专题12 一元二次方程(专题测试-基础)(解析版)

专题12：实际问题与一元二次方程-2021年中考数学考点靶向练习一、单选题1．哈尔滨自由贸易区挂牌之后，富力城楼盘的价格连续两个月上涨，从9000元/平米涨到10890元/平米，则平均每月上涨率为（ ）A ．10%B ．15%C ．20%D ．25%2．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x 尺，下列方程符合题意的是（ ）A ．（x +2）2+（x ﹣4）2＝x 2B ．（x ﹣2）2+（x ﹣4）2＝x 2C ．x 2+（x ﹣2）2＝（x ﹣4）2D ．（x ﹣2）2+x 2＝（x +4）23．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为（ ）A ．20%B ．30%C ．40%D ．50%5．如图，将等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形进行拼接，恰能拼成一个没有缝隙的正方形，则正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为( )A ．52B ．514C ．514D ．5346．某数的一半比这个数的平方的3倍少14，设某数为x ，某数的方程是（ ） A ．()211324x x -= B ．211324x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．2113024x x -+= D ．211324x x -=7．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（）A．1s B．1.2s C．2s D．4s8．某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元，则下列方程正确的是()A．2000x2=9500B．2000(1+x)2=9500C．2000(1+x)=9500D．2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=95009．某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为2144m（如图），则甬路的宽为（）A．3m B．4m C．2m D．5m10．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，这个两位数十位和个位交换位置后，新两位数与原两位数的积为1612，那么原两位数是（）A．95 B．59 C．26 D．62二、填空题11．如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．13．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm．14．如图，矩形花圃ABCD一面靠墙（墙足够长），另外三面用总长度是24m的篱笆围成，当矩形花圃的面积是40m2时，BC的长为______________．15．有1个人得了传染病，传染2轮后共有100人患病，如果不加控制，5轮传染后共有___________人患病．16．已知关于x的一元二次方程20ax bx c++=没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为1和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为2-和6，则23b ca+的值为_______．17．某足球比赛，要求每两支球队之间都要比赛一场，若共比赛45场，则有______支球队参加比赛．18．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a2﹣b，根据这个规则，方程（x+2）※9＝0的解为_____．19．某工厂生产一种产品，第一季度共生产了364个．其中1月份生产了100个，若2、3月份的平均月增长率为x，则可列方程为_________20．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的赢利为1600元，则每件应降价_________元．三、解答题21．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-与双曲线k y x=（0k ≠）的一个交点为6,)P m ． （1）求k 的值； （2）将直线y x =-向上平移b (b>0)个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，与双曲线k y x =（0k ≠）的一个交点记为Q ．若2BQ AB =，求b 的值．23．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的34，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？ （2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m 万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m 万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m 的值．24．某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以5元/本的价格出售，每天售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．（1）若每本降价x 元，则每天的销售量是________本（用含x 的代数式表示）．（2）要想每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？25．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 每千克售价x （元） … 25 30 35 …（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？26．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？ （3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？27．资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A ，B 两家商贸公司（以下简称A ，B 公司）．去年下半年A ，B 公司营销区域面积分别为m 平方千米，n 平方千米，其中3m n ，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面积比去年下半年增长了%x ，B 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A 公司的4倍，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为37，同时公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x 个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．28．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．29．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？30．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B 两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加20%9a，求a的值．参考答案1．A【分析】设平均每月上涨率为x，根据该楼盘的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设平均每月上涨率为x，依题意，得：9000（1+x）2＝10890，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．B【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，对角线长为x尺，根据勾股定理可得的方程．【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，故选：B．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．3．D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x﹣1）＝36，2化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 4．C【分析】先用含x 的代数式表示出2020年底、2021年底5G 用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G 用户数量之和=8.72万户即得关于x 的方程，解方程即得答案．【详解】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，根据题意，得：()()2221218.72x x ++++=，解这个方程，得：10.440%x ==，2 3.4x =-（不合题意，舍去）．∴x 的值为40%．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．5．B【分析】如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得(a +b )2=b (b +a +b )，设a =1，求出b =15+，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设a =1，根据题意，得(a +b )2=b (b +a +b )，∴b 2﹣b ﹣1=0，解得b =(负值舍去)，∴b =12， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：(a +b )：2b =1:2⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭ 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系.6．D【分析】本题首先用含x 的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的3倍，最后按数量关系列方程即可．【详解】由已知得：x 的一半为12x ，x 的平方的3倍为23x ， 则有：211324x x -=． 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可．7．A【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设约用了x 秒．汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x ）]÷2=20﹣4x ．∴（20﹣4x ）×x=16，解得：x 1=1，x 2=4，∵20﹣8x ＞0，∴x=1，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．8．D【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x ，根据2012年投入2000万元，预计到2014年投入9500万元即可得出方程．【详解】依题意得 2013年投入为2000(x+1)，2014年投入为2000(1+x)2，∴2000+2000(x+1)+2000(1+x)2=9500．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．9．C【分析】设小路的宽为xm ，那么小路所占面积为（40x+2×26x-2x 2），于是六块草坪的面积为[40×26-（40x+2×26x-2x 2）]，根据面积之间的关系可列方程40×26-（40x+2×26x-2x 2）=144×6，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为m x ．根据题意得()240264022621446x x x⨯-+⨯-=⨯， 整理得246880x x -+=，解得1244,2x x ==，当44x =时不符合题意，故舍去，所以2x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用以及矩形面积计算公式，难度一般．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．10．D【分析】令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，根据等量关系：新两位数与原两位数的积为1612，列出方程求解即可．【详解】解：令个位为y，十位为x，则数为10x+y，且x-4=y，交换位置后，数字为10y+x，则（10x+y）×（10y+x）=1612，即（11x-4）×（11x-40）=1612，解得x=6，10x+y=60+（6-4）=62．故这个两位数是62．故选：D．【点睛】此题考查了组成数的数字的特点，也考查了用数字如何表示几位数．11．1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【详解】解：设道路的宽为x m，根据题意得：（10﹣x）（15﹣x）＝126，解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），则道路的宽应为1米；故答案为：1．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．12．x（x﹣12）＝864．由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,由题意得:2()1221024x ba xab+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得:(10－2x)(6－x)=24,整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案为2．【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．14．4m或20m．【分析】设BC的长为xm，根据篱笆总长度表示出AB的长，根据花圃面积列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】设BC的长度为xm，由题意得x•242x-=40，整理得：x2﹣24x+80=0，即（x﹣4）（x﹣20）=0，解得 x 1=4，x 2=20，答：BC 长为4m 或20m ．故答案为：4m 或20m ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．15．100000【分析】设一个患者一次传染给x 人,由题意得(1)1100x x x +++=，解方程即可；【详解】设一个患者一次传染给x 人，由题意，得(1)1100x x x +++=，解得129,11x x ==-（舍去），即平均每轮传染中1个人传染了9个人．如果不加控制，5轮传染后患病的人数是55(19)10100000+==．故答案为：100000．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．16．3【分析】先利用两根分别表示出错误的方程为：甲，设k （x-1）（x-4）=0得kx 2-5kx+4k=0；乙，设p （x+2）（x-6）=0得px 2-4px-12p=0，无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量符号相反，就是4k=12p ，即3k p=，把第一个方程中的一次项和常数项，第二个方程中的二次项代入所求代数式中化简后可解．【详解】对于甲：设(1)(4)0k x x --=，得2540kx kx k -+=．对于乙：设(2)(6)0p x x +-=，得24120px px p --=，从这两个方程可看出：无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量只是符号相反，所以412k p =，即3k p=， 则252433333b c k k k a p p+-+⨯===， 故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的特点，以及方程之间的关系，需要利用方程的两根来表示出两个错误的方程，并通过比较后，得出初步判断为无论怎么错误，甲和乙的方程里面常量相等这个关键的等量关系，然后通过等量代换求解．17．10【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛12x （x-1）场，再根据题意列出方程为12x （x-1）=45．【详解】∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为12x （x-1）， ∴共比赛了45场， ∴12x （x-1）=45， 解得：x 1=10，x 2=-9（舍去），故答案为：10.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是从实际问题中抽象出相等关系．18．x 1＝1，x 2＝﹣5．【分析】先阅读题目，根据新运算得出（x +2）2﹣9＝0，移项后开方，即可求出方程的解．【详解】解：（x+2）※9＝0，（x+2）2﹣9＝0，（x+2）2＝9，x+2＝±3，x 1＝1，x 2＝﹣5，故答案为x 1＝1，x 2＝﹣5．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意列方程.19．2100100(1)100(1)364x x ++++=【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增长率为x ，那么首先可以用x 表示二、三月份共生产的机器100（1+x ）+100（1+x ）2，然后可得出的方程为100+100（1+x ）+100（1+x ）2=364．【详解】解：依题意得二、三月份共生产的机器100（1+x ）+100（1+x ）2，则方程为100+100（1+x ）+100（1+x ）2=364．故答案为100+100（1+x ）+100（1+x ）2=364．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，要注意增长率问题的规律，然后正确找到数量关系根据题意列出方程． 20．4【分析】设降价为x ，根据降价一元，多售5件，得出销售件数增加到（20+5x ）件；接下来根据“总盈利=每件盈利×销售件数”列出方程，解方程即可得到答案.【详解】设每件应降价x 元，则每件可盈利（44-x ）元，销售件数增加到（20+5x ）件，则(44-x )(20+5x)=1600即x 2-40x +144=0，解得x 1=4，x 2=36（舍去），∴应降价4元.故答案为4.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量.21．30m ，20m【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm 时，则另一边的长度为（69+1﹣2x ）m ，根据茶园的面积为600m 2，列出方程并解答．【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm ，则另一边的长度为（69+1﹣2x ）m ，根据题意，得x （69+1﹣2x ）＝600，整理，得x 2﹣35x+300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20，当x ＝15时，70﹣2x ＝40＞35，不符合题意舍去；当x ＝20时，70﹣2x ＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m 、20m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．22．（1）6k=-（2）1b =或b =【分析】（1）根据已知条件可知，把)P m 的横纵坐标代入y x =-即可确定点P ，再将其代入k y x =即可求得答案；（2）由平移可知(),0A b ，()0,B b ，再对点Q 的位置进行分类讨论，分别画出相应的图形构造出相似三角形即可得到关于b 的方程，解方程即可得解．【详解】解：（1）∵)P m 在直线y x =-上∴当x =y m ==∴P∵P 在双曲k y x=上 ∴6k xy ==-；（2）∵将直线y x =-向上平移()0b b >个单位长度后，与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B∴(),0A b ，()0,B b①当点Q 在第二象限时，过Q 作QC x ⊥轴于点C ，如图：∴//QC BO∴ABO AQC ∽ ∴AB BO AO AQ QC AC== ∵2BQ AB = ∴13AB BO AO AQ QC AC === ∵()0,B b ，(),0A b∴BO b =，AO b =∴3QC b =，2OC b =∵点Q 在第二象限，0b >∴()2,3Q b b -∵()2,3Q b b -在双曲6k y x x==-上 ∴236b b -⋅=-∴1b =±∵0b >∴1b =；②当点Q 在第四象限时，过Q 作QD x ⊥轴于点D ，如图：∴//QD BO∴ABO AQD ∽ ∴AB BO AO AQ QD AD== ∵2BQ AB = ∴1AB BO AO AQ QD AD=== ∵()0,B b ，(),0A b∴BO b =，AO b =∴QD b =，2OD b =∵点Q 在第四象限，0b >∴()2,Q b b -∵()2,Q b b -在双曲6k y x x ==-上 ∴()26b b ⋅-=- ∴3b =∵0b > ∴3b =∴综上所述，1b =或b =故答案是：（1）6k=-（2）1b =或b =【点睛】 本题是一次函数、反比例函数综合题目，涉及到的知识点有有解析式求参数、用待定系数法求反比例函数解析式、一次函数的平移、求与坐标轴的交点坐标、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程等知识点，能够分类讨论构造出相似三角形是解决问题的关键．23．（1）甲工厂最多可生产1000万片的口罩；（2）m 的值为4．【分析】（1）设甲工厂生产x 万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x ）万片口罩，由题意得关于x 的一元一次不等式，求解即可；（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m 的一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）设甲工厂生产x 万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x ）万片口罩，由题意得：0.6x ≤0.8（2000﹣x ）×34，解得：x ≤1000．答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．（2）由题意得：（6﹣0.5m ）（0.8+0.2m ）＝6×0.8+1.6， 整理得：m 2﹣8m +16＝0．解得：m 1＝m 2＝4．答：m 的值为4．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出不等式或方程是解题的关键．24．（1）4020x +；（2）降价1元【分析】（1）根据题意，列出降价金额与销售量之间的关系式，并化简得解；（2）设超市需将每本的售价降低x 元，根据单个商品利润×销售量=总利润，列出一元二次方程，解方程并结合题意，即可得解．【详解】（1）若将这种笔记本每本的售价降低x 元，则每天的销售量是20＋4×0.1x =40x +20（本）， 故答案为：40x +20；（2）设该超市将每本的售价降低x 元，根据题意，得(5-3-x )(20+40x )=60，解方程，得121, 0.5x x ==，∵x =0.5时，销售量20+4020400.54050x =+⨯=<，不合题意，应舍去，∴x =1，答：要想每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低1元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据等量关系准确列出方程，注意需结合题意检验根的适用性． 25．（1）2160y x =-+ （2）30元 （3）40元；1600元【分析】（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）销售利润=销售量⨯每千克所获得的利润，得(2160)(20)1000x x -+-=，解出方程； （3）构造(20)(2160)w x x =--+，利用二次函数的最大值问题解决．【详解】解：（1）设一次函数表达式为y kx b =+，将(25,110),(30,100)代入，得25110,30100.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得2,160.k b =-⎧⎨=⎩2160y x ∴=-+．（2）根据题意，得(2160)(20)1000x x -+-=，整理，得210021000x x -+=，解得1230,70x x ==（不合题意，舍去）．答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．（3）方法1：设日销售利润为w 元．(20)(2160)w x x ∴=--+222003200x x =-+-．20a =-<，∴抛物线开口向下， 又502b x a=-=， ∴当2040x 时，w 随x 的增大而增大．∴当40x =时，w 有最大值，1600w =最大（元）．答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．方法2：设日销售利润为w 元．2(20)(2160)2(50)1800w x x x =--+=--+，20a -<，∴抛物线开口向下，对称轴为直线50x =．∴当2040x 时，w 随着x 的增大而增大，∴当40x =时，w 有最大值，1600w =最大（元）．答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．【点睛】本题考查一次函数、一元二次方程、二次函数的综合运用，是应用题中的典型，也是中考必考题型． 26．（1）y 与x 之间的函数表达式为202600y x =-+；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．【分析】（1）根据题意可以设出y 与x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y 与x 之间的函数表达式；（2）根据“总利润=每件商品的利润×销售量”列出方程并求解，最后根据尽量给客户实惠，对方程的解进行取舍即可；（3）求出w 的函数解析式，将其化为顶点式，然后求出定价的取值，即可得到售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为y=kx+b （k≠0），把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，601400651300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得，202600k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为202600y x =-+；（2）设该种衬衫售价为x 元，根据题意得，（x-50）(-20x+2600)=24000解得，170x =，2110x =，∵批发商场想尽量给客户实惠，∴70x =，故这种衬衫定价为每件70元；（3）设售价定为x 元，则有：(50)(202600)w x x =--+=220(90)32000x --+∵505030%x -≤⨯∴65x ≤∵k=-20＜0，∴w 有最大值，即当x=65时，w 的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．27．（1）见解析；（2）55:72【分析】(1)根据题意任意写出问题解答即可.(2)根据题意列出等式，解出增长率再代入A ，B 的收益中计算即可.【详解】解（1）问题1：求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比 解答：22393n n ⨯= 22:33n n = 问题2：A 公司营销区域面积比B 公司营销区域的面积多多少？解答：32n n n -=问题3：求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比 解答：22393n n ⨯= 2213335n n n n ⎛⎫÷+-= ⎪⎝⎭ （2）方法一：33223(1%)3(1%)(14%)3(1%)33%7793n x n x n x n x n n n n x ⎤⎡⎫⎡⎤⎛⎫⨯+=+++-⨯+⨯÷+-+⎥ ⎪⎪⎢⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎭⎦方法二：()6332231%3(1%)(14%)3(1%)33%7793n x n x n x n x m n n n x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯+÷+++-⨯+=⨯÷+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭方法三：()33322(1%)1%(14%)(1%)33%7793m n m x m x n x xm x n n n n x =⎧⎪⎨⎡⎤⎡⎤⎛⎫⨯+÷+++-+=⨯÷+-+ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎩ 2100(%)45%130x x +-=解得%20%x =，%65%x =（舍去）设B 公司每半年每平方千米产生的经济收益为a ，则A 公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a 今年上半年A ，B 公司产生的总经济收益为1.53(120%)(1420%)7.2a n an na ⨯⨯++⨯+⨯=去年下半年A ，B 公司产生的总经济收益为1.53 5.5a n a n na ⨯+⨯=去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5):(7.2)55:72na na =【点睛】本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.28．（1）504万元；（2）20%．。

