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高三数学等差数列试题答案及解析

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高三数学等差数列试题答案及解析1. 在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________. 【答案】【解析】由题意得：，所以，即【考点】等差数列性质2. 已知数列是等差数列，且，那么数列的前11项和等于（ ）A ．22B ．24C ．44D ．48【答案】A【解析】由等差数列的性质可知，则.故A 正确.【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和公式.3. 设等差数列{a n }的首项a 1为a ，公差d ＝2，前n 项和为S n ． (1) 若当n=10时，S n 取到最小值，求的取值范围； (2) 证明：n ∈N*, S n ，S n ＋1，S n ＋2不构成等比数列． 【答案】见解析【解析】(1)解：由题意可知，所以(2)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m ∈N*，S m ，S m ＋1，S m ＋2构成等比数列，即．因此 a 2＋2ma ＋2m(m ＋1)＝0， 要使数列{a n }的首项a 存在，上式中的Δ≥0．然而 Δ＝(2m)2－8m(m ＋1)＝－4m (2＋m)＜0，矛盾．所以，对任意正整数n ，S n ，S n ＋1，S n ＋2都不构成等比数列．4. 设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【答案】C【解析】由a 3＋a 4＋a 5＝12得a 4＝4， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝＝7a 4＝28．5. 已知函数， 数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，若对一切成立，求最小正整数m ．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由可知数列为等差数列，易求得通项公式；（2）由第（1）的结果所以可用拆项法求和进而求得的最小值．解：（1）是以为公差，首项的等差数列（2）当时，当时，上式同样成立即对一切成立，又随递增，且，【考点】1、等差数列通项公式；2、拆项法求特列数列的前项和；3、含参数的不等式恒成立问题．6.设是等差数列的前项和，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得：,.故选D.【考点】1.等差数列的和；2.等差数列的性质.7.已知是递增的等差数列，，为其前项和，若成等比数列，则 .【答案】70【解析】因为数列为等差数列,所以且,因为成等比数列,所以,因为数列是递增的,所以,即,则,再根据等差数列前n项和的公式可得.故填70.【考点】等差数列等比中项前n项和8.等差数列的前项和为，若，则【答案】6【解析】因为为等差数列,所以根据等差数列的性质(下脚标之和相等对应项之和相等)可得,再根据等差数列的前n项和公式可得,故填6.【考点】等差数列前n项和9.在数列中，其前项和为，满足.（1）求数列的通项公式;（2）设（为正整数）,求数列的前项和.【答案】(1) .（2）.【解析】(1)根据,计算验证当时，,明确数列是为首项、公差为的等差数列即得所求. （2）由(1)知:利用“裂项相消法”、“错位相减法”求和.试题解析：(1)由题设得:,所以所以 2分当时，,数列是为首项、公差为的等差数列故. 5分（2）由(1)知: 6分9分设则两式相减得：整理得： 11分所以 12分【考点】等差数列的通项公式，“裂项相消法”，“错位相减法”.10.已知等差数列{an }中,a2+a4=10,a5=9,数列{bn}中,b1=a1,bn+1=bn+an.(1)求数列{an }的通项公式,写出它的前n项和Sn.(2)求数列{bn}的通项公式.(3)若cn =,求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】(1) an =2n-1,Sn= n2 (2) bn=n2-2n+2 (3) Tn= =【解析】(1)设{an }的公差为d,由题意得a1=1,d=2,所以an =2n-1,Sn=na1+d=n2.(2)b1=a1=1,bn+1=bn+an=bn+2n-1,所以b2=b1+1,b3=b2+3=b1+1+3,b n =b1+1+3+…+(2n-3)=1+(n-1)2=n2-2n+2(n≥2).又n=1时n2-2n+2=1=b1,所以数列{bn }的通项公式为bn=n2-2n+2.(3)cn===-,Tn =c1+c2+…+cn=(-)+(-)+…+(-)=1-=.11.已知数列为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1） ;（2）参考解析【解析】（1）因为数列为等差数列，且，通过这些条件列出相应的方程即可求出等差数列的首项和公差，从而求出数列的通项公式，即可求出数列的通项公式，本小题的关键是对一个较复杂的数列的理解，对数式的运算也是易错点. （2）因为由(1)的到数列的通项公式，根据题意需要求数列前n项和公式，所以通过计算可求出通项公式，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论.