2018年浙江省中考数学第8讲一元二次方程及其应用总复习讲解

★2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点初三数学学习对我们来说很关键，因此必须掌握好课堂上学习的数学知识，学习完数学知识点要进行课下复习，下面为大家带来2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点，希望对大家掌握初中数学知识有帮助。

解法一：因式分解法第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0;第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积;第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解.解法二：配方法x -4x+3=x -4x+4-1=(x-2) -1=0即(x-2) =1于是x=3或x=1一般来说，一元二次方程往往可以用这样2种方法解答，特别是对配方来说，它可能更实用，普遍。

比如x +x-1=0我们可能分解不出它的因式来，不过我们可以采用配方法x +x-1=(x+1/2) -5/4=0于是得到x=(根号5-1)/2或x=(-根号5-1)/2小练习1.分解因式：(1)x2-4x=_________; (2)x-2-x(x-2)=________ (3)m2-9=________; (4)(x+1)2-16=________2.方程(2x+1)(x-5)=0的解是_________3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是___________4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1x2，且x1x2，则x1-2x2的值等于_______5.已知y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0;当x=________时，y的值等于24.6.方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________.以上就是为大家带来的2018浙教版初三数学上学期解一元二次方程知识点，希望大家能够熟练掌握这些知识点，这样考试的时候就能熟练运用，从而取得好的成绩。

一元二次方程的概念及解法知识点一:一元二次方程的概念(1）定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式,则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式:02=++c bx ax 时，应满足(a ≠0)例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y —5）=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有 .变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为: ，一次项系数为: ,常数项为： 。

变式：有一个一元二次方程，未知数为y,二次项的系数为－1,一次项的系数为3,常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x 的方程(m —5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式：已知关于x 的方程（m+1）x 2－mx+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对知识点二:一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。

（2）应用：利用根的概念求代数式的值；【典型例题】1。

已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是( ) A ．3-B ．3C ．0D ．0或32。

第8讲一元二次方程及其应用对系数特点米用不同方法的最优化解题策略，养成先观察后动笔的基本解题习惯•一般情况下：（1）首先看能否用直接开平方法或因式分解方法法；（2）不能用以上方法时，可考虑用公式法；（3）除特别指明外，一般不用配方法.■考题体验^・1. （2015温州）若关于x的一元二次方程4x2—4x + c= 0有两个相等实数根，则c的值是（）A. —1【问题】给出以下方程①3x + 1 = 0:②x2—2x = 8:③―；—= 1.x —3 3 —x（1） _________________________ 是一元二次方程的是;（2）求出（1）中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？⑶通过（1）（2）问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法.D. 42. （2017舟山）用配方法解方程x2+ 2x — 1 = 0时，配方结果正确的是2A. (x + 2) = 2B. (x + 1)2= 2 C. (x + 2)2= 3 D. (x + 1)2= 33. (2017 丽水)解方程：(x —3)(x —1) = 3.类型一 一元二次方程的有关概念例1 (1)关于x 的方程(a — 6)x 1 2— 8x + 6 = 0有实数根，则整数 a 的最大值是 _________ . a 2_ b 2 ⑵若x = 1是一元二次方程ax 2 + bx — 40= 0的一个解，且a *b ，贝V 的值为2a — 2b(3) ______________________________ 关于 x 的方程 a(x + m)2 + b = 0 的解是 X i = — 2, x ?= 1, (a , m , b 均为常数，a * 0), 则方程a(x + m + 2)2+ b = 0的解是 .【解后感悟】(1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件； (2)注意解题中的整体代入思想；(3)注意由两个方程的特点进行简便计算.x 2+ mx + n = 0的一个根，则 m 2+ 2mn + n 2的值为类型二一元二次方程的解法例2解下列方程：(1) (3x — 1)2= (x + 1)2 ；2 1(2) 2x + x — = 0.【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为： 直接开平方法T 因式分解法T 公式法.一般没有特别要求的不用配方法.解题关键是能把解1 (1)(2016南京模拟)关于x 的一元二次方程(a 2— 1)x 2+ x —2 = 0是一元二次方程，则a满足()A . a * 1B . a *— 1C . a *± 1D .为任意实数(2)已知 x = 1是一兀二次方程元二次方程转化成解一元一次方程.2 .解方程:(1)(2x - 1)2= x(3x + 2) - 7;(2)x(x - 2) + x-2 = 0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017潍坊)若关于x的一元二次方程kx2- 2x + 1 = 0有实数根，则k的取值范围是 .(2)(2015台州)关于x的方程mx2+ x- m+ 1= 0,有以下三个结论：①当m= 0时，方程只有一个实数解；②当m z0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是____________________________ (填序号).【解后感悟】在一元二次方程ax2+ bx + c= 0中，需要把握根的三种存在情况：b2- 4ac> 0，方程有实数根(两个相等或两个不相等);b2-4ac v 0,无实数根.3.已知命题“关于x的一元二次方程x2+ bx + 1 = 0,当b v 0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A. b=- 1B. b= 2C. b=- 2D. b= 04 .若关于x的一元二次方程kx2+ 4x + 3 = 0有实根，则k的非负整数值是5.已知关于x的一元二次方程ax2+ bx + 1 = 0(a z 0)有两个相等的实数根，求ab2a-2) 2+ b2-4 的值.类型四与几何相关的综合问题（1）在宽为20m ，长为32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩 形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为 135m 2,则道路的宽为 _________ m.（2）（2016张家口模拟）如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 则b= ________⑶（2015广•安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2— 7x + 10= 0的两根，则该等腰三角形的周长是 _________【解后感悟】（1）此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系. （2）此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题.（3）本题关键是确定三角形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想•要随时注 意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边6.（1）（2016台湾）如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所 组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和•若丙的一股长为 2,且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ )13 込B.3C . 2- 3D . 4— 2.3<（2）一个直角三角形的两条边长是方程 x 2— 7x + 12= 0的两个根，则此直角三角形的面积等于 _________________ .⑶有一块长32cm ，宽24cm 的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再 折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是___________________ cm.类型五一元二次方程在生活中的应用例5 （1）（2017济宁市任城区模拟）某种数码产品原价每只 400元，经过连续两次降价后， 现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为 ____________ .（2）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式 （每两队之间都要赛一场）计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有 ___________ 队.⑶商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打 a 折的基础上再打 a 折销售，现该商品的售价为128元，则a 的值是 ___________ .⑷将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖 500个，已知该商品每涨价 1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货 ____________ 个.【解后感悟】（1）若设变化前的量为 a ,变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次 变化后的数量关系为 a （1 ±）2= b ; （2）关键是准确找到描述语，根据等量关系准确地列出方 程•此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；（3）此题打a 折转化 走是解决问题的关键； ⑷解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量 关系，列出方程，再求解. 71. (1)(2017温州)我们知道方程x 2+ 2x — 3= 0的解是x i = 1, X 2=— 3,现给出另一个方 程(2x + 3)2+ 2(2x + 3) — 3 = 0,它的解是()7 （1）（2016宁波市镇海区模拟）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其 他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级（1）班人数为 人.（2）（2017山西模拟）将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第 个图形有94个小圆.。