专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。

【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。

【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。

基础篇一．解答题（共30小题）1．解方程：（1）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（2）（x+1）2=6x+6．2．解一元二次方程：（x+2）（x﹣2）=3x．3．解下列方程：（1）2x2﹣x=1（2）x2+4x+2=0．4．解方程：（4x﹣2）（x+3）=x2+3x．5．解下列方程：（1）2x2﹣5x+1=0（2）（x+4）2=2（x+4）6．解方程：（1）（4x﹣1）2﹣9=0（2）3（x﹣2）2=2﹣x．7．解下列方程．（1）x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0；（2）x2+x=1．8．解方程：（1）3x2﹣7x=0（2）（x﹣2）（2x﹣3）=2（x﹣2）9．选用合适的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x=3；（2）（x+3）2=（1﹣3x）2．10．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是什么形状？说明理由．（2）若x2+4y2﹣2xy+12y+12=0，求x y的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a+b+c=．11．用合适的方法解方程（1）x2﹣3x=0（2）（2x﹣1）2=9（3）（x﹣5）（3x﹣2）=10 （4）x2+6x=1（5）（2x﹣3）（x+1）=x+1 （6）6x2﹣x﹣12=0．12．用适当的方法解下列方程：（1）x2=3x（2）2x2﹣x﹣6=0．（3）y2+3=2y；（4）x2+2x﹣120=0．13．用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）（x+3）=12；（2）9（x﹣2）2=4（x+1）2；（3）2x2﹣6x﹣1=0；（4）（3x﹣7）2=2（3x﹣7）．14．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？15．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．16．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为大于1的整数，求方程的根．17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3=0．（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．18．已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．19．已知：a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根．（1）求n的取值范围；（2）若等腰三角形三边长分别为a，b，2，求n的值．20．解方程：2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）21．用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．22．解方程：y（y﹣4）=﹣1﹣2y．23．解方程：x2﹣6x﹣3=0．24．王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：解：方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步王洪的解法从第步开始出现错误．请你选择适当方法，正确解此方程．25．解方程：x2﹣6x+6=0．26．用公式法解方程y（y﹣3）=2+y（1﹣3y）．27．用公式法解方程：2x2+3x=1．28．解下列方程（1）x2﹣2x+1=0；（2）﹣2x2+4x﹣1=0．29．用公式法解方程：x2+4x﹣2=0．30．解方程：（1）4x（1﹣x）=1 （2）x2+3x+1=0（公式法）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•红桥区模拟）解方程：（1）2x2﹣4x﹣1=0（配方法）（2）（x+1）2=6x+6．【解答】解：（1）x2﹣2x=，x2﹣2x+1=，（x﹣1）2=，x﹣1=±=±，所以x1=1+，x2=1﹣；（2）（x+1）2﹣6（x+1）=0，（x+1）（x+1﹣6）=0，x+1=0或x+1﹣6=0，所以x1=﹣1，x2=5．2．（2017•合肥模拟）解一元二次方程：（x+2）（x﹣2）=3x．【解答】解：方程化为x2﹣3x﹣4=0，（x﹣4）（x+1）=0，x﹣4=0或x+1=0，所以x1=4，x2=﹣1．3．（2017•孝感模拟）解下列方程：（1）2x2﹣x=1（2）x2+4x+2=0．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1=0，（2x+1）（x﹣1）=0，2x+1=0或x﹣1=0，（2）△=42﹣4×2=8，x==﹣2±，所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．4．（2017•东明县一模）解方程：（4x﹣2）（x+3）=x2+3x．【解答】解：方程化为（4x﹣2）（x+3）﹣x（x+3）=0，（x+3）（4x﹣2﹣x）=0，x+4=0或4x﹣2﹣x=0，所以x1=﹣4，x2=．5．（2017•曲靖一模）解下列方程：（1）2x2﹣5x+1=0（2）（x+4）2=2（x+4）【解答】解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=1，∴△=25﹣4×2×1=17＞0，则x=；（2）∵（x+4）2﹣2（x+4）=0，∴（x+4）（x+2）=0，则x+4=0或x+2=0，解得：x=﹣4或x=﹣2．6．（2017•常州模拟）解方程：（1）（4x﹣1）2﹣9=0（2）3（x﹣2）2=2﹣x．【解答】解：（1）方程变形得：（4x﹣1）2=9，4x﹣1=3，或4x﹣1=﹣3，解得：x1=1，x2=﹣；（2）方程整理得：3（x﹣2）2﹣2+x=0，可得x﹣2=0或3x﹣5=0，解得：x1=2，x2=．7．（2017•和平区模拟）解下列方程．（1）x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0；（2）x2+x=1．【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）=0，所以x1=2，x2=1；．（2）x2+x﹣1=0，△=12﹣4×1×（﹣1）=5，x=，所以x1=，x2=．8．（2017春•杭州期中）解方程：（1）3x2﹣7x=0（2）（x﹣2）（2x﹣3）=2（x﹣2）【解答】解：（1）x（3x﹣7）=0，x=0或3x﹣7=0，所以x1=0，x2=；（2）（x﹣2）（2x﹣3）﹣2（x﹣2）=0，（x﹣2）（2x﹣3﹣2）=0，x﹣2=0或2x﹣3﹣2=0，所以x1=2，x2=．9．（2017春•莒县期中）选用合适的方法解下列方程：（1）2x2﹣5x=3；（2）（x+3）2=（1﹣3x）2．【解答】解：（1）原方程整理得：2x2﹣5x﹣3=0，∵（x﹣3）（2x+1）=0，解得：x=3或x=﹣0.5；（2）∵（x+3）2=（1﹣3x）2，∴x+3=1﹣3x或x+3=﹣1+3x，解得：x=﹣0.5或x=2．10．（2017春•江阴市期中）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是什么形状？说明理由．（2）若x2+4y2﹣2xy+12y+12=0，求x y的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a+b+c=3．【解答】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下：由题意得（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，∴a=b=c=3，∴△ABC是等边三角形．（2）由题意得（x﹣y）2+3（y+2）2=0…4′∴x=y=﹣2．∴x y=；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a+b+c=2﹣2+3=3．故答案为：3．11．（2017春•嵊州市月考）用合适的方法解方程（1）x2﹣3x=0（2）（2x﹣1）2=9（3）（x﹣5）（3x﹣2）=10（4）x2+6x=1（5）（2x﹣3）（x+1）=x+1（6）6x2﹣x﹣12=0．【解答】解：（1）∵x（x﹣3）=0，∴x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）∵2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3，解得：x=2或x=﹣1；（3）整理得3x2﹣17x=0，∵x（3x﹣17）=0，∴x=0或3x﹣17=0，解得：x=0或x=；（4）∵x2+6x=1，∴x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10，则x+3=，∴x=﹣3；（5）∵（x+1）（2x﹣3﹣1）=0，即2（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0或x﹣2=0，解得：x=﹣1或x=2；（6）∵（2x﹣3）（3x+4）=0，∴2x﹣3=0或3x+4=0，解得：x=或x=﹣．12．（2017春•上虞区校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）x2=3x（2）2x2﹣x﹣6=0．（3）y2+3=2y；（4）x2+2x﹣120=0．【解答】解：（1）∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）∵（x﹣2）（2x+3）=0，∴x﹣2=0或2x+3=0，解得：x=2或x=﹣；（3）∵y2﹣2y+3=0，∴（y﹣）2=0，则y=；（4）∵（x﹣10）（x+12）=0，∴x﹣10=0或x+12=0，解得：x=10或x=﹣12．13．（2017春•下城区校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣1）（x+3）=12；（2）9（x﹣2）2=4（x+1）2；（3）2x2﹣6x﹣1=0；（4）（3x﹣7）2=2（3x﹣7）．【解答】解：（1）x2+2x﹣15=0，（x﹣3）（x﹣5）=0，所以x1=3，x2=﹣5；（2）3（x﹣2）=±2（x+1），所以x1=8，x2=；（3）△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，x=，所以x1=，x2=；（4）（3x﹣7）2﹣2（3x﹣7）=0，（3x﹣7）（3x﹣7﹣2）=0，所以x1=，x2=3．14．（2016•濮阳校级自主招生）试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+1=0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？【解答】解：△=[﹣（2m+1）]2﹣4=（2m+1）2﹣4，当方程有两个不相等的实数根时，（2m+1）2﹣4＞0，解得m＞或m＜﹣；当方程有两个相等的实数根时，（2m+1）2﹣4=0，解得m=或m=﹣；当方程没有实数根时，（2m+1）2﹣4＜0，解得﹣＜m＜．15．（2016•蓝山县校级自主招生）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（2k+1）2﹣4×4（k﹣）=4k2+4k+1﹣16k+8，=4k2﹣12k+9=（2k﹣3）2，∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（2k﹣3）2=0，解得k=，方程化为x2﹣4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）=0，解得k=，方程化为x2﹣6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，所以△ABC的周长=4+4+2=10．16．（2016•昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为大于1的整数，求方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣2）＞0，即12﹣4k＞0，解得：k＜3．故k的取值范围为k＜3．（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，∴k=2．将k=2代入原方程得：x2+2x=x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2．故当k为大于1的整数，方程的根为x1=0和x2=﹣2．17．（2016•曲靖一模）已知关于x的方程x2+mx+m﹣3=0．（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：把x=1代入方程x2+mx+m﹣3=0得1+m+m﹣3=0，解得：m=1，则原方程为x2+x﹣2=0，解得：x=﹣2，或x=1．因此方程的另一个根为﹣2．（2）证明：△=m2﹣4（m﹣3）=（m﹣2）2+8，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+8＞0，∴该方程都有两个不相等的实数根．18．（2016•西城区二模）已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求m的值．【解答】解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）=36＞0，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）∵x==2m±3，∴x1=2m﹣3，x2=2m+3，∵2x1=x2+1，∴2（2m﹣3）=2m+3+1，∴m=5．19．（2016•平谷区二模）已知：a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根．（1）求n的取值范围；（2）若等腰三角形三边长分别为a，b，2，求n的值．【解答】解：（1）由题意，得△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=40﹣4n，∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴40﹣4n≥0．∴n≤10．（2））∵三角形是等腰三角形，∴①a=2或b=2，②a=b两种情况，①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，舍去；②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0解得：n=10，综上所述，n=10．20．（2016秋•东城区期末）解方程：2x2﹣4x﹣1=0（用配方法）【解答】解：2x2﹣4x﹣1=0x2﹣2x﹣=0x2﹣2x+1=+1（x﹣1）2=∴x1=1+，x2=1﹣．21．（2016春•门头沟区期末）用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【解答】解：2x2+3x﹣1=0x2+（1分）x2+（3分）（4分）x+（6分）x1=（7分）22．（2016春•海淀区期末）解方程：y（y﹣4）=﹣1﹣2y．【解答】解：y（y﹣4）=﹣1﹣2y，y2﹣2y+1=0，（y﹣1）2=0，y1=y2=1．23．（2016春•顺义区期末）解方程：x2﹣6x﹣3=0．【解答】解：解法一：x2﹣6x=3，x2﹣6x+32=3+32，（x﹣3）2=12，∴，∴．解法二：a=1，b=﹣6，c=﹣3，b2﹣4ac=36﹣4×1×（﹣3）=36+12=48．∴．∴．24．（2016春•怀柔区期末）王洪同学在解方程x2﹣2x﹣1=0时，他是这样做的：解：方程x2﹣2x﹣1=0变形为x2﹣2x=1．…第一步x（x﹣2）=1．…第二步x=1或x﹣2=1．…第三步∴x1=1，x2=3．…第四步王洪的解法从第二步开始出现错误．请你选择适当方法，正确解此方程．【解答】解：王洪的解法从第二步开始出现错误，正确解此方程：x2﹣2x+1=1+1，（x﹣1）2=2，x﹣1=±，x1=1+，x2=1﹣；故答案为二．25．（2016春•丰台区期末）解方程：x2﹣6x+6=0．【解答】解：∵a=1，b=﹣6，c=6，∴△=b2﹣4ac=12，，∴，．26．（2016秋•门头沟区期末）用公式法解方程y（y﹣3）=2+y（1﹣3y）．【解答】解：原方程可化为y2﹣3y=2+y﹣3y2，y2+3y2﹣3y﹣y﹣2=0，4y2﹣4y﹣2=0，∵a=4，b=﹣4，c=﹣2，∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×4×（﹣2）=48，∴y==所以，原方程的根为．27．（2016秋•潮州期末）用公式法解方程：2x2+3x=1．【解答】解：移项得：2x2+3x﹣1=0，b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17，x=，x1=，x2=．28．（2016春•南通校级期末）解下列方程（1）x2﹣2x+1=0；（2）﹣2x2+4x﹣1=0．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2=0，∴x﹣1=0，即x=1；（2）∵a=﹣2，b=4，c=﹣1，∴△=16﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴x==﹣2．29．（2016秋•九台市期中）用公式法解方程：x2+4x﹣2=0．【解答】解：（1）△=42﹣4×1×（2）=24，x==﹣2±，所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．30．（2016秋•宜宾县期中）解方程：（1）4x（1﹣x）=1（2）x2+3x+1=0（公式法）【解答】解：（1）4x2﹣4x+1=0，△=（﹣4）2﹣4×4×1=0，x=，所以x1=x2=；（3）△=32﹣4×1×1=5，x=，所以x1=，x2=．。

一元二次方程经典测试题(含答案)一元二次方程经典测试题(含答案)1. 解下列一元二次方程：（1）x^2 - 5x + 6 = 0（2）2x^2 - 7x + 3 = 0（3）3x^2 + 4x - 1 = 0（4）4x^2 + 4x + 1 = 0解答：（1）x^2 - 5x + 6 = 0(x - 2)(x - 3) = 0x = 2 或 x = 3（2）2x^2 - 7x + 3 = 0(2x - 1)(x - 3) = 0x = 1/2 或 x = 3（3）3x^2 + 4x - 1 = 0(3x - 1)(x + 1) = 0x = 1/3 或 x = -1（4）4x^2 + 4x + 1 = 0(2x + 1)(2x + 1) = 0x = -1/22. 解下列一元二次方程并给出其图像是否与x轴正向相交：（1）x^2 - 4x + 3 = 0（2）2x^2 + 3x + 2 = 0（3）3x^2 - 6x + 3 = 0（4）4x^2 - 5x + 1 = 0解答：（1）x^2 - 4x + 3 = 0(x - 3)(x - 1) = 0x = 1 或 x = 3图像与x轴正向相交。

（2）2x^2 + 3x + 2 = 0该方程无实数解，图像不与x轴正向相交。

（3）3x^2 - 6x + 3 = 0x^2 - 2x + 1 = 0(x - 1)(x - 1) = 0x = 1图像与x轴正向相交。

（4）4x^2 - 5x + 1 = 0(2x - 1)(2x - 1) = 0x = 1/2图像与x轴正向相交。

3. 求解下列一元二次方程的根的范围：（1）x^2 - 6x + 5 > 0（2）2x^2 + 3x + 2 ≤ 0（3）3x^2 - 6x - 9 < 0（4）4x^2 - 5x + 1 ≥ 0解答：（1）x^2 - 6x + 5 > 0(x - 5)(x - 1) > 0x < 1 或 x > 5（2）2x^2 + 3x + 2 ≤ 0该方程无实数解，根的范围为空集。

