．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若53BM =，2BC =，则O 的半径为________． 23．在①ABC 中，①ACB ＝90°．（1）作出经过点B ，圆心O 在斜边AB 上且与边AC 相切于点E 的①O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）设（1）中所作的①O 与边AB 交于异于点B 的另外一点D ，若①O 得直径为5，BC ＝4，求AD 的长度．（如果尺规作图画不出图形，此小题可画草图解答）24．（1）如图①，点E在正方形ABCD的内部，且EB＝EC，过点E画一条射线平分∠BEC；（2）如图①，在∠ABC中，DE∠BC，EF∠AB，请仅用直尺（无刻度）作一个三角形，使所作三角形的面积等于∠ABC面积的一半并把所作的三角形用阴影表示出来．25．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，矩形ABCD的顶点A、D在圆上, B、C两点在圆内，已知圆心O，请仅用无刻度的直尺作图，请作出直线l①AD；（2）请仅用无刻度的直尺在下列图2和图3中按要求作图．（补上所作图形顶点字母）①图2是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边作一个菱形；①图3是矩形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边作一个平行四边形．26．已知：Rt①ABC ，①C ＝90°．（1）点E 在BC 边上，且①ACE 的周长为AC ＋BC ，以线段AE 上一点O 为圆心的①O 恰与AB 、BC 边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E 、O 的位置；（2）若BC ＝8，AC ＝4，求①O 的半径．27．（1）如图1，已知AC①直线l ，垂足为C ．请用直尺（不含刻度）和圆规在直线l 上求作一点P （不与点C 重合），使PA 平分①BPC ；（2）如图2，在（1）的条件下，若90PAB ∠=︒，，作BD①直线l ，垂足为D ，则BD= ．28．已知，如图，在边长为10的菱形ABCD 中，cos①B ＝310，点E 为BC 边上的中点，点F 为边AB 边上一点，连接EF ，过点B 作EF 的对称点B ′， （1）在图（1）中，用无刻度的直尺和圆规作出点B ′（不写作法，保留痕迹）；（2）当①EFB ′为等腰三角形时，求折痕EF 的长度．（3）当B ′落在AD 边的中垂线上时，求BF 的长度．29．如图，已知点M 在直线l 外，点N 在直线l 上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留痕迹，不写作法．（1）在图①中，以线段MN 为一条对角线作菱形MPNQ ，使菱形的边PN 落在直线l 上（2）在图①中，做圆O ，使圆O 过点M ，且与直线l 相切于N ．30．如图，直线1l 与2l 相交于点O ，A ，B 是2l 上两点，点P 是直线1l 上的点，且30APB ∠=︒，请利用圆规和无刻度直尺在图中作出符合条件的点P ．31．如图，平面内有线段AB 和一点P ．按照要求，用无刻度的直尺和圆规作图，请保留作图痕迹． （1）在图1中求作①ABC ，使AC ＝AB ，且使点P 到AB 和AC 的距离相等；（2）在图2中求作①ABC ，使点P 到点A 、点C 的距离相等，且使①C ＝12①APB ．32．已知：如图，在Rt①ABC 中，①C ＝90°，①A≠①B ．（1）请利用直尺和圆规作出①ABC 关于直线AC 对称的①AGC ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在AG 边上找一点D ，使得BD 的中点E 满足CE ＝AD ．请利用直尺和圆规作出点D 和点E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）33．（1）如图1，点A 在O 上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形ABC ，使得点B 、C 都在O 上．（2）已知矩形ABCD 中，4AB =，BC m =．①如图2，当4m =时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形AEF ，使得点E 在边BC 上，点F 在边CD 上；①若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF ，请直接写出m 的取值范围．。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，填空题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_尺规作图_作图—基本作图，填空题专训1、(2016北京.中考真卷) 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是________2、(2019本溪.中考真卷) 如图，是矩形的对角线，在和上分别截取，使；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，若，则点到的距离为________.3、(2018葫芦岛.中考真卷) 如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E 、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=________．4、(2017通州.中考模拟) 阅读下面材料：尺规作图：作一条线段等于已知线段．已知：线段AB．求作：线段CD，使CD=AB．在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是________．5、(2017东城.中考模拟) 下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程．已知：如图1，线段AB．求作：以AB为直径的⊙O．作法：如图2，（i）分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；（ii）作直线CD交AB于点O；（iii）以O为圆心，OA长为半径作圆．则⊙O即为所求作的．请回答：该作图的依据是________．6、(2017于洪.中考模拟) 在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图，分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=6，BC=4，则△ADE的周长为_______ _．7、(2019朝阳.中考模拟) 在数学课上，老师提出如下问题：己知：直线l和直线外的一点P.求作：过点P作直线于点Q.己知：直线l和直线外的一点P.求作：过点P作直线于点Q.小华的作法如下：如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.如图，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作的平分线，交直线l于点Q.直线PQ即为所求作.老师说：“小华的作法正确”.请回答：小华第二步作图的依据是________.8、(2017农安.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，按如下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，③连接BD，若AC=8，则BD的长为________．9、(2019新昌.中考模拟) 如图，在中，AD平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若，，，求BD的长是________．10、(2017浙江.中考模拟) 如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。

初中数学2021年天津市中考数学题型专项复习训练含答案COOCO.因你而专业.可圈可点web试卷生成系统谢谢使用题号一、简二、综答题合题总分得分评卷人得分一、简答题（每空？分，共？分）1、如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线y=－x＋4与x轴交于点A,与y 轴交于点B. (Ⅰ)求点A,B的坐标;(Ⅱ)在直线AB上是否存在点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB上,点O与点D重合,折痕为BC,求折痕BC所在直线的解析式.第1题图2、如图,已知A(－3,0),C(0,),点B在x轴正半轴上,且OB=OA.(Ⅰ)求出∠ABC的度数;(Ⅱ)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC 边上的P处,求t的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情况下,直接写出点P的坐标.第2题图3、如图,在平面直角坐标系中,正方形OBCD的点B的坐标为(2,0),E,F分别为边BC,CD上的点,且BE=CF,连接OE,BF,交点为G,将△BCF沿BF对折,得到△BPF,延长FP交x轴于点Q. (Ⅰ)求证:OE⊥BF;(Ⅱ)若E为BC的中点,求点Q的坐标;(Ⅲ)设点E的坐标为(2,n),点Q的坐标为(－m,0),请写出m关于n的函数关系式.第3题图4、如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B在x轴的正半轴上,∠AOB=45°,线段OA,AB的长满足|OA－|＋(AB－)2=0,点C在OA边上,将△OBC沿x轴折叠,使点C落在点D上,连接BC.(Ⅰ)求∠A的度数;(Ⅱ)当OC:OA=1:时,求BD所在直线的解析式;(Ⅲ)当OC:CA=1:2时,在平面内是否存在点N,使以点N,O,D,M(点M为坐标轴上一点)为顶点的四边形为正方形？若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.第5题图5、如图①,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.(Ⅰ)直接写出点E、F的坐标;(Ⅱ)如图②,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关于x的代数式表示S;(Ⅲ)如图③,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值.(直接写出结果即可)第6题图6、如图①,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(8,0),C(0,4),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),将△PAB沿PB翻折,得到△PDB, (Ⅰ)如图①,当∠BPA=30°时,求点D的坐标;(Ⅱ)现在OC边上选取适当的点E,再将△POE沿PE翻折,得到△PEF.并使直线PD、PF重合.如图②,设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点F恰好落在边CB上时,求点P的坐标.(直接写出结果即可).第7题图7、.如图,Rt△AOB在平面直角坐标系中,已知B(0,),点A在x轴的正半轴上,OA=3,∠BAD=30°,将△AOB沿AB翻折,点O到点C的位置,连接CB并延长交x轴于点D.(Ⅰ)求点D的坐标;(Ⅱ)动点P从点D出发,以每秒2个单位的速度沿x轴的正方向运动,当△PAB为直角三角形时,求t的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当△PAB为以∠PBA为直角的直角三角形时,在y轴上是否存在一点Q使△PBQ为等腰三角形？如果存在,请直接写出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.第8题图8、如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(8,4),将该长方形沿OB翻折,点A的对应点为点D,OD与BC交于点E.(Ⅰ)证明:EO=EB; (Ⅱ)求点E的坐标;(Ⅲ)点M是OB上任意一点,点N是OA上任意一点,是否存在点M、N,使得AM＋MN最小？若存在,求出其最小值;若不存在,请说明理由.评卷人得分二、综合题（每空？分，共？分）9、在平面直角坐标系中,一张矩形纸片OBCD按图①所示放置,已知OB=10,BC=6,将这张纸片折叠,使点O落在边CD上,记作点A,折痕与边OD(含端点)交于点E,与边OB(含端点)或其延长线交于点F.(Ⅰ)如图①,若点E的坐标为(0,4),求点A的坐标; (Ⅱ)将矩形沿直线y=－x＋n折叠,求点A的坐标;(Ⅲ)将矩形沿直线y=kx＋n折叠,点F在边OB上(含端点),直接写出k的取值范围.第4题图10、如图,平面直角坐标系中,矩形OABC,B(5,4),将矩形沿过点C的直线翻折,使点B落在线段OA上的点D处,折痕交AB于点E,P(m,0)是射线OA上一动点过点P作x轴的垂线,分别交直线CE和直线CB于点Q和点R.(Ⅰ)求点E的坐标;(Ⅱ)在点P的运动过程中,求的值;(Ⅲ)设直线CE交x轴于点F,过点P作x轴的垂线交直线CD于点K,连接KE,当∠CKE=∠CFO时,求出m的值和线段CQ的长.第9题图参考答案一、简答题1、解:(Ⅰ)在y=－x＋4中,令x=0可得y=4,令y=0可求得x=4, ∴A(4,0),B(0,4);(Ⅱ)如解图①,作线段OA的垂直平分线,交x轴于点E,交AB于点P,则OP=PA,即P点即为满足条件的点, ∵OA=4, ∴OE=2,在y=－x＋4中,当x=2时,可得y=2, ∴P点坐标为(2,2); (Ⅲ)如解图②,设C(t,0),则AC=OA－OC=4－t, ∵OA=OB=4, ∴AB=4,由折叠的性质可得BD=OB=4,CD=OC=t,∠ADC=∠BOC=90°,∴AD=AB－BD=4－4,在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2=AD2＋CD2,即(4－t)2=t2＋(4－4)2,解得t=4－4,∴C(4－4,0),设直线BC解析式为y=kx＋b,∴,解得,∴折痕BC的解析式为y=－(1＋)x＋4.图① 图②第1题解图2、解:(Ⅰ)∵A(－3,0),C(0,),∴OA=3,OC=,点B在x轴正半轴上,且OB=OA.∴OB=1,∴tan∠ABC＝,∴∠ABC=60°; (Ⅱ)∵OA=3,OB=1,OC=,∴BC=2,AB=4,∴∠B=60°,BM=BN, ∴△BMN是等边三角形, ∴△PMN也是等边三角形, ∴PN=BN=t,∠PNM=∠NMB=60°, ∴PN∥AB,∴,即,∴t=;(Ⅲ)P点的坐标是(?1,).【解法提示】如解图,过点P作PD⊥AB,垂足为D,∵t=,∴BM=PM=,∠PMD=∠CBA=60°,∴PD=,DM=,∴OD=1,∴P点的坐标是(?1,).第2题解图3、解:(Ⅰ)在△BEO和△CFB中,,∴△BEO≌△CFB,∴∠BEO=∠CFB, ∵∠CFB＋∠CBF=90°, ∴∠BEO＋∠CBF=90°,∴∠EGB=180°－90°=90°, ∴OE⊥BF;(Ⅱ)如解图，由折叠的性质得∠1=∠2,BP=BC=2,FP=FC=BE=1,∵CD∥OB, ∴∠2=∠FBQ,∴∠1=∠FBQ,∴QF=QB,设QB=x,则PQ=x－1, 在Rt△BPQ中，QB2=PB2+PQ2, 即x2=22+(x-1)2,解得x=,∴QO=QB-OB=-2=,∴点Q的坐标是(－,0);(Ⅲ)如解图，过点F作FH⊥OB于点H, 则四边形BCFH为矩形,即CF=BH,∵点E的坐标为(2,n),BE=CF, ∴CF=BH=BE=n,由折叠的性质可得BC=BP=2,BP⊥QF,∵S△FBQ=QB・FH=QF・BP,∴QB=QF, ∵QB=OB+OQ=m+2,在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即(m+2)2=(m+2-n)2+22,∴m=.第3题解图4、解:(Ⅰ)∵|OA－|＋(AB－)2=0,∴OA－=0,AB－=0,∴OA=,AB=,如解图①,过点A作AM⊥x轴,垂足为M, 又∵∠AOB=45°,∴△AOM为等腰直角三角形,∴∠OAM=45°,∴OM=AM=OA=3,∴MB==,∴MB=AB,∴∠MAB=30°,∴∠OAB=∠OAM＋∠MAB=75°;(Ⅱ)如解图②,连接CD交x轴于点N,感谢您的阅读，祝您生活愉快。