第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法考试内容考试要求一元二次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0）．a一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是____________________,主要方法有：____________________法、直接开平方法、____________________法、公式法等．c2.一元二次方程根的判别式考试内容考试要求根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为____________________．b判别式与根的关系(1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程____________________的实数根;(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程____________________的实数根;（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程____________________实数根．考试内容考试要求基本化归与转化思想，一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、 c思想公式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程），通过转化，归结为已解决的问题(一元一次方程），也就是不断地把“未知”转化为“已知”．基本方法对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯．一般情况下：（1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2）不能用以上方法时,可考虑用公式法;(3)除特别指明外，一般不用配方法．1．（2015·温州）若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是（）A．－1 B．1 C．－4 D．42．（2017·舟山）用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．（x＋2）2＝2 B．(x＋1）2＝2 C．(x＋2）2＝3 D．(x＋1）2＝33．(2017·丽水）解方程：(x－3）(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0;②x2－2x＝8；③错误!－错误!＝1。

第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法考试内容考试要求一元二次方程的概念只含有个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程,叫做一元二次方程．它的一般形式是ax２＋bｘ+c=0(a≠0).ａ一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是_＿_______＿__＿__＿____,主要方法有:__________＿＿__＿_＿___法、直接开平方法、______＿__＿______＿＿__法、公式法等．c2.一元二次方程根的判别式考试内容考试要求根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋ｃ＝0（a≠0)的根的判别式为＿_＿＿＿＿________＿＿_＿__．b 判别式与根的关系(1)b2－４ac＞０⇔一元二次方程_____＿_＿＿_＿__＿______的实数根；(2)b2-4ac=0⇔一元二次方程_＿＿＿＿___＿______＿_＿__的实数根；(３）b2-4ac<0⇔一元二次方程_____＿＿___＿_＿＿＿___＿_实数根．考试内容考试要求基本思想化归与转化思想，一元二次方程的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法,都是运用了“转化”的思想,把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化,归结为已解决的问题（一元一次方程）,也就是不断地把“未知”转化为“已知”．ｃ基本方法对系数特点采用不同方法的最优化解题策略,养成先观察后动笔的解题习惯.一般情况下:(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；（2)不能用以上方法时,可考虑用公式法;（３)除特别指明外，一般不用配方法．1．（２015·温州)若关于x的一元二次方程4x２-４x＋ｃ=0有两个相等实数根,则ｃ的值是( )A．－1 Ｂ．1 C.-4D.42.(2０１7·舟山）用配方法解方程x２＋2x－1=０时，配方结果正确的是（)Ａ．(x＋２)2=2B.(ｘ＋1)２=２C．（x+2)2=3 Ｄ.(x+1)２＝3３.(2０17·丽水）解方程:(x－3）(ｘ－1)＝3.【问题】给出以下方程①３x+1=０;②x2-2x＝8；③错误!－错误!=1.(１)是一元二次方程的是_＿___＿＿_＿_；(2)求出(１)中的一元二次方程的解,并联想还有其他的解法吗?(3)通过(１)(２)问题解决,你能想到一元二次方程的哪些知识?【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理一元二次方程的概念以及解法.类型一一元二次方程的有关概念例1(1）关于ｘ的方程(a－6)x２-８x+６=０有实数根，则整数a的最大值是_＿＿__＿_＿．(２）若x＝1是一元二次方程ax2+bx－40＝０的一个解,且a≠ｂ，则a2-b２２ａ－2b的值为＿＿＿_＿_＿_.