一元二次方程的整数根问题专题练习一、选择题1、若k 为正整数，且关于k 的方程（k 2-1）x 2-6（3k -1）x +72=0有两个相异正整数根，k 的值为（）．A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A解答：原方程变形、因式分解为（k +1）（k -1）x 2-6（3k -1）x +72=0，[（k +1）x -12][（k -1）x -6]=0．即x 1=121k +，x 2=61k -． 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11； 由61k -为正整数得k =2，3，4，7． ∴k =2，3使得x 1，x 2同时为正整数，但当k =3时，x 1=x 2=3，与题目不符，∴只有k =2为所求．二、填空题2、已知k 为整数，且关于x 的方程（k 2-1）x 2-3（3k -1）x +18=0有两个不相等的正整数根，则k 的值为______．答案：2解答：原方程化为：[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0．∴x 1=61k +，x 2=31k -． 因方程的根为正整数，因而推知k =2，此时x 1=2，x 2=3．3、已知12＜m ＜40，且关于x 的二次方程x 2-2（m +1）x +m 2=0有两个整数根，则整数m 的值为______．答案：24解答：由原方程有整数解可知，Δ=4（m +1）2-4m 2=4（2m +1）必然是一个完全平方数． 又12＜m ＜40可知，25＜2m +1＜81，又2m +1为奇数，故2m +1=49，m =24．此时原方程的两个实数根为：x =212m +14502=±，不妨设x 1＞x 2，则x 1=32，x 2=18．故m=244、当关于x 的方程x 2-（m -1）x +m +1=0的两根都是整数，则整数m 的值为______． 答案：7或-1解答：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得x 1+x 2=m -1，x 1·x 2=m +1，消去m ，可得x 1x 2-x 2-x 1=2，（x 1-1）（x 2-1）=3=1×3=-1×（-3），则有121113x x -=⎧⎨-=⎩.或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩.， 解得：1224x x =⎧⎨=⎩.或1202x x =⎧⎨=-⎩.， 由此x 1·x 2=8或0，∴m =7或m =-1．三、解答题5、当整数m 取何值时，关于x 的方程（m -1）x 2-（2m +1）x +1=0有整数根．答案：-1．解答：当m =1时，-3x +1=0，x =13（舍）． 当m ≠1时，该方程为一元二次方程，Δ=4m 2+4m +1-4m +4=4m 2+5，设4m 2+5=n 2（n 为正整数），4m 2-n 2=-5，则（2m +n ）（2m -n ）=-5，2521m n m n +=⎧⎨-=-⎩或2125m n m n +=⎧⎨-=-⎩， 则m =-1．6、已知方程（a 2-1）x 2-2（5a +1）x +24=0有两个不相等的负整数根，求整数a 的值． 答案：a =-2．解答：由题意得：2100a ⎧-≠⎨∆⎩＞， Δ=[2（5a +1）]2-4×24（a 2-1）=4（a+5）2＞0，∴a≠±1，a≠-5，由求根公式得：x1=61a-，x2=41a+，∵方程有两个不相等的负整数根，∴a-1=-1，-2，-3，-6，a+1=-1，-2，-4，即：a=0，-1，-2，-5，a=-2，-3，-5，∴a=-2或-5．∴a=-2．7、当整数m取何值时，关于x的方程mx2-（1-m）x-1=0的根为整数．答案：m=-1，0，1．解答：当m=0时，x=-1，当m≠0时，该方程为一元二次方程，x1=-1，x2=1m，∵xm为整数，∴m=±1，综上，当m=-1，0，1时，方程的根为整数．8、关于x的方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0的根为正整数，且m为整数，求m的值．答案：0或1或2或-2．解答：当m=0时，方程可化为-2x+2=0，有整数根x=1，满足题意．当m≠0时，∵mx2-（3m+2）x+2m+2=0，[mx-（2m+2）]（x-1）=0，mx-（2m+2）=0或a-1=0，∴x1=22mm+=2+2m，x2=1．又∵该方程的根为正整数且m为整数，∴2m为大于-2的整数，∴m=1或2或-2．则m 的值为0或1或2或-2．9、已知：关于x 的一元二次方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0（m ＞1）．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？答案：（1）证明见解答．（2）m =2或m =3．解答：（1）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵Δ=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0．由求根公式解得：x 1=()2221m m +-=11m m +-，x 2=()2221m m --=1． x 1=11m m +-=1+21m - ∵方程的两个根都为正整数，m 是整数且m ＞1． ∴21m -是正整数． ∴m -1=1或m -1=2．∴m =2或m =3．10、已知关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．答案：（1）证明见解答．（2）当m =-1时，原方程的根是整数．解答：（1）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．（2）Δ=（m +3）2-4（m +1）=m 2+6m +9-4m -4=m 2+2m +5=（m +1）2+4．∵（m +1）2≥0，∴（m +1）2+4＞0．∴无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根．解关于x 的一元二次方程x 2+（m +3）x +m +1=0，得x =3m --．要使原方程的根是整数，必须使得（m +1）2+4是完全平方数．设（m +1）2+4=a 2，则（a +m +1）（a -m -1）=4．∵a +m +1和a -m -1的奇偶性相同，可得1212a m a m ++=⎧⎨--=⎩.或1212a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩．解得21a m =⎧⎨=-⎩.或21a m =-⎧⎨=-⎩．将m =-1代入x =3m --±，得x 1=-2，x 2=0符合题意．∴当m =-1时，原方程的根是整数．11、一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程x 2-（m +2）x +4m =0，试求m 的值及此直角三角形的三边长．答案：当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13；当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．解答：由题意得，Δ=m 2-12m +4，∴x =()22m +±． ∵该方程的根均为整数，∴m 2-12m +4必为平方数，令m 2-12m +4=n 2（n 为正整数），整理得（m -6）2-n 2=32，∴（m -6+n ）（m -6-n ）=32，∴m -6+n 与m -6-n 同奇同偶．因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩， 解得157m n =⎧⎨=⎩或122m n =⎧⎨=⎩，当157m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-17x +60=0， 解得x =5或x =12，∴即当m =15，直角三角形三边长分别为5，12，13．当122m n =⎧⎨=⎩时，方程x 2-（m +2）x +4m =0为x 2-14x +48=0， 解得x =6或x =8，∴即当m =12，直角三角形三边长分别为6，8，10．12、已知关于x 的方程（m -1）x 2-2mx +m +1=0．（1）求证：无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）当整数m 取何值时，方程有两个整数根．答案：（1）证明见解答．（2）2或0或3或-1．解答：（1）①当m -1=0即m =1时，方程化成-2x +2=0，解得x =1，②当m -1≠0即m ≠1时，方程一元二次方程，a =m -1，b =-2m ，c =m +1，∴b 2-4ac =（-2m ）2-4（m -1）（m +1）=4m 2-4m 2+4=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根，∴综上所述，无论常数m 取何值，方程总有实数根．（2）x =()221m m ±-=()2221m m ±-=11m m±-， ∴x 1=1，x 2=11m m +-， 而11m m +-=121m m -+-=1+21m -， ∴当m -1=±1，±2时，x 2为整数，即m =2或0或3或-1，方程有两个整数根．13、已知：关于x 的一元二次方程mx 2-3（m -1）x +2m -3=0．（1）求证：不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．（2）若方程有一个根大于2且小于3，求实数m 的取值范围．（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值．答案：（1）证明见解答．（2）m ＜-3．（3）m =-3，-1，3．解答：（1）解法一：由题意，得()()2091423m m m m ≠⎧⎪⎨∆=---⎪⎩， ∴Δ=m 2-6m +9=（m -3）2≥0，∴不论实数m 取何值，方程必有两个实数根．解法二：原方程因式分解得（x -1）[mx -（2m -3）]=0，∵m ≠0，∴原方程必有两个实根．（2）由（1）可知，方程两根为x 1=1，x 2=23m m-， ∴2＜23m m -＜3，化简得2＜2-3m＜3， 由2＜2-3m可知，m ＜0； 由2-3m ＜3可知，m ＜-3； ∴综上所述，m ＜-3．（3）∵m 为整数，x 2=2-3m 为正整数， ∴m =-3，-1，3．14、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m -4=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m 的值．答案：（1）m ＜52． （2）2．解答：（1）由题意得：b 2-4ac =4-4（2m -4）=20-8m ＞0，解得：m ＜52．（2）由m 为正整数，可知m =1或2，求根公式得x =-1∵方程的根为整数，∴5-2m 为完全平方数，则m 的值为2．15、已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m +1）x +m 2-1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．（2）在（1）的条件下，选择一个恰当的m 的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．答案：（1）m ＞-1．（2）当m =1时，x 1=0，x 2=-4．解答：（1）Δ=[2（m +1）]2-4（m 2-1）=8m +8．∵方程有两个不相等的实数根，∴8m +8＞0，∴m ＞-1．（2）在（1）的条件下，当m =1时，该方程可化为x 2+4x =0．∴两个整数根为x 1=0，x 2=-4．16、已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m -3）x +m 2-5m +2=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围．（2）若10＜m ＜21，是否存在整数m ，使方程有两个整数根，若存在求出m 的值；若不存在请说明理由．答案：（1）m ＞-18． （2）m =15．解答：（1）Δ=[-（2m -3）]2-4（m 2-5m +2）=8m +1＞0，得m ＞-18． （2）存在整数m ，使方程有两个整数根，原因：方程解为x =()23m -，∵10＜m＜21，m为整数，∴81＜8m+1＜169且为整数，∴913，又∵方程有两个整数根，或11或12，∴m=998或15或118，∴m=15，当m=15时，x1=19；x2=8符合题意．17、当m为何整数时，方程2x2-5mx+2m2=5有整数解．答案：m=±1或m=±3．解答：将方程2x2-5mx+2m2=5左边因式分解可得（2x-m）（x-2m）=5故2521x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2125x mx m-=⎧⎨-=⎩，或2521x mx m-=-⎧⎨-=-⎩，或2125x mx m-=-⎧⎨-=-⎩解得31311313 x x x xm m m m==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．18、求所有整数k，使方程kx2+（k+1）x+k-1=0的根都是整数．答案：k=1．解答：①当k=0时，x-1=0，x=1．②当k≠0时，Δ=（k+1）2-4k（k-1）=-3k2+6k+1＞0由根与系数关系得：x1+x2=-1kk+=-1-1k，x1·x2=1kk-=1-1k，∵根都是整数，∴k=±1，检验：k=-1不符合（舍）．综上所述，k=1．19、已知方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相等的整数根，（1）求整数k的值．（2）求实数k 的值．答案：（1）k =0，±2．（2）k =0，±2，±12． 解答：（1）[（k +1）x -6][（k -1）x -3]=0，x 1=61k +，x 2=31k -， ∵方程有两个整数根，即k +1=±1，±2，±3，±6，k -1=±1，±3，∴k =0，±2．（2）由x 1=61k +，x 2=31k -得k +1=16x ，k -1=23x ， 化简得x 1=3-2932x +， ∴2x 2+3=±1，±3，±9，x 2=-2，-1，0，-3，3，-6，∴k =0，±2，±12． 20、已知一元二次方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0，且4k +1是边长为7的菱形对角线的长，求k 取什么整数值时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数？答案：k =1时，方程（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0的根都是整数．解答：∵（2k -3）x 2+4kx +2k -5=0为一元二次方程，∴2k -3≠0，∴k ≠32． ∵4k +1是边长为7的菱形对角线的长，∴0＜4k +1＜14，∴-14＜k ＜134． ∵Δ=（4k ）2-4（2k -3）（2k -5）=64k -60≥0，∴k ≥1516， ∴1516≤k ＜134， ∵k 为整数，∴k =1或2或3．当k =1时，Δ=4，方程为-x 2+4x -3=0，根为x 1=1，x 2=3，符合题意；当k=2时，Δ=68，不符合题意；当k=3时，Δ=132，不符合题意．∴k=1．。

《一元二次方程》基础测试一选择题（每小题3分，共24分）：221．方程（m －1）x ＋mx －5＝0是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（）（A）m ≠1（B）m ≠0（C）|m |≠1（D）m ＝±1 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是………………………………………（）（A）x 1＝1，x 2＝0（B）x 1＝1，x 2＝2（C）x 1＝2，x 2＝－1（D）无解 3．方程5x +6=-x 的解是……………………………………………………………（）（A）x 1＝6，x 2＝－1（B）x ＝－6（C）x ＝－1（D）x 1＝2，x 2＝32 4．若关于x 的方程2x －ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是………………（）（A）－4（B）4（C）4或－4（D）25．如果关于x 的方程x －2x －2k＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（2）（A）－3（B）－2（C）－1（D）03+13-1和为根的一个一元二次方程是………………………………（221122（A）x -3x +=0（B）x +3x +=022122（C）x -3x +1=0（D）x +3x -=026．以2）7．4x －5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（）（A）（2x ＋5）（2x －5）（B）（4x ＋5）（4x －5）（C）(x +5)(x -5)（D）(2x +5)(2x -5)22 8．已知关于x 的方程x －（a －2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是………………………………………………………………………………………（）（A）5（B）－3（C）5或－3（D）1答案：１．Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ．二填空题（每空2分，共12分）：21．方程x －2＝0的解是x ＝；x 2-5x +62．若分式的值是零，则x ＝；x -213．已知方程 3x － 5x －＝0的两个根是x ，x ，则x ＋x ＝4212122，x 1·x 2＝；4．关于x 方程（k －1）x －4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ；5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是．答案：１．±2；２．3；３．951，-；４．k＜且k ≠1；５．46．5312三解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）：1．x -32x +3=解：用公式法．因为所以20；a =1，b =-32，c =3，b 2-4ac =(-32)2-4⨯1⨯3=6，所以x 1=-(-32)+632+6=2⨯12，x 2=-(-32)-632-6=；2⨯12x 2-510x -10+2=7； 2．x -1x -5解：用换元法．x 2-5设y =，原方程可化为x -110=7，y +y也就是y 2-7y +10=0，解这个方程，有(y -5)(y -2)=0，y 1=5，y 2=2．x 2-5由y 1=＝5得方程x -1x 2-5x =0，解得x 1=0，x 2=5；x 2-5由y 2=＝2得方程x -12x -2x -3=0，解得x 3=-1，x 4=3．经检验，x1=0，x 2=5，x 3=-1，x 4=3都是原方程的解．⎧x 2+y 2-2xy -1=0⎨３．⎩x +2y =5.解：由x +2y =5得x =5-2y ，22代入方程x +y -2xy -1=0，得22(5-2y )+y -2(5-2y )y -1=0，3y 2-10y +8=0，(3y -4)(y -2)=0，4y 1=，y 2=2．347代入x =5-2y ，得x 1=；33把y 2=2代入x =5-2y ，得x 2=1．7⎧x =⎪⎪13⎧x 2=1所以方程组的解为⎨，⎨．⎪y =4⎩y 2=21⎪3⎩把y 1=四列方程解应题（本题每小题8分，共16分）：１．某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？略解：设甲、乙两管单独开放注满油罐时各需x 小时和y 小时，依题意，有解得⎧y -x =4⎪，⎨33+9⎪x +y =1⎩⎧x =12⎨⎩y =16所以，甲管单独开放注满油罐需12小时，乙管单独开放注满油罐需16小时．２．甲、乙二人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．略解：用图形分析：A 地相遇地B 地依题意，相遇地为中点，设乙的速度为v 千米／时，根据“甲、乙走10千米所用时间的差为半小时”列式，有解得v ＝4（千米∕时）．五（本题11分）10110，-=v 2v +1已知关于x 的方程（m ＋2）x －5mx +m -3=0.（1）求证方程有实数根；（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．略解：（1）当m ＝－2时，是一元一次方程，有一个实根；2当m ≠－2时，⊿＝（m ＋2）＋20＞0，方程有两个不等实根；综合上述，m 为任意实数时，方程均有实数根；（2）设两根为p ，q .22依题意，有p ＋q ＝3，也就是2（p ＋q ）－2pq ＝3，2有因为p ＋q ＝所以5m ，pq ＝m -3，5m 2m -3)-2⨯=3，m +2m +2225m -2(m -3)(m +2)=3(m +2)，2m +12=12m +12，10m =0，m =0．(六（本题12分）22已知关于x 的方程式x ＝（2m ＋2）x －（m ＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．提示：由m ≥0和⊿＞0，解出m 的整数值是0或1，当m ＝0时，求出方程的两根，x 1＝3，x 2＝－1，符合题意；当m＝1时，方程的两根积x1x2＝m＋4m－3＝2＞0，两根同号，不符合题意，所以，舍去；所以m＝0时，解为x1＝3，x2＝－1．2。

中考数学《一元二次方程》专题训练（附带答案）一、单选题1．关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k＜－1D．k＞－12．关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≥﹣4D．k≥43．关于x的一元二次方程方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．方程x2﹣5x=0的解是()A．x1=0，x2=﹣5B．x=5C．x1=0，x2=5D．x=05．用配方法解一元二次方程x2+6x−10=0，此方程可变形为（）A．(x+3)2=1B．(x−3)2=1C．(x−3)2=19D．(x+3)2=19 6．已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．ab≥18B．ab≤18C．ab≥14D．ab≤147．已知A=x2+3，B=2x+1，则A，B的大小关系正确的是（）A．A＞B B．A＜BC．A=B D．与x的大小有关8．已知关于x的一元二次方程2x²+4x·sinα+1=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x −12）2=54C．（x −12）2＝1D．（x −12）2=3410．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是（）A．2500(1+x)2=3200B．2500(1−x)2=3200C．3200(1−x2)=2500D．3200(1−x)2=250011．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19B．（x﹣2）2=7C．（x+2）2=7D．（x+4）2=1912．下列关于x的方程中，没有实数解的是（）A．x2﹣4x+4=0B．x2﹣2x﹣3=0C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x+5=0二、填空题13．某企业2018年底缴税80万元，2020 年底缴税96.8万元，设这两年该企业交税的年平均增长率为x根据题意，可得方程为。