天津市河西区普通中学2021届初三数学中考复习 圆的有关计算与尺规作图 专项练习 1．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .假设△ADC 的周长为10，AB ＝7，那么△ABC 的周长为( C )A ．7B ．14C ．17D ．202．圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，那么它的侧面展开图的面积等于( C ) A ．24 cm 2 B ．48 cm 2 C ．24π cm 2 D ．12π cm 23．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，假设∠OCA ＝50°，AB ＝4，那么BC ︵的长为( B ) A.103π B.109π C.59π D.518π 4．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，假设点D 为AB 的中点，那么阴影局部的面积是( A )A ．23－23πB ．43－23πC ．23－43π D.23π5．如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，那么该圆锥的高为( D ) A ．10 cm B ．15 cm C ．10 3 cm D ．20 2 cm6．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD ＝30°，CD ＝43，那么S 阴影＝( B )A ．2π B.83π C.43π D.38π7. 如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动(不滑动)，点B 从开场到完毕，所经过途径的长度为( C ) A.32π cm B ．(2＋23π) cm C.43π cm D ．3 cm 8. 如图，从直径是2米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC (A ，B ，C 三点在⊙O 上)，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，那么该圆锥的底面圆的半径是4米．9．如下图的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，那么r 上__＜__r 下．(填“＜〞“＝〞“＜〞)10．一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm ，圆心角为120°的扇形，那么此圆锥底面圆的半径为__83_cm__．11．如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O ，A ，B 均为格点，那么扇形OAB 的面积大小是__5π4__．12．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，那么所得的扇形ABD 的面积为__25__．13．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，以点A 为圆心，OA 的长为半径作OC ︵交AB ︵于点C ，假设OA ＝2，那么阴影局部的面积为3．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N .劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；(2)求图中所示的阴影局部的面积．(结果用π表示) 解：(1)作OD ⊥AB 于D ，∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝65π，解得OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－43x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，x ＝3；当x ＝0时，y ＝4， ∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4， ∴AB ＝32＋42＝5，∵△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝125＝半径OM ，∴直线AB 与⊙O 相切(2)图中所示的阴影局部的面积＝△AOB 的面积－扇形OMN 的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－3625π15．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点且∠BOD＝60°，过点D 作⊙O 的切线CD 交AB 的延长线于点C ，E 为AD ︵的中点．连接DE ，EB. (1)求证：四边形BCDE 是平行四边形；(2)图中阴影局部面积为6π，求⊙O 的半径r.解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，∠BOD ＝60°，∴OD ⊥CD ，∠C ＝30°，∴∠DEB ＝12∠DOB＝30°，连接OE ，那么∠AOE＝60°，∴∠EBA ＝12∠AOE＝30°，∴EB ∥CD ，ED ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形 (2)由(1)知OD⊥EB，设OD 与EB 交点为H ，∴BH ＝HE ，∴△OBH≌△DEH ，∴阴影局部面积与扇形OBD 面积相等，∴S 阴影＝60πr 2360＝6π，解得r ＝616．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且CD ∥AB ，连接AC ，AD ，OD ，其中AC ＝CD ，过点B 的切线交CD 的延长线于E . (1)求证：DA 平分∠CDO ； (2)假设AB ＝12，求图中阴影局部的周长之和．(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7) 解：(1)∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠BAD ， 又∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠BAD ， ∴∠ADO ＝∠CDA ， ∴DA 平分∠CDO(2)连接BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， ∵AC ＝CD ，∴∠CAD ＝∠CDA ， 又∵CD ∥AB ，∴∠CDA ＝∠BAD ，∴∠CDA ＝∠BAD ＝∠CAD ，∴AC ︵＝DC ︵＝DB ︵， 又∵∠AOB ＝180°，∴∠DOB ＝60°， ∵OD ＝OB ，∴△DOB 是等边三角形，∴BD ＝OB ＝12AB ＝6，∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD ＝6， ∵BE 切⊙O 于B ，∴BE ⊥AB ， ∴∠DBE ＝∠ABE －∠ABD ＝30°， ∵CD ∥AB ，∴BE ⊥CE ，∴DE ＝12BD ＝3，BE ＝BD ·cos30°＝6×32＝33，∴BD ︵的长＝60π×6180＝2π，∴图中阴影局部周长之和为2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5。