(3）关于x的方程a(x+ｍ)２＋b＝0的解是x1=－2，ｘ2＝1，(ａ,ｍ，b均为常数,ａ≠０),则方程a(x+m+2)2＋b=０的解是________．【解后感悟】（1)切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；(２)注意解题中的整体代入思想;(3)注意由两个方程的特点进行简便计算．1．(1)(２016·南京模拟)关于x的一元二次方程(a2－1)ｘ2+x-2=0是一元二次方程,则a满足( ）A．a≠１B.a≠-1 C．a≠±1 D.为任意实数(2)已知x=1是一元二次方程x2+ｍｘ＋n＝0的一个根,则ｍ2＋2ｍn+n2的值为_________________＿_＿．类型二一元二次方程的解法错误!解下列方程：(1)(３x－１)２＝(x＋１)2；(2)2ｘ２+x-错误!＝0.【解后感悟】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法．一般没有特别要求的不用配方法.解题关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．２.解方程:(1)(２x－1）２＝x(3x＋2)-７;(2）x（x-2)+ｘ－２＝0.类型三一元二次方程根的判别式错误!(1)(２017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－２x+1＝0有实数根，则k的取值范围是___＿_＿_＿.(２）(2０15·台州）关于ｘ的方程ｍx2＋x-m＋1＝0,有以下三个结论:①当m=0时，方程只有一个实数解；②当ｍ≠0时,方程有两个不等的实数解;③无论m取何值，方程都有一个负数解,其中正确的是＿_____＿_(填序号）.【解后感悟】在一元二次方程ａx2+bx+c＝0中,需要把握根的三种存在情况：b２－4ac≥0,方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2-４ａc＜0,无实数根．３.已知命题“关于ｘ的一元二次方程ｘ2+bx＋1=0,当b＜0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例是（)A.b=－1B.ｂ=２C．b=-2 Ｄ.b＝０4．若关于x的一元二次方程kｘ2＋4x＋3＝０有实根，则k的非负整数值是___＿________＿_______.5．已知关于x的一元二次方程ａx２＋bx+1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求aｂ22+ｂ２－4)的值．（a－2类型四与几何相关的综合问题错误!(1)在宽为20ｍ，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2,则道路的宽为________m.(２)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形,设a=1,则b＝_＿_____＿．(3)(201５·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－７ｘ+10=０的两根，则该等腰三角形的周长是＿__＿____．【解后感悟】(1)此题关键是将四个矩形以恰当的方式拼成大矩形列出等量关系.(2）此题是一个信息题目，首先根据题目隐含条件找到数量关系,然后利用数量关系列出方程解决问题．(３）本题关键是确定三角形的三边的长度,用的数学思想是分类讨论思想．要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边”．６.(1)(２０１6·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成,其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何?()A．错误!Ｂ.错误!C．2-错误! D．4－2 3（2)一个直角三角形的两条边长是方程x２-7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于.（３）有一块长32cm,宽24ｃm的长方形纸片,如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子,已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是_＿＿______＿＿＿__＿_____ｃm.类型五一元二次方程在生活中的应用错误!(１)(20１７·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只40０元,经过连续两次降价后,现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为＿＿_____＿.(２)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有＿_______队．（３）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售,现该商品的售价为128元,则a的值是________.（４）将进货单价为4０元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚800０元利润，则应进货______＿＿个．【解后感悟】(1）若设变化前的量为a，变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；（2)关键是准确找到描述语,根据等量关系准确地列出方程.此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解；(３)此题打a折转化a１０是解决问题的关键;(4）解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．7．