初中数学《一元二次方程》专题考试真题整理及答案解析一．选择题（共15小题）1．（2018秋•新罗区校级月考）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x22的值为（）A．6B．8C．14D．16【考点】AB：根与系数的关系．【分析】由根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣5∴原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=4+10=14故选：C．【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．2．（2017秋•淅川县期末）方程（x+1）（x﹣3）=0的根是（）A．x=﹣1B．x=3C．x1=1，x2=3D．x1=﹣1，x2=3【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（x+1）（x﹣3）=0，x+1=0，x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3．（2017秋•淅川县期末）已知关于y的方程y2﹣3y=a没有实数根，则a的取值范围是（）A．a＜B．a C．a D．a【考点】AA：根的判别式．【分析】将方程整理得：y2﹣3y﹣a=0，根据判别式的意义得到△＜0，得到关于a的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：原方程整理得：y2﹣3y﹣a=0，∵该方程没有实数根，∴△=（﹣3）2﹣4（﹣a）＜0，即9+4a＜0，解得：a，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．（2017秋•白云区期末）将方程x2﹣2x=2配成（x+a）2=k的形式，方程两边需加上（）A．1B．2C．4D．﹣1【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】两边都加上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣2x=2，∴x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，故选：A．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．5．（2017秋•安丘市期末）下列方程中，满足两个实数根的和等于3的方程是（）A．2x2+6x﹣5=0B．2x2﹣3x﹣5=0C．2x2﹣6x+5=0D．2x2﹣6x﹣5=0【考点】AB：根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系判断即可．【解答】解：满足两个实数根的和等于3的方程是2x2﹣6x﹣5=0，故选：D．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．6．（2017秋•松桃县期末）关于一元二次方程x2+4x+3=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根【考点】AA：根的判别式．【分析】根据根的判别式，可得答案．【解答】解：a=1，b=4，c=3，△=b2﹣4ac=42﹣4×1×3=4＞0，∴一元二次方程x2+4x+3=0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，利用根的判别式是解题关键．7．（2017秋•高密市期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10B．10C．﹣6D．2【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据“一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=2，x2=4”，结合根与系数的关系，分别列出关于m和n的一元一次不等式，求出m和n的值，代入m+n即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x1+x2=﹣m=2+4，解得：m=﹣6，x1•x2=n=2×4，解得：n=8，m+n=﹣6+8=2，故选：D．【点评】本题考查根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解决问题的关键．8．（2017秋•新化县期末）用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（）A．（x﹣4）2=5B．（x+4）2=5C．（x﹣4）2=27D．（x+4）2=27【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x=11，x2﹣8x+16=27，所以（x﹣4）2=27，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．（2018春•岳麓区校级期末）下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣5=0B．x2﹣2x=﹣5C．x2﹣2x=0D．x2﹣2x﹣3=0【考点】AA：根的判别式．【分析】一元二次方程中，没有实数根即根的判别式△=b2﹣4ac＜0．【解答】解：A、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以A选项错误；B、△=（﹣2）2﹣4×1×5＜0，所以方程没有实数解，所以B选项正确；C、△=（﹣2）2﹣4×1×0＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以C选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＞0，所以方程有两个不相等的实数解，所以D 选项错误．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．（2017秋•青龙县期末）关于x的一元二次方程x2+6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤B．k≥C．k＜D．k＞【考点】AA：根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=62﹣4×2k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+2k=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，即62﹣4×2k＞0，解得k＜，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（2018春•泰山区期中）用配方法解一元一次方程x2﹣6x﹣3=0，经配方后得到的方程是（）A．（x﹣3）2=12B．（x﹣3）2=9C．（x﹣3）2=6D．（x﹣3）2=4【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣6x=3，x2﹣6x+9=12，所以（x﹣3）2=12．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．12．（2017秋•洪泽区期末）一元二次方程x（x+1）=0的解是（）A．x=0B．x=﹣1C．x=0或x=1D．x=0或x=﹣1【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x+1）=0，x=0，x+1=0，x1=0，x2=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．13．（2017秋•琼中县期末）方程x2+2x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式可得出△=0，进而可得出方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根．【解答】解：a=1，b=2，c=1．∵△=b2﹣4ac=22﹣4×1×1=0，∴方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．14．（2018春•泰山区期中）方程3x（x﹣1）=4（x﹣1）的根是（）A．B．1C．和1D．和﹣1【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先将原方程变形整理，得到（x﹣1）（3x﹣4）=0，利用因式分解法把原方程转化为x﹣1=0或3x﹣4=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：原方程变形整理后得：（x﹣1）（3x﹣4）=0，x﹣1=0或3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=，故选：C．【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，正确掌握因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程是解题的关键．15．（2017秋•滨海县期末）已知x1，x2是方程x2+5x﹣2=0的两个根，则x1+x2的值为（）A．5B．﹣5C．2D．﹣2【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据韦达定理即可得．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣2=0的两个根，∴x1+x2=﹣=﹣5，故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．二．解答题（共27小题）16．（2018秋•上杭县校级月考）解下列方程（1）x2+4x﹣3=0（2）x（x+2）﹣2﹣x=0（3）x2﹣6x﹣4=0（4）x2+x﹣6=0【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+4x﹣3=0，b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣3）=28，x=，x 1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x（x+2）﹣2﹣x=0，x（x+2）﹣（x+2）=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0，x﹣1=0，x1=﹣2，x2=1；（3）x2﹣6x﹣4=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣4）=52，x=，x 1=3+，x2=2﹣；（4）x2+x﹣6=0，（x+3）（x﹣2）=0，x+3=0，x﹣2=0，x1=﹣3，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．17．（2018秋•上杭县校级月考）按规定的方法解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3=0（配方法）（2）3x（2x﹣1）=2（2x﹣1）（因式分解法）【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）先移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）移项得：x2﹣4x=3，配方：x2﹣4x+4=3+4，（x﹣2）2=7，，x 1=2+，x2=2﹣；（2）移项得：3x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）=0，（2x﹣1）（3x﹣2）=0，2x﹣1=0，3x﹣2=0，，．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017秋•宜兴市期末）解方程（1）x2+3x﹣2=0（2）2x2﹣3x﹣2=0（用配方法）【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A7：解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）直接移项，二次项数化1，再配方、开平方求出即可；【解答】解：（1）x2+3x﹣2=0，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，x 1=，x 2=；（2）2x 2﹣3x ﹣2=0（配方法）2x 2﹣3x=2x 2﹣x=1（x ﹣）2=1+（x ﹣）2=，∴x ﹣=±，解得：x 1=2，x 2=﹣．【点评】此题主要考查了公式法以及配方法解方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．19．（2017秋•白云区期末）解下列方程（1）x 2﹣3x=0（2）x 2﹣6x ﹣9=0【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：解：（1）x 2﹣3x=0分解因式得：x （x ﹣3）=0，解得：x 1=0，x 2=3；（2）x 2﹣6x ﹣9=0，x 2﹣6x=9x 2﹣6x +9=18，x 2﹣6x +9=18，（x ﹣3）2=18，x ﹣3=±3，x 1=3+3，x2=3﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．20．（2017秋•青龙县期末）解方程（x﹣1）2=3x（x﹣1）【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（x﹣1）2=3x（x﹣1）原方程可化为：（x﹣1）2﹣3x（x﹣1）=0（x﹣1）（x﹣1﹣3x）=0所以，x﹣1=0，或x﹣1﹣3x=0，x1=1，x2=﹣【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．21．（2018秋•越秀区校级月考）解一元二次方程：（1）x2+6x+8=0；（2）3x2﹣2x﹣5=0．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）根据十字相乘法可以解答此方程；（2）根据十字相乘法可以解答此方程．【解答】解：（1）x2+6x+8=0（x+4）（x+2）=0∴x+4=0或x+2=0，解得，x1=﹣4，x2=﹣2；（2）3x2﹣2x﹣5=0（3x﹣5）（x+1）=0∴3x﹣5=0或x+1=0，解得，x1=，x2=﹣1．【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．22．（2017秋•北海期末）解方程：（3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x﹣1）【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x﹣1），（3x﹣2）（x+4）﹣（3x﹣2）（5x﹣1）=0，（3x﹣2）[（x+4）﹣（5x﹣1）]=0，3x﹣2=0，（x+4）﹣（5x﹣1）=0，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．23．（2018春•越城区期末）用适当的方法解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0（2）3x2﹣6x﹣9=0．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为x2﹣2x﹣3=0，然后利用公式法解方程．【解答】解：（1）（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0，x﹣3=0或x﹣3﹣2=0，所以x1=3，x2=5；（2）x2﹣2x﹣3=0，△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）=24，x==所以x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．24．（2018•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m=0．（1）求证：方程总有实数根；（2）请给出一个m的值，使方程的两个根中只有一个根小于4．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的意义，证明△=[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m≥0即可：（2）先求出原方程的两个实数根，根据方程的两个根中只有一个根小于4，求出m的取值范围．【解答】（1）证明：依题意，得△=[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m=（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，∴方程总有实数根．（2）解：解方程x2﹣（m+3）x+3m=0．得x1=3，x2=m．∵方程的两个根中只有一个根小于4，∴m≥4，可取m=4．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了解一元二次方程．25．（2018•丹江口市模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=3﹣x1•x2，求k的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出实数k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=﹣（2k+1）、x1•x2=k2+1，结合x1+x2=3﹣x1•x2即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再根据k＞即可确定k 的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，即4k﹣3＞0，解得：k＞；（2）∵x1+x2=﹣（2k+1）、x1x2=k2+1，∴由x1+x2=3﹣x1•x2，得：﹣（2k+1）=3﹣k2﹣1，整理，得：k2﹣2k﹣3=0，解得：k=﹣1或k=3，∵k＞，∴k=3．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程是解题的关键．26．（2018春•安庆期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，求a2+b2的最小值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m2+4＞0，从而证出无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]、ab=m，结合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，无论m取何值，m2+4＞0，所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为a和b是这个一元二次方程的两个根，所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2、ab=m，所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．无论m为何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值为3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．27．（2018春•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0．（1）证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为﹣2，求m的值．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了；（2）把x=﹣2代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，（﹣2）2﹣（﹣2）m﹣2=0．通过解该方程求得m的值．【解答】解（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8＞0∴方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程有一个根为﹣2，则（﹣2）2﹣（﹣2）m﹣2=0．解得m=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的符号判断方法，学会运用非负数判断代数式的符号或范围．28．（2018•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，∴+=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1或m=3【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．29．（2018•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（1）的条件下，求方程的根．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）判别式的意义得到△=4﹣4m＞0，再解不等式得到m的范围，然后在此范围内找出非负整数即可；（2）利用（1）中m的值得到x2+2x=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m＞0，解得m＜1又m为非负整数，∴m=0；（2）当m=0时，方程变形为x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．30．（2018•安陆市二模）已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围；（2）根据根与系数的关系结合（x1+1）（x2+1）是负整数，即可得出是正整数，再由a为整数，即可求出a值．【解答】解：（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，列出关于a的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合（x1+1）（x2+1）是负整数，找出是正整数．31．（2018•张湾区模拟）关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2=0．（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两根，且+=，求k的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k+1、x1x2=k2，结合+=即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2=0有实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4k2≥0，解得：k≥﹣．（2）∵x1、x2是方程的两根，∴x1+x2=2k+1，x1x2=k2，∵+=，即==，∴k=，经检验，k=是原方程的解．又∵k≥﹣，∴k=．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+=找出关于k的方程．32．（2018•黄石）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．【解答】解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1，即实数m的取值范围是m＜1；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，即，解得：x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=2×0=0．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．33．（2018•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若+=﹣1，求k的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合+=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，解得：k＞﹣．（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，∴+==﹣=﹣1，解得：k1=3，k2=﹣1，经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根．又∵k＞﹣，∴k=3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+=﹣1找出关于k的分式方程．34．（2018•湖北）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，解得m≥﹣，所以m的最小整数值为﹣2；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，∵（x1﹣x2）2+m2=21，∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥﹣，∴m的值为2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．35．（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．【解答】解：（1）a≠0，△=b2﹣4a=（a+2）2﹣4a=a2+4a+4﹣4a=a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4a=0，若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=﹣1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．36．（2018•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】由方程根的个数，利用根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，再由根与系数的关系可用a表示出x1x2和x1+x2的值，代入已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×a=4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2=a，x1+x2=2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系及一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．37．（2018•随州二模）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22﹣x1x2=8，求m 的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据已知和根的判别式得出△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，把x1+xx12+x22﹣x1x2=8变形为（x1+x2）2﹣3x1x2=8，代入求出即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m，即m的取值范围是m；（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，∵x12+x22﹣x1x2=8，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=8，∴（﹣2）2﹣3×2m=8，解得：m=﹣．【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式的内容和根与系数的关系的内容是解此题的关键．38．（2018•北京一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k的值．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）套入数据求出△=b2﹣4ac的值，再与0作比较，由于△=1＞0，从而证出方程有两个不相等的实数根；（2）将x=1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．【解答】（1）证明：△=b2﹣4ac，=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k），=4k2+4k+1﹣4k2﹣4k，=1＞0．∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2k+1）+k2+k=0，即k2﹣k=0，解得：k1=0，k2=1．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出△=b2﹣4ac的值；（2）代入x=1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．39．（2018•东台市一模）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）根据根的判别式△=b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1=0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m=1，将m=1代入原方程，得x2﹣2x=0x（x﹣2）=0，解得x1=0，x2=2．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式．解答此题的关键地方是根据（1）与（2）的m的取值范围来确定整数m的值．40．（2018•门头沟区一模）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k的取值．【考点】AA：根的判别式．【分析】（1）根据一元二次方程2x2+4x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，根据k 为正整数，可确定k的取值范围；（2）分别把k的正整数值代入方程2x2+4x+k﹣1=0，解得结果进行分析解答．【解答】解：（1）由题意得，△=16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．（2）∵k为正整数，∴k=1，2，3．当k=1时，方程2x2+4x+k﹣1=0有一个根为零；当k=2时，方程2x2+4x+k﹣1=0无整数根；当k=3时，方程2x2+4x+k﹣1=0有两个非零的整数根．综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．41．（2018•淄川区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案．（2）根据判别式即可求出a的范围．（3）根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．42．（2018•洛宁县模拟）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0．（1）求证：无论k取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为2，试求出k的值和另一根．【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．【分析】（1）代入数据求出b2﹣4ac的值，由b2﹣4ac≥24可证出结论；（2）将x=2代入到原方程中得到关于k的一元一次方程，解方程可得出k值，将k值代入到原方程，解方程即可得出方程的另外一根．【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）=（k+1）2+24≥24，∴无论k的取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=2代入方程x2﹣（k+1）x﹣6=0中，22﹣2（k+1）﹣6=0，即k+2=0，解得：k=﹣2．∴原方程为：x2+x﹣6=0，即（x﹣2）（x+3）=0，解得：x1=2，x2=﹣3．故k的值为﹣2，方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）计算出b2﹣4ac≥24；（2）代入x=2求出k值．问题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式的值来判断根的个数是关键．。

一元二次方程参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：（2x﹣1）2﹣121＝0，（2x﹣1）2＝121，2x﹣1＝±11，2x＝±11+1．∴x1＝6，x2＝﹣5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．2．【分析】根据直接开平方法可以解答此方程．【解答】解：∵（x﹣2）2﹣9＝0，∴（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝±3，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得，x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．3．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵4（x﹣5）2＝16，∴（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝2或x﹣5＝﹣2，解得x1＝7，x2＝3；（2）将方程整理为一般式，得：x2+2x﹣8＝0，∴（x+4）（x﹣2）＝0，则x+4＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．【分析】利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，解得：，．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．【分析】首先两边直接开平方可得2x﹣3＝±5，再解一元一次方程即可．【解答】解：两边直接开平方得：2x﹣3＝±5，则2x﹣3＝5，2x﹣3＝﹣5，故x＝4，x＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元一次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．6．【分析】先两边开方得到2x﹣1＝±（3﹣x），然后解两个一次方程即可．【解答】解：2x﹣1＝±（3﹣x），2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x，所以x1＝，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方的方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．7．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵121x2﹣25＝0，∴121x2＝25，则x2＝，∴x1＝，x2＝﹣；（2）将方程整理为一般式得x2+2x﹣3＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，则x﹣1＝0或x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．9．【分析】移项后利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵y2﹣4＝0，∴y2＝4，则y1＝2，y2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．10．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）（x+1）2＝5，x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）去分母得：3﹣（x+2）（1﹣x）＝x2﹣4，整理得：3+x2+x﹣2＝x2﹣4，即x＝﹣5，经检验：x＝﹣5是原方程的根．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）先去分母，把分式方程化为3+x﹣5（x﹣1）＝﹣2x，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）x+1＝±2，所以x1＝1，x2＝﹣3；（2）解方程两边同乘（x﹣1）得3+x﹣5（x﹣1）＝﹣2x，解这个方程得x＝4．检验：当x＝4时，x﹣1≠0，所以x＝4是原方程的解．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了解分式方程．12．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）两边都乘以（x+3）（x﹣1），得：（x﹣1）2﹣2（x+3）＝（x﹣1）（x+3），整理得：x2﹣2x+1﹣2x﹣6＝x2+2x﹣3解得，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+3）（x﹣1）≠0，所以，原分式方程的解为x＝﹣；（2）方程两边同除以2，变形得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解本题的关键．13．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算即可；（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）原式＝4﹣2+×3＝2+；（2）x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了二次根式的混合运算．14．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，开方得：x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）去分母得：2x2﹣x+5＝2x2﹣10x，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15．【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2＝9，开方得：x＝±3，解得：x1＝3，x2＝﹣3；（2）方程整理得：x2﹣4x＝1，配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．16．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1，即x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．【分析】首先展开化为x2﹣6x+9＝0，再配方后开方计算即可求解．【解答】解：（x﹣4）（x﹣2）+1＝0，方程化为x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣6x＝﹣4，配方得：x2﹣6x+9＝5，即（x﹣3）2＝5，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣；（2）去分母得：5x+10＝6x﹣3，解得：x＝13，经检验x＝13是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x＝﹣11，则x2﹣8x+16＝﹣11+16，即（x﹣4）2＝5，∴x﹣4＝±，∴x＝4±．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．【解答】解：（1）∵x2﹣8x＝﹣1，∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，则x﹣4＝±，∴x＝4；（2）两边都乘以x﹣2，得：3+1﹣x＝x﹣2，解得x＝3，经检验x＝3是原分式方程的解．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．【分析】（1）利用解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解方程即可；（1）先移项得x2﹣4x＝3，再把方程两边加上4得到x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，然后利用直接开平方法求解；【解答】解：（1）（2x+3）2＝9，∴2x+3＝±3，∴2x+3＝3或2x+3＝﹣3，∴x1＝0，x2＝﹣3；（2）x2﹣4x﹣3＝0，移项得，x2﹣4x＝3，方程两边加上4得，x2﹣4x+4＝7，配方得，（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．22．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，则x﹣1＝±，∴x＝1；（2）方程整理为一般式，得：x2﹣4x﹣12＝0，∵（x+2）（x﹣6）＝0，∴x+2＝0或x﹣6＝0，解得x＝﹣2或x＝6．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．【分析】利用配方法求解可得．【解答】解：∵2x2﹣4x＝8，∴x2﹣2x＝4，则x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，则x1＝+1，x2＝+1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．【分析】方程移项后，二次项系数化为1，两个加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程移项得：3x2﹣6x＝﹣1，即x2﹣2x＝﹣，配方得：（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．27．【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣5的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得x2﹣5x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣5x+（﹣）2＝﹣2+（﹣）2，配方，得（x﹣）2＝．开方，得x﹣＝±，解得x1＝，x2＝．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．28．【分析】先进行移项，然后系数化1，再进行配方，即可求出答案．【解答】解：移项，得2x2﹣3x＝﹣1，二次项系数化为1，得x2﹣x＝﹣，配方x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，（x﹣）2＝，由此可得x ﹣＝，x 1＝1，x 2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．29．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：配方得x 2﹣4x +4＝1+4，即（x ﹣2）2＝5，开方得x ﹣2＝±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q ＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c ＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q ＝0，然后配方．30．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x 2﹣4x ＝3，配方得x 2﹣4x +4＝3+4，即（x ﹣2）2＝，开方得x ﹣2＝±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q ＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c ＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q ＝0，然后配方．31．【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．【解答】解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0即（x+2）2＝7，开方得，x+2＝±，x1＝﹣2+；x2＝﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．32．【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．33．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x﹣＝0x2﹣2x+1＝+1（x﹣1）2＝∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．34．【分析】先将已知方程转化为一般式，然后根据求根公式解答．【解答】解：由原方程，得x2+2x+2＝0．这里a＝1，b＝2，c＝2．∵△＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×2＝0．∴x＝＝﹣．即x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．35．【分析】整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可，也可以用因式分解法求解．【解答】解：方法一、整理得：x2+3x+2＝0，b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣2；方法二、整理得：x2+3x+2＝0，（x+1）（x+2）＝0，x+1＝0，x+2＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．36．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+2x＝29，∴x2+2x+1＝29+1，即（x+1）2＝30，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝10＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．37．【分析】首先找出a、b、c的值，计算根的判别式，进一步利用求根公式求得答案即可．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣5）＝36，则x＝＝，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】此题考查用公式法解一元二次方程，掌握用公式法解方程的步骤与方法是解决问题的关键．38．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）根据公式法求解可得．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝3﹣4×1×（﹣1）＝7＞0，x＝，解得x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．39．【分析】先进行整理，再根据公式法求解可得．【解答】解：x2﹣4＝6（x+2）．整理得x2﹣6x﹣16＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴△＝36﹣4×1×（﹣16）＝100＞0，x＝＝3±5，解得x1＝﹣2，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．40．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解答】解：（1）方程两边除以2，得：（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，则x1＝4，x2＝﹣2；（2）原方程可整理为：x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则x＝＝2，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．41．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0，则x＝＝2，即x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵3x（2x+1）＝2（2x+1），∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，则（2x+1）（3x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝﹣，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．42．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．43．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣8，c＝3，∴△＝（﹣8）2﹣4×1×3＝52＞0，∴x＝＝4，即x1＝4+，x2＝4﹣；（2）方程整理为一般式，得：2x2﹣7x＝0，则x（2x﹣7）＝0，∴x＝0或2x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝3.5．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．44．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1；（2）∵3x（2x+3）＝2（2x+3），∴3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，∴（2x+3）（3x﹣2）＝0，则2x+3＝0或3x﹣2＝0，解得x＝﹣或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．45．【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法解方程进而得出答案．【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣7，则x2﹣6x+9＝﹣7+9，故（x﹣3）2＝2x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣；（2）x（x﹣2）＝6﹣3xx（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，则x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．【点评】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．46．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，则x1＝3，x2＝﹣3；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，则x+1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．47．【分析】（1）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．48．【分析】利用因式分解法或直接开平方法求解可得．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2＝﹣．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．49．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．50．【分析】（1）先把方程化为整式方程3（x+3）＝5（x+1），再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；（2）先把方程化为整式方程5﹣2（x+1）＝2x，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．（3）先利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）去分母得3（x+3）＝5（x+1），解得x＝2，经检验，原方程的解为x＝2；（2）去分母得5﹣2（x+1）＝2x，解得x＝，经检验，原方程的解为x＝；（3）x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（4）x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，所以x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程和解分式方程．。