2021年天津市中考中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. (2021·天津市·历年真题)计算(−5)×3的结果等于( )A. −2B. 2C. −15D. 152. (2021·天津市·历年真题)tan30°的值等于( )A. √33B. √22C. 1D. 23. (2021·天津市·历年真题)据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人.将141178用科学记数法表示应为( )A. 0.141178×106B. 1.41178×105C. 14.1178×104D. 141.178×1034. (2021·天津市市辖区·模拟题)在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A.B.C.D.5. (2021·天津市·历年真题)如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.6. (2017·重庆市市辖区·期中考试)估算√17的值在( )A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间7. (2021·天津市·历年真题)方程组{x +y =23x +y =4的解是( )A. {x =0y =2B. {x =1y =1C. {x =2y =−2D. {x =3y =−38.(2021·天津市·历年真题)如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0,1)，(−2,−2)，(2,−2)，则顶点D的坐标是()A. (−4,1)B. (4,−2)C. (4,1)D. (2,1)9.(2021·天津市·历年真题)计算3aa−b −3ba−b的结果是()A. 3B. 3a+3bC. 1D. 6aa−b10.(2021·天津市·历年真题)若点A(−5,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)都在反比例函数y=−5x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y1<y3<y2D. y3<y1<y211.(2021·天津市·历年真题)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是()A. ∠ABC=∠ADCB. CB=CDC. DE+DC=BCD. AB//CD12.(2021·天津市·历年真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：①abc>0；②关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根；③a+b+c>7．其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.(2021·天津市·历年真题)计算4a+2a−a的结果等于______ ．14.(2021·天津市·历年真题)计算(√10+1)(√10−1)的结果等于______ ．15. (2021·天津市·历年真题)不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是______ ． 16. (2021·天津市·历年真题)将直线y =−6x 向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______ ．17. (2021·天津市·历年真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BC ，CD 的延长线上，且CE =2，DF =1，G 为EF 的中点，连接OE ，交CD 于点H ，连接GH ，则GH 的长为______ ．18. (2021·天津市·历年真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B 在网格线上． (Ⅰ)线段AC 的长等于______ ；(Ⅱ)以AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段AB 上有一点P ，满足AP =AC.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明) ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19. (2021·天津市·历年真题)解不等式组{x +4≥3,①6x ≤5x +3.②请结合题意填空，完成本题的解答．(Ⅰ)解不等式①，得______ ； (Ⅱ)解不等式②，得______ ；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．20.(2021·天津市·历年真题)某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量(单位：t).根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为______ ，图①中m的值为______ ；(Ⅱ)求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．21.(2021·天津市·历年真题)已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=42°，点D是⊙O上一点．(Ⅰ)如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；(Ⅱ)如图②，若CD//BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．22.(2021·天津市·历年真题)如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援.求AB的长(结果取整数)参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73．23.(2021·天津市·历年真题)在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km.李华从学校出发，匀速骑行0.6ℎ到达书店；在书店停留0.4ℎ后，匀速骑行0.5ℎ到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5ℎ后减速，继续匀速骑行回到学校.给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离y km与离开学校的时间xℎ之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：(Ⅰ)填表：离开学校的时间/ℎ0.10.50.813离学校的距离/km2______ ______ 12______(Ⅱ)填空：①书店到陈列馆的距离为______ km；②李华在陈列馆参观学习的时间为______ h；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为______ km/ℎ；④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为______ ℎ.(Ⅲ)当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．24.(2021·天津市·历年真题)在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=90°，BO=BA，顶点A(4,0)，点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E(−72,0)，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．(Ⅰ)如图①，求点B的坐标；(Ⅱ)将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′.设OO′=t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当52≤t≤92时，求S的取值范围(直接写出结果即可)．25.(2021·天津市·历年真题)已知抛物线y=ax2−2ax+c(a,c为常数，a≠0)经过点C(0,−1)，顶点为D．(Ⅰ)当a=1时，求该抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)当a>0时，点E(0,1+a)，若DE=2√2DC，求该抛物线的解析式；(Ⅲ)当a<−1时，点F(0,1−a)，过点C作直线l平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点，N(m+3,−1)是直线l上的动点.当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标．答案和解析1.【答案】C【知识点】有理数的乘法【解析】解：(−5)×3=−(5×3)=−15，故选：C．根据有理数的乘法法则计算可得．本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2.【答案】A【知识点】特殊角的三角函数值．【解析】解：tan30°=√33故选：A．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．3.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：141178=1.41178×105．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．4.【答案】A【知识点】轴对称图形【解析】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．利用轴对称图形的定义进行解答即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．5.【答案】D【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：从正面看，从左到右有三列，每列的小正方形的个数分别为1、2、2．故选：D．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6.【答案】C【知识点】估算无理数的大小【解析】解：∵√17≈4.12，∴√17的值在4和5之间．故选：C．本题需先根据√17的整数部分是多少，即可求出它的范围．本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题．7.【答案】B【知识点】灵活选择解法解二元一次方程(组)【解析】解：{x+y=2①3x+y=4② 由②−①，得：2x=2，∴x=1，把x=1代入①式，得：1+y=2，解得：y=1，所以，原方程组的解为{x =1y =1．故选：B ．可以用代入消元法解二元一次方程组或者用加减消元法解二元一次方程组．本题主要考查了学生对解方程组方法的掌握情况．用代入法解方程组的时候建议选择系数绝对值最小的项转化，再代入求解；用加减消元不要急着加减，先观察消哪一个未知数最方便，解完方程组之后，一定要进行最后一步，写解．注意，①算完之后最好把得出的解代入原方程组验证；②对于选择题来说，实在不会解方程组的同学，可以把选项中的解代入原方程组，一一验证也可得出正确的答案．8.【答案】C【知识点】坐标与图形性质、平行四边形的性质 【解析】解：∵(−2,−2)，(2,−2)， ∴BC =2−(−2)=2+2=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC =4， ∵点A 的坐标为(0,1)， ∴点D 的坐标为(4,1)， 故选：C ．首先根据B 、C 两点的坐标确定线段BC 的长，然后根据A 点的坐标向右平移线段BC 的长度即可求得点D 的坐标．考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段BC 的长，难度不大．9.【答案】A【知识点】分式的加减 【解析】解：3aa−b −3ba−b=3a −3ba −b =3(a −b)a −b=3， 故选：A ．根据同分母的分式相减的法则进行计算即可．本题考查了分式的加减，能熟记分式的加减法则是解此题的关键．10.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】解：∵反比例函数y=−5中，k=−5<0，x∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵−5<0，0<1<5，∴点A(−5,y1)在第二象限，点B(1,y2)，C(5,y3)在第四象限，∴y2<y3<y1．故选：B．先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．11.【答案】D【知识点】旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质【解析】解：由旋转的性质得出CD=CA，∠EDC=∠CAB=120°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠ADC=60°，∴△ADC为等边三角形，∴∠DAC=60°，∴∠BAD=60°=∠ADC，∴AB//CD，故选：D．由旋转的性质得出CD=CA，∠EDC=∠CAB=120°，则可得出结论．本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．12.【答案】D【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、根的判别式【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)经过点(−1,−1)，(0,1)，∴c=1，a−b+c=−1，∴a=b−2，∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1．∴4a−2b+1>1，∴4(b−2)−2b+1>1，解得：b>4，∴a=b−2>0，，∴abc>0，故①正确；②∵a=b−2，c=1，∴(b−2)x2+bx+1−3=0，即∴(b−2)x2+bx−2=0，∴△=b2−4×(−2)×(b−2)=b2+8b−16=b(b+8)−16，∵b>4，∴△>0，∴关于x的方程ax2+bx+c−3=0有两个不等的实数根，故②正确；③∵a=b−2，c=1，∴a+b+c=b−2+b+1=2b−1，∵b>4，∴2b−1>7，∴a+b+c>7．故③正确；故选：D．①当x=0时，c=1，由点(−1,−1)得a=b−2，由x=−2时，与其对应的函数值y>1可得b>4，进而得出abc>0；②将a=b−2，c=1代入方程，根据根的判别式即可判断；③将a=b−2，c=1代入a+b+c，求解后即可判断．本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．13.【答案】5a【知识点】合并同类项【解析】解：4a+2a−a=(4+2−1)a=5a．故答案为：5a．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此计算即可．本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．14.【答案】9【知识点】二次根式的混合运算、平方差公式【解析】解：原式=(√10)2−1=10−1=9．故答案为9．利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.【答案】37【知识点】概率公式【解析】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是3，7故答案为：3．7根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事．件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn16.【答案】y=−6x−2【知识点】一次函数图象与几何变换【解析】解：将直线y=−6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=−6x−2，故答案为：y=−6x−2．根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．17.【答案】√132【知识点】三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质 【解析】解：以O 为原点，垂直AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD 的边长为4，CE =2，DF =1， ∴E(4,−2)，F(2,3)， ∵G 为EF 的中点， ∴G(3,12)，设直线OE 解析式为y =kx ，将E(4,−2)代入得： −2=4k ，解得k =−12， ∴直线OE 解析式为y =−12x ， 令x =2得y =−1， ∴H(2,−1)，∴GH =√(3−2)2+(−1−12)2=√132， 故答案为：√132．以O 为原点，垂直AB 的直线为x 轴，由已知可得E(4,−2)，F(2,3)，又G 为EF 的中点，得G(3,12)，设直线OE 解析式为y =kx ，可得y =−12x ，从而H(2,−1)，GH =√(3−2)2+(−1−12)2=√132． 本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出G 和H 的坐标．18.【答案】√5 取BC 与网格线的交点D ，连接OD 延长OD 交⊙O 于D 点E ，连接AE交BC 于点G ，连接BE ，延长AC 交BE 的的延长线于F ，连接FG 延长FG 交AB 于点P，点P即为所求【知识点】勾股定理、圆周角定理【解析】解：(Ⅰ)AC=√22+12=√5．故答案为：√5．(Ⅱ)如图，取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于D点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．故答案为：取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于D点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求(Ⅰ)利用勾股定理求解即可．(Ⅱ)取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于D点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19.【答案】x≥−1x≤3−1≤x≤3【知识点】在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的解法【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，得x≥−1；(Ⅱ)解不等式②，得x≤3；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为−1≤x≤3．故答案为：x≥−1，x≤3，−1≤x≤3．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.【答案】50 20【知识点】加权平均数、中位数、条形统计图、众数【解析】解：(Ⅰ)本次接受调查的家庭个数为：8÷16%=50(个)；m%=10×100%=20%，即m=20；50故答案为：50，20；=5.9(t)，(Ⅱ)这组月均用水量数据的平均数是：5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×450∵6出现了16次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是6t；将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，∴这组数据的中位数是6t．(Ⅰ)根据每月用水5t的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水6.5t的户数除以总户数，即可得出m的值；(Ⅱ)根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．21.【答案】解：(Ⅰ)如图①，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1(180°−∠BAC)=21×(180°−42°)=69°，2∵BD为直径，∴∠BCD=90°，∵∠D=∠BAC=42°，∴∠DBC=90°−∠D=90°−42°=48°；∴∠ACD=∠ABD=∠ABC−∠DBC=69°−48°=21°；(Ⅱ)如图②，连接OD，∵CD//AB，∴∠ACD=∠BAC=42°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°−∠B=180°−69°=111°，∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=180°−42°−111°=27°，∴∠COD=2∠COD=54°，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，∴∠E=90°−∠DOE=90°−54°=36°．【知识点】圆周角定理、切线的性质、三角形的外接圆与外心【解析】(Ⅰ)如图①，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=69°，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，∠D=42°，利用互余计算出∠DBC的度数，利用圆周角定理计算∠ABD的度数，从而得到∠ACD的度数；(Ⅱ)如图②，连接OD，利用平行线的性质得到∠ACD=∠BAC=42°，利用圆内接四边形的性质计算出∠ADC=111°，再根据三角形内角和计算出∠CAD=27°，接着利用圆周角定理得到∠COD=54°，然后根据切线的性质得到∠ODE=90°，最后利用互余计算出∠E的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．22.【答案】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC=60°，∠BCA=40°，AC=257，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH ，cos∠BAH=AHAB，∴BH=AH⋅tan60°=√3AH，AB=AHcos60∘=2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH =BHCH ， ∴CH =BH tan40∘=√3AHtan40°， 又∵CA =CH +AH ， ∴257=√3AHtan40°+AH ， 所以AH =tan40°+√3，∴AB =tan40°+√3≈2×257×0.841.73+0.84=168(海里)，答：AB 的长约为168海里．【知识点】解直角三角形的应用【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可． 本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．23.【答案】10 12 20 8 3 28 15或316【知识点】一次函数的应用【解析】解：(Ⅰ)由题意得：当x =0.5时，y =10；当x =0.8时，y =12；当x =3时，y =20；故答案为：10；12；20； (Ⅱ)由题意得：①书店到陈列馆的距离为：(20−12)=8(km)； ②李华在陈列馆参观学习的时间为：(4.5−1.5)=3(ℎ)；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：(20−6)÷(5−4.5)=28(km/ℎ)； ④当李华离学校的距离为4km 时，他离开学校的时间为：4÷(2÷0.6)=15(ℎ)或5+(6−4)÷[6÷(5.5−5)]=316(ℎ)，故答案为：①8；②3；③28；④15或316； (Ⅲ)当0≤x ≤0.6时，y =20x ； 当0.6<x ≤1时，y =12；当1<x ≤1.5时，设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，根据题意，得： {k +b =121.5k +b =20，解得{k =16b =−4， ∴y =16x −4，综上所述，y ={20x(0≤x ≤0.6)12(0.6<x ≤1)16x −4(1<x ≤1.5)．(Ⅰ)根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可； (Ⅱ)根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可； (Ⅲ)根据分段函数，利用待定系数法求解即可．本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．24.【答案】解：(1)如图①，过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H ， 由点A(4,0)，得OA =4， ∵BO =BA ，∠OBA =90°， ∴OH =BH =12OA =12×4=2，∴点B 的坐标为(2,2)； (2)①由点E(−72,0)， 得OE =72，由平移知，四边形O′C′D′E′是矩形， 得∠O′E′D′=90°，O′E′=OE =72， ∴OE′=OO′−O′E′=t −72，∠FE′O =90°，∵BO =BA ，∠OBA =90°， ∴∠BOA =∠BAO =45°， ∴∠OFE′=90°−∠BOA =45°， ∴∠FOE′=∠OFE′， ∴FE′=OE′=t −72，∴S △FOE ′=12OE′⋅FE′=12(t −72)2，∴S =S △OAB −S △FOE ′=12×4×2−12(t −72)2， 即S =−12t 2+72t −178(4≤t <112)；②(Ⅰ)当4<t ≤92时，由①知S =−12t 2+72t −178=−12(t −72)2+4，∴当t =4时，S 有最大值为318，当t =92时，S 有最小值为72，∴此时72<S ≤318； (Ⅱ)当72<t ≤4时，如图2，令D′C′与AB 交于点M ，D′E′与DB 交于点N ，∴S =S △OAB −S △OE′N −S △O’AM =4−12(t −72)2−12(4−t)2=−t 2+152t −118=−(t −154)2+6316， 此时，当t =154时，S 有最大值为6316，当t =4时，S 有最小值为318， ∴318≤S ≤6316； (Ⅲ)当52≤t ≤72时，如图3，令D′C′与AB交于点M ，此时点D′位于第二象限，∴S =S △OAB −S △O’AM =4−12(4−t)2=−12t 2+4t −4=−12(t −4)2+4，此时，当t =52时，S 有最小值为238，当t =72时，S 有最大值为318，∴238≤S ≤318；综上，S 的取值范围为238≤S ≤6316；∴S 的取值范围为238≤S ≤6316．【知识点】四边形综合【解析】(1)作BH ⊥OA 于H ，根据已知数据计算出OH 和BH 即可得出B 点坐标；(2)①先用t 表示出三角形FOE′的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形AOB 的面积减三角形FOE′的面积得出函数关系式即可；②根据函数的性质求出S 在范围内的最大值和最小值即可得出取值范围．本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握二次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．25.【答案】解：抛物线y =ax 2−2ax +c(a,c 为常数，a ≠0)经过点C(0,−1)，则c =−1， (Ⅰ)当a =1时，抛物线的表达式为y =x 2−2x −1=(x −1)2−2，故抛物线的顶点坐标为(1,−2)；(Ⅱ)∵y =ax 2−2ax −1=a(x −1)2−a −1，故点D(1,−a −1)，由DE =2√2DC 得：DE 2=8CD 2，即(1−0)2+(a +1+a +1)2=8[(1−0)2+(−a −1+1)2]，解得a =12或32，故抛物线的表达式为y =12x 2−x −1或y =32x 2−3x −1；(Ⅲ)将点D 向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′(−2,−a)，作点F 关于x 轴的对称点F′，则点F′的坐标为(0,a −1)，当满足条件的点M 落在F′D′上时，由图象的平移知DN =D′M ，故此时FM +ND 最小，理由：∵FM +ND =F′M +D′M =F′D′为最小，即F′D′=2√10，则D′F′=√(−2−0)2+(−a −2+1)2=2√10，解得a =72(舍去)或−52，则点D′、F′的坐标分别为(−2,52)、(0,−72)，由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y =−3x −72，当y =0时，y =−3x −72=0，解得x =−76=m ，则m +3=116，即点M 的坐标为(−76,0)、点N 的坐标为(116,−1)．【知识点】二次函数综合【解析】(Ⅰ)由y=x2−2x−1=(x−1)2−2，即可求解；(Ⅱ)由DE=2√2DC得：DE2=8CD2，则(1−0)2+(a+1+a+1)2=8[(1−0)2+ (−a−1+1)2]，即可求解；(Ⅲ)当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN=D′M，故此时FM+ND最小，进而求解．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