（1)(２016·宁波市镇海区模拟）毕业典礼后,九年级(１）班有若干人,若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡,全班共送贺卡１１90张，则九年级(１)班人数为__＿__＿____＿_＿_____＿＿人.(２)(2０１７·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放,请仔细观察，第____＿___＿＿＿_______＿_个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1）(20１7·温州)我们知道方程x2+２ｘ-３＝0的解是x1=1，x2=-3,现给出另一个方程(2x+3）2＋2（2x+3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1,ｘ2＝3B.ｘ1＝１,ｘ２=-３C.x１=-1，x２＝３D．ｘ1=－1,x2＝－3(2)(２017·宁波市北仑区模拟）已知ｍ是方程x2－2017x+1＝0的一个根,则代数式m2-２01８m+错误!+３的值是__＿_＿___.【方法与对策】(1)此题主要利用了方程结构相同的整体代入的方法求一元二次方程的解;(2）此题主要利用了一元二次方程的解得到已知式,再利用整体代入的方法求值．该题型是中考命题方法之一．【忽视一元二次方程ax ２+b ｘ＋c=０（a ≠０)中“ａ≠0”】已知关于x 的一元二次方程（m －１)x ２+x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__＿_＿＿__．参考答案第8讲 一元二次方程及其应用【考点概要】1.一 ２ 降次 配方 因式分解 ２.b 2－4ac 有两个不相等 有两个相等 没有 【考题体验】1．B ２.B 3.x １=０，ｘ2=4. 【知识引擎】【解析】(1)②; （2)x 1＝4,x 2＝-2(配方法)，其他方法：因式分解法、公式法; (3)一元二次方程的概念以及解法.【例题精析】例１ (1）①若a ＝６，则方程有实数根,②若a ≠6,则Δ≥0，∴6４－4×(a-6)×6≥0，整理得：a ≤２６3，∴a 的最大值为８；(２)∵x=1是一元二次方程ax ２+bx-４0＝0的一个解，∴ｘ=1满足一元二次方程ax ２+ｂx-40＝0,∴a ＋b-40=0，即a ＋b ＝40①，a ２-ｂ２2a －2b=错误!=错误!,即ａ2－b ２2a-２b ＝错误!②，把①代入②,得错误!＝20.(3)∵关于ｘ的方程a(ｘ＋m)2＋b=0的解是x 1=-2，ｘ2=1,（a ，m,b 均为常数，a ≠0),∴方程a(x ＋m ＋2)2+b=0变形为a ［(x ＋２)+m]2+ｂ＝0,即此方程中x+2=-2或x+2=1,解得x=－4或x ＝-1．例2 （1)将方程(3x －1)２＝（x ＋1)2移项得，(3x －1）2-(x+1)2=0,∴（３x-1+x ＋1)(３x －１-x －1)=0,∴4x(２x －2)=0,∴x(x-１)=０，解得x 1＝0,x 2=１. (2)∵2x 2＋ｘ-＼f(１,２)＝0，可得,a ＝2，b=１，c=-12，∴x=-错误!±错误!． 例3 (1)∵关于x 的一元二次方程ｋｘ2-2x＋1＝0有实数根，∴Δ=b ２－4ａc ≥0,即:4－4k ≥0,解得:k ≤１，∵关于ｘ的一元二次方程k ｘ2－２x ＋1=0中ｋ≠０,故答案为：k ≤1且k ≠0．(２)当m ＝０时,x=－1,方程只有一个解,①正确；当m ≠0时,方程ｍx 2+x －m+1＝0是一元二次方程，Δ=1－4m(１－m ）=1－4m ＋4m 2＝（2ｍ-1)2≥0,方程有两个实数解，②错误;把mx 2＋x －m ＋1＝0分解为（x ＋1)（m ｘ-ｍ＋1）＝0,当x ＝－1时,m －1-m+１＝０,即ｘ＝－１是方程mx ２+x －m ＋１＝０的根，③正确；故答案为①③.例4 （１)设道路的宽为x 米．依题意得：(3２-ｘ）（20-x ）＝1３5×4,解之得x 1=２,ｘ２=５０(不合题意舍去),∴道路宽为2ｍ．(2)依题意得(ａ+b ）２=b(b ＋a+b),而a ＝１,∴b 2-b －1=0，∴b ＝错误!．(3)∵ｘ２－7x+1０=0，∴(x －2)(x-5)＝0,x １=2,x 2＝５，①等腰三角形的三边是2，２,５，∵２+2<5,∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是２，５,5,此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2＋5＋５=12；即等腰三角形的周长是12.故答案:12.例5 (1)２0％;(2)6；(3)２00×a 10×a 1０=128,得a ＝8；(４)设销售价x 元/个,得［500-10(x-5０)]·(ｘ-４0)=80０0,∴ｘ＝6０或ｘ＝８0,∴应进货4０0或2０0个．【变式拓展】 1．(1)C (２)１2. (１)ｘ1=2，ｘ2＝4 (２)x 1＝2,x 2=-13.A 4．15. ∵ax 2＋bx ＋1＝０（a ≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=ｂ2－4ａｃ=0，即b 2-4a=0，b 2=4ａ.∴错误!＝错误!＝错误!=错误!．∵ａ≠０，∴原式=错误!=错误!=错误!＝４.6. (１)D (2）6或３＼r(7)２ (3)４７.(１)３5 （2)9 【热点题型】【分析与解】（1)先把方程(2x ＋3)2+2（2ｘ+3）－3＝0看作关于２x+3的一元二次方程,利用题中的解得到2ｘ＋3=1或2x+３＝-３,所以ｘ1=－1,x ２＝-３．故选Ｄ. (2)根据一元二次方程根的定义得到m ２＝20１7m －１,再利用整体代入的方法得到原式＝20１７m －１－2０1８ｍ＋2017ｍ-1+１2０17+3＝-1-m+m+3=2.故答案是２.【错误警示】m ≤错误!且m ≠１，由一元二次方程有实数根，则12-４(m －1)≥0且ｍ-１≠0.∴m ≤错误!且ｍ≠1．。