一元二次方程练习题及解析一、基础练习题1. 解下列一元二次方程，并给出解的答案：a) x² - 4x + 3 = 0b) 2x² + 5x - 3 = 0c) x² + 3x + 2 = 0d) 3x² - 6x - 9 = 02. 对于方程 x² - 5x + 6 = 0，求出两个解的值并判断其性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

3. 解方程 2x² - 4x - 6 = 0，并指出解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

4. 求解方程 3x² + 12x + 5 = 0，并确定解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

二、进阶练习题1. 解下列一元二次方程，并给出解的答案：a) 4x² + 4x + 1 = 0b) x² + 6x + 9 = 0c) 2x² - 7x + 3 = 0d) -x² + 5x - 6 = 02. 解方程 x² + 2x - 8 = 0，并判断其解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

3. 解方程 3x² + 5x + 2 = 0，并指出解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

4. 求方程 2x² + 3x - 10 = 0 的解，并确定解的性质（实数解、相等实数解、无实数解）。

三、解题解析1. 基础练习题解析：a) x² - 4x + 3 = 0：移项得 x² - 4x = -3，再配方(x - 2)² = 1，求得 x = 2 ± 1，即 x₁ = 3，x₂ = 1。

b) 2x² + 5x - 3 = 0：使用求根公式：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)，则 x₁ = (-5 + √(5² - 4·2·(-3))) / (2·2) = (-5 + √49) / 4 = -2，x₂ = (-5 - √(5² - 4·2·(-3))) / (2·2) = (-5 - √49) / 4 = 1/2。

一元二次方程计算题专题训练试题精选附答案一. 解答题（共30小题）1. （2015•诏安县校级模拟）解方程：（x+1）2﹣9=0.2. （2015•诏安县校级模拟）解方程: 4x2﹣20=0.3. （2015•东西湖区校级模拟）解方程: （2x+3）2﹣25=04. （2015•铜陵县模拟）解方程: 4（x+3）2=25（x﹣2）2.5. （2015•岳池县模拟）解方程（2x﹣3）2=x2.6. （2015春•北京校级期中）解方程: （x﹣1）2=25.7. （2013秋•云梦县校级期末）解下列方程:（1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24=0 （2）用配方法解方程：x2+4x+1=0.8. （2014秋•锡山区期中）解方程:（1）（x﹣2）2=25；（2）2x2﹣3x﹣4=0；（3）x2﹣2x=2x+1；（4）2x2+14x﹣16=0.9. （2014秋•丹阳市校级期中）选择合适的方法解一元二次方程:①9（x﹣2）2﹣121=0；②x2﹣4x﹣5=0.10. （2014秋•万州区校级期中）按要求解答:（1）解方程：（x+3）2﹣2=0；（2）因式分解：4a2﹣（b2﹣2b+1）.11. （2014秋•海口期中）解下列方程:（1）x2﹣16=0；（2）x2+3x﹣4=0.12. （2014秋•海陵区期中）解下列一元二次方程:（1）x2﹣3=0 （2）x2﹣3x=0.13. （2014秋•滨湖区期中）解下列方程（1）2x2﹣=0；（2）2x2﹣4x+1=0（配方法）（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）.14. （2014秋•昆明校级期中）解方程: 9（x+1）2=4（x﹣2）2.15. （2014秋•深圳校级期中）解方程: （2x﹣3）2=25.16. （2014秋•北塘区期中）（1）2（x﹣1）2=32 （2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（3）2x2﹣4x+1=0 （4）x2﹣5x+6=0.17. （2014秋•福安市期中）解方程:（1）（x+1）2=2；（2）x2﹣2x﹣3=0 （用适当的方法）18. （2014秋•华容县月考）用适当的方法解下列方程:（1）（2﹣3x）2=1；（2）2x2=3（2x+1）.19. （2014秋•宝应县校级月考）解方程:（1）（2x﹣1）2﹣9=0 （2）x2﹣x﹣1=0.20. （2014秋•南华县校级月考）解方程:（1）（x+8）（x+1）=0 （2）2（x﹣3）2=8（3）x（x+7）=0 （4）x2﹣5x+6=0（5）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（6）（y+2）2=（3y﹣1）2.21. （2014秋•广州校级月考）解方程:（1）x2﹣9=0；（2）x2+4x﹣1=0.22. （2013秋•大理市校级期中）解下列方程:（1）用开平方法解方程: （x﹣1）2=4 （2）用配方法解方程: x2﹣4x+1=0 （3）用公式法解方程: 3x2+5（2x+1）=0 （4）用因式分解法解方程: 3（x﹣5）2=2（5﹣x）23. （2012秋•浏阳市校级期中）用适当的方法解方程:（1）9（2x﹣5）2﹣4=0；（2）2x2﹣x﹣15=0.24. （2013秋•玉门市校级期中）（2x﹣3）2﹣121=0.25. （2015•蓬溪县校级模拟）（2x+3）2=x2﹣6x+9.26. （2015•泗洪县校级模拟）（1）x2+4x+2=0 （2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2.27. （2015春•慈溪市校级期中）解方程:（1）x2﹣4x﹣6=0 （2）4（x+1）2=9（x﹣2）2.28. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程:（1）（2x﹣5）2=49 （2）x2+4x﹣8=0.29. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程（1）y2=4；（2）4x2﹣8=0；（3）x2﹣4x﹣1=0.30. （2015•黄陂区校级模拟）解方程: x2﹣3x﹣7=0.一元二次方程计算题专题训练试题精选附答案参考答案与试题解析一. 解答题（共30小题）1. （2015•诏安县校级模拟）解方程：（x+1）2﹣9=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：先移项, 写成（x+a）2=b的形式, 然后利用数的开方解答．解答：解: 移项得, （x+1）2=9,开方得, x+1=±3,解得x1=2, x2=﹣4．解得x1=2，x2=﹣4.解得x1=2，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有: x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）.法则: 要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”.（2）运用整体思想, 会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解, 要仔细观察方程的特点．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．2. （2015•诏安县校级模拟）解方程: 4x2﹣20=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：先变形得到x2=5, 然后利用直接开平方法求解．解答：解: 由原方程, 得x2=5,所以x1= , x2=﹣．所以x1= ，x2=﹣.所以x1=，x2=﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.3. （2015•东西湖区校级模拟）解方程: （2x+3）2﹣25=0考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：先移项, 写成（x+a）2=b的形式, 然后利用数的开方解答．解答：解: 移项得, （2x+3）2=25,开方得, 2x+3=±5,解得x1=1, x2=﹣4．解得x1=1，x2=﹣4.解得x1=1，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有: x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）.法则: 要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”.（2）运用整体思想, 会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解, 要仔细观察方程的特点．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．4. （2015•铜陵县模拟）解方程: 4（x+3）2=25（x﹣2）2.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．解答：解: 4（x+3）2=25（x﹣2）2,开方得：2（x+3）=±5（x﹣2）,解得：, ．解得：，.解得: ，．解得：，．点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程, 难度适中．5. （2015•岳池县模拟）解方程（2x﹣3）2=x2.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：利用直接开平方法解方程.解答：解: 2x﹣3=±x,所以x1=3, x2=1．所以x1=3，x2=1.所以x1=3，x2=1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.6. （2015春•北京校级期中）解方程: （x﹣1）2=25.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．解答：解: 开方得: x﹣1=±5,解得：x1=6, x2=﹣4．解得：x1=6，x2=﹣4.解得: x1=6，x2=﹣4．解得：x1=6，x2=﹣4．点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 题目是一道比较典型的题目, 难度不大．7. （2013秋•云梦县校级期末）解下列方程:（1）用直接开平方法解方程: 2x2﹣24=0（2）用配方法解方程：x2+4x+1=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：（1）先将常数项移到等式的右边, 然后化未知数的系数为1, 通过直接开平方求得该方程的解即可；（2）先将常数项1移到等式的右边, 然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方, 即利用配方法解方程．（2）先将常数项1移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程.（2）先将常数项1移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程．解答：解: （1）由原方程, 得2x2=24,∴x2=12,直接开平方, 得x=±2 ,∴x1=2 , x2=﹣2 ；（2）由原方程, 得x2+4x=﹣1,等式的两边同时加上一次项系数一半的平方, 得x2+4x+4=3, 即（x+2）2=3；∴x+2=±,∴x1=﹣2+ , x2=﹣2﹣．∴x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣.∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”．8. （2014秋•锡山区期中）解方程:（1）（x﹣2）2=25；（2）2x2﹣3x﹣4=0；（3）x2﹣2x=2x+1；（4）2x2+14x﹣16=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）利用直接开平方法, 两边直接开平方即可；（2）利用公式法, 首先计算出△, 再利用求根公式进行计算；（3）首先化为一元二次方程的一般形式, 计算出△, 再利用求根公式进行计算；（4）首先根据等式的性质把二次项系数化为1, 再利用因式分解法解一元二次方程即可．（4）首先根据等式的性质把二次项系数化为1，再利用因式分解法解一元二次方程即可.（4）首先根据等式的性质把二次项系数化为1，再利用因式分解法解一元二次方程即可．解答：解: （1）两边直接开平方得: x﹣2=±5,x﹣2=5, x﹣2=﹣5,解得：x1=7, x2=﹣3；（2）a=2, b=﹣3, c=﹣4,△=b2﹣4ac=9+4×2×4=41,x= = ,故x1= , x2= ；（3）x2﹣2x=2x+1,x2﹣4x﹣1=0,a=1, b=﹣4, c=﹣1,△=b2﹣4ac=16+4×1×1=20,x= = =2 ,故x1=2 , x2=2﹣；（4）2x2+14x﹣16=0,x2+7x﹣8=0,（x+8）（x﹣1）=0,x+8=0, x﹣1=0,解得：x1=﹣8, x2=1．解得：x1=﹣8，x2=1.解得: x1=﹣8，x2=1．解得：x1=﹣8，x2=1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法, 关键是熟练掌握一元二次方程的解法, 并能熟练运用．9. （2014秋•丹阳市校级期中）选择合适的方法解一元二次方程:①9（x﹣2）2﹣121=0；②x2﹣4x﹣5=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：①先移项, 再两边开方即可；②先把方程左边因式分解, 得出x+1=0, x﹣5=0, 再分别计算即可．②先把方程左边因式分解，得出x+1=0，x﹣5=0，再分别计算即可.②先把方程左边因式分解，得出x+1=0，x﹣5=0，再分别计算即可．解答：解: ①9（x﹣2）2﹣121=0,9（x﹣2）2=121,（x﹣2）2= ,x﹣2=±,x1= , x2=﹣；②x2﹣4x﹣5=0,（x+1）（x﹣5）=0,x+1=0, x﹣5=0,x1=﹣1, x2=5．x1=﹣1，x2=5.x1=﹣1，x2=5．点评：此题考查了解一元二次方程, 用到的知识点是用直接开方法和因式分解法, 关键是根据方程的特点选择合适的解法．10. （2014秋•万州区校级期中）按要求解答:（1）解方程: （x+3）2﹣2=0；（2）因式分解：4a2﹣（b2﹣2b+1）.考点：解一元二次方程-直接开平方法；因式分解-运用公式法. 菁优网版权所有分析：（1）首先把方程右边化为（x+a）2=b, 在两边直接开平方即可；（2）首先把4a2﹣（b2﹣2b+1）化为4a2﹣（b﹣1）2, 再利用平方差公式进行分解即可．（2）首先把4a2﹣（b2﹣2b+1）化为4a2﹣（b﹣1）2，再利用平方差公式进行分解即可.（2）首先把4a2﹣（b2﹣2b+1）化为4a2﹣（b﹣1）2，再利用平方差公式进行分解即可．解答：解: （1）（x+3）2=2,（x+3）2=4,x+3=±2,x+3=2, x+3=﹣2,解得：x1=﹣1, x2=﹣5；（2）4a2﹣（b2﹣2b+1）=4a2﹣（b﹣1）2=（2a+b﹣1（2a﹣b+1）.（2）4a2﹣（b2﹣2b+1）=4a2﹣（b﹣1）2=（2a+b﹣1（2a﹣b+1）．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程, 以及因式分解, 解这类问题要移项, 把所含未知数的项移到等号的左边, 把常数项移项等号的右边, 化成x2=a（a≥0）的形式, 利用数的开方直接求解．11. （2014秋•海口期中）解下列方程:（1）x2﹣16=0；（2）x2+3x﹣4=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）首先把﹣16移到方程右边, 再两边直接开平方即可；（2）首先把等号左边分解因式可得（x+4）（x﹣1）=0, 进而得到x+4=0, x﹣1=0, 再解一元一次方程即可．（2）首先把等号左边分解因式可得（x+4）（x﹣1）=0，进而得到x+4=0，x﹣1=0，再解一元一次方程即可.（2）首先把等号左边分解因式可得（x+4）（x﹣1）=0，进而得到x+4=0，x﹣1=0，再解一元一次方程即可．解答：解: （1）x2=16,两边直接开平方得: x=±4,故x1=4, x2=﹣4；（2）（x+4）（x﹣1）=0,则x+4=0, x﹣1=0,解得：x1=﹣4, x2=1．解得：x1=﹣4，x2=1.解得: x1=﹣4，x2=1．解得：x1=﹣4，x2=1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法, 关键是掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．12. （2014秋•海陵区期中）解下列一元二次方程:（1）x2﹣3=0（2）x2﹣3x=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）先移项得到x2=3, 然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程.（2）利用因式分解法解方程．解答：解: （1）x2=3,x=±,所以x1= , x2=﹣；（2）x（x﹣3）=0,x=0或x﹣3=0,所以x1=0, x2=3．所以x1=0，x2=3.所以x1=0，x2=3．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式, 那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式, 那么nx+m=±．也考查了因式分解法解一元二次方程．13. （2014秋•滨湖区期中）解下列方程（1）2x2﹣=0；（2）2x2﹣4x+1=0（配方法）（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）方程变形后, 利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）方程利用公式法求出解即可.（4）方程利用公式法求出解即可．解答：解: （1）方程变形得: x2= ,开方得: x=±；（2）方程变形得: x2﹣2x=﹣,配方得: x2﹣2x+1= , 即（x﹣1）2= ,开方得: x﹣1=±,解得: x1=1+ , x2=1﹣；（3）方程变形得: 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0,分解因式得: （x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0,解得: x1=3, x2=6；（4）方程整理得: 3y2+10y+5=0,这里a=3, b=10, c=5,∵△=100﹣60=40,∴y= = .∴y==．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法, 熟练掌握平方根定义是解本题的关键．14. （2014秋•昆明校级期中）解方程: 9（x+1）2=4（x﹣2）2.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．解答：解: 两边开方得: 3（x+1）=±2（x﹣2）,即3（x+1）=2（x﹣2）, 3（x+1）=﹣2（x﹣2）,解得：x1=﹣7, x2= ．解得：x1=﹣7，x2= .解得: x1=﹣7，x2= ．解得：x1=﹣7，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用, 解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．15. （2014秋•深圳校级期中）解方程: （2x﹣3）2=25.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：首先两边直接开平方可得2x﹣3=±5, 再解一元一次方程即可．解答：解: 两边直接开平方得: 2x﹣3=±5,则2x﹣3=5, 2x﹣3=﹣5,故x=4, x=﹣1．故x=4，x=﹣1.故x=4，x=﹣1．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元一次方程, 解这类问题要移项, 把所含未知数的项移到等号的左边, 把常数项移项等号的右边, 化成x2=a（a≥0）的形式, 利用数的开方直接求解．16. （2014秋•北塘区期中）（1）2（x﹣1）2=32（2）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（3）2x2﹣4x+1=0（4）x2﹣5x+6=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）方程变形后, 利用直接开平方法求出解即可；（2）方程变形后, 利用因式分解法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可.（4）方程利用因式分解法求出解即可．解答：解: （1）方程变形得: （x﹣1）2=16,开方得: x﹣1=4或x﹣1=﹣4,解得: x1=5, x2=﹣3；（2）方程变形得: 2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0,分解因式得: （x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0,解得: x1=3, x2=6；（3）整理a=2, b=﹣4, c=1,∵△=16﹣8=8,∴x1= , x2= ；（4）分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）=0,解得：x1=2, x2=3．解得：x1=2，x2=3.解得: x1=2，x2=3．解得：x1=2，x2=3．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法, 熟练掌握平方根定义是解本题的关键．17. （2014秋•福安市期中）解方程:（1）（x+1）2=2；（2）x2﹣2x﹣3=0 （用适当的方法）考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）两边直接开平方得x+1= , 再解一元一次方程即可；（2）首先把﹣3移到等号右边, 在把方程左边配方可得（x﹣1）2=4, 然后再两边直接开平方即可．（2）首先把﹣3移到等号右边，在把方程左边配方可得（x﹣1）2=4，然后再两边直接开平方即可.（2）首先把﹣3移到等号右边，在把方程左边配方可得（x﹣1）2=4，然后再两边直接开平方即可．解答：解: （1）x+1= ,x+1= , x+1=﹣,故x1=﹣1+x2=﹣1﹣；（2）x2﹣2x=3,x2﹣2x+1=3+1,（x﹣1）2=4,x+1=±2,则x+1=2, x+1=﹣2,故x1=3, x2=﹣1．故x1=3，x2=﹣1.故x1=3，x2=﹣1．点评：此题主要考查了直接开平方法和配方法解一元二次方程, 关键是掌握直接开平方法要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”．18. （2014秋•华容县月考）用适当的方法解下列方程:（1）（2﹣3x）2=1；（2）2x2=3（2x+1）.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式, 然后根据公式法解方程．（2）先把方程化为一般式，然后根据公式法解方程.（2）先把方程化为一般式，然后根据公式法解方程．解答：解: （1）2﹣3x=±1,所以x1= , x2=1；（2）2x2﹣6x﹣3=0,△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣3）=60,x= = ,所以x1= , x2= ．所以x1= ，x2= .所以x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式, 那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式, 那么nx+m=±．也考查了公式法解一元二次方程．19. （2014秋•宝应县校级月考）解方程:（1）（2x﹣1）2﹣9=0（2）x2﹣x﹣1=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可.（2）方程利用公式法求出解即可．解答：解: （1）方程变形得: （2x﹣1）2=9,开方得: 2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3,解得: x1=2, x2=﹣1；（2）这里a=1, b=﹣1, c=﹣1,∵△=1+4=5,∴x= .∴x=．点评：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法与公式法, 熟练掌握各种解法是解本题的关键．20. （2014秋•南华县校级月考）解方程:（1）（x+8）（x+1）=0（2）2（x﹣3）2=8（3）x（x+7）=0（4）x2﹣5x+6=0（5）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（6）（y+2）2=（3y﹣1）2.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）、（3）、（4）、（5）利用因式分解法求解即可；（2）先将方程变形为（x﹣3）2=4, 再利用直接开平方法求解即可；（6）利用直接开平方法求解即可.（6）利用直接开平方法求解即可．解答：解: （1）（x+8）（x+1）=0,x+8=0或x+1=0,解得x1=﹣8, x2=﹣1；（2）2（x﹣3）2=8,（x﹣3）2=4,x﹣3=±2,解得x1=5, x2=﹣1；（3）x（x+7）=0,x=0或x+7=0,解得x1=0, x2=﹣7；（4）x2﹣5x+6=0,（x﹣2）（x﹣3）=0,x﹣2=0或x﹣3=0,解得x1=2, x2=3；（5）3（x﹣2）2=x（x﹣2）,3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0,（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0,x﹣2=0或2x﹣6=0,解得x1=2, x2=3；（6）（y+2）2=（3y﹣1）2,y+2=±（3y﹣1）,解得y1=1.5, y2=﹣0.25,解得y1=1.5，y2=﹣0.25，点评：本题考查了利用因式分解法与直接开平方法解一元二次方程, 是基础知识, 需熟练掌握．21. （2014秋•广州校级月考）解方程:（1）x2﹣9=0；（2）x2+4x﹣1=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：（1）先移项, 然后利用直接开平方法解方程；（2）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式, 再利用直接开平方法求解．（2）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解.（2）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解．解答：解: （1）由原方程, 得x2=9,开方，得x1=3, x2=﹣3；（2）由原方程, 得x2+4x=1,配方，得x2+4x+22=1+22, 即（x+2）2=5,开方，得x+2=±,解得x1=﹣2 , x2=﹣2﹣．解得x1=﹣2 ，x2=﹣2﹣.解得x1=﹣2，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a, b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a, c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方, 右常数, 先把系数化为1, 再开平方取正负, 分开求得方程解”．22. （2013秋•大理市校级期中）解下列方程:（1）用开平方法解方程: （x﹣1）2=4（2）用配方法解方程: x2﹣4x+1=0（3）用公式法解方程: 3x2+5（2x+1）=0（4）用因式分解法解方程: 3（x﹣5）2=2（5﹣x）考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）用直接开平方法解方程: （x﹣1）2=4, 即解x﹣1=2或x﹣1=﹣2, 两个方程；（2）用配方法解方程: x2﹣4x+1=0, 合理运用公式去变形, 可得x2﹣4x+4=3, 即（x ﹣2）2=3；（3）用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0, 先去括号, 整理可得；3x2+10x+5=0, 运用一元二次方程的公式法, 两根为, 计算即可；（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x）, 移项、提公因式x﹣5, 再解方程．（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项、提公因式x﹣5，再解方程.（4）用因式分解法解方程: 3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项、提公因式x﹣5，再解方程．（4）用因式分解法解方程：3（x﹣5）2=2（5﹣x），移项、提公因式x﹣5，再解方程．解答：解: （1）∵（x﹣1）2=4,∴x﹣1=±2, ∴x1=3, x2=﹣1．（2）∵x2﹣4x+1=0,∴x2﹣4x+4=3,∴（x﹣2）2=3, ∴,∴．（3）∵3x2+5（2x+1）=0,∴3x2+10x+5=0,∴a=3, b=10, c=5, b2﹣4ac=102﹣4×3×5=40,∴，∴．（4）∵3（x﹣5）2=2（5﹣x）,∴移项, 得: 3（x﹣5）2+2（x﹣5）=0,∴（x﹣5）（3x﹣13）=0,∴x﹣5=0或3x﹣13=0,∴．点评：本题综合考查对解方程的方法的灵活掌握情况, 解答时, 要先观察方程的特点, 再确定解方程的方法．23. （2012秋•浏阳市校级期中）用适当的方法解方程:（1）9（2x﹣5）2﹣4=0；（2）2x2﹣x﹣15=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：先观察方程然后再确定各方程的解法；（1）可用直接开平方法, （2）可用因式分解法解方程．解答：（1）解: 化简得: ,直接开平方得: ,解得：x1= , x2= ；（2）解: 因分式解得: （x﹣3）（2x+5）=0,x﹣3=0或2x+5=0,解得：.解得: ．解得：．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法, 配方法, 公式法, 因式分解法, 要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24. （2013秋•玉门市校级期中）（2x﹣3）2﹣121=0.考点：解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有专题：计算题.分析：先移项得到（2x﹣3）2=121, 然后方程两边开方得到两个一元一次方程2x﹣3=11或2x﹣3=﹣11, 再解一元一次方程即可．解答：解: ∵（2x﹣3）2=121,∴2x﹣3=11或2x﹣3=﹣11,∴x1=7, x2=﹣4．∴x1=7，x2=﹣4.∴x1=7，x2=﹣4．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把一元二次方程变形为x2=m（m≥0）的形式, 然后两边开方得到x1= , x2=﹣．25. （2015•蓬溪县校级模拟）（2x+3）2=x2﹣6x+9.考点：解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：先把原方程的右边转化为完全平方形式, 然后直接开平方．解答：解: 由原方程, 得（2x+3）2=（x﹣3）2,直接开平方, 得2x+3=±（x﹣3）,则3x=0, 或x+6=0,解得, x1=0, x2=﹣6．解得，x1=0，x2=﹣6.解得，x1=0，x2=﹣6．点评：本题考查了配方法解一元二次方程. 用配方法解一元二次方程的步骤: （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项, 把常数项移到右边；第二步配方, 左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步, 直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型, 方程两边同时除以二次项系数, 即化成x2+px+q=0, 然后配方．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方.（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．26. （2015•泗洪县校级模拟）（1）x2+4x+2=0（2）x2﹣6x+9=（5﹣2x）2.考点：解一元二次方程-配方法. 菁优网版权所有分析：（1）本题二次项系数为1, 一次项系数为4, 适合于用配方法.（2）把方程左边化成一个完全平方式, 那么将出现两个完全平方式相等, 则这两个式子相等或互为相反数, 据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．（2）把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解.（2）把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解．解答：解: （1）x2+4x+22=﹣2+22,即（x+2）2=2 ,x1=﹣2+ , x2=﹣2﹣；（2）（x﹣3）2=（5﹣2x）2,即（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）=0,x1=2, x2= ．x1=2，x2= .x1=2，x2=．点评：（1）本题考查了配方法解一元二次方程, 选择用配方法解一元二次方程时, 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数.（2）本题考查了因式分解法解一元二次方程, 解一元二次方程的基本思想是降次, 把一元二次方程转化为一元一次方程, 从而求解．（2）本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解.（2）本题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程转化为一元一次方程，从而求解．27. （2015春•慈溪市校级期中）解方程:（1）x2﹣4x﹣6=0（2）4（x+1）2=9（x﹣2）2.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法. 菁优网版权所有分析：（1）移项, 配方, 开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可.（2）先移项, 方程左边分解后, 利用两数相乘积为0, 两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．（2）先移项，方程左边分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.（2）先移项，方程左边分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．解答：解: （1）由原方程, 得x2﹣4x=6,配方, 得x2﹣4x+4=6+4, 即（x﹣2）2=10,直接开平方, 得x﹣2=±,解得x1=2+ , x2=2﹣．（2）由原方程得到: [2（x+1）+3（x﹣2）][2（x+1）﹣3（x﹣2）]=0,整理, 得（5x﹣4）（﹣x+8）=0,解得x1= , x2=8．解得x1= ，x2=8.解得x1=，x2=8．点评：本题考查了解一元二次方程: 配方法和因式分解法. 用配方法解一元二次方程的步骤:（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项, 把常数项移到右边；第二步配方, 左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步, 直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型, 方程两边同时除以二次项系数, 即化成x2+px+q=0, 然后配方．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方.（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．28. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程:（1）（2x﹣5）2=49（2）x2+4x﹣8=0.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：（1）两边开方, 即可得出两个一元一次方程, 求方程的解即可；（2）移项, 配方, 开方, 即可得出两个一元一次方程, 求出方程的解即可．（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解: （1）（2x﹣5）2=49,2x﹣5=±3,x1=4, x2=1；（2）x2+4x﹣8=0,x2+4x=8,x2+4x+4=8+4,（x+2）2=12,x+2= ,x1=﹣2+2 , x2=﹣2﹣2 ．x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 .x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2．点评：本题考查了解一元二次方程的应用, 能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键, 注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法, 配方法, 公式法, 因式分解法．29. （2015春•北京校级期中）解一元二次方程（1）y2=4；（2）4x2﹣8=0；（3）x2﹣4x﹣1=0.考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接开平方法. 菁优网版权所有分析：（1）直接开平方即可求得x的值；（2）先移项, 化系数为1, 然后直接开平方来求x的值；（3）首先进行移项, 得到x2﹣4x=1, 方程左右两边同时加上4, 则方程左边就是完全平方式, 右边是常数的形式, 再利用直接开平方法即可求解．（3）首先进行移项，得到x2﹣4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解.（3）首先进行移项，得到x2﹣4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解答：解: （1）由原方程, 得y=±2,解得y1=2, y2=﹣2；（2）由原方程, 得4x2=8,x2=2,解得x1= , x2=﹣；（3）解: ∵x2﹣4x﹣1=0∴x2﹣4x=1∴x2﹣4x+4=1+4∴（x﹣2）2=5∴x=2±,∴x1=2+ , x2=2﹣．∴x1=2+ ，x2=2﹣.∴x1=2+，x2=2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程的方法: 配方法、直接开平方法.总结: 配方法的一般步骤:（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时, 最好使方程的二次项的系数为1, 一次项的系数是2的倍数．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．30. （2015•黄陂区校级模拟）解方程: x2﹣3x﹣7=0.考点：解一元二次方程-公式法. 菁优网版权所有分析：利用求根公式x= 来解方程.解答：解: 在方程x2﹣3x﹣7=0中, a=1, b=﹣3, b=﹣7. 则x= = = ,解得x1= , x2= ．解得x1= ，x2= .解得x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法. 熟记公式是解题的关键.。