一、选择题7．（2021·鄂尔多斯）已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（）A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）A【解析】由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，∵四边形AOCD为平行四边形，∴AD∥OC，∴∠AFO＝∠COF，∴∠AOF＝∠AFO，∴OA＝AF，设AF交y轴于M，如图，∵F（2，3），∴MF＝2，OM＝3，设A（t，3），∴AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，在Rt△OAM中，t2+32＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，∴A（﹣，3）．故选：A．8．（2021·益阳）如图，在△ABC中，AC＞BC，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E，经过D，E作直线分别交AB，AC于点M，N，连接BN，下列结论正确的是（）A．AN＝NC B．AN＝BN C．MN＝BC D．BN平分∠ABCB7．(2021·安顺、贵阳) 如图，已知线段AB ＝6，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下： ①分别以点A ，B 为圆心，以b 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． ②作直线CD ，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线． 则b 的长可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D {解析}垂直平分线的作图过程：分别以线段的端点A ，B 为圆心，大于21AB 的长度为半径作弧，交于点C ，D ，连接CD ，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线，∴b ＞21AB ，∵AB =6，∴b ＞3，∴b 取4，因此本题选D ．9．(2021·铜仁)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，按下列步骤作图：步骤1：以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交AC 、AB 于点D 、E ．步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ．步骤3：作射线AM 交BC 于点F ．则AF 的长为（ ）A ．6B ．C ．D ．B {解析}过点F 作FG ⊥AB 于点G ，由尺规作图可知，AF 平分∠BAC ，∵90C ∠=︒，∴FC ⊥AC ，∴FC ＝FG ，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，10AB =，8BC =，∴6AC ==，∵ABCACFABFSSS=+，∴111222AC BC AC FC AB FG ⋅=⋅+⋅，即11168610222FC FG ⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得3=FC ，在Rt AFC ∆中，由勾股定理得AF =9．(2021·济宁) 如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（）A．B．1C．D．4{答案}C{解析}由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠F AD，EA＝ED，F A＝FD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠F AD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四边形AEDF为平行四边形，而EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝2，∵DE∥AB，∴＝，即＝，∴CD＝．7．（2021·永州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 分别交BC 、AB 于点D 和点E ，若∠B ＝50°，则∠CAD 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°{答案}A{解析}由作法得MN 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠DAB ＝∠B ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ＝50°， ∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠CAD ＝∠BAC ﹣∠DAB ＝80°﹣50°＝30°．7．（2021•怀化）如图，在△ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD +BD ＜AB B ．AD 一定经过△ABC 的重心C ．∠BAD ＝∠CAD D ．AD 一定经过△ABC 的外心C8．（2021•湖州）如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＜90°，AB ≠BC ，BE 是AC 边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径作弧，相交于点M ，N ；②过点M ，N 作直线MN ，分别交BC ，BE 于点D ，O ；③连接CO ，DE ．则下列结论错误的是（ ）A ．OB ＝OC B ．∠BOD ＝∠COD C ．DE ∥AB D ．DB ＝DED 【解析】由作法得MN 垂直平分BC ，∴OB ＝OC ，BD ＝CD ，OD ⊥BC ，所以A 选项正确； ∴OD 平分∠BOC ，∴∠BOD ＝∠COD ，所以B 选项正确；∵AE ＝CE ，DB ＝DC ，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，所以C 选项正确； DE =12AB ，而BD =12BC ，∵AB ≠BC ，∴BD ≠DE ，所以D 选项错误．故选：D ．16．（2021•河北16题）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对D【解析】如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知当∠MOF＝∠AOB，∴S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图象可知，这样的点P不唯一，故（Ⅱ）错误，故选：D．8．（2021•荆州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115°D．∠PBC＝∠AD【解析】由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA＝DC，故选项A正确，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故选项B正确，∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB =12（180°﹣40°）＝70°. ∵∠PBC =12∠ABC ＝35°，∠PCB ＝∠ACB ﹣∠ACD ＝30°，∴∠BPC ＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C 正确，若∠PBC ＝∠A ，则∠A ＝36°，显然不符合题意． 故选D ．6．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD 为△ABC 的角平分线的是（ ）A ．B ．C ．D ．C7．(2021·长春) 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ≠A C ．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．A7．(2021·通辽)如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A. BDE BAC ∠=∠B. BAD B =∠∠C. DE DC =D. AE AC =B{解析}根据尺规作图的痕迹可得，DE ⊥AB ，AD 是∠BAC 的平分线，∵∠C=90°，∴DE=DC ，∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°.∵AD=AD ，Rt △AED ≌Rt △ACD （HL ），∴AE=AC.∵DE 不是AB 的垂直平分线，故不能证明∠BAD=∠B.故选B ．5．(2021·鄂州) 已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ． ②以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒B{解析}由已知得OC=OD ，∴∠ODC=∠OCD=（180°－∠AOB ）÷2=（180°－40°）÷2=70°，∵DE=OD ，∴∠DEO=∠AOB=40°，∴∠ODE=180°－40°×2=100°，∴∠CDE=∠DEO －∠ODC=100°－40°=30°．9．(2021·海南) （2021河北）如图，已知a ∥b ，直线l 与直线a 、b 分别交于点A 、B ，分别以点A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交直线b 于点C ，连接AC ，若∠1＝40°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°{答案}C 【解析】∵a ∥b ，∴∠ABC=∠1＝40°，∵分别以点A 、B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，∴MN 垂直平分AB ，∴AC=BC ，∴∠ABC=∠CAB ＝40°，∴∠ACB =180°-40°-40°=100°. 9．(2021·黄石) 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按以下步骤作图：①以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于M 、N 两点；②分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线BP ，交边AC 于D 点．若10AB =，6BC =，则线段CD 的长为（ ）A. 3B.103C.83D.165A【解析】由尺规作图痕迹可知，BD 是∠ABC 的角平分线，过D 点作DH ⊥AB 于H 点，∵∠C=∠DHB=90°，∴DC=DH ，AC 8===，设DC=DH=x ，则AD=AC-DC=8-x ，BC=BH =6，AH=AB-BH =4， 在Rt △ADH 中，由勾股定理：222AD AH DH =+， 代入数据：222(8)4x x -=+，解得3x =，故3CD =．二、填空题15．（2021·营口）如图，40MON ∠=︒，以O 为圆心，4为半径作弧交OM 于点A ，交ON 于点B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧在MON ∠的内部相交于点C ，画射线OC 交AB 于点D ，E 为OA上一动点，连接BE ，DE ，则阴影部分周长的最小值为 ．449π+【解析】由作法得OC 平分MON ∠，4OA OB OD ===，11402022BOD AOD MON ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒，∴BD 的长度为20441809ππ⨯⨯=，作B 点关于OM 的对称点F ，连接DF 交OM 于E '，连接OF ，如图，OF OB ∴=，40FOA BOA ∠=∠=︒，OD OF ∴=，ODF ∴∆为等边三角形，4DF OD ∴==，E B E F '='，4E B E D E F E D DF ∴'+'='+'==，∴此时E B E D '+'的值最小，∴阴影部分周长的最小值为449π+．14．（2021•成都）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为1，则BC 的长为 ．1+√2【解析】过点D 作DH ⊥AB ，则DH ＝1， 由题目作图知，AD 是∠CAB 的平分线，则CD ＝DH ＝1，∵△ABC 为等腰直角三角形，故∠B ＝45°， 则△DHB 为等腰直角三角形，故BD =√2HD =√2， 则BC ＝CD +BD ＝1+√2．15．（2021•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＜BC ．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．若BC ＝3，则△AFH 的周长为 ．6【解析】由基本作图方法得出：DE 垂直平分AB ,则AF ＝BF ,可得AF ＝AH ,AC ⊥FH ,∴FC ＝CH ,∴AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ＝3, ∴△AFH 的周长为:AF +FC +CH +AH ＝2BC ＝6．17．（2021•自贡）如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上．只用不带刻度的直尺，作出△ABC 的角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）．如图，射线BD 即为所求作．15．（2021•眉山）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，交AD 于点E ，则DE 的长为 ．78【解析】如图所示：连接EC ,由作图方法可得：MN 垂直平分AC ,则AE ＝EC ,∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ， ∴BD ＝DC ＝3,AD ⊥BC ,在Rt △ABD 中，AD =√AB 2−BD 2=√52−32=4, 设DE ＝x ,则AE ＝EC ＝4﹣x ,在Rt △EDC 中，DE 2+DC 2＝EC 2,即x 2+32＝(4﹣x )2, 解得x =78,故DE 的长为78．14．（2021•新疆）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝70°，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ，则∠BDC ＝ °．80【解析】∵AB ＝AC ，∠C ＝70°，∴∠ABC ＝∠C ＝70°. ∵∠A +∠ABC +∠C ＝180°，∴∠A ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝40°. 由作图过程可知：DM 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝40°+40°＝80°.13．（2021•怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣1，1），将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是．（2,2）【解析】如图，观察图象可知A2(2,2)．故答案为：（2,2）．15．(2021·威海)如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若∠BAC＝α，则∠MAN＝．2α-180°{解析}由尺规作图可以知道DM、NF分别是AB、AC的垂直平分线，根据中垂线的性质可知AM=BM,AN=CN,利用等边对等角可知两组底角分别相等，根据三角形内角和定理可知，∠B+∠C=180°-α，所以∠MAN ＝α-（180°-α）=2α-180°．13．（2021•黄冈）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．则CD 与BD 的数量关系是 BD ＝2CD ．BD ＝2CD 【解析】∵∠C ＝90°,∠B ＝30°，∴∠CAB ＝90°﹣30°＝60°， 由作图可知AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°，∴AD ＝2CD ， ∵∠BAD ＝∠B ＝30°，∴AD ＝DB ，∴BD ＝2CD .18．（2021·南通）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 延长线于点D ，过点C 作CE ∥AB ，交⌒BD于点E ，连接BE ，则CE BE的值为_______．18解析：过点A 作AF ⊥EF 于点F ，连接AE ，设⊙A 半径为2k ，则AP ＝AE ＝2k ，AF ＝k ，解得EFk ，所以CE ＝EF －FC ＝1)k ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，在Rt △BEH 中，BH ＝(2k ，EH ＝k ，根据勾股定理得BE ＝k ，所以CE BE．18．（2021•天津18题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC 的长等于 ；（Ⅱ）以AB 为直径的半圆的圆心为O ，在线段AB 上有一点P ，满足AP ＝AC ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．CA BED F H（Ⅰ）√5（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求【解析】（Ⅰ）AC=√22+12=√5．故答案为：√5．（Ⅱ）如图，取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．故答案为：取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求17．（2021·柳州17题）在x轴，y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2），则a的值是__________．{答案}2或－2【解析】由题意可知点P在平面直角坐标系中的某个象限的角平分线上，由角平分线上的点到角的两边距离相等，知点P的横、纵坐标的绝对值相等，从而有2a ，解得a＝±2．11．（2021·吉林）如图，已知线段AB＝2cm，其垂直平分线CD的作法如下：（1）分别以点A和点B为圆心，bcm长为半径画弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD．上述作法中b满足的条作为b1．（填“＞”，“＜”或“＝”）＞【解析】分别以点A和点B为圆心，大于二分之一AB长为半径画弧，∵AB＝2cm，则b＞1.9．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．√3+1 B．√5+3 C．√5+1 D．4C【解析】由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，∴∠AEC＝90°，∴BC=√BE2+CE2=√22+12=√5.∵点F为BC的中点，∴EF=12BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1.三、解答题22．（2021·哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC∆的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将ABC∆向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到MNP∆（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点)P，请画出MNP∆；（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．解：（1）如图，MNP∆为所作.（2）如图，DEF∆为所作；FP =．18．（2021·仙桃）已知△ABC 和△CDE 都为正三角形，点B ，C ，D 在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当BC ＝CD 时，作△ABC 的中线BF ； （2）如图2，当BC ≠CD 时，作△ABC 的中线BG ．解：如图1，线段BF 即为所求；（2）如图2，线段BM 即为所求.20．（2021·赤峰）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 上一点，且AC ＝AD ． （1）作∠BAC 的平分线，交BC 于点E ；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接DE ，求证：DE ⊥AB ．F图1DEC B A图2DC B20．（2021·贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知ABC>．∆，且AB AC （1）在AB边上求作点D，使DB DC=；（2）在AC边上求作点E，使ADE ACB∽．∆∆解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．21．（2021·北部经济区）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ．在△ABC 和△CDA 中，B DBAC DCA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△CDA （AAS ）．（2）如答图所示：（3）∵△ABC ≌△CDA ，∴AB ＝CD ．又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE ⊥AB ，∴S 平行四边形ABCD ＝AB •CE ，∴CE ＝20÷5＝4． 23．(2021·绥化)（1）如图，已知△ABC ，P 为边AB 上一点，请用尺规作图的方法在边AC 上求作一点E ，使AE ＋EP ＝AC ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果AC ＝6cm ，AP ＝3cm ，则△APE 的周长是 cm ．23．解: (1) 如图，点E 即为所求．(2)9理由：∵MN 垂直平分线段PC ， ∴EP ＝EC ．∴△APE 的周长＝AP ＋AE ＋EP ＝AP ＋AE ＋EC ＝AP ＋AC ＝3＋6＝9 (cm) ．20．（2021•北京20题）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA 的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．解：（1）如图，点D即为所求．（2）BC三线合一25．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：如图，作射线PE，作OE⊥PE于E，作△POE的外接圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．19．（2021·衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上.（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ABC全等，顶点D在格点上；（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l.解：（1）如图1所示，△ACD就是所求作的三角形；（2）如图2所示，直线l就是所求作的直线.图1 图220．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．解：（1）线段AC即为所作，（2）线段EF即为所作，（3）四边形ABHG即为所作．19．（2021•嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．解:（1）如下图所示：四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S2×6＝6，图2菱形面积S248，图3菱形面积S＝（）2＝10．20．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．解：（1）如图2所示，即为所求；（2）如图3所示，即为所求．18．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．16．（2021•安徽16题）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．20．（2021•武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．解：（1)如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG,点H即为所求．16．（2021•江西16题）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．18．（2021•宜昌）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的，射线AE是∠DAC的；（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．解：（1）垂直平分线角平分线（2）∵DF垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝B＝40°，∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE=12∠CAD＝25°．21．（2021•重庆A卷）如图，在▱ABCD中，AB＞AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．解：（1）如图，AE、CF为所作；（2）△CDP为直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠ADE=12∠ADC，∵CF平分∠BCD，∴∠FCD=12∠BCD，∴∠CDE+∠FCD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴△CDP为直角三角形．21．（2021•重庆B卷）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）解：如图：猜想：DF＝3BF．证明：∵四边形ABCD为平行四边形．∴OA＝OC，OD＝OB．∵AC＝2AB．∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BC交于点E．∴BF＝FO．∴DF＝3BF．23．(2021·常州)如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB=DE，BF=CE.（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）将ABC沿直线l翻折得到△A′BC.①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是.{答案}解：（1）∵AB∥DE，∴∠ABC=∠D EF，∵BF=CE，∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF；（2）①如图所示:②AD∥l，理由：设DF与CA′交于点O，由翻折可得：△ABC≌△A′BC，∴∠BCA＝∠BCA′，CA=CA′，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠BCA′，CA=DF，∴DF=CA′，∠DFE＝∠BCA′，∴OF=OC，∴CA′-OC=DF-OF，即OA′=OD，∴∠OA′D＝∠ODA′，∵∠A′OD＝∠COF，∴∠OA′D＝∠OCF，∴AD∥l.21．（2021•甘肃省卷21题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆̂，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．的一个引理．如图，已知AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；̂于点D，AC于点E，连接AD，CD；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB̂于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．解：（1）①如图，直线DE，线段AD,线段CD即为所求．②如图，点F，线段CD,BD,BF即为所求作．(2)结论：BF ＝BC ．理由：∵DE 垂直平分线段AC ,∴DA ＝DC ,∴∠DAC ＝∠DCA ,∵AD ＝DF ,∴DF ＝DC ,AD̂=DF ̂,∴∠DBC ＝∠DBF , ∵∠DFB +∠DAC ＝180°．∠DCB +∠DCA ＝180°,∴∠DFB ＝∠DCB , 在△DFB 和△DCB 中，{∠DFB =∠DCB ∠DBF =∠DBC DF =DC ,∴△DFB ≌△DCB (AAS ),∴BF ＝BC ．17．（2021•陕西）如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3分别与l 1、l 2交于点A 、B ．请用尺规作图法，在线段AB 上求作一点P ，使点P 到l 1、l 2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）解：如图，点P 为所作．24．（2021•广安）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上．要求以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形.解：如图，四边形ABCD即为所求．19．（2021•荆州）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD 外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD 和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF即为所求．（2）如图，正方形BKFG即为所求．22．（2021•青海）如图，DB是▱ABCD的对角线．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．解：（1）如图，DE、BF为所作；（2）四边形DEBF为菱形．理由如下：如图，∵EF垂直平分BD，∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠FDB＝∠EBD.在△ODF和△OBE中，{∠FDO=∠EBO OD=OB∠DOF=∠BOE，∴△ODF≌△OBE（ASA），∴DF＝BE，∴DE＝EB＝BF＝DF，∴四边形DEBF为菱形．{题目}24．(2021·无锡) 如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝485，⊙O的半径为5，则sin B＝．（如需画草图，请使用图2）{答案}解：（1）如图1，作图如下：作法：作角平分线，根据尺规作图作角平分线的步骤作图；作外接圆，先找圆心，已知△ABC中AC=BC，由等腰三角形三线合一可知∠ACB的角平分线即是底边AB的垂直平分线，故再作一条腰的垂直平分线，与角平分线的交点O即为外接圆圆心．（2）如图2，由（1）知CD ⊥AB ，由垂径定理可得AD=BD=21AB ＝524，OA=OC=5，在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=57，在Rt △CDB 中，CD=OC+OD=532由勾股定理可得BC=8，则sinB=54．22．(2021·福建) 如图，已知线段MN ＝a ，AR ⊥AK ，垂足为A ．（1）求作四边形ABCD ，使得点B ，D 分别在射线AK ，AR 上，且AB ＝BC ＝a ，∠ABC ＝60°，CD ∥AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P ，Q 分别为（1）中四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：直线AD ，BC ，PQ 相交于同一点．{解析}本题考查考查尺规作图、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.{答案}解：(1)四边形ABCD是所求作的四边形.(2)设直线BC与AD相交于点S, ∵DC∥AB,∴△SBA∽△SCD，∴SA AB SD DC=设直线PQ与AD相交于点S′, 同理S PA S D QD=′A′∵P.Q分别为AB,CD的中点,PA=12AB, QD=12DC, ∴PA ABQD DC=, ∴S SAS D SD=′A′,即S SD ADS D SD+=′D+AD′, ∴ADS D SD=AD′∴S′D=SD,故点S与S′重合,即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点.说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.23．(2021河南)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．任务：（1）小明得出Rt △P G O ≌R t △P H O 的依据是（填．①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．（3）如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=13 ，点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长. {答案}解：（1）⑤；（2）是.理由如下：由作图可知，OC=OD，OF=OE，又∵∠COF=∠DOE，∴△COF≌△DOE，∴∠OFC=∠OED，连接EF，∵OF=OE，∴∠OFE=∠OEF.∴∠PFE=∠PEF.∴PF=PE，又∵OP=OP，OF=OE，∴△FOP≌△EOP，∴∠FOP=∠EOP，即射线OP是∠AOB的平分线.2 .（3）2或320．（2021·长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：（1）在图①中，连接MA、MB，使MA＝MB；（2）在图②中，连接MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；（3）在图③中，连接MA、MC，使∠AMC＝2∠AB C．解：如图所示：20．（2021·襄阳）如图，BD为平行四边形ABCD的对角线．（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC、BD于点E、F、O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接BE、DF，求证：四边形BEDF为菱形．解：（1）如答图所示：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OED＝∠OFB，∠ODE＝∠OBF．∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，EB＝ED．∴△EOD≌△FOB，∴DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EB＝ED，∴平行四边形BEDF是菱形．23．（2021·烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．23．解：（1）如图所示，①以A 为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC 、AB 相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC 内部一点，将点A 与它连接并延长，与BC 交于点D ，则AD 为∠BAC 的平分线； ②分别以点A 、点D 为圆心，以大于12AD 长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF 为AD 的垂直平分线，EF 与AB 交于点O ；③如图，⊙O 与AB 交于点M ；（2）证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，且点O 在AD 上，∴OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠OAD ＝∠CAD ，∴∠ODA ＝∠CAD ，∴OD ∥AC ，∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，故BC 是⊙O 的切线．（3）根据题意可知OM ＝OA ＝OD =12AM ，AM ＝4BM ，∴OM ＝2BM ，BO ＝3BM ，AB ＝5BM ，∴BOAB =3BM5BM =35， 由（2）可知Rt △BOD 与Rt △BAC 有公共角∠B ，∴Rt △BOD ∽Rt △BAC ，∴DOCA =BOBA ，即DO10=35，解得DO ＝6， 故⊙O 的半径为6．19．（2021•吉林）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，。