第8讲一元二次方程考点一、一元二次方程的有关概念【例1】下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0方法总结方程是一元二次方程要同时满足下列条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不等于0.容易忽略的是条件①和④.举一反三方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点二、一元二次方程的解法【例2】解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法．选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行，解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速．举一反三 1.解方程：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2）2.解方程组：5 x y12+=⎪⎩3.解方程组：4.解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）=（a2﹣1）x．考点三、一元二次方程根的判别式的应用【例3】如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1=0有实数根，则（）A．m≠1 B．m=﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式b2－4ac＝0，从而得到一个关于m的方程，解方程求得m的值即可．一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况；(2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况．举一反三 1.关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．2.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a（x+a）=0的两个实数根为x1，x2，若y=x1+x2+．（1）当a≥0时，求y的取值范围；（2）当a≤﹣2时，比较y与﹣a2+6a﹣4的大小，并说明理由．考点四、一元二次方程根与系数的关系【例4】已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．方法总结 解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含x 1＋x 2，x 1x 2的形式，然后把x 1＋x 2，x 1x 2的值整体代入．研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：①a ≠0，②b 2－4ac ≥0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围时，必须要考虑这一前提条件．举一反三 1.已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= ．2. 若t 是一元二次方程2ax bx c 0(a 0)++=≠的根，则判别式2b 4a c ∆=-和完全平方式M=()22at b +的大小关系是( )A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定 3. 已知，关于x 的一元二次方程x 2﹣（a ﹣4）x ﹣a+3=0（a ＜0）． （1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＜x 2），若y 是关于a 的函数，且y=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a 的方程y+a+1=0的解．考点五、用一元二次方程解实际问题【例5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2014年我市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2016年，该品牌汽车的年产量达到10万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2014年开始五年内保持不变，则该品牌汽车2016年的年产量为多少万辆？方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤．解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程．最后还要注意求出的未知数的值是否符合实际意义，不符合的要舍去．举一反三受房贷收紧、对政策预期不确定等因素影响，今年前两个月，全国商品住宅市场销售出现销售量和销售价齐跌态势，数据显示，2016年前两个月，某房地产开发公司的销售面积一共8300平方米，其中2月份比1月份少销售300平方米．（1）求2016年1、2月份各销售了多少平方米；（2）该公司2月份每平方米的售价为8000元，3月份开始，决定以降价促销的方式应对当前的形势，据调查，与2月份相比较，每平方米销售单价下调a%，则销售面积将增加（a+10）%，结果3月份总销售额为3456万元，求a 的值．一、选择题1．关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B .k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C .k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D.根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2．关于x 的方程220x px q --=（p ，q 是正整数）, 若它的正根小于或等于4，则正根是整数的概率是（ ） A ．512 B ．14 C ．13D ．123．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（ ） A ．方程x 2﹣4x+3=0是3倍根方程B ．若关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程，则m+n=0C ．若m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程（x ﹣3）（mx+n ）=0是3倍根方程D ．若3m+n=0且m ≠0，则关于x 的方程x 2+（m ﹣n ）x ﹣mn=0是3倍根方程 4．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．1 D ．﹣1二、填空题1．将关于x 的一元二次方程02=++q px x 变形为q px x --=2，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降 次法”. 已知012=--x x ，可用“降次法”求得432014x x -+值是 .2．(2014下城区一模，14)已知等腰三角形的一腰为x ，周长为20，则方程212310x x -+= 的根为 .3.(2013上城区一模，13)已知1-=x 是一元二次方程0102=-+bx ax 的一个解，且b a -≠，则ba b a 2222+-的值为 ．三、解答题1．已知方程x 2﹣4x+3=0：，解决以下问题： (1)不解方程判断此方程的根的情况；(2)请按要求分别解这个方程：①配方法；②因式分解法. (3)这些方法都是将解 转化为解 ； (4)尝试解方程：x 3﹣x=02．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式h=20t ﹣5t 2（0≤t ≤4）．（1）当t=3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数t 1，t 2（t 1≠t 2）当t=t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．1．设a、b是方程x2+x﹣2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．20172．已知m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，则a的值为（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣33．已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则= ．4．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．5．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若LM=RS=x米，则根据题意可列出方程为．6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2+mx+n=0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn= ．7．选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0（用配方法）；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．9．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ，= ，= ；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．11.已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．12.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．13.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：（1）计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．