试题解析：（1）设等差数列的公差为d，由得所以d=1；所以即．（2）证明：所以 .【考点】1.对数的运算.2.等差数列的性质.3.等比数列的性质.4.构造转化的思想.12.已知函数y＝an x2(an≠0，n∈N*)的图像在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图像过点(2,8)，则a7的值为()A．B．7 C．5D．6【答案】C【解析】由题知y′＝2an x，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴a n－a n－1＝.又n＝1时其图像过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列， an＝＋，得a7＝5.13.若Sn 是等差数列{an}的前n项和，且S8－S4＝12，则S12的值为()A．64B．44C．36D．22【答案】C【解析】由S8－S4＝12得a5＋a8＝a6＋a7＝a1＋a12＝6，则S12＝×(a1＋a12)＝3614.已知数列{an }是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则数列{an}的前5项和S5＝()A．20B．30C．25D．40【答案】C【解析】由数列{an }是公差为2的等差数列，得an＝a1＋(n－1)·2，又因为a1，a2，a5成等比数列，所以a1·a5＝，即a1·(a1＋8)＝(a1＋2)2，解得a1＝1，所以S5＝5a1＋·d＝5×1＋20＝2515.已知公差不为零的等差数列{an }的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．(1)求通项公式an；(2)设bn ＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）an＝3n－5(n∈N*)．（2）【解析】(1)由题意知，解得所以an＝3n－5(n∈N*)．(2)∵bn ＝2an＝23n－5＝·8n－1，∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，所以Sn＝16.已知{}为等差数列，若，,则________.【答案】20【解析】由题意可知，，则等差数列{}的公差，又因为.【考点】等差中项的应用.17.已知等差数列{an }的前n项和为Sn，满足a13＝S13＝13，则a1＝()．A．－14B．－13C．－12D．－11【答案】D【解析】在等差数列中，，所以a1＋a13＝2，即a1＝2－a13＝2－13＝－11.18.设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2、a4、a6成公差为1的等差数列，则q的取值范围是________．【答案】【解析】∵a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，又a1＝1，∴a3＝q，a5＝q2，a7＝q3.又a2，a4，a 6成公差为1的等差数列，∴a4＝a2＋1，a6＝a2＋2.由1＝a1≤a2≤a3≤…≤a7，即有解得19.设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为,若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)【解析】（Ⅰ）根据数列的通项与数列前项和的关系，由，得；两式相减得数列的递推公式，从而得出数列通项公式.由此可求以确定等比数列的首项和公比,进而得到数列的通项公式.(Ⅱ)由（Ⅰ）的结果求,把变形为,,所以不小于的最大值.只需探究数列的单调性求其最大值即可.试题解析：（Ⅰ）当时，，, 2分当时，是公差的等差数列.构成等比数列，，，解得, 3分由条件可知， 4分是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为. 5分,数列的通项公式为 6分(Ⅱ) ，对恒成立对恒成立， 9分令，，当时，，当时，，． 12分【考点】1、等差数列;等比数列的通项公式和前项和.2、参变量范围的求法.20.设Sn 为等差数列{an}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ．【答案】【解析】研究特殊数列：等差数列的通法为根据方程组求出其首项及公差.由及解得【考点】等差数列前n项和.21.在数列中，前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列前n项和为，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）已知前项和公式求，则.由此可得数列的通项公式．（Ⅱ）由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.在本题中用错位相消法可得．这也是一个数列，要求数列的范围，首先考查数列的单调性，而考查数列的单调性，一般是考查相邻两项的差的符号.作差易得，所以这是一个递增数列，第一项即为最小值.递增数列有可能无限增大，趋近于无穷大.本题中由于，所以.由此即得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当时，；当时，，经验证，满足上式．故数列的通项公式． 4分（Ⅱ）可知，则，两式相减，得，所以． 8分由于，则单调递增，故，又，故的取值范围是 12分【考点】1、等差数列与等比数列；2、错位相消法求和；3、数列的范围.22.