2021年天津市中考数学试卷及解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（3.00分）计算（��3）2的结果等于（） A．5B．��5 C．9D．��92．（3.00分）cos30°的值等于（） A．B．C．1D．3．（3.00分）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（） A．0.778×105 B．7.78×104C．77.8×103D．778×1024．（3.00分）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3.00分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（） A． B． C． D．6．（3.00分）估计的值在（）A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．（3.00分）计算A．1B．3C．D．的结果为（）8．（3.00分）方程组的解是（）第1页（共20页）A． B． C． D．9．（3.00分）若点A（x1，��6），B（x2，��2），C（x3，2）在反比例函数y=图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x2＜x1的10．（3.00分）如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB 边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB11．（3.00分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF12．（3.00分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（��1，0），（0，3），其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点（1，0）；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③��3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为（） A．0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 13．（3.00分）计算2x4?x3的结果等于． 14．（3.00分）计算（+）（��）的结果等于．B．1C．2D．315．（3.00分）不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿第2页（共20页）球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．16．（3.00分）将直线y=x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为． 17．（3.00分）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．18．（3.00分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C 均在格点上，（I）∠ACB的大小为（度）；（Ⅱ）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分。

天津市2021年中考数学试卷一、选择题（共10小题,每小题3分,满分30分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2013•天津）计算（﹣3）+（﹣9）的结果等于（ ）　A．12B．﹣12C．6D．﹣6考点：有理数的加法．分析：根据有理数的加法法则,先确定出结果的符号,再把绝对值相加即可．解答：解：（﹣3）+（﹣9）=﹣12。

故选B．点评：本题考查了有理数的加法,用到的知识点是有理数的加法法则,比较简单,属于基础题．　2．（3分）（2013•天津）tan60°的值等于（ ）　A．1B．C．D．2考点：特殊角的三角函数值．分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．解答：解：tan60°=．故选C．点评：本题考查了特殊角的三角函数值,一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．3．（3分）（2013•天津）下列标志中,可以看作是中心对称图形的是（ ）　A．B．C．D．考点：中心对称图形分析：根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可．解答：解：A、不是中心对称图形,故本选项错误。

B、不是中心对称图形,故本选项错误。

C、不是中心对称图形,故本选项错误。

D、是中心对称图形,故本选项正确。

故选D．点评：本题考查了中心对称图形的知识,判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图形重合．4．（3分）（2013•天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海,2021年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2,将8210 000用科学记数法表示应为（ ）　A．821×102B．82.1×105C．8.21×106D．0.821×107考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时,n是正数。

2019河西二模 18.在每个小正方形的边长为1的网格中，有△ABC，点A,B,C都在格点上.
(Ⅰ) △ABC的面积等于___1_0__;
(Ⅱ)求作其内接正方形，使其一边在BC上，另两个顶点各在AB，AC上，在如图所示 的网格中，请你用无刻度的直尺，画出该正方形，并简要说明画图的方法(不要求 证明)
如图取格点E，连接AE，NE,可得∠EAN即为所得
理由是：AE//MC, ∴∠EAN= ∠CPN, ∵ △EAN为等腰的Rt△, ∴∠CPN= ∠EAN=45 ° ∴ ∠CPN的三角函数即可求.
思考:图②的理由?
2019河北一模 18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、Q、P均在格点上.
2020年天津市中考备考专题：网格题 专题课 件（共 25张PPT）
2019河北二模 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B均在格点上，l1,l2是一条小河 平行的两岸.
(Ⅰ)AB距离等于___41__; (Ⅱ)现要在小可上修一座垂直于两岸的桥MN(点M在l1 上,点N在 l2 上,桥的宽度忽略),
(Ⅰ)OB的长等于____13__; (Ⅱ)点M在射线OA上，点N在射线OB上，当△PMN周长最小时，请在如图所示的
网格中，用无刻度的直尺，画出△PMN，并简要说明点M，N的位置是如何找 到的(不要求证明) 选取格点E,F,连接EF,选取格点C,画直线PC与EF的交点为点P2,作点P关于OA的对 称点P1，连接P1P2，与线段OB、OA分别交于点N，点M，则△PMN即为所求 理由是:作点P关于直线OA的对称点P1;作点P关于直线OA的对称点P1,则线段P1P2 与线段OB、OA分别交于点N、M，则△PMN的周长=PM+PN+MN=P2N+MN+P1M =P1P2最小

x 0
A.
y
2
x 1
B.yΒιβλιοθήκη 1x 2C.
y
2
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．
x y 2①
【详解】
3x
y
4②
，
②-①得： 3x y x y 2 ，即 2x 2 ，
x 3
D.
y
3
4
2021 年天津市中考数学试卷（解析）
∴x 1． 将 x 1 代入①得：1 y 2 ，
A. ABC ADC
【答案】D 【解析】
B. CB CD
C. DE DC BC D. AB ∥CD
6
2021 年天津市中考数学试卷（解析）
【分析】由旋转可知 EDC BAC 120 ，即可求出 ADC 60 ，由于 ABC 60 ，则可判断 ABC ADC ，即 A 选项错误；由旋转可知 CB CE ，由于 CE CD ，即推出 CB CD ，即 B 选项 错误；由三角形三边关系可知 DE DC CE ，即可推出 DE DC CB ，即 C 选项错误；由旋转可知 DC AC ， 再 由 ADC 60 ， 即 可 证 明 VADC 为 等 边 三 角 形 ， 即 推 出 ACD 60 ． 即 可 求 出 ACD BAC 180 ，即证明 AB / /CD ，即 D 选项正确； 【详解】由旋转可知 EDC BAC 120 ，
【分析】根据 30°的正切值直接求解即可．
C. 1
D. 2
【详解】解：由题意可知， tan 30 3 ， 3
故选：A． 【点睛】本题考查 30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可． 3. 据 2021 年 5 月 12 日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共 141178 万人．将 141178 用科学记数法表示应为（ ）