答案【例1】 C举一反三 C【例2】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4举一反三 1.解：（x2+4）（x2+1）=2x（4+x2），两边同时除以x2+4得：x2+1=2x，整理得：x2﹣2x+1=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=12.解：令，则等价于解方程组，解得或．继而解得或．经检验它们都是原方程组的解．3.解：由①得2x=﹣y﹣2，两边平方得：4x2=5y2+20y+20③，把③代入②，整理得7y2+10y﹣8=0，解得：y1=﹣2或y2=，代入②得x1=0或x2=﹣，故原方程组的解为或4.解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）=0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]=0，x1=，x2=；（2）当a2﹣a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2【例3】 D举一反三 1. k≥﹣6解：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．2.解：（1）由x2﹣2x+a（x+a）=0得，x2+（a﹣2）x+a2=0△=（a﹣2）2﹣4××a2=﹣4a+4∵方程有两个实数根，∴﹣4a+4≥0．∴a≤1∵a≥0∴0≤a≤1∴y=x1+x 2+=﹣4a+8+a=﹣3a+8∵﹣3≤0，∴y 随a 的增大而减小当a=0时，y=8；a=1时，y=5∴5≤y≤8．（2）由（1）得a≤1，又a≤﹣2，∴a≤﹣2∴y=x1+x 2+=﹣4a+8﹣a=﹣5a+8当a=﹣2时，y=18；∵﹣3≤0∴y 随a 的增大而减小．∴当a≤﹣2时，y≥18又∵﹣a 2+6a ﹣4=﹣（a ﹣3）2+5≤5而18＞5∴当a≤﹣2时，y ＞﹣a 2+6a ﹣4【例4】解：(1)依题意，得b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)依题意，可知x 1＋x 2＝2(k －1)．由(1)可知k ≤12，∴2(k －1)＜0，即x 1＋x 2＜0.∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.举一反三 1. 8解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=82. A3.解：（1）△=（a﹣4）2+4（a﹣3）=a2﹣4a+4=（a﹣2）2∵a＜0，∴（a﹣2）2＞0．∴方程一定有两个不相等的实数根；（2），∴x=a﹣3或．∵a＜0，x1＜x2，∴x1=a﹣3，x2=﹣1，∴（a＜0）；（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出（a＜0）和y=﹣a﹣1（a＜0）的图象．由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=﹣2．【例5】解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为x ，由题意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x 1＝0.25，x 2＝－2.25.∵x 2＝－2.25＜0，故舍去，∴x ＝0.25＝25%.10×(1＋25%)＝12.5.答：2016年的年产量为12.5万辆．举一反三 解：（1）设1月份的销售面积为xm 2，则x+（x ﹣300）=8300，解得：x=4300，∴x ﹣300=4000m 2，答：2016年度月销售4300m 2，2月份销售4000m 2．（2）由题意可得：8000（1﹣a%）×4000[1+（a+10）%]=34560000令t=a%，则整理为：50t 2+5t ﹣1=0，解得：t=0.1或t=﹣0.2故a=10或a=﹣20（不符合题意，舍去）答：a 的值为10．一、选择题1． B2． A3． B4． D二、填空题1．20162．3.5三、解答题1．解：(1)041216>=-=∆，有两个不相等的实数根(2)①配方法：1,3,01)2(212===--x x x ;② 因式分解法：3,1,0)3)(1(21===--x x x x(3)一个一元二次方程，两个一元一次方程(4)1,1,0,0)1)(1(321-====+-x x x x x x2．解：（1）当t=3时，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15（米），∴当t=3时，足球距离地面的高度为15米；（2）∵h=10，∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，解得：t=2+或t=2﹣，故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米；（3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac=202﹣20m＞0，∴m＜20，故m的取值范围是0≤m＜20．1．D解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，∴a+b=﹣1；又∵a2+a﹣2014=0，∴a2+a=2014，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018+（﹣1）=2017即a2+2a+b的值为2017．2．B解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣1=0的两根，∴代入方程可以分别得到m2﹣3m﹣1=0，n2﹣3n﹣1=0，∴m2﹣3m=1，n2﹣3n=1，∴2m2﹣6m=2，3n2﹣9n=3，而（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）=10，∴（2+a）（3﹣5）=10，∴a=﹣7．3．﹣解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2+6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=﹣2，mn=﹣．∴原式====﹣，4．k＜且k≠05．（22﹣x）（17﹣x）=3006．﹣2解：∵x2+mx+n=0是“凤凰”方程，∴1+m+n=0，即n=﹣m﹣1．又∵方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，∴△=m2﹣4n=0，将n=﹣m﹣1代入，得m2﹣4（﹣m﹣1）=0，解得m=﹣2，∴n=1，∴mn=﹣2×1=﹣2．故答案为﹣2．7．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．8．解：x2﹣4x+5m=mx+5，整理得，x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，分解因式得，（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，解得x1=5，x2=m﹣1．当x=5时，25+5+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5；当x=m﹣1时，（m﹣1）2+（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣．所以m的值为﹣24﹣5或1或﹣．9．解；（1）∵x2﹣4x+1=0，∴x+=4，∴（x+）2=16，∴x2+2+=16，∴x2+=14，∴（x2+）2=196，∴x4++2=196，∴x4+=194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2=0，∴x+=，x2+=，∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．10.解：（1）根据题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，整理得m2﹣2m﹣24=0，解得m1=6，m2=﹣4，而m≥2，∴m的值为6；（2）若x1=7时，把x=7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5=0，整理得m2﹣14m+40=0，解得m1=10，m2=4，当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，解得x2=15，而7+7＜15，故舍去；当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，解得x2=3，则三角形周长为3+7+7=17；若x1=x2，则m=2，方程化为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，则3+3＜7，故舍去，所以这个三角形的周长为17．11.（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△AB C的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．12.解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．13.解：（1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t ﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=；（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，t2+6t﹣7=0，解得：t=﹣7或1，当t=1时，x2+5x+1=1，x2+5x=0，x（x+5）=0，x=0，x+5=0，x1=0，x2=﹣5；当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，x2+5x+8=0，b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，此时方程无解；即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．21。