10 道一元二次方程题一、解方程：x² - 9 = 0-解析：利用平方差公式，x² - 9 = (x + 3)(x - 3) = 0，则x + 3 = 0 或x - 3 = 0，解得x₁ = -3，x₁ = 3。

二、解方程：x² + 6x + 9 = 0-解析：这是完全平方式，(x + 3)² = 0，所以x + 3 = 0，解得x = -3。

三、解方程：2x² - 5x - 3 = 0-解析：利用因式分解，(2x + 1)(x - 3) = 0，则2x + 1 = 0 或x - 3 = 0，解得x₁ = -1/2，x₁ = 3。

四、解方程：x² - 4x + 4 = 5-解析：先将左边变形为完全平方式，(x - 2)² = 5，开方得x - 2 = ±√5，解得x₁ = 2 + √5，x₁ = 2 - √5。

五、已知关于x 的方程x² + mx - 6 = 0 的一个根是2，求m 的值及另一个根。

-解析：把x = 2 代入方程得2² + 2m - 6 = 0，即4 + 2m - 6 = 0，2m = 2，m = 1。

原方程为x² + x - 6 = 0，因式分解为(x + 3)(x - 2) = 0，另一个根为x = -3。

六、解方程：3x² - 6x = 0-解析：提取公因式3x，得3x(x - 2) = 0，则3x = 0 或x - 2 = 0，解得x₁ = 0，x₁ = 2。

七、解方程：x² - 7x + 12 = 0-解析：因式分解为(x - 3)(x - 4) = 0，所以x - 3 = 0 或x - 4 = 0，解得x₁ = 3，x₁ = 4。

八、已知方程x² - 5x + k = 0 的两根之差为3，求k 的值。

-解析：设方程的两根为x₁、x₁，根据韦达定理，x₁ + x₁ = 5，x₁x₁ = k。

一元二次方程专题练习（解析版）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围．（2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=1472k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．2．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4，∴a 的值是﹣2或﹣4；②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3∴a ＝﹣2舍去，∴a ＝﹣4，∴﹣4≤x ≤﹣3，∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.3．某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况．小张：“该商品的进价为 24元/件．”成员甲：“当定价为 40元/件时，每天可售出 480件．”成员乙：“若单价每涨 1元，则每天少售出 20件；若单价每降 1元，则每天多售出 40件．” 根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利 7680元，应该怎样合理定价？【答案】要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元，则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件，每件商品的利润是(24)x -元，在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件，每件的利润是(24)x -元，从而可以得到答案．【详解】解：设每件商品定价为x 元．①当40x ≥时，[](24)48020(40)7680x x ---= ，解得：1240,48;x x ==②当40x <时，[](24)48040(40)7680x x -+-=，解得：1236,40x x ==（舍去），.答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用，用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%； （2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.6．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2k y x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根．（1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k1＝－2，k2＝3．（2）tan∠OBA＝63．【解析】解：（1）∵k1，k2分别是方程x2－x－6＝0的两根，∴解方程x2－x－6＝0，得x1＝3，x2＝－2．结合图像可知：k1＜0，k2＞0，∴k1＝－2，k2＝3．（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A，B分别在反比例函数2yx=-（x＜0），3yx=（x＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠ AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB＝±6（舍负取正），即OAOB＝6．∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB＝6．7．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．8．近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：（1）每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知A型空气净化器的净化能力为300 m3/小时，B型空气净化器的净化能力为200 m3/小时．某长方体室内活动场地的总面积为200 m２，室内墙高3 m．该场地负责人计划购买5台空气净化器每天花费30分钟将室内空气净化一新，如不考虑空气对流等因素，至少要购买A型空气净化器多少台？【答案】（1）每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元；（2）为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台；（3）至少要购买A型空气净化器2台.【解析】解：（1）设每台A型空气净化器的利润为x元，每台B型空气净化器的利润为y元，根据题意得：5102000,200, {{ 1052500.100. x y xx y y+==+==解得答：每台A型空气净化器的利润为200元，每台B型空气净化器的利润为100元. （2）设购买A型空气净化器m台，则购买B型空气净化器（100﹣m）台，∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，∴100-m≥2m，解得：m≤100. 3设销售完这100台空气净化器后的总利润为W元.根据题意，得W=200m+100（100﹣m）=100m+10000.∵要使W最大，m需最大，∴当m=33时，总利润最大，最大利润为W：100×33+10000=13300（元）.此时100﹣m=67.答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台.（3）设应购买A型空气净化器a台，则购买B型空气净化器（5﹣a）台，根据题意得：12[300a+200(5-a)]≥200×3.解得：a≥2.∴至少要购买A型空气净化器2台.9．如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝7（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．【答案】（1）k32）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t3＝﹣323．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣13＝323．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣33x+533．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）对于直线y ＝kx +k ，令y ＝0，可得x ＝﹣1，∴A （﹣1，0），∴OA ＝1，∵AB ＝2，∴OB ＝223AB OA -=∴k ＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO ＝3OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t 3323． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1）•32t ＝32t 2﹣34t ． （3）∵OQ +AB 7（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+ ∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P （1233Q （5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有133 2250k bk b⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3353kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为353y x=-+．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．10．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P 从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．（1）如图1，当时间t＝秒时，四边形APQO是矩形；（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于秒；（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝12 x．【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE ＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t．【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO是矩形∴AP＝OQ∴t＝6﹣2t解得：t＝2故答案为2．（2）过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°∵PQ＝5∴HQ3 =①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3解得：t＝1②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6∴3t﹣6＝3解得：t＝3故答案为1或3．（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E∴PQ垂直平分OE∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE∵∠POE＝45°∴∠PEO＝∠POE＝45°∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°∴∠MPE＝∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP（AAS）∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝4 3∴AM＝43+4＝163，EN＝4﹣43＝83∴点E坐标为（163，83）∴直线OE的函数表达式为y＝12 x．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．。