2020-2021学年度天津小港中学中考数学二轮复习—网格作图题专练（word 版附答案）1.如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点B ，M 均为格点，点A 为小正方形边的中点．（I ）线段AB 的长为____________；（Ⅱ）在线段AB 上存在一点N ，使得点N 满足45MNB ∠=︒，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺作出MNB ∠，并简要说明你是怎么找到点N 的．（不要求证明）_________________________________________．【答案】（I ）2；（Ⅱ）取格点E 、F 、G 、H ，连接EF 、GH 得到点C ；连接MC ，交线段AB 于点N ；则点N 即为所求；图见解析．2. 如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A (1，1)、B (-3，1)、C (-3．-1)．(1)若△ABC 的外接圆的圆心为P ，则点P 的坐标为_________．(2)如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O 点为位似中心，将△ABC 按相似比2：1放大，A 、B 、C 的对应点分别为'''A B C 、、，得到'''A B C ，在图中画出'''A B C ；若将'''A B C 沿x 轴方向平移，需平移_______单位长度，能使得''B C 所在的直线与⊙P 相切．【答案】(1)（-1,0）；(2)图见解析；53.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均在格点上，AC 与网格线交于点D ，点P 、Q 分别为线段BC 、AB 上的动点.（1）线段CD 的长为__________；（2）当PD PQ +取得最小值时，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD 、PQ ，并简要说明点P 、Q 点的位置是如何找到的.【答案】（1）54；（2）见解析4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．【答案】－2．5.如图，将四边形ABCD放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A．B、C、D均落在格点上．（Ⅰ）计算AD2+DC2+CB2的值等于_____；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AD2+DC2+CB2，并简要说明画图方法（不要求证明）．【答案】226.在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B均为格点．(Ⅰ)AB的长等于_____．(Ⅱ)若点C是以AB为底边的等腰直角三角形的顶点，点D在边AC上，且满足S△ABD=1 2 S△ABC．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段BD，并简要说明点D的位置是如何找到的(不要求证明)______．【答案】(1). (2). 以AB为边连接格点，构成正方形ABEF，连接对角线AE、BF，则对角线交点即为C点，正方形相邻两边分别与网格线有两个交点G、H，且为两边中点，连接GH与AE交于D点，连接BD，BD即为所求．7.(1)如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=13，tanβ=12，则ɑ+β=___________； (2)如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ=5，tanβ=23时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出∠MON ，使得∠MON=ɑ-β，此时ɑ-β=__________度．【答案】（1）45°（2）作图见解析；45°8.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC 的顶点,,A B C 均在格点上． （Ⅰ）AB 的长等于__________；（Ⅱ）请用无刻度的直尺．．．．．．，在如图所示的网格中，画出点,E F ，点E 在BC 上，且:1:3BE CE =，点F 在AB 上，使其满足CEA BEF ∠=∠，并简要说明点,E F 的位置是如何找到的（不要求证明）______．【答案】(1). (2). 取格点,,M N 且满足1,3BM CN = 连接MN 交BC 于.E 再取A 关于BC 对称的格点P ，满足,CEA PEC ∠=∠ 延长PE 交AB 于.F的9.如图，在边长为()2a a >的正方形各边上分别截取1AE BF CG DH ====，当45AFQ BGM CHN DEP ∠=∠=∠=∠=︒时，则正方形MNPQ 的面积为__．【答案】2．10.在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ACB 与ECD 的顶点都在网格点上，点N 、M 分别为线段AB 、DE 上的动点，且BN EM =．（Ⅰ）如图①，当BN =时，计算CN CM +的值等于__；（Ⅱ）当CN CM +取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段CN 和CM ，并简要说明点M 和点N 的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】 (1). (2). 如图所示，取格点P 、Q ，使得PB CE =，PB BC ⊥，QE CB =，QE AC ⊥，连接CP 交AB 于N ，连接CQ 交DE 于M ，则线段CN 和CM 即为所求．11.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 在格点上，以点A 为圆心、AC 为半径的半圆交AB 于点 E ．（1）BE 的长为________；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，找一点P （点P ，C 在AB 两侧），使PA=5，PE 与半圆相切. 简要说明点P 的位置是如何找到的．【答案】（1）2；（2）图见解析，理由见解析．12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，()E 80，，()F 06，． ①当 ()G 48，时，则FGE ∠=______； ②在图中的网格区域内找一点P ，使FPE 90∠=，且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，则P 点坐标为_______.【答案】 (1). 90 (2). ()77，.13. 如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上． （Ⅰ）计算AB 边的长为_____；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出一个以AB 为边的矩形，使矩形的面积等于△ABC 的面积，并简要说明你的作图方法（不要求证明）_____【答案】 (1). (2). 见解析14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于_______________；（Ⅱ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．【答案】 (1). ； (2). （Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．15.如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，,,,P Q B C 均为格点，线段PQ ，BC 相交于点A .（1）:PA AQ =________；（2）设QAB α∠=，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90α+︒的角，点B 的对应点为B '，请你借助网格，使用无刻度的直尺画出点B '，并简要说明你是怎么画的___________.【答案】（1）5:4 （2）见解析15.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ΔABC 的顶点A 在格点上，B 是小正方形边的中点，ABC 50∠︒=，BAC 30∠︒=，经过点A ，B 的圆的圆心在边AC 上．（Ⅰ）线段AB 的长等于_______________；（Ⅱ）请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P ，使其满足PAC PBC PCB ∠∠∠==，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．【答案】 (1). ； (2). （Ⅱ）如图，取圆与网格线的交点E F ，，连接EF 与AC 相交，得圆心O ；AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B O ，的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足PAC PBC PCB ∠=∠=∠．16.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点,,,A B C D 均在格点上，,AC BD 交于点P ．(Ⅰ)tan ABD ∠的值为_____________；(Ⅱ)若点M 在线段AB 上，当2PM BM +取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻．．度．的直尺，画出点M ，并简要说明点M 的位置是如何找到的(不要求证明)_____________． 【答案】(Ⅰ)13；(Ⅱ)取格点,,,A B C D ''''，连接,,A C B D A C ''''''与B D ''相交，得点P '．连接PP '，与AB 相交，得点M ，点M 即为所求，图形见解析．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC 的长等于_________；（2）点P ，Q 分别为线段BC ，AC 上的动点，当PD PQ +取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD ，PQ ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（不要求证明）.【答案】（1）5；（2）见解析17.在边长为2的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边的中点，若线段MA 绕点M 旋转得线段MA '，（Ⅰ）如图①，线段MA 的长__________．（Ⅱ）如图②，连接A C '，则A C '长度的最小值是__________．【答案】 (1). 1， (2).118.如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 、D 均在格点上．点E 为直线CD 上的动点，连接BE ，作AF ⊥BE 于F ．点P 为BC 边上的动点，连接DP 和PF ． （Ⅰ）当点E 为CD 边的中点时，△ABF 的面积为 ；（Ⅱ）当DP ＋PF 最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）见解析19.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，M ，N 均在格点上.在线段MN 上有一动点B ，以AB 为直角边在AB 的右侧作等腰直角ABC ，使AB BC =，90ABC ∠=︒，G 是一个小正方形边的中点.（1）当点B 的位置满足AB MN ⊥时，求此时CG 的长_______；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点C ，使其满足线段GC 最短，并简要说明点C 的位置是如何找到的（不要求证明）____________．【答案】(1).2；(2). 见详解．。

一、解答题（共27小题；共351分）1. 如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A与点B均在格点上．（1）AB的长等于；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出线段AB的垂直平分线，并简要说明作图的方法（不要求证明）．2. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）△ABC的面积等于；（2）若四边形DEFG是正方形，且点D，E在边CA上，点F在边AB上，点G在边BC上，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点E，点G，并简要说明点E，点G的位置是如何找到的（不要求证明）．3. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AC的长等于；（2）若AC边与网格线的交点为P，请找出两条过点P的直线来三等分△ABC的面积．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出这两条直线，并简要说明这两条直线的位置是如何找到的（不要求证明）．4. 如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，P，Q，B，C均为格点，线段PQ，BC相交于点A．（1）PA:AQ=；（2）设∠QAB=α，将线段AB绕点A逆时针旋转α+90∘的角，点B的对应点为Bʹ，请你借助网格，使用无刻度的直尺画出点Bʹ，并简要说明你是怎么画的．5. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上，P为BC与网格线的交点，连接AP．（1）BC的长等于；（2）Q为边BC上一点，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ，使∠PAQ= 45∘，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．6. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长度等于；（2）请你在图中找到一个点P，使得AB是∠PAC的角平分线．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．7. 在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，点E，F分别为线段BC，DB上的动点，且BE=DF．（1）如图①，当BE=5时，计算AE+AF的值等于；2（2）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明）．8. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长等于；（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．9. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50∘，∠BAC=30∘，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．（1）线段AB的长等于；（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．10. 如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点．（1）线段AB的长度等于；（2）若P为线段AB上的动点，以PC，PA为邻边的四边形PAQC为平行四边形，当PQ长度最小时，请你借助网格和无刻度的直尺画出该平行四边形，并简要说明你的作图方法（不要求证明）．11. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点．（1）线段AC的值为．（2）在如图所示的网格中，AM是△ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CP+DP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（不要求证明）．12. 如图，在边长都是1的小正方形组成的网格中，A，B，E，F均为格点，线段AB，EF相交于点C．（1）AB=；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AC的垂直平分线，并简要说明画图方法（不要求证明）．13. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点E．（1）AB的长等于；（2）点F是线段DE的中点，在线段BF上有一点P，满足BPPF =53，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．14. 在下列网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，P，Q均为格点．（1）线段AB的长度等于．（2）点M，N是线段AB上的两个动点（M较靠近点B），且始终满足MN=14√26，若点M，N运动到恰好使四边形MNPQ的周长最小时，请在给定的网格中用无刻度直尺画出点M的位置，并简要说明你的作图方法：．15. 如图，将△ABP放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，P均落在格点上．（1）△ABP的面积等于；（2）若线段AB水平移动到AʹBʹ，且使PAʹ+PBʹ最短，请你在如图所示的网格中，用直尺画出AʹB，并简要说明画图的方法（不要求证明）．16. 在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ABC与ECD的顶点都在网格点上，点N，M分别为线段AB，DE上的动点，且BN=EM．（1）如图①，当BN=√2时，计算CN+CM的值等于．（2）当CN+CM取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段CN和CM，并简要说明点N和点M的位置是如何找到的（不要求证明）．17. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．（1）OB的长等于；（2）点M在射线OA上，点N在射线OB上，当△PMN的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出△PMN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．．18. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．（1）△ABC的周长等于；（2）点M在线段AB上（点M与A，B不重合），点N在线段BC上（点N与B，C不重合），若直线MN恰好将△ABC的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线MN，并简要说明点M和点N是如何找到的（不要求证明）．19. 如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点．（1）线段BC的长度等于；（2）若K为线段CD上一点，且满足S△BCK=13S四边形ABCD，请你借助无刻度直尺在给定的网格中画出满足条件的线段BK，并简要说明你是怎么画出点K的．20. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）则△ABC的面积为．（2）请利用网格作以AB为底的等腰△ABD，使△ABD的面积等于3，说明你的作图方法（不要求证明）．21. 如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．点M，N分别为边AB，AC上的动点，且MN∥BC，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，设△A′MN与四边形BCNM重叠部分的面积为S．（1）△ABC的面积等于；（2）当S最大时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线MN，并简要说明点M和点N是如何找到的（不要求证明）．22. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上．（1）△ABC的面积等于；（2）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．23. 如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B均在格点上．；（1）在图1中画出一个直角△ABC，使得点C在格点上且tan∠BAC=12（2）在图2中画出一个△ABD，使得点D在格点上且tan∠BAD=2，请在图2所示的网格3中，用无刻度的直尺，画出△ABD，并简要说明理由．24. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AC的长度等于；（2）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC=PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．25. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点．（1）△ABC的面积等于；（2）请借助无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出△ABC的角平分线BD的垂直平分线，并简要说明你是怎么画出来的．26. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．（1）AE的长等于；（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）．27. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．（1）∠ACB的大小为（度）；（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点．以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为Pʹ．当CPʹ最短时，请用无刻度的直尺，画出点Pʹ，并简要说明点Pʹ的位置是如何找到的（不要求证明）．答案第一部分1. （1）√5（2）如图，以AB为边作正方形ABCD，正方形ABEF，连接AC，BD交于点M，连接AE，BF交于点，过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求．2. （1）6（2）如图，取格点K，J，连接KJ，KJ与AC交于点E．取格点H，I，连接HI，HI与BC交于点G．点E，G即为所求．3. （1）√37（2）如图，取BC与网格线的交点M，N，作直线PM，PN即为所求．4. （1）5:4（2）取格点H，L，R，T，连接TL与HR交于点S，连接AS，TQ，交点为点Bʹ，则Bʹ即为所求．5. （1）2√13（2）取格点M，N，使得BM∥CN，并且BMCN =32，可找到满足条件的格点M，N，如下图，连接MN交BC于点Q，连接AQ即可．6. （1）2√5（2）如图，取AB的中点E，和格点F，连接EF与网格交于点P，连接AP，则点P即为所求．【解析】如图，取格点P，D，连接PD，CD，AP，易知PD⊥AB，PB=BD，∴∠PAB=∠DAB，即AB是∠PAD的平分线．7. （1）5+√612（2）如图，取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P．连接AP与BC相交，得点E．取格点M，N，连接DM，CN，相交于点G连接AG，与BD相交，得点F．线段AE，AF即为所求．8. （1）√17（2）如图，AC与网格线相交，得到点D，E，取格点F，连接FB并且延长，与网格线相交，得点M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求．9. （1）√172（2）如图，取圆与网格线的交点E，F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D，连接DO并延长，交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线BO相交于点P，连接AP，则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB．10. （1）5（2）如图，取格点M，R，T，连接AM，CT，分别得点S，K，连接CR，KS，CR与KS相交于点Q，AB与KS相交于点P，连接AQ，QC，CP，则四边形PAQC即为所求．11. （1）5（2）如图取格点E，连接AE交BC于M，取格点F，连接DF交AM于点P，点P即为所求．12. （1）√13（2）如图，连接格点X，V与网格线交于点L，连接格点M，N与网格线交于点D，连接LD交AB于点O，连接格点A，P与网格线交于点K，连接格点H，G与网格线交于点Y，连接KY，再连接格点I，J，两直线交于点Q，连接OQ，直线OQ即为所求．13. （1）√109（2）如图，取格点G，H，连接GH，与CD相交于点F，连接BF，BD．取格点I，J，连接IJ，与BD交于点K，连接EK，与BF相交，得点P，点P即为所求．14. （1）√26（2）如图，取格点C，D，E，连接PC，ED交于点S；取格点H，F，G，连接HQ，FG；HQ，FG相交得点T．连接ST，线段ST与AB相交于点M，点M即为所求．15. （1）2（2）如图，取格点Q，连接PQ，与网格线交于点Aʹ，同时取格点M，N，连接MN，与网格线交于点Bʹ，连接AʹBʹ即为所求．16. （1）√10+√2；（2）取格点P，Q，连接CP交AB于点N，连接CQ交DE于点M，点N，点M即为所求．17. （1）√13（2）如图，选取点P关于直线OA的对称点P1；选取点C，连接PC并延长，选取点E，F，连接EF与PC延长线交于点P2；连接P1P2，分别交OA，OB于M，N，连接PM，PN．点M，点N即为所求．18. （1）16（2）如图，取格点P，Q，使BP=3，AQ=2，连接PQ与AB交于点M，在BC上取格点N，使BN=5，作直线MN即为所求．19. （1）√17【解析】BC在四个小正方形的对角线上，由勾股定理得，BC=√42+12=√17 .（2）取格点F，G，并连接FG交DC于点K，即为所求点．【解析】主要是通过面积计算出K点分线段NC的比例关系，然后根据格点构成相似三角形，从而得到点K的位置．理由：S△BCK=13S四边形ABCD=13(4×3−4×1×12−1−2×1×12×3)=2，如图，设C点上方的格点为G点，B点上的格点为F点，S△BCK=12⋅BC⋅ℎ=2，即ℎ=4√1717，∵BF∥CG，BF=CG，∴四边形BFGC是平行四边形，∴BF⋅FC=BC⋅ℎʹ，可得ℎʹ=4√1717，即点K在FG上，即FG与CD的交点为所求点K．20. （1）52（2）如图，取格点E，F，连接EF，EF与格线交于点G；AB与格线交于点H，连接GH，取格点P，Q，M，N，连接PQ，MN，PQ，MN分别与格线交于点T、点R，连接TH，GR，RT，RT与GH相交于点D，连接AD，BD，则△ABD即为所求三角形．21. （1）10（2）如图，取格点R，T，P，Q，使AP=AR=2，CQ=BT=1，连接RT与AB交于点M，连接PQ与AC交于点N，连接MN即为所求．22. （1）6×4×3=6；【解析】△ABC的面积为：12（2）如图，取格点P连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D，E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．23. （1）如图1，选取点C，连接AC，BC，点C为所求（答案不唯一）．（2）如图2，选取点D，连接AD，BD，点D即为所求．理由：如图，取格点E使DE∥AB且DE=12AB，连接BE交AD于点F，∴BFEF =ABDE=2，∴BF=23BE，∵BE=AB，BE⊥AB，∴tan∠BAD=BFAB =23．24. （1）5（2）如图，取格点O，E，F，M，N，做射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，连接HQ，HQ与射线AO的交点即为所求的点P（方法不唯一）．25. （1）6（2）取格点E，F，T，R，连接E，F，交AC于点D，连接T，R，交网格线于点N，连接B，D，交网格线于点M，作直线MN，则直线MN即为所求26. （1）√5（2）如图，AC与网格线相交，取点P；取格点M，连接AM并延长与BC相交，得点Q．连接PQ，线段PQ即为所求．27. （1）90（2）如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC延长线于点Pʹ，则点Pʹ即为所求．。