由函数确定数列，.若函数能确定数列，，则称数列是数列的“反数列”.（1）若函数确定数列的反数列为，求；（2）对（1）中的，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设（为正整数），若数列的反数列为，与的公共项组成的数列为（公共项为正整数），求数列的前项和.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）本题实质是求函数的反函数；（2）不等式恒成立，因此小于不等式左边的最小值，所以我们一般想办法求左边这个和，然而由（1）知，这个和求不出，那么我们只能从另一角度去思考，看的单调性，这里只要作差就可得出是递增数列，所以的最小值是，问题解决；（3）看起来很复杂，实质上由于和取值只能是0和1，因此我们按的奇偶性分类讨论，问题就简化了，例如当为奇数时，，则，就可求出，从而求出的前项和了．试题解析：（1），则；4分（2）不等式化为：，5分设，因为，所以单调递增， 7分则.因此，即.因为，所以，得. 10分（3）当为奇数时，，. 11分由，则，即，因此， 13分所以 14分当为偶数时，，. 15分由得，即，因此， 17分所以 18分【考点】（1）反函数；（2）数列的单调性；（3）分类讨论，等差数列与等比数列的前项和．23.（本小题满分13分）已知等比数列满足.（1）求数列的前15项的和；（2）若等差数列满足，，求数列的前项的和【答案】(1);(2)110【解析】(1)由等比数列满足.列出两个关于首项与公比的方程，通过解方程组可求出首项与公比.从而通过等比数列的前项和的公式求出前15项的和.本小题解出公比有两个值代入验算舍去一个.（2）由于等差数列满足，，由（1）可得数列的通项公式.从而得到数列的通项公式.即可求出等差数列的前10项和.试题解析：（1）设等比数列的公比为，由得,由得两式作比可得，（不符合题意舍去），所以，把代入②解得，由等比数列求和公式得7分（2）由（I）可得，设等差数列的公差为，则=2由等差数列求和公式得 13分【考点】1.待定系数法.2.等比数列前项和.3.等差数列的前项和.24.已知数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求证：【答案】(1)数列的通项公式;(2) ，,.【解析】(1)有等差数列的等差中项有，再根据可建立的关系，，由等比数列的定义可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，.(2)由（1）中可写出，则，再利用裂项求和的方法有.试题解析：(1)成等差数列，，当时，，当时，，两式相减得：∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以 .(2).【考点】1、等差中项；2、数列中求通项；3等比数列的定义；4、裂项相消求和；5、放缩法证明不等式.25.已知数列满足：，，（其中为非零常数，）．（1）判断数列是不是等比数列？（2）求；（3）当时，令，为数列的前项和，求.【答案】（1）数列是等比数列；（2），；（3）.【解析】（1）将数列的递推式进行变形得，从而利用定义得到数列是等比数列；（2）在（1）的基础上先求出数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；（3）在（2）的基础上，将代入数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，并根据数列的通项公式，对、以及进行三种情况的分类讨论，前两种情况利用等差数列求和即可，在最后一种情况下利用错位相减法求数列的前项和，最后用分段的形式表示数列的前项和.试题解析：（1）由，得．令，则，．，，（非零常数），数列是等比数列．（2）数列是首项为，公比为的等比数列，，即．当时，，满足上式，．（3），当时，．，①②当，即时，①②得：，即．而当时，，当时，．综上所述，【考点】1.定义法证明等比数列；2.累乘法求数列通项；3.等差数列求和；4.错位相减法求和26.设等差数列的前项和为，若，，则等于（）A．180B．90C．72D．100【答案】B【解析】因为2=9+11=20，所以，=9=90，故选B.【考点】等差数列的性质和前n项和27.已知函数对任意的实数都有，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知可得，可得为一等差数列，又，则，即，故选B．【考点】等差数列的定义28.已知等差数列的前项和是，则使的最小正整数等于【答案】2014【解析】设等差数列的公差为，∵前项和是，又∵，∴，解得，∴，由，可得，故最小正整数为．【考点】等差数列的前项和，等差数列的通项公式．29.在等差数列中，若，则的值为 ( )A．20B．22C．24D．28【答案】C【解析】由得，.【考点】等差数列.30.已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为( )A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】在等差数列中，∵，∴，解得，∴.∵，∴数列是递减数列，数列的最大项为，∵，又∵是整数，∴的最小值为4，选B.【考点】等差数列的通项公式，数列的单调性.31.已知数列，分别为等比，等差数列，数列的前n项和为，且，，成等差数列，，数列中，，（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列的前n项和为,求满足不等式的最小正整数。