一元二次方程与化简求值专题练习一、选择题1、m是方程x2-2x-3=0的一个根，则代数式m-12m2+4=（）．A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3答案：C解答：把m代入方程x2-2x-3=0，得到m2-2m-3=0，∴m2-2m=3，∴代数式m-12m2+4=-12（m2-2m）+4=2.5；选C．2、已知a是方程x2+x-1=0的根，a3-a2-3a+1的值是（）．A. 0B. 1C. -1D. -2答案：C解答：由题意a2+a-1=0，∴a2=-a+1，∴原式=a（-a+1）-a2-3a+1=-2（a2+a）+1=-1．3、已知a2-5=2a，代数式（a-2）2+2（a+1）的值为（）．A. -11B. -1C. 1D. 11答案：D解答：原式=a2-4a+4+2a+2=a2-2a+6．∵a2-5=2a，∴a2-2a=5，∴原式=11．4、已知23x x-x2=2+x，则代数式2x2+2x的值是（）A. 2B. -6C. 2或-6D. -2或6答案：A解答：设x2+x=a，（a≥-14），则原方程可化为3a-a-2=0，去分母得，-a2-2a+3=0，解得a=1或a=-3（舍去）∴2x2+2x=2a=2．5、若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0（a ≠0）的解是x =1，则2013-a -b 的值是（ ）．A. 2018B. 2008C. 2014D. 2012答案：A解答：∵x =1是一元二次方程ax 2+bx +5=0的一个根， ∴a ·12+b ·1+5=0， ∴a +b =-5，∴2013-a -b =2013-（a +b ）=2013-（-5）=2018． 选A ．6、已知a 2-5a +2=0，则分式424a a +的值为（ ）．A. 21B.121 C. 7D.521答案：A解答：∵a 2-5a +2=0， ∴a -5+2a=0， 故a +2a =5， ∴（a +2a）2=25，∴a 2++4=25， ∴442244a a a a ++=a 2+24a=21． 二、填空题7、已知a 、b 是一元二次方程x 2-x -1=0的两个根，则代数式3a 2+2b 2-3a -2b 的值等于______． 答案：5 解答：根据题意 得a 2-a =1，b 2-b =1， ∴3a 2+2b 2-3a -2b =3a 2-3a +2b 2-2b =3（a 2-a ）+2（b 2-b ） =3+2=5．8、设m 是方程x 2-3x +1=0的一个实数根，则4221m m m ++=______． 答案：8解答：由题得m 2-3m +1=0，∴m +1m=3， ∴原式=m 2+21m +1=（m +1m）2-2+1=8．9、已知a 是方程x 2-1315x +1=0的某个根，则a 2-1314a +213151a +=______． 答案：1314解答：a 是方程x 2-1315x +1=0的根， 有a 2-1314a =a -1，有a 2+1=1315a ， 又a ≠0，∴a -1315+1a =0， ∴原式=a -1+1a=1314．故答案为：1314． 10、计算：（1）已知a 是方程x 2+x -1=0的根，则a 3-a 2-3a +1的值为______． （2）已知a 是方程x 2-2x +1=0的根，则a 3+31a 的值为______． 答案：（1）-1 （2）2解答：（1）由题意：a 2+a -1=0，∴a 2=-a +1， ∴原式=a （-a +1）-a 2-3a +1=-2（a 2+a ）+1=-1． （2）由题意：a 2-2a +1=0，∴a +1a=2 ∴a 2+21a=（a +1a ）2-2=2∴a 3+31a =（a +1a ）（a 2-1+21a）=2．11、若（x 2+y 2）2-5（x 2+y 2）-6=0，则x 2+y 2=______． 答案：6解答：（x2+y2）2-5（x2+y2）-6=0（x2+y2+1）（x2+y2-6）=0，x2+y2=-1（舍去）x2+y2=6．12、已知a是方程x2-3x-2=0的根，则a3-2a2-5a+4=______．答案：6解答：∵a是x2-3x-2=0的根，∴a2-3a-2=0，a3-2a2-5a+4=a（a2-2a-5）+4=a（a2-3a+a-5）+4=a（-3+a）+4=a2-3a+4=2+4=6．13、已知a是x2-x-1=0的一个根，则a3-2a2+2019的值是______．答案：2018解答：∵a为x2-x-1=0的一根，∴a2-a-1=0，∴a2=1+a，∴a3-2a2+2019=a2·a-2a2+2019=（1+a）a-2（a+1）+2019=a+a2+2a-2+2019=a2-a+2019=1+2017=2018．故答案为：2018．14、已知x为实数，且23x x-（x2+x）=2，则x2+x的值为______．答案：1解答：设x2+x=y（y≥-14），则原方程变为3y-y=2，方程两边都乘y得：3-y2=2y，整理得：y2+2y-3=0，（y-1）（y+3）=0，∴y=1或y=-3（舍去）．三、解答题15、已知：x2-5x=6，请你求出代数式10x-2x2+5的值．答案：-7．解答：10x-2x2+5=2（5x-x2）+5．∵x2-5x=6，∴原式=2×（-6）+5=-7．16、已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-（x+1）（x-1）的值．答案：13．解答：（2x-3）2-（x+1）（x-1）=4x2-12x+9-（x2-1）=4x2-12x+9-x2+1=3x2-12x+10．∵x2-4x-1=0，即x2-4x=1．∴原式=3（x2-4x）+10=3+10=13．17、已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根，求代数式（m2-m）（m-2m+1）的值．答案：4．解答：∵m是方程x2-x-2=0的一个实数根，∴m2-m-2=0，∴m2-m=2，m2-2=m，∴原式=（m2-m）（22mm+1）=2×（mm+1）=2×2=4．18、已知x 2+x -5=0，求代数式（x -1）2-x （x -3）+（x +2）（x -2）的值． 答案：2．解答：原式=x 2-2x +1-x 2+3x +x 2-4 =x 2+x -3． ∵x 2+x -5=0， ∴x 2+x =5． ∴原式=5-3=2．19、已知a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根，求a 3-5a +7的值． 答案：9．解答：∵a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根， ∴a 2-2a -1=0， ∴a 2=2a +1，∴a 3-5a +7=a （2a +1）-5a +7=2a 2-4a +7=2（a 2-2a ）+7=9． 20、解答题． （1）已知a 是方程x 2-3x +1=0的根，求2543282521a a a a a -+-+的值．（2）已知m 是一元二次方程x 2-2005x +1=0的根，求代数式m 2-2004m +220051m +的值． 答案：（1）-1． （2）2004．解答：（1）由a 2+1=3a 知，原式=()()232222321511a a a a a a +-+-+=2a 3-5a 2-233a a=2a 3-5a 2-a =2a （3a -1）-5a 2-a =a 2-3a =-1．（2）∵m 是一元二次方程x 2-2005x +1=0的根， ∴m 2-2005m +1=0， ∴m 2+1=2005m ，∴m 2-2004m +220051m + =m 2-2005m +m +20052005m=-1+m +1m=-1+21m m+=2004．21、（1）已知a 是一元二次方程x 2-2x -1=0的根，求下列各式的值：①a -1a ． ②a 2+21a．③a 2-3a +232a -+5． （2）已知a 是方程x 2-3x +1=0的根，求2543282521a a a a a-+-+的值．答案：（1）①2．②6．③5． （2）-1．解答：（1）①由a 2-2a -1=0知，a ≠0， 故a -2-1a=0， 即a -1a=2． ②a 2+21a=（a -1a ）2+2=6．③由于a 2=2a +1，代入所求得，原式=2a +1-3a +2132a +-+5=5． （2）由a 2+1=3a 知，原式=()()232222321511a a a a a a+-+-+=2a3-5a2-233aa=2a3-5a2-a=2a（3a-1）-5a2-a=a2-3a=-1．。

一元二次方程一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m时为一元一次方程；当m时为一元二次方程．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b=．4．x2+3x+=（x+）2；x2﹣+2=（x）2．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是cm2．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p=，q=．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10=．9．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D．+﹣2=012．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣114．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠015．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤016．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？一元二次方程参考答案与试题解析一、填空题1．一元二次方程（1+3x）（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为：x2﹣8x﹣4=0 ，二次项系数为： 1 ，一次项系数为：﹣8 ，常数项为：﹣4 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．【解答】解：去括号得，x﹣3+3x2﹣9x=2x2+1，移项得，x2﹣8x﹣4=0，所以一般形式为x2﹣8x﹣4=0；二次项系数为1；一次项系数为﹣8；常数项为﹣4．故答案为x2﹣8x﹣4=0，1，﹣8，﹣4．【点评】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．2．关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m =1 时为一元一次方程；当m≠1 时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程；含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程．可以确定m的取值．【解答】解：要使方程是一元一次方程，则m﹣1=0，∴m=1．要使方程是一元二次方程，则m﹣1≠0，∴m≠1．故答案分别是：m=1；m≠1．【点评】本题考查的是一元一次方程和一元二次方程的定义，根据定义确定m的取值．3．若（a+b）（a+b+2）=8，则a+b= 2或﹣4 ．【考点】换元法解一元二次方程．【专题】换元法．【分析】把原方程中的（a+b）代换成y，即可得到关于y的方程y2+2y﹣8=0，求得y的值即为a+b 的值．【解答】解：把原方程中的a+b换成y，所以原方程变化为：y2+2y﹣8=0，解得y=2或﹣4，∴a+b=2或﹣4．【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．4．x2+3x+=（x+）2；x2﹣2x +2=（x ﹣）2．【考点】完全平方式．【专题】计算题．【分析】（1）根据首项是x的平方及中间项3x，利用中间项等于x与乘积的2倍即可解答．（2）根据首项与尾项分别是x与的平方，那么中间项等于x与乘积的2倍即可解答．【解答】解：（1）∵首项是x的平方及中间项3x，∴3x=2×x×，x2+3x+=，∴应填，．（2）首项与尾项分别是x与的平方，∴2×x×即为中间项．∴x2﹣2x+2=，故应填：2，﹣．故答案为：，，2，﹣．【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键要熟记完全平方公式．5．直角三角形的两直角边是3：4，而斜边的长是20cm，那么这个三角形的面积是96 cm2．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的应用．【专题】几何图形问题．【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设两直角边分别是3x、4x，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2=400，解得：x=4，（负值舍去）则：3x=12cm，4x=16cm．故这个三角形的面积是×12×16=96cm2．【点评】此题主要根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式．6．若方程x2+px+q=0的两个根是﹣2和3，则p= ﹣1 ，q= ﹣6 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，分别求出p、q的值．【解答】解：由题意知，x1+x2=﹣p，即﹣2+3=﹣p，∴p=﹣1；又x1x2=q，即﹣2×3=q，∴q=﹣6．【点评】已知了一元二次方程的两根求系数，可利用一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=解答．7．若代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，则x的值是1或﹣．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】根据题意先列出方程，然后利用因式分解法解方程求得x的值．【解答】解：∵代数式4x2﹣2x﹣5与2x2+1的值互为相反数，∴4x2﹣2x﹣5+2x2+1=0，即（x﹣1）（3x+2）=0，解得x=1或﹣．【点评】本题是基础题，考查了一元二次方程的解法．8．代数式2x2+3x+7的值为12，则代数式4x2+6x﹣10= 0 ．【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】先对已知进行变形，把所求代数式化成已知的形式，再利用整体代入法求解．【解答】解：∵2x2+3x+7=12∴2x2+3x=12﹣7∴4x2+6x﹣10=2（2x2+3x）﹣10=2×（12﹣7）﹣10=0．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．9．当t≤时，关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解．【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，则△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+t=0可用公式法求解，∴△=b2﹣4ac≥0，即△=32﹣4×1×t=9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a== b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a 的一元二次方程，然后求出的值．二、选择题11．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1）D．+﹣2=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）方程是整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）只含有一个未知数．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；D、是分式方程，错误．故选C．【点评】判断一个方程是否是一元二次方程，首先判断是否是整式方程，若是整式方程，再进行化简，化简以后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程就是一元二次方程．12．若2x+1与2x﹣1互为倒数，则实数x为（）A．± B．±1 C．±D．±【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】两个数互为倒数，即两数的积是1，据此即可得到一个关于x的方程，从而求解．【解答】解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得（2x+1）（2x﹣1）=1；整理得4x2﹣1=1，移项得4x2=2，系数化为1得x2=；开方得x=±．故选C．【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．本题开方后要注意分母有理化．13．若m是关于x的方程x2+nx﹣m=0的解，且m≠0，则m+n的值是（）A．1 B．﹣0.5 C．0.5 D．﹣1【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；将m代入原方程即可求得m+n的值．【解答】解：把x=m代入方程x2+nx﹣m=0得m2+mn﹣m=0，又∵m≠0，方程两边同除以m，可得m+n=1；故本题选A．【点评】此题中应特别注意：方程两边同除以字母系数时，应强调字母系数不得为零．14．关于x的方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（）A．m=0，n=0 B．m=0，n≠0 C．m≠0，n=0 D．m≠0，n≠0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【分析】代入方程的解求出n的值，再用因式分解法确定m的取值X围．【解答】解：方程有一个根是0，即把x=0代入方程，方程成立．得到n=0；则方程变成x2+mx=0，即x（x+m）=0则方程的根是0或﹣m，因为两根中只有一根等于0，则得到﹣m≠0即m≠0方程x2+mx+n=0的两根中只有一个等于0，正确的条件是m≠0，n=0．故选C．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．15．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．【解答】解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∴一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则k≥0，故选：C．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．16．若方程ax2+bx+c=0（a≠0），a、b、c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．【解答】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选C．【点评】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．三、解答题17．（1）（x+4）2=5（x+4）；（2）（x+1）2=4x；（3）（x+3）2=（1﹣2x）2；（4）2x2﹣10x=3．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】（1）运用提取公因式法分解因式求解；（2）运用公式法分解因式求解；（3）运用平分差公式分解因式求解；（4）运用公式法求解．【解答】解：（1）（x+4）2=5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）=0，（x+4）（x+4﹣5）=0，∴x1=﹣4，x2=1．（2）（x+1）2=4x，x2+2x+1﹣4x=0，（x﹣1）2=0，∴x1=x2=1．（3）（x+3）2﹣（1﹣2x）2=0，（x+3+1﹣2x）（x+3﹣1+2x）=0，（4﹣x）（3x+2）=0，∴x1=4，x2=﹣．（4） 2x2﹣10x=3，2x2﹣10x﹣3=0，x=，x1=，x2=．【点评】此题考查了选择适当的方法解一元二次方程的能力，属基础题．18．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20=0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．【考点】等腰三角形的性质；一元二次方程的解；三角形三边关系．【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系得到x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，确定等腰三角形腰长为5．【解答】解：x2﹣9x+20=0，解得x1=4，x2=5，∵等腰三角形底边长为8，∴x=4时，4，4，8的三条线段不能组成三角形，∴等腰三角形腰长为5．【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的边长，不能盲目地作出判断，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．【考点】一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，∴把x=0代入方程中得m2+3m﹣4=0，∴m1=﹣4，m2=1．由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，∴m=﹣4【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．20．已知方程x2﹣2ax+a=4（1）求证：方程必有相异实根（2）a取何值时，方程有两个正根？（3）a取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？（4）a取何值时，方程有一根为零？【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0恒成立即可证明．（2）由方程有两个正根，根据根与系数的关系即可求出a的取值．（3）由方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，根据根与系数关系解答．（4）令x=0代入方程求解即可．【解答】解：（1）方程x2﹣2ax+a=4，可化为：x2﹣2ax+a﹣4=0，∴△=4a2﹣4（a﹣4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相异实根．（2）若方程有两个正根x1，x2，则x1+x2=2a＞0，x1x2=a﹣4＞0，解得：a＞4．（3）若方程有两根相异，并且负根的绝对值较大，则可得：x1+x2=2a＜0，x1x2=a﹣4＜0，解得：a ＜0．（4）若方程有一根为零，把x=0代入方程x2﹣2ax+a=4，得：a=4．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是熟记x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．。