2021中考全国100份试卷分类汇编格点问题1、〔2021泰安〕在如下图的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，在AC 上一点P〔2.4，2〕平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，那么P2点的坐标为〔〕A．〔1.4，﹣1〕B．〔1.5，2〕C．〔1.6，1〕D．〔2.4，1〕考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解答：解：∵A点坐标为：〔2，4〕，A1〔﹣2，1〕，∴点P〔2.4，2〕平移后的对应点P1为：〔﹣1.6，﹣1〕，∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：〔1.6，1〕．应选：C．点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据得出平移距离是解题关键．2、〔2021•宜昌〕如图，点A，B，C，D的坐标分别是〔1，7〕，〔1，1〕，〔4，1〕，〔6，1〕，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，那么点E的坐标不可能是〔〕A．〔6，0〕B．〔6，3〕C．〔6，5〕D．〔4，2〕考点： 相似三角形的性质；坐标与图形性质．分析： 根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 解答：解：△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB ：BC=2．A 、当点E 的坐标为〔6，0〕时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，那么AB ：BC=CD ：DE ，△CDE ∽△ABC ，故本选项不符合题意；B 、当点E 的坐标为〔6，3〕时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，那么AB ：BC ≠CD ：DE ，△CDE 与△ABC 不相似，故本选项符合题意；C 、当点E 的坐标为〔6，5〕时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，那么AB ：BC=DE ：CD ，△EDC ∽△ABC ，故本选项不符合题意；D 、当点E 的坐标为〔4，2〕时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，那么AB ：BC=CD ：CE ，△DCE ∽△ABC ，故本选项不符合题意； 应选B ．点评：此题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．3、〔2021年广州市〕在6×6方格中，将图2—①中的图形N 平移后位置如图2—②所示，那么图形N 的平移方法中，正确的选项是〔 〕A 向下移动1格B 向上移动1格C 向上移动2格D 向下移动2格 分析：根据题意，结合图形，由平移的概念求解解：观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N 向下移动2格．应选D ．点评：此题考查平移的根本概念及平移规律，是比拟简单的几何图形变换．关键是要观察比拟平移前后图形的位置．4、〔13年山东青岛、8〕如图，△ABO 缩小后变为O B A ''△，其中A 、B 的对应点分别为''B A 、，''B A 、均在图中格点上，假设线段AB 上有一点),(n m P ，那么点P 在''B A 上的对应点'P 的坐标为〔 〕A 、),2(n mB 、),(n mC 、)2,(n mD 、)2,2(nm答案：D解析：因为AB ＝25，''5A B =，所以，''12A B AB =，所以点P〔m，n〕经过缩小变换后点'P的坐标为5、〔2021•郴州〕在图示的方格纸中〔1〕作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；〔2〕说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：〔1〕根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；〔2〕根据平移的性质结合图形解答．解答：解：〔1〕△A1B1C1如下图；〔2〕向右平移6个单位，再向下平移2个单位〔或向下平移2个单位，再向右平移6个单位〕．点评：此题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．6、〔2021•温州〕如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．〔1〕将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；〔2〕以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．专题：图表型．分析：〔1〕根据网格结构，把△ABC向右平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；〔2〕把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．解答：解：〔1〕平移后的三角形如下图；〔2〕如下图，旋转后的三角形如下图．点评：此题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构是解题的关键．7、〔2021•绥化〕如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，请按要求完成以下步骤：〔1〕画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到的△A2B1C2；〔2〕求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．分析：〔1〕根据平移的性质得出对应点位置以及利用旋转的性质得出对应点位置画出图形即可；〔2〕根据弧长计算公式求出即可．解答：解：〔1〕如下图：〔2〕点C1所经过的路径长为：=2π．点评：此题主要考查了图形的旋转与平移变换以及弧长公式应用等知识，根据得出对应点位置是解题关键．8、〔2021•孝感〕如图，△ABC和点O．〔1〕把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；〔2〕用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P 〔要求保存作图痕迹，不写作法〕；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？考点：作图-旋转变换；作图—复杂作图．分析：〔1〕分别得出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点坐标，进而得到△A1B1C1，〔2〕根据垂直平分线的作法求出P点即可，进而利用外心的性质得出即可．解答：解：〔1〕△A1B1C1如下图；〔2〕如下图；点P是△ABC的外心．点评：此题主要考查了复杂作图，正确根据垂直平分线的性质得出P点位置是解题关键．9、〔2021哈尔滨〕如图。

