[推荐学习]2018-2019学年九年级数学上册 第21章 一元二次方程 一元二次方程中的平均增长率

解一元二次方程（配方法）一．填空题（共6小题）1．把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m= ，n= ．2．将一元二次方程x2﹣2x﹣1=0用配方法化成的（x+a）2=b形式为．3．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab= ．4．方程x2+2x=1的解是．5．已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q= ．6．方程（x﹣3）（x+5）﹣1=0的根x1= ，x2= ．二．选择题（共10小题）7．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=158．如果用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，那么原方程应变形为（）A．（x﹣1）2=1 B．（x+1）2=1C．（x﹣1）2=2 D．（x+1）2=29．将一元二次方程x2﹣4x+1=0化成（x+h）2=k的形式，则k等于（）A．﹣1 B．3 C．4 D．510．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）A．（x﹣n+5）2=1 B．（x+n）2=1 C．（x﹣n+5）2=11 D．（x+n）2=1111．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1=0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣3）2=1 B．（x﹣3）2=10 C．（x+3）2=1 D．（x+3）2=1012．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．4013．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+3=0，此方程可化为（）A．（x﹣4）2=13 B．（x+4）2=13C．（x﹣4）2=19 D．（x+4）2=1914．用配方法解一元二次方程x2+2x﹣1=0时，此方程可变形为（）A．（x+1）2=1 B．（x﹣1）2=1C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=215．用配方法解方程x2﹣8x+7=0，配方后可得（）A．（x﹣4）2=9 B．（x﹣4）2=23C．（x﹣4）2=16 D．（x+4）2=916．用配方法解方程x2﹣4x+1=0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2=3C．（x﹣2）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣3三．解答题（共3小题）17．解方程：（1）x2﹣2x﹣4=0（2）用配方法解方程：2x2+1=3x18．（1）解方程：x2﹣4x﹣3=0；（2）解不等式组：19．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）=6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．直接开平方并整理，得．x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]=5．（x+a）2﹣b2=5，（x+a）2=5+b2．直接开平方并整理，得．x1=c，x2=d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）=6．参考答案一．填空题（共6小题）1．﹣1、4．2．（x﹣1）2=23．12．4．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．5．8．6．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．二．选择题（共10小题）7．C．8．C．9．B．10．D．11．B．12．B．13．A．14．C．15．A．16．A．三．解答题（共3小题）17．（1）∵x2﹣2x=4，∴x2﹣2x+1=4+1，即（x﹣1）2=5，则x﹣1=±，∴x=1±；（2）∵2x2﹣3x=﹣1，∴x2﹣x=﹣，∴x2﹣x+=﹣+，即（x﹣）2=，则x﹣=±，解得：x1=1、x2=．18．（1）x2﹣4x=3，x2﹣4x+4=7（x﹣2）2=7x=2±（2）由x﹣3（x﹣2）≤4，解得x≥1，由＞x﹣1，解得x＜4∴不等式组的解集为：1≤x＜419．（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]=5．（x+5）2﹣22=5，（x+5）2=5+22．直接开平方并整理，得．x1=﹣2，x2=﹣8．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、2、﹣2、﹣8，故答案为：5、2、﹣2、﹣8；（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]=6．（x﹣1）2﹣42=6，（x﹣1）2=6+42．x﹣1=±，∴x=1±，直接开平方并整理，得．x1=1+，x2=1﹣．。

2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。