专题11：二元一次方程组（简答题专练）一、解答题1．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【答案】（1）小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）41.6元/千克．【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出方程求出答案；（2）根据让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：200200800020x yy x+=⎧⎨-=⎩，解得：1030 xy=⎧⎨=⎩，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．考点：1、一元一次不等式的应用；2、二元一次方程组的应用2．某人用2400元买进甲、乙两只股票在当甲股票升值15%，乙股票下跌10%时全部卖出，共获利润1350元（不含手续费、税费），试问此人买的甲、乙两只股票各是多少元？【答案】买了甲股票15000元，乙股票9000元.【分析】设买了甲股票x 元，乙股票y 元，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【解答】设买了甲股票x 元，乙股票y 元. 依题意，得2400015%10%1350x y x y +=⎧⎨-=⎩，整理得240003227000x y x y +=⎧⎨-=⎩.解得150009000x y =⎧⎨=⎩.答：买了甲股票15000元，乙股票9000元.【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.3．A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A 地，乙继续前进，当甲返回到A 地时，乙离A 地还有2千米.甲、乙两人的速度各是多少？ 【答案】甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时.【分析】设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时，根据题意列出二元一次方程组即可求解. 【解答】设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时根据题意，得2()20222x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得 5.54.5x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时.【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解. 4．已知关于x ，y 的方程组21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解满足5x y +=，求k 的值.【答案】2【分析】先通过方程组解出x 、y ,再将x 、y 代代数式入求出k 即可. 【解答】21,254,x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①②2⨯-②①，得399x k =+，解得33x k =+.把33x k =+代入①， 得3321k k γ++=-，解得 2.y k =--5,x y +=3325k k ∴+--=，解得2k =.【点评】本题考查解二元一次方程组求参数,关键在于先用参数分别表示出解,再利用代数式求参数. 5．某种电器产品，每件若以原定价的8折销售，可获利120元；若以原定价的6折销售，则亏损20元，该种商品每件的进价为多少元？ 【答案】该商品每件的进价为440元【分析】设该种商品的进价为x 元/件，原定价为y 元/件，根据“获利120元”与“亏损20元”列出方程组进一步求解即可.【解答】设该种商品的进价为x 元/件，原定价为y 元/件.依题意，得0.81200.620y x y x -=⎧⎨-=-⎩.解得440700x y =⎧⎨=⎩. 答：该商品的进价为440元【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.6．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟求李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需多少分钟.【答案】李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟【分析】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟，根据题意列出二元一次方程组即可求解.【解答】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟. 依题意，得35554985x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由+①②，得714140x y +=. 所以220x y +=，则2440x y +=.答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.7．在解方程组1014bx ay x cy +=⎧⎨-=⎩①②时，甲正确地解42x y =⎧⎨=-⎩，乙把c 写错得到24x y =⎧⎨=⎩.若两人的运算过程均无错误，求a ，b ，c 的值. 【答案】1,a =3,b =5c =.【分析】先将甲的解代入原式解出c,再将乙的解代入原式解出a 、b 即可. 【解答】因为甲得到的解正确，所以把甲得到的42x y =⎧⎨=-⎩代入原方程组，得42104214b a c -=⎧⎨+=⎩③④， 由④，解得5c =.已知乙将c 写错得到24x y =⎧⎨=⎩，因为a ，b 没有写错，所以将这个解代入方程①，得2410b a +=.⑤ 解由③⑤组成的方程组，得1,a =3b = 所以1,a =3,b =5c =.【点评】本题考查二元一次方程组与解的关系,关键在于代入原式求出参数. 8．判断方程组27,617.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②的解法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法.解法①：由①，得72y x =-.③，把③代入①，得2(72)7x x +-=.x 可以为任意实数，从而y 也为任意实数，∴原方程组有无数组解.解法②：由①，得72y x =-.③，把③代入②，得67217x x --=.解得6x =.把6x =代入③，得5y =-.∴ 原方程组的解为65x y =⎧⎨=-⎩.【答案】见解析【分析】解法①中应把③代入②，可知解法错误，解法②代入后去括号时-2x 没有变号,可知解法错误，利用代入消元法解方程组即可得出正确的方程组的解． 【解答】解：解法都不正确，其正确的解法如下： 由①，得72y x =-.③把③代入②，得67217x x --=（）. 解得3x =.把3x =代入③，得1y =.∴原方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩. 【点评】此题考查了代入法解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组方法是解本题的关键．9．解下列方程组：（1）8962717x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②； （2）1353()2(3)15x yx y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩. 【答案】（1）322x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）30x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）利用加减消元法解出方程； （2）整理后利用加减消元法解出方程．【解答】（1）4⨯-②①，得3774y =-.解得2y =-， 把2y =-代入①，得89(2)6x -⨯-=.解得32x =-， ∴原方程组的解为322x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）1353()2(3)15x yx y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩，53155315x y x y +=⎧∴⎨-=⎩①②+①②，得1030x =.解得3x =③把③代入①得15315y +=.解得0y =，∴原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩．【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法和代入法是解方程常用的方法． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组141516171819x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，直接消元是很繁琐的，采用下面的解法则会简单许多.解：-②①得333x y +=，所以1x y +=.③14⨯③，得141414x y +=.④ -①④，得2y =，从而得1x =-.所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩. （1）请你运用上述方法解方程组201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩，（2）猜测关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩，()m n ≠的解是什么？并用方程组的解加以验证.【答案】（1）12x y =-⎧⎨=⎩（2）12x y =-⎧⎨=⎩，验证见解析.【分析】（1）利用“加减消元”来解方程组；（2）先假设该方程组的解，然后代入原方程组验证即可． 【解答】（1）201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，-②①，得333,x y += 1x y ∴+=③2015⨯③，得201520152015x y +=④-①④，得2y =.把2y =代入③，得21x +=，解得1x =-，∴原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩； （2）关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩，()m n ≠的解是12x y =-⎧⎨=⎩，(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩①②当1,x =-2y =时，方程①左边(1)2m m =-++⨯22m m =-++2m =+=右边， 方程②左边(1)2n n =-++⨯222n n n =-++=+=右边，12x y =-⎧∴⎨=⎩是原方程组的解．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．11．某服装点用6000购进A,B 两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?【答案】（1）A 种服装购进50件，B 种服装购进30件；（2）2440元【分析】（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A 种服装的利润-打折后B 中服装的利润，求出其解即可．【解答】解：（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由题意，得60100600040603800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5030x y =⎧⎨=⎩，答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件； （2）由题意，得：3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100） =3800-1000-360 =2440（元）．答：服装店比按标价售出少收入2440元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．12．若关于x 、y 的方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和393418x y ax by +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求a 、b 的值．【答案】11a b =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：将两方程组中的第一个方程联立，求出x 与y 的值，代入两方程组中的第二个方程中得到关于a 与b 的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值． 试题解析：先解方程组4539x y x y -⎧⎨+⎩＝＝解得：23x y ⎧⎨⎩＝＝将x=2、y=3代入另两个方程， 得方程组：23161218a b a b +-⎧⎨-⎩＝＝ 解得11a b =⎧⎨=-⎩. 13．已知关于,x y 的方程组3=1331x y ax y a++⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，则a 的取值.【答案】a>−1【解析】试题分析：方程组两方程相加，变形后表示出x+y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．试题解析：31331x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②得：4(x+y)=2+2a，即x+y=12a+，代入x+y>0得：12a+>0，解得：a>−1.14．某足球协会举办了一次足球联赛，记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.当比赛进行到12轮结束（每队均需比赛12场）时，甲队得分是19分，请你通过计算分析甲队胜几场、平几场、负几场？【答案】有三种可能性，即4,{7,1.xyz===或5,{4,3.xyz===或6,{1,5.xyz===【解析】试题分析：设甲队胜x场、平y场、负z场，则有12,{319.x y zx y++=+=这是一个不定方程，若把x当成已知数，可以得到193,{27.y xz x=-=-由题意x≥0、平y≥0、负z≥0，即0,{1930,270.xxx≥-≥-≥解得312≤x≤613，于是x取4、5、6，由此可以得到三组解.有三种可能性，即4,{7,1.xyz===或5,{4,3.xyz===或6,{1,5.xyz===考点：三元一次方程组点评：本题难度中等，主要考查学生对三元一次方程组知识点解决实际问题的掌握．15．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示：现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？ 【答案】660元．【分析】设甲种货车每辆运货x 吨，乙种货车每辆运货y 吨，先根据表格建立方程组，求出x 、y 的值，再根据这次租用的甲、乙两种货车的数量和每吨运费列出运算式子，由此即可得． 【解答】设甲种货车每辆运货x 吨，乙种货车每辆运货y 吨， 由题意得：2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得42.5x y =⎧⎨=⎩，则货主应付运费为()344 2.530660⨯+⨯⨯=（元）， 答：货主应付运费660元．【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键．16．是否存在整数k ，使方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩的解中，x 大于1，y 不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．【答案】存在;k 只能取3，4，5【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于k 的式子，然后解出k 的范围，即可知道k 的取值．【解答】解:解方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩得1323k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ∵x 大于1，y 不大于1从而得不等式组113223k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 解之得2＜k≤5 又∵k 为整数 ∴k 只能取3，4，5答：当k 为3，4，5时，方程组2+y=k1x x y ⎧⎨-=⎩的解中，x 大于1，y 不大于1．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x ＞1，y≤1，则解出x ，y 关于k 的式子，最终求出k 的范围，即可知道整数k 的值． 17．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8-1mx ny nx my +=⎧⎨=⎩的解，求2m-n 的算术平方根．【答案】2【分析】把方程组的解代入，得到含m 、n 的方程组，解方程组可得m 、n 的值，再求出2m-n 的算术平方根即可.【解答】∵21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8-1mx ny nx my +=⎧⎨=⎩的解,∴2821m n n m +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩，∴223422m n -⨯-===，即2m-n 的算术平方根为2. 故答案为：2.【点评】此题考查了解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，正确正确二元一次方程组的解法求解二元一次方程组的解是解题的关键.18．温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1 000个四季柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子． (1)若销售a 箱纸盒装和a 袋编织袋装四季柚的收入共950元，求a 的值； (2)当销售总收入为7 280元时：①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋． ②若该经销商留下b (b >0)箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求b 的值．【答案】(1) a＝5；(2)①纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋；②b为9.【分析】（1）根据收入共950元，可得出一元一次方程，解出即可；（2）①纸盒装共包装了x箱，则编织袋装共包装y 袋，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②根据①的关系可以y表示出x，减去留下的b箱纸盒装，再由销售总收入为7280元，可得出方程，解出即可．【解答】(1)由题意得64a＋126a＝950，得a＝5.(2)①设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋．由题意得解得∴纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋．②当8x＋18y＝1 000时，得x＝＝125－，由题意得64＋126y＝7 280，得y＝40－.∵x，y，b都为整数，且x≥0，y≥0，b＞0，∴b＝9，x＝107，y＝8.∴b为9.【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．19．在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：(1)他们共去了几个成人，几个学生？(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？【答案】（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱【分析】（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价=400元，据此设未知数列方程组求解即可；（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案． 【解答】解：(1)设去了x 个成人，y 个学生， 依题意得，1240400.5400x y x y +=⎧⎨+⨯=⎩，解得84x y =⎧⎨=⎩，答：他们一共去了8个成人，4个学生； (2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)， ∵384＜400，∴按团体票购票更省钱．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．20．我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？ 【答案】（1）240人，原计划租用45座客车5辆；（2）租4辆60座客车划算．【分析】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45座客车y 辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．【解答】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45座客车y 辆，根据题意得：()=4515=601x y x y +⎧⎨-⎩ ， 解得：=240=5x y ⎧⎨⎩, 答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆． （2）∵要使每位学生都有座位，∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆． 220×6=1320（元），300×4=1200（元）， ∵1320＞1200，∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．【点评】此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．21．阅读理解：解方程组215432x y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，如果设11,,a b x y ==则原方程组可变形为关于a 、b 的方程组25342a b a b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得到它的解为21a b =⎧⎨=-⎩由112,1,x y ==-求的原方程组的解为121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，利用上述方法解方程组：52113213x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 【答案】1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】仿照例题，设1x＝m ，1y ＝n ，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组，求出m ，n 的值，进而求出方程组的解． 【解答】设1x ＝m ，1y ＝n ，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩①②，①＋②得： 8m ＝24， 解得：m ＝3， 将m ＝3代入①得： n ＝−2，则方程组的解为：32m n =⎧⎨=-⎩，由1x＝3，1y ＝−2，故方程组的解为：1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点评】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m ，n 的方程组是解此题的关键．22．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．()1若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； ()2若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元，200元，250元，在以上的方案中，为使获利最多，商场应选择哪种进货方案？【答案】()1有2种方案．方案一：甲种25台，乙种25台；方案二：甲种35台，丙种15台；()2购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．所以应选择方案二．【分析】（1）可分甲、乙，甲、丙和乙、丙三种方案，分别列式求解，再根据实际意义取舍即可； （2）分别求出方案一和方案二的利润，通过比较两个方案利润的大小即可得解.【解答】（1）①设购进甲x 台，乙()50x -台，()1500x 210050x 90000+-=；∴ x 25=；∴ 购进甲25台，乙25台． ②设购进甲x 台，丙()50x -台()1500x 250050x 90000+-=；∴ x 35=； 购进甲35台，丙15台．③设购进乙x 台，丙()50x -台()2100x 250050x 90000+-=；∴ x 87.5=（舍）所以选择有2种方案．方案一：甲种25台，乙种25台； 方案二：甲种35台，丙种15台；（2）利润应为：方案一：25150252008750⨯+⨯=元， 方案二：35150152509000⨯+⨯=元，∵ 9000元8750>元，∴ 方案二获利多，购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．所以应选择方案二．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．23．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？ （3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？ 【答案】（1）需要甲车8辆，乙车10辆 （2）有三种运送方案： ①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.【分析】（1）设需要甲车x 辆，乙车y 辆，根据运费8200元，总吨数120吨，列出方程组求解即可；（2）设甲车有x 辆，乙车有y 辆，丙车有z 辆，列出方程组，再根据,,x y z 均为正整数，求出,x y 的值，即可求解；（3）根据三种方案求出运费即可求解； 【解答】（1）设需要甲车x 辆，乙车y 辆 由题意可得：581204005008200x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：810x y =⎧⎨=⎩∴ 需要甲车8辆，乙车10辆（2）设甲车有x 辆，乙车有y 辆，丙车有z 辆由题意可得：165810120x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z 可得：5240,x y +=285x y ∴=-由于,x y 是非负整数，且不大于16，得：0,5,10,15y =由z 是非负整数，解得8640,5,10852x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩∴ 有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆； （3）三种方案得运费分别是： ①400860088000⨯+⨯=；②4006500560057900⨯+⨯+⨯=； ③40045001060027800⨯+⨯+⨯=.∴甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键.24．为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度2千米．【解答】设自行车路段和长跑路段的长度分别是x米、y米则500015 500200x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x=3000，y=2000答：自行车路段和长跑路段的长度分别是3000米、2000米25．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．【答案】a＝1，b＝﹣1，c＝1．【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【解答】由题意得，311 a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．26．某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A 、B 两种型号商品各有几件？（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？【答案】（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元【分析】（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可；（2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.【解答】（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得58x y =⎧⎨=⎩，答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件； （2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）； ②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元）， ∵2400>2100>2000，∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元.【点评】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题. 27．阅读以下材料：若x +3y +5z =5，x +4y +7z =7，求x +y +z 的值．解：x +y +z =3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）=3×5﹣2×7=1．答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题： 若2x +5y +4z =6，3x +y ﹣7z =﹣4，求x +y ﹣z 的值． 【答案】x+y-z=0【分析】根据2x +5y +4z =6，3x +y ﹣7z =﹣4，将题目中的式子变形即可求得x +y ﹣z 的值． 【解答】4（2x +5y +4z ）+6（3x +y ﹣7z ） =8x +20y +16z +18x +6y ﹣42z =26x +26y ﹣26z =26（x +y ﹣z ） =4×6+6×（﹣4） =24－24 =0．解得：x +y ﹣z =0．【点评】本题考查了解三元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 28．定义运算“*”，规定2*x y ax by =+，其中a ，b 为常数，且1*25=，2*16=，求2*3的值. 【答案】10【分析】根据题意，找出新定义的化简规律，对等式进行化简即可. 【解答】解：根据题中的新定义化简已知等式，得2546a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则2*34364610c =+=+=.故2*3的值为10.【点评】此题重点考查学生对二元一次方程组的解法的应用，掌握二元一次方程的解法是解题的关键. 29．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A1C、B1A、C1B，因为A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以11∆∆=A BCB CAS S=11∆∆=A BC C ABS S=2S△ABC =2a，由此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S1= （用含字母a的式子表示）.请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值.【答案】（1）19a；（2）315；（3）23.【解析】【分析】（1）首先根据题意，求得S△A1BC=2S△ABC，同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC，依此得到S△A1B1C1=19S △ABC，则可求得面积S1的值；（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积；（3）设S△BPF=m，S△APE=n，依题意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出23APEBPFSS∆∆=，从而求解．【解答】解：（1）连接A1C，∵B1C=2BC，A1B=2AB，∴122BCA ABCS S a==,122BCA ABCS S a==,1112A B C BCAS S=，∴1144A B C ABCS S a==，∴1166A B B ABCS S a==，同理可得出：11116A AC CB CS S a==，∴S1=6a+6a+6a+a=19a；故答案为：19a；（2）过点C作CG BE⊥于点G，设BPFS x∆=，APES y∆=，1·702BPCS BP CG∆==；1·352PCES PE CG∆==，∴1·7022135·2BPCPCEBP CGSS PE CG∆∆===．∴2BPEP=，即2BP EP=．同理，APBAPES BPS PE∆∆=．2APB APES S∆∆∴=．842x y∴+=．①8440APBBPDS AP xS PD∆∆+==，3530APCPCDS AP yS PD∆∆+==，∴84354030x y++=．②由①②，得5670xy=⎧⎨=⎩，315ABCS∆∴=．（3）设BPFS m∆=，APES n∆=，如图所示．依题意，得APF APCS S m∆∆==，BPC BPFS S m∆∆==．PCES m n∆∴=-．BPCAPBAPE PCESS BPS S PE∆∆∆∆==，∴2m mn m n=-．2()m m n mn∴-=，m≠，22m n n∴-=．∴23nm=．∴23APEBPFSS∆∆=．【点评】此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．30．如图，A、B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/(公里•吨)，铁路运价为1元/(公里•吨)，这两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．问：(1)这家食品厂到A地的距离是多少？(2)这家食品厂此次买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，此批食品销售完后工厂共获利多少元？。