2021年天津市部分区中考数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．计算4×（﹣6）的结果等于（）A．24B．﹣24C．10D．﹣102．sin60°的值等于（）A．B．C．D．3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．据有关报导，2020年天津市粮食生产形势呈现面积和产量双增，全年粮食播种面积达到5253000亩．将5253000用科学记数法表示为（）A．0.5253×107B．5.253×106C．52.53×105D．525.3×1045．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．估计的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间7．计算：＝（）A．x B．C．y D．8．关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D．9．点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得到的点的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（2，2）C．（﹣4，﹣8）D．（2，﹣8）10．若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2B．y1＞0＞y2C．y1＞y2＞0D．y1＜y2＜011．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y 轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）12．已知抛物线y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）现有如下结论：①此抛物线过定点（1，﹣1）；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是﹣2＜m＜﹣1；③若m＞﹣1时，有﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，则m的取值范围是﹣＜m＜．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算x7÷x3的结果等于．14．计算（2﹣）2的结果等于．15．不透明袋子中装有17个球，其中有6个红球、7个绿球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．16．已知一次函数的图象经过点（0，5），且与直线y＝2x平行，则此一次函数的解析式为．17．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，⊙P经过点A，B，C．（Ⅰ）BC的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画弦BD，使其满足∠PBD＝∠CBD，并简要说明点P的位置和弦BD是如何得到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．20．为了解某校九年级学生理化实验操作情况，随机调查了部分学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数．21．已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的弦，且AB∥CD．（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝25°，求∠BAC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点F，若OD∥CF，求∠ABC 的大小．22．亮亮同学用所学知识测小区居民楼AB的高度，如图，她先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，然后她站在M点处利用自制的测角仪测得居民楼CD的顶端D点的仰角为45°，居民楼AB的顶端B点的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，测角仪离地面的高度为1.6m，求居民楼AB的高度．（精确到1m）参考数据：sin55°≈0.82；cos55°≈0.57；tan55°≈1.4323．明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．下面图象反映了明明本次上学离家距离y（单位：m）与所用时间x（单位：min）之间的对应关系．请根据相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）填表：离开家的时间/min25811离家的距离/m400600（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是m；②明明在书店停留的时间是min；③明明与家距离900m时，明明离开家的时间是min．（Ⅲ）当6≤x≤14时，请直接写出y与x的函数关系．24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，∠ABO ＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转，得到△COD，点A，B的对应点分别是点C，D，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点C刚好落在线段AB上时，求点D的坐标和α的值；（Ⅱ）如图②，当90°＜α＜180°时，连接BC，AD，求证S△BCO＝S△AOD；（Ⅲ）如图③，当α＝240°时，在y轴上找一点P，使△COP的面积等于△AOD的面积，请直接写出△COP中CP边上的高的值．（直接写出结果）25．已知抛物线C：y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D．（Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标；（Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（Ⅲ）点E（﹣2，n）在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使△QBE的面积是△BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．计算4×（﹣6）的结果等于（）A．24B．﹣24C．10D．﹣10【分析】根据有理数的乘法法则即可求出答案．解：4×（﹣6）＝﹣（4×6）＝﹣24．故选：B．2．sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据60°的正弦值是计算即可．解：sin60°＝×＝，故选：D．3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．4．据有关报导，2020年天津市粮食生产形势呈现面积和产量双增，全年粮食播种面积达到5253000亩．将5253000用科学记数法表示为（）A．0.5253×107B．5.253×106C．52.53×105D．525.3×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解：将5253000用科学记数法表示应为5.253×106，故选：B．5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．故选：D．6．估计的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．解：∵25＜33＜36，∴＜＜，∴5＜＜6．故选：C．7．计算：＝（）A．x B．C．y D．【分析】根据分式的乘法法则求出即可．解：•＝x，故选：A．8．关于x、y的方程组的解为（）A．B．C．D．【分析】先把两方程相加可求出x，然后利用代入法求y，从而得到方程组的解．解：，①+②得3x＝12，解得x＝4，把x＝4代入①得4+y＝3，解得y＝﹣1，所以方程组的解为．故选：B．9．点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得到的点的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（2，2）C．（﹣4，﹣8）D．（2，﹣8）【分析】根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出点P对应点的坐标即可得解．解：点P（﹣1，﹣3）向右平移3个单位，再向上平移5个单位，所得到的点的坐标为（﹣1+3，﹣3+5），即（2，2），故选：B．10．若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则（）A．y1＜0＜y2B．y1＞0＞y2C．y1＞y2＞0D．y1＜y2＜0【分析】应先根据反比例函数的比例系数判断出函数图象所在的象限，然后根据点所在象限以及相对应的x值对应的y值的符号即可求解．解：由于k＝﹣3小于0，说明函数图象分布在二四象限，若x1＜0，x2＞0，说明A在第二象限，B在第四象限．第二象限的y值总大于0，总比第四象限的点的y值大．∴y1＞0＞y2．故选：B．11．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y 轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）【分析】作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB最小，进而利用等腰直角三角形的性质与判定求得PD，便可求得P点的坐标．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB ＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵点B坐标为（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故选：D．12．已知抛物线y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）现有如下结论：①此抛物线过定点（1，﹣1）；②若抛物线开口向下，则m的取值范围是﹣2＜m＜﹣1；③若m＞﹣1时，有﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，则m的取值范围是﹣＜m＜．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】由抛物线的开口方向以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x＝1时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝﹣1，故正确；②该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△＝（﹣2m）2﹣4（m+1）（m﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜﹣1，故正确；③由﹣2＜x1＜﹣1知，当x＝﹣2和x＝﹣1函数值异号，当x＝﹣2时，y＝9m+2，当x＝﹣1时，y＝4m﹣1，故（9m+2）（4m﹣1）＜0，故m的取值范围是﹣＜m＜，故正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．计算x7÷x3的结果等于x4．【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．解：x7÷x3＝x4．故答案为：x4．14．计算（2﹣）2的结果等于14﹣4．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式＝12﹣4+2＝14﹣4，故答案为：14﹣4．15．不透明袋子中装有17个球，其中有6个红球、7个绿球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：∵袋子中共有17个小球，其中绿球有7个，∴摸出一个球是绿球的概率是，故答案为：．16．已知一次函数的图象经过点（0，5），且与直线y＝2x平行，则此一次函数的解析式为y＝2x+5．【分析】根据两直线平行的条件可知k＝2，再把（0，5）代入y＝x+b中，可求b，进而可得一次函数解析式．解：设一次函数的表达式为y＝kx+b，∵y＝kx+b与直线y＝2x平行，∴y＝2x+b，把（0，5）代入y＝2x+b中，得b＝5，∴一次函数解析式是y＝2x+5，故答案为y＝2x+5．17．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝3，点E在BC上，且BE＝2EC，BF⊥AE，垂足为F，则BF的值为．【分析】过E作EM⊥AB，交AB延长线于M，根据菱形的性质求出BC＝3，求出BE＝2，求出∠BEM＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出EM，求出AE，根据三角形的面积求出答案即可．解：过E作EM⊥AB，交AB延长线于M，则∠EMB＝90°，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠ADC＝120°，∴∠D＝∠ABC＝120°，BC＝AB＝3，∴∠EBM＝60°，∴∠BEM＝90°﹣∠EBM＝30°，∵BE＝2EC，BC＝3，∴BE＝2，∴BM＝BE＝1，由勾股定理得：EM＝＝＝，∴AM＝AB+BM＝4，由勾股定理得：AE＝＝＝，∵S△ABE＝＝，∴×BF＝3×，解得：BE＝，故答案为：．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，⊙P经过点A，B，C．（Ⅰ）BC的长等于；（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，先确定圆心P，再画弦BD，使其满足∠PBD＝∠CBD，并简要说明点P的位置和弦BD是如何得到的（不要求证明）取格点E连接CE并延长交圆于点F（或取圆与格线交点F），连接BF，BF与格线交点P即为圆心，连接PC，取BC的中点J，连接FJ交PC于I，作直线BI交CF于K，作射线PK交⊙O于点P，点P即为所求作．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理计算即可．（Ⅱ）取格点E连接CE并延长交圆于点F（或取圆与格线交点F），连接BF，BF与格线交点P即为圆心，连接PC，取BC的中点J，连接FJ交PC于I，作直线BI交CF于K，作射线PK交⊙O于点P，点P即为所求作．解：（Ⅰ）BC＝＝．（Ⅱ）如图，点P即为所求作．故答案为：取格点E连接CE并延长交圆于点F（或取圆与格线交点F），连接BF，BF 与格线交点P即为圆心，连接PC，取BC的中点J，连接FJ交PC于I，作直线BI交CF于K，作射线PK交⊙O于点P，点P即为所求作．三、解答题（本大题共7小题，共66分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x≤3；（Ⅱ）解不等式②，得x≥1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为1≤x≤3．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．解：（Ⅰ）解不等式①，得x≤3，（Ⅱ）解不等式②，得x≥1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集是1≤x≤3，故答案为：x≤3，x≥1，1≤x≤3．20．为了解某校九年级学生理化实验操作情况，随机调查了部分学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为40，图①中m的值为10；（Ⅱ）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据扇形统计图和条形统计图中9分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，即可得m的值；（Ⅱ）根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据平均数、众数、中位数．解：（Ⅰ）12÷30%＝40（人），m%＝4÷40×100%＝10%，∴m＝10，故答案为：40，10；（Ⅱ）＝×（6×4+7×6+8×11+9×12+10×7）＝8.3（分），在这组数据中，9出现了2次，次数最多，∴众数是9分，将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的两个数都是8，∴中位数是（8+8）÷2＝8（分），即这40个样本数据平均数、众数、中位数分别是8.3分，9分，8分．21．已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的弦，且AB∥CD．（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝25°，求∠BAC和∠ODC的大小；（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点F，若OD∥CF，求∠ABC 的大小．【分析】（Ⅰ）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠ODC；（Ⅱ）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，根据平行线的性质、等腰三角形的性质计算，得到答案．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝65°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝25°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC＝25°，∴∠OCD＝50°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝25°；（Ⅱ）如图②，连接OC，∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，∵OD∥CF，∴∠DOC＝∠OCF＝90°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝45°，∵AB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝45°，∴∠BOC＝135°，∵OB＝OC，∴∠ABC＝×（180°﹣135°）＝22.5°．22．亮亮同学用所学知识测小区居民楼AB的高度，如图，她先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，然后她站在M点处利用自制的测角仪测得居民楼CD的顶端D点的仰角为45°，居民楼AB的顶端B点的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为16.6m，测角仪离地面的高度为1.6m，求居民楼AB的高度．（精确到1m）参考数据：sin55°≈0.82；cos55°≈0.57；tan55°≈1.43【分析】过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，可得AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，再根据锐角三角函数可得BE的长，进而可得AB的高度．解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F，如图：则AE＝MN＝CF＝1.6m，EF＝AC＝35m，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，则DF＝DC﹣CF＝16.6﹣1.6＝15（m），在Rt△DFN中，∠DNF＝45°，∴△DFN是等腰直角三角形，∴NF＝DF＝15m，∴EN＝EF﹣NF＝35﹣15＝20（m），在Rt△BEN中，tan∠BNE＝，∴BE＝EN•tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6（m），∴AB＝BE+AE＝28.6+1.6≈30（m），答：居民楼AB的高度约为30m．23．明明的家与书店、学校依次在同一直线上，明明骑自行车从家出发去学校上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．下面图象反映了明明本次上学离家距离y（单位：m）与所用时间x（单位：min）之间的对应关系．请根据相关信息，解决下列问题：（Ⅰ）填表：离开家的时间/min25811离家的距离/m4001000600600（Ⅱ）填空：①明明家与书店的距离是600m；②明明在书店停留的时间是4min；③明明与家距离900m时，明明离开家的时间是或7或min．（Ⅲ）当6≤x≤14时，请直接写出y与x的函数关系．【分析】先根据图象求出四段的函数解析式，再具体分析每一问即可．解：有图象可知，明明从家到学校分四段，当0≤x≤6时，图象经过（0，0）和（6，1200），∴解析式为：y1＝200x；当6＜x≤8时，设函数解析式为：y2＝kx+b，∵图象经过（6，1200）和（8，600），∴，解得：，∴函数解析式为：y2＝﹣300x+3000；当8＜x≤12时路程没有变化说明明明在书店停留，∴y3＝600；当12＜x≤14时，设函数解析式为：y4＝ax+m，∵图象经过（12，600）和（14，1500），∴，解得：，∴函数解析式为：y4＝450x﹣4800；Ⅰ∵x＝5时属于第①钟情况，∴y＝1000（m），∵x＝11时属于第③种情况，∴y＝600（m）；Ⅱ①由图象知明明家书店的距离是600m；②明明在书店停留的时间为：12﹣8＝4（min）；③从图象上可知x在0～6，6～8，12～14时可以距家900m，当0≤x≤6时，当y＝900时，即200x＝900，∴x＝（min），当6＜x≤8时，当y＝900时，即﹣300x+3000＝900，∴x＝7（min），当12＜x≤14时，当y＝900时，即450x﹣4800＝900，∴x＝（min），∴明明与家距离900m时，明明离开家的时间为min或7min或min；Ⅲ由上面解法知：y＝．故答案为：Ⅰ、1000，600；Ⅱ、①600，②4，③或7或．24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，∠ABO ＝30°，将△AOB绕点O顺时针旋转，得到△COD，点A，B的对应点分别是点C，D，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当点C刚好落在线段AB上时，求点D的坐标和α的值；（Ⅱ）如图②，当90°＜α＜180°时，连接BC，AD，求证S△BCO＝S△AOD；（Ⅲ）如图③，当α＝240°时，在y轴上找一点P，使△COP的面积等于△AOD的面积，请直接写出△COP中CP边上的高的值．（直接写出结果）【分析】（Ⅰ）设CD与OB交于点E，由说明△COA是等边三角形，得∠AOC＝∠OCD＝60°，得CD∥AO，证明∠CEO＝90°，得CE＝CO＝1，OE＝，DE＝4﹣1＝3，从而求得点D坐标为（3，），α＝60°；（Ⅱ）过点C作CM⊥OB，垂足为M，过点A作AN⊥DO，交DO延长线于点N，先证明△COM≌△AON（AAS），CM＝AN，OB＝OD，得S△BCO＝S△AOD；（Ⅲ）或，①当点P在y轴正半轴时，点P与点B重合时，△COP的面积等于△AOD的面积，先求＝，得CP边上的高＝，②当点P在y轴负半轴时，由对称性可知点P（0，﹣2），同理可求h＝，得CP边上的高为或．解：（Ⅰ）设CD与OB交于点E，由点A（﹣2，0），∴OA＝2，∵∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，∴AB＝4，OB＝2，∠BAO＝60°，∵将△AOB绕点O顺时针旋转，得到△COD，∴CO＝AO＝2，OD＝OB＝2，CD＝AB＝4，∵∠OCD＝∠OAB＝60°，∴△COA是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD＝60°，∴CD∥AO，∴∠CEO+∠AOB＝180°，∴∠CEO＝90°，∴CE＝CO＝1，OE＝，∴DE＝4﹣1＝3，∴点D坐标为（3，），α＝60°；（Ⅱ）过点C作CM⊥OB，垂足为M，过点A作AN⊥DO，交DO延长线于点N，则∠CMO＝∠ANO＝90°，又由旋转可知OC＝OA，∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COM+∠MON＝90°，∠AON+∠MON＝90°，∴∠COM＝∠AON，∴△COM≌△AON（AAS），∴CM＝AN，又∵OB＝OD，∴S△BCO＝S△AOD；（Ⅲ）或，理由：①当点P在y轴正半轴时，由Ⅱ得，点P与点B重合时，△COP的面积等于△AOD的面积，此时点P坐标为（0，2），设CD与y轴交于点F，∵α＝240°，∴∠COF＝30°，∠AOD＝30°，∴CD∥x轴，∴点C坐标为（1，﹣），点D坐标为（﹣3，），∴CP＝2，＝，∴CP边上的高＝，②当点P在y轴负半轴时，由对称性可知点P（0，﹣2），同理可求h＝，∴CP边上的高为或．25．已知抛物线C：y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D．（Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标；（Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；（Ⅲ）点E（﹣2，n）在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使△QBE的面积是△BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）对于y＝﹣x2+x+2①，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，进而求解；（Ⅱ）设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P′的坐标为（x，﹣x2+x﹣），OP′＝OP，故点P、P′关于x轴对称，进而求解；（Ⅲ）当点Q在BE上方时，设直线EB交y轴于点P，则点P的坐标为（0，﹣2），取PK的中点M，作直线m∥BE，则直线m和抛物线的交点即为所求的点Q，进而求解；②当点Q在BE的下方时，同理可解．解：（Ⅰ）对于y＝﹣x2+x+2①，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y ＝2，则点A、B、K的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，2），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，故点D的坐标为（，）；（Ⅱ）由平移的性质知，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣）2＝﹣x2+x﹣，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P′的坐标为（x，﹣x2+x﹣），∵OP′＝OP，故点P、P′关于x轴对称，即（﹣x2+x+2）+（x，﹣x2+x﹣）＝0，解得x＝，故点P的坐标为（，）或（，）（Ⅲ）存在，理由：当x＝﹣2时，n＝y＝﹣x2+x+2，即点E的坐标为（﹣2，﹣4），由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为y＝x﹣2，①当点Q在BE上方时，设直线EB交y轴于点P，则点P的坐标为（0，﹣2），取PK的中点M，作直线m∥BE，则直线m和抛物线的交点即为所求的点Q，由点K、P的坐标得，点M的坐标为（0，0），故直线m的表达式为y＝x②，联立①②得：﹣x2+x+2＝x，解得x＝，则点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）；②当点Q在BE的下方时，同理可得，直线n的表达式为y＝x﹣4，同理可得，点Q的坐标为（，﹣4）或（﹣，﹣﹣4），综上，点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）或（，﹣4）或（﹣，﹣﹣4）．。