能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系※教学目标※【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.【过程与方法】培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力【情感态度】1. 渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律2. 培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.【教学重点】根与系数的关系及其推导.【教学难点】正确理解根与系数的关系.※教学过程※一、复习导入问题1请写出一元二次方程的一般式和求根公式.问题2完成下面的表格：观察表格中的结果，你有什么发现？二、探索新知通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空：(1 )已知方程x2-8x -3=0 的两根为x-i，x2，贝U x-i x2= ___________ ，X|X2二_______ ；(2)已知方程x27x -5 =0的两根为x1, x2，贝U为，x2 = _______ , xix2二答案：(1) 8, -3 ; ( 2) -7, -5.思考1 (1)如果方程x2 mx n = 0的两根为x, , x2,你能说说x1x2和x1 x2的值吗？(2)如果方程ax2 Fx・c=0的两根为冷,X2，你能说说为x2和X1X2与方程系数质检的关系吗？说说你的理由.归纳总结根与系数的关系(韦达定理)：若一兀二次方程ax ，bx=0(a =0)有两实数根x1, x2，则x x2, x1x2.这a a表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比•思考2在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式厶=b2 _4ac_0呢？为什么？根与系数关系解题的前提条件是,:_0，否则方程就没有实数根，自然不存在X i，X2.三、掌握新知例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根X i，X2的和与积：2 2 2（i）x _6x-15 = 0 ；（2）3x +7x-9 = 0 ；（3）5x -1 = 4x .分析：对于方程（3）,应先化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解解：（1）x^i」x2- - ~6 =6，x）x^ - -15 ；（2）X）亠X2 - -7，9 - -3 ；（3）方3 32 _5 5 1程化为4x 5x 亠1 =0. X1 ■ X2 ，X1X2 .4 4 4试一试完成教材第16页练习.例2 已知方程x2- x + c = 0的一根为3，求方程的另一根及c的值.分析：设方程的另一根为X1，可通过求两根之和来求出X1的值；再用两根之积求c,也可将x =3代入方程求出c值，再利用根与系数的关系求X1的值.解：设方程另一根为x1，由X| 3 =1，二= -2 .又处3 = -2 3 = c，二c = -6 .例3 已知方程x2 - 5x - 7 = 0的两根分别为X| , x2，求下列式子的值.（1）X12亠X22；（2）昼■程.X2 X|分析：将所求代数式分别化为只含有X1 X2和XlLx2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.解：•••方程X2 - 5x- 7 = 0 的两根为X| , X2 ,•••X| +X2 =5 , X I L X2=—7.（1）xf +x22 =* +x22-2x^X2 =52-2江（-7 ）=25 +14 =39 ；(2).迄—X12X22_ _39x2 x1x1 x27例4已知X1 , X2，是方程X2- 6x+k = 0的两个实数根，且X12L x22-X1 -X2 =115 . （1）求k的取值；（2）求X12 - X22 -8的值.分析：将X1 X2 =6 , X|L X2二k，代入X12L x22-为-X2 =115可求出k值.此时需用厶二J-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.解：（1）：由题意有x1x2=6 , x^Lx^k .2 2 2 2x 1 [x 2 _X r _x 2)_(x ,+x 2 )=k _6 =115 ,.•. k =11 或 k =_11 .又，••方程2 2X - 6x + k= 0有实数解，•••△= (-6 ) _4k KO ,••• k^9. ••• k=11不合题意应舍去，故 k 的值 为-11 ;2 2 2(2)由(1)知，为 +x 2 =6 , =—11 为 +x 2 一8 =(为 +x 2 ) —2x^2 _8 =36 +22一8 =50 .四、巩固练习1. _______________________________________________________ 若xi ，X 2是方程x 2 + x -1 = 0的两个实数根，贝U x 1 X 2二 ______________________________________ ，xiLx 2二 2. _________________________________________________________ 已知x =1是方程x2 mx -3 =0的一个根，则另一个根是 _______________________________________ , m = . 3. 若方程x 2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a , b _____ .4. 已知a , b 是方程x 2 - 3x-1 = 0的两根，求b -的值. a b答案：1.