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高三数学数列试题答案及解析

高三数学数列试题答案及解析

高三数学数列试题答案及解析1.对于正项数列，定义为的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列的通项公式为________【答案】【解析】由题意，，，所以，则时，，两式相减得，，也适合此式，故.【考点】新定义与数列的通项公式.2.已知数列的通项公式an＝ (n∈N*)，求数列前30项中的最大项和最小项．【答案】最大项为a10，最小项为a9【解析】∵an ＝1＋，∴当n≤9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10≤n≤30时，a n 随着n的增大越来越小且大于1，∴前30项中最大项为a10，最小项为a9.3.（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求适合方程的的值.（Ⅲ）记，是否存在实数M，使得对一切恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由。

【答案】，2/9【解析】19. 解：（Ⅰ）当时，，由，得．当时，，，∴，即．∴．∴是以为首项，为公比的等比数列．故．………………6分（Ⅱ），，………………8分………10分解方程，得………………12分（2）解法一：，由错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，当，又故存在实数M，使得对一切M的最小值为2/9。

4.把数列的所有项按照从大到小的原则写成如题15图所示的数表，其中的第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为则_____________.【答案】【解析】略5.设等差数列的前项和为，若，，则（）A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】在等差数列中，成等差数列。

因为，，所以。

故选Ｂ。

【考点】等差数列的性质点评：在等差数列中，成等差数列。

6.（本小题满分14分）已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为。

（1）求数列的通项公式；（2）证明：。

【答案】（1）；（2）证明见解析。

【解析】（1）设直线：，联立得：，则，∴（舍去），即，∴（2）证明：∵∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，则有，即。

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。

高三数学试题及解析答案

高三数学试题及解析答案

高三数学试题及解析答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)的性质。

选项A是偶函数，选项B是偶函数，选项D是偶函数，只有选项C满足奇函数的定义。

因此，正确答案是C。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5的值。

解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

将已知条件代入公式，得到a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14。

3. 计算下列积分：∫(3x^2 - 2x + 1)dx解析：根据积分的基本公式，我们可以计算出：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C4. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标和半径。

解析：圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。

根据题目给出的方程，圆心坐标为(3, 4)，半径为5。

二、填空题（每题4分，共12分）1. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cosθ的值。

答案：根据勾股定理，cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 -(3/5)²) = 4/5。

2. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。

答案：将x=2代入函数f(x)，得到f(2) = 2³ - 2×2² + 3×2- 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2。

3. 求方程2x + 5 = 7x - 3的解。

答案：将方程化简，得到5x = 8，解得x = 8/5。

三、解答题（每题18分，共54分）1. 解不等式：|x - 3| < 2。

高三数学理科等比数列和等差数列例题解析试题

高三数学理科等比数列和等差数列例题解析试题

高三数学理科等比数列和等差数列例题解析一. 本周教学内容：等比数列和等差数列 二. 重点、难点： 1. 等差数列〔1〕定义：d a a n n +=+1 *N n ∈〔2〕关键量：d a ,1〔3〕通项公式：d n a a n )1(1-+= d m n a a m n )(-+= 〔4〕前n 项和：n a a d n n na S n n ⋅+=-+=)(21)1(2111 〔5〕① 假设q p n m +=+ ∴ q p n m a a a a +=+② }{q pa n +成等差数列③ }{)1(n k kn S S -- N k ∈，1>k 成等差数列 ④ ),0(+∞∈α na α成等比数列⑤ 任意两数b a ,有等差中项2ba + 2. 等比数列 〔1〕定义：)0(1≠=+q q a a nn 〔2〕关键量：1a ，q〔3〕通项：11-=n n q a a〔4〕前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==11)1(111q q q a q na S n n〔5〕假设q p n m +=+，那么q p n m a a a a ⋅=⋅ }{n pa )0(≠p 成等比数列n n n n n S S S S S 232,,--成等比数列0>n a ，}{log n a a 0(>a 且)1≠a 成等差数列〔6〕任意同号实数b a ,，有等比中项ab ±【典型例题】[例1] 等差数列}{n a 中，35=n S ，11=n a ，2=d ，求1a解：⎪⎩⎪⎨⎧⋅-+==⋅-+==2)1(21352)1(1111n n na S n a a n n ⎩⎨⎧==⇒351a n 或者⎩⎨⎧-==171a n[例2] 等差数列}{n a 中，p S k =，q S k =2，那么=k S 3解：k k k k k S S S S S 232,,--成等差数列，k k k k k S S S S S 232)(2-+=- ∴ )(33p q S k -=[例3] 等差数列}{n a 一共12+k 项，所有项之和323，其中奇数项和为171，求=+1k a ，=k解：171323171)(21)1()(2122121-=⋅++⋅+=+k a a k a a S S k k 偶奇 ∴ 81521711=⇒=+k k k ∴ 19172171719==+=S a a a ∴ ⎩⎨⎧==1989a k[例4] 等差数列}{n a ，}{n b 前n 项和为n S ，n T ，且2325++=n n T S n n ，求=∞→nn n b a lim解：16310)12)((21)12()(211212121121121121--==-+-⋅+=++=------n n T S n b b n a a b b a a b a n n n n n n n n ∴ 35610lim==∞→nn n b a212111)1()1(lim limd d d n b d n a b a n n n n =-+-+=∞→∞→212121112121)1(21)1(21lim lim d d d d d n n nb d n n na T S n n n n ==-+-+=∞→∞→[例5] 数列}{n a ，213=S ，246=S 〔1〕n n a a a S +++= 21，求n S 的最大值。