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（ ）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案． 解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解； 配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【：388528 根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．已知（m －1）x |m|+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.【答案与解析】依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，解得m ＝±1，又∵m －1≠0，∴m ≠1，故m ＝－1.【总结升华】依题意可知m －1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程2(310m m x mx --=是关于x 的一元二次方程，求m 的值．【答案】根据题意得22,0,m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得所以当方程2(310m m x mx --=是关于x的一元二次方程时，m =．类型二、一元二次方程的解法2．解下列一元二次方程．(1)224(3)25(2)0x x ---=； (2)225(3)9x x -=-； (3)2(21)4(21)40x x ++++=．【答案与解析】(1)原方程可化为：22[2(3)][5(2)]0x x ---=，即(2x-6)2-(5x-10)2＝0，∴ (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)＝0，即(7x-16)(-3x+4)＝0，∴ 7x-16＝0或-3x+4＝0，∴ 1167x =，243x =． (2)25(3)(3)(3)x x x -=+-，25(3)(3)(3)0x x x --+-=，∴ (x-3)[5(x-3)-(x+3)]＝0，即(x-3)(4x-18)＝0，∴ x-3＝0或4x-18＝0，∴ 13x =，292x =． (3)2(21)4(21)40x x ++++=，∴ 2(212)0x ++=．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． 【总结升华】 (1)方程左边可变形为22[2(3)][5(2)]x x ---，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)2＝0再求解．举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15＝-2x 2-10x ； (2)x 2-3x ＝(2-x)(x-3)．【答案】(1)移项，得3x+15+(2x 2+10x)＝0，∴ 3(x+5)+2x(x+5)＝0，即(x+5)(3+2x)＝0，∴ x+5＝0或3+2x ＝0，∴ 15x =-，232x =-． (2)原方程可化为x(x-3)＝(2-x)(x-3)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)＝0，∴ (x-3)(2x-2)＝0，∴ x-3＝0或2x-2＝0，∴ 13x =，21x =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根．则a 满足（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5【答案】A ；【解析】①当50a -=，即5a =时，有410x --=，14x =-，有实数根；②当50a -≠时，由△≥0得2(4)4(5)(1)0a --⨯-⨯-≥，解得1a ≥且5a ≠．综上所述，使关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根的a 的取值范围是1a ≥．答案：A【总结升华】注意“关于x 的方程”与“关于x 的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．【：388528 一元二次方程的根的判别式】4． k 为何值时，关于x 的二次方程2690kx x -+=（1）k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）k 满足 时,方程无实数根.【答案】（1）10k k ≠＜，且；（2）1k =；（3）1k ＞.【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式ac b 42-=∆及k ≠0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5．（2016•凉山州）已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，则x 1﹣x 1x 2+x 2的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2，将其代入x 1﹣x 1x 2+x 2中即可算出结果．【答案】D ．【解析】解：∵x 1、x 2是一元二次方程3x 2=6﹣2x 的两根，∴x 1+x 2=﹣=﹣，x 1•x 2==﹣2，∴x 1﹣x 1x 2+x 2=﹣﹣（﹣2）=．故选D ．【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k 的值；如果不存在， 请说明理由．【答案】(1)根据题意，得△＝(2k-3)2-4(k-1)(k+1)＝224129412130k k k k -+-=-+>， 所以1312k <．由k-1≠0，得k ≠1. 当1312k <且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则122301k x x k -+=-=-，解得32k =． 当32k =时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根． 所以不存在实数k ，使方程的两个实数根互为相反数．类型五、一元二次方程的应用6．（2015•青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x ，由题意得：10（1+2x ）2﹣15（1+x ）2=10，解得 x 1=60%，x 2=﹣1（舍去）．2x=120%．答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%．【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型． 举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。