-1 , -1 2. -3, 2 3.1 , -6 4.由 ab=3 ,生b=_1，故-■ a —a b ab五、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？ ※布置作业※ 从教材习题21.2中选取. ※教学反思※1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题， 注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用 2.教学设过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想3. 教材把本节作为了解的内容， 但本节知识在中考试题填空题、 选择题、解答题中均有 出现，为了让学生能适应平时的试题， 本节内容进行了一定的延伸， 同时也可以激发学生们 学习的兴趣.22a -b ] -2ab 3 一2》订-1ab -1。

解一元二次方程（直接开平方法）一．填空题（共6小题）1．方程3x2﹣3x﹣25=﹣3x的根有个，其中的正数根是．2．方程（x﹣5）2=0的根是．3．完成下面的解题过程：（1）解方程：2x2﹣6=0；解：原方程化成．开平方，得，x1= ，x2= ．（2）解方程：9（x﹣2）2=1．解：原方程化成．开平方，得，x1= ，x2= ．4．方程（x﹣5）2=5的解为．5．一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2，则a的值是．6．方程x2=4的解为．二．选择题（共15小题）7．方程：x2﹣25=0的解是（）A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=﹣5，x2=5 D．x=±258．关于x的方程x2=m的解为（）A．B．﹣C．±D．当m≥0时，x=±；当m＜0时，无实根9．2x2﹣98=0的根是（）A．x1=7，x2=﹣7B．x=7C．x1=7，x2=﹣7 D．x=710．若关于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤0 B．m＞0 C．m≥0 D．无法确定11．方程4x2﹣12x+9=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x= D．无法确定12．如果（x﹣4）2=25，那么x的值是（）A．±1 B．1 C．±9 D．9或﹣113．方程3x2=1的解为（）A．± B．±C．D．±14．（1﹣2x）2﹣4=0的解是（）A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=﹣，x2=C．x=﹣D．x1=，x2=﹣315．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b=0的解是（）A．﹣1或﹣4 B．﹣2或1 C．1或3 D．﹣5或﹣216．方程=3的根是（）A．﹣1，﹣3 B．﹣1，1 C．1，﹣5 D．﹣2+，﹣2﹣17．一元二次方程ax2﹣b=0（a≠0）有解，则必须满足（）A．a、b同号B．b是a的整数倍C．b=0 D．a、b同号或b=018．方程x2﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1，x2=﹣1 C．x1=x2=﹣1 D．x1=1，x2=019．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根20．一元二次方程x2+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定21．规定运算：对于函数y=x n（n为正整数），规定y′=nx n﹣1．例如：对于函数y=x4，有y′=4x3．已知函数y=x3，满足y′=18的x的值为（）A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=x2=0 C．x1=，x2=﹣D．x1=3，x2=﹣3三．解答题（共4小题）22．解方程：．23．已知等腰三角形的两边的长是方程（x﹣2）2﹣1=0的两根，求这个等腰三角形的周长．24．解方程（x﹣1）2﹣4=0．25．用直接开平方法解方程．（1）（2x﹣）2=8（2）4x2﹣256=0；（3）（x﹣1）2=．一．填空题（共6小题）1．．2．x1=x2=5．3．解：（1）解方程：2x2﹣6=0；原方程化成x2=3．开平方，得x=±，x1=，x2=﹣．（2）解方程：9（x﹣2）2=1．原方程化成（x﹣2）2=．开平方，得x﹣2=，x1=，x2=．4．．5．4．6．x1=2，x2=﹣2．二．选择题（共15小题）7．C．8．D．9．C．10．C．11．C．12．D．13．D．14．B．15．D．16．C．17．D．18．B．19．D．20．C．21．C．三．解答题（共4小题）22．解：由原方程移项，得（5﹣3x）2=，直接开平方，得5﹣3x=±，解得x1= x2=．23．解：∵（x﹣2）2﹣1=0，∴（x﹣2）2=1，∴x﹣2=±1，∴x1=3，x2=1，∴腰为3、3，底边为1时，∴这个等腰三角形的周长为3+3+1=7．24．解：（x﹣1）2﹣4=0，（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）=0，x﹣1+2=0，x﹣1﹣2=0，x1=﹣1，x2=3．25．解：（1）开方得：2x﹣=±2，解得：x1=，x2=﹣；（2）方程变形得：x2=64，解得：x1=8，x2=﹣8；（3）方程变形得：（x﹣1）2=3，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x1=1﹣．。