浙江版八年级数学下册第2章 一元二次方程2.1 一元二次方程【知识清单】一、一元二次方程定义：像方程3x 2+4x -6=0的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.二、一元二次方程的解(或根)：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).三、一元二次方程的一般形式：1.任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx +c =0的形式.2.ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数.【经典例题】例题1、将方程15)3(33)32(-+=-x x x 化为一元二次方程的一般式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项. 【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），首先把方程左右两边的分母去掉(等式的性质)，再去括号，移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．【解答】方程15)2(33)32(-+=-x x x ， 去分母，得：5x (2x -3)=9(x +2)-15去括号，得：10x 2-15x =9x +18-15，故化成一般形式是：10x 2-24x -3=0．故二次项系数、一次项系数、常数项分别为10、-24、-3. 【点评】主要考查了一元二次方程的概念．去分母、去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化，合并同类项只合并系数．例题2、关于x 的一元二次方程为0532=--b a x x ，试写出满足要求的所有a ，b 的值.【考点】一元二次方程相关概念.【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解：⎩⎨⎧==22b a 或⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧==02b a 或⎩⎨⎧==21b a 或⎩⎨⎧==20b a ． 【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c =0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【夯实基础】1、下列各式中一定是二次根式的是( ).A. ax 2+bx +c =0B.x 2-y 2=6C. 25x =5D. x x=2 2、方程5x 2=-4x +6的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）A ．5、-4、6B ．5、4、-6C ．5、4、-6D ．5、-4、-63、把方程)2(2)23)(23(+-=-+x x x x 化成一元二次方程的一般形式是（ ）A ．5x 2+4x -4=0B ．5x 2-4=0C ．5x 2-4x -4=0D ．5x 2+4x +4=04、关于x 的一元二次方程(a -2)x 2-5x +a 2-4=0的一个根就0，则a 的值为( )A ．2B ．-2C ．±2D ．±45、已知关于x 的方程65)3(12=+--x x m m 是一元二次方程，则m6、已知关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，(1)若有一个根为1，则a +b +c = 若有一个根为-1，则b 与 a 、c 的关系为若有一个根为7、已知x =-4是方程x 2-mx +4=0的一个根，试化简：22816144m m m m +--+-8、试说明关于的方程(a 2-a +1)x 2-5ax -3=0无论a 取何值，该方程都是一元二次方程.【提优特训】9、若方程2019)3(2=+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）.A ．m 为全体实数B ．m ≥0C ．m ≥0且m ≠3D ．m ≠3x10、关于x 的一元二次方程为3ax 2+2bx -3=0的一个根为x =1，则2028-9a -6b 的值是（ ）．A ．2016B ．2017C ．2018D ．201911、已知关于x 方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，下列关于a 、b 、c 的描述正确的是（ ）．A ．abc =0是不可能的B ．ab =0是不可能的C ．a +b +c =0是不可能的D ．a 2+b 2+c 2=0是不可能的12、已知方程3ax 2-bx -2=0和ax 2+2bx -10=0有共同的根-1则13、若2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2-2mx +2n =0的根，则m -n 的值为 ．14、若ax 2-6x =5是一元二次方程，则不等式5a +10>015、有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请你根据这一问题列出方程，并化成一般形式，不必求解.16、设a ，b ，c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出一元二次方程.(1)a ︰b ︰c =2︰3︰4，a +b +c =18；(2)a +b +c +11=12-a +16-b +14-c ，17、已知233+---=c c a ，(1)求a 、c 的值；(2)若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0，有一个根是1，求b 的值.18、已知16+=x ，求x 3-9x +6的值.【中考链接】19、(2018•扬州)若m 是方程2x 2-3x -1=0的一个根，则6m 2﹣9m +2015的值为 ．20、(2018•苏州)若关于x 的一元二次方程x 2+mx +2n =0有一个根是2，则m +n = ．21、(2018•通辽)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．22、 (2018•泰州)已知3x -y =3a 2-6a +9，x +y =a 2+6a -9，若x ≤y ，则实数a 的值为 ．参考答案1、C2、B3、A4、B5、6、(1) a +b +c =0，(2)b =a +c ，(3)c =0. 9、C 10、D11、D 12、a =2，b =-4 13、21 14、a >-2且a ≠0 19、2018 20、-2 21、21x （x -1）=21 22、3 7、已知x =-4是方程x 2-mx +4=0的一个根，试化简：22816144m m m m +--+-解：∵x =-4是方程x 2-mx +4=0的一个根，∴(-4)2-(-4)m +4=0.解得m =-5.22816144m m m m +--+-=22)4()12(m m ---=1-2m -(4-m )=-3-m =2.8、试说明关于的方程(a 2-a +1)x 2-5ax -3=0无论a 取何值，该方程都是一元二次方程.证明：∵a 2-a+1=43)21(2≥+-a ∴无论a 取何值，a 2-a+1≥∴关于x 的方程(a 2-a +1)x 2-5ax -3=0，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程．15、有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请你根据这一问题列出方程，并化成一般形式，不必求解.解：设竹竿的长为x 尺．由题意得：(x -4)2+(x -2)2=x 2．即：x 2-12x +20=016、设a ，b ，c 分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出一元二次方程.(1)a ︰b ︰c =2︰3︰4，a +b +c =18；(2)a +b +c +11=12-a +16-b +14-c ，解：(1) ∵a ︰b ︰c =2︰4︰3，a +b +c =18；∴a =2x ，b =4x ，c =3x .∴2x +4x +3x =18.解得x =2.∴a =4，b =8，c =6.∴一元二次方程为2x 2+8x +6=0.(2)∵a +b +c +11=12-a +16-b +14-c ， ∴011141612=+------++c b a c b a ，∴[][][]0414)1(916)1(112)1(222=+---++---++---c c b b a a ， ∴0)21()31()11(222=--+--+--c b a ，1-=0，31--b =0，21--c =0.∴a =2，b =10，c =5.∴一元二次方程为2x 2+10x+5=0.x17、已知233+---=c c a ，(1)求a 、c 的值；(2)若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0，有一个根是1，求b 的值.解：(1) ∵233+---=c c a ，∴c -3≥0，3-c ≥0,∴c ≥3，c ≤3，∴c =3.∴a =2.(2)由(1)可知于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0为，2x 2+bx +3=0，∵这个方程有一个根是1，∴2+b +3=0,∴b =-5.18、已知16+=x ，求x 3-9x +6的值.解：∵16+=x ， ∴22)6()1(=-x ，∴x 2-2x -5=0，x 3-9x +6=x 3-2x 2-5x +2x 2-4x +6=x (x 2-2x -5)+2(x 2-2x -5)+10+6=16.。

2018中考数学知识点：解一元二次方程应用题新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
解一元二次方程应用题：
它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。

其一般步骤为：
1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；
2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；。