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一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac 2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
初中数学一元二次方程知识点总结(含习题)一元二次方程知识点的总结知识结构梳理：1、概念1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0.2、解法1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。
3、应用1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：考点一：一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2.考点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。
选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
ab x a b x -21==，第04讲 一元二次方程章节分类总复习一 一元二次方程及其解法 知识点睛：1. 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 判断一元二次方程的特征：是整式方程③次未知数的最高次数是②只含有一个未知数①.2..2. 一元二次方程的解法：解法 适用范围 步骤直接开方法符合)0(2≠=a b ax 型 的一元二次方程1) 两边分别开方，得：b x a ±=；2) 两边同除以系数a ，得，因式 分解法化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1) 将一元二次方程化成一般是 (2) 将“=”左边的部分因式分解(3) 让各部分因式分别=0(4) 各部分因式分别=0的x 的值即为方程的解配 方 法适用二次项系数为1的一元二次方程1) 将一般形式的常数项移到“=”右边2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到b ax =2式的一元二次方程 3) 利用直接开方法求解方程(1) 将方程写成一般式【易错警示】➢ 判断方程是不是一元二次方程需要化简后再根据特征判断；➢ 一元二次方程的解，要么无解，有解必有2个，所以最后的方程的解一定要写明x1、x2；➢ 一元二次方程公式法也称万能公式，但是利用万能公式时一定要先写清楚其a 、b 、c 以及b 2-4ac 的值，之后再带入计算；1．（2021秋•西城区校级期中）若方程（m ﹣1）x |m |+1﹣2x ＝3是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ B ） A ．1B ．﹣1C ．±1D ．不存在【分析】根据“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”可得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|m |+1＝2，且m ﹣1≠0， 解得：m ＝﹣1， 故选：B ．2．（2021春•宁乡市期末）把方程2x （x ﹣1）＝3x 化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ B ） A ．2，5，0B ．2，﹣5，0C ．2，5，1D ．2，3，0【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可． 【解答】解：方程2x （x ﹣1）＝3x ， 整理得：2x 2﹣5x ＝0，则二次项系数为2，一次项系数为﹣5，常数项为0． 公 式 法适用所有一元二次方程2=++c bx ax ；(2) 分别写出a 、b 、c 的表达式，带入求出根的判别式ac b 42-的值；(3) 将数据带入公式）（042422≥--±-=ac b aac b b x ，得到方程的两个解21x 、x故选：B．3．（2021春•亳州期末）把方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（A）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2+5x﹣2＝0C．x2﹣x﹣1＝0D．x2﹣2x﹣1＝0【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），可得出答案．【解答】解：将一元二次方程x2+2（x﹣1）＝3x化成一般形式有：x2﹣x﹣2＝0，故选：A．4．（2021秋•温岭市期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（A）A．﹣16B．﹣13C．﹣10D．﹣8【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，故选：A．5．用配方法解一元二次方程x2﹣9x+19＝0，配方后的方程为（A）A．（x﹣）2＝B．（x+）2＝C．（x﹣9）2＝62D．（x+9）2＝62【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【解答】解：∵x2﹣9x+19＝0，∴x2﹣9x＝﹣19，∴x2﹣9x+＝﹣19+，即（x﹣）2＝，故选：A．6．解方程：（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；（2）x2﹣x﹣＝0；（3）（x﹣5）2＝16；（4）2y2+4y＝y+2；（5）x2﹣2x﹣4＝0；（6）x2+5x+4＝0．【分析】（1）先移项，变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）利用公式法求解即可．（3）开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）分解因式后即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（5）配方后开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（6）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝9；（2）∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣，∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0，则x＝＝，∴x1＝，x2＝．（3）（x﹣5）2＝16，开方得：x﹣5＝±4，∴x1＝9，x2＝1；（4）2y2+4y＝y+2，2y2+3y﹣2＝0，（2y﹣1）（y+2）＝0，∴2y﹣1＝0或y+2＝0，∴y1＝，y2＝﹣2；（5）x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝1+4，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（6）x2+5x+4＝0，（x+4）（x+1）＝0，∴x+4＝0或x+1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣1．7．（2021秋•昭阳区期中）阅读例题，解答问题：例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0，解：原方程化为|x|2﹣|x|﹣2＝0．令y＝|x|，∴y2﹣y﹣2＝0解得：y1＝2，y2＝﹣1当|x|＝2，x＝±2；当|x|＝﹣1时（不合题意，舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2，仿照上例解方程（x+1）2﹣5|x+1|﹣6＝0．【分析】原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，得y2﹣5y﹣6＝0，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：原方程化为|x+1|2﹣5|x+1|﹣6＝0，令y＝|x+1|，∴y2﹣5y﹣6＝0，解得y1＝6，y2＝﹣1，当|x+1|＝6，x+1＝±6，x＝5或x＝﹣7，当|x+1|＝﹣1时（不合题意，舍去），∴原方程的解是x 1＝5，x 2＝﹣7．二 根的判别式 知识点睛：对于一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ， (1) 042＞ac b - 方程有两个不相等的实数根 (2) 042=-ac b 方程有两个相等的实数根 (3) 042＜ac b - 方程没有实数根 ➢ 在应用跟的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； ➢ 当042≥-ac b 时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知类题训练1．（2021秋•永春县期中）不解方程，判别方程x 2﹣3x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等实根 B ．有两个相等实根 C ．没有实根 D ．无法确定 【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ＝b 2﹣4ac ，可得出Δ＞1，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：a ＝1，b ＝﹣3，c ＝2， ∵Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0， ∴方程x 2﹣3x +2＝0有两个不相等的实数根． 故选：A ．2．（2021•雨花区一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠0B ．m ≤C ．m ＜D ．m ＞【分析】由方程有实数根即Δ＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得． 【解答】解：根据题意得，Δ＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：m ≤， 故选：B ．3．（2021•河池）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）＝m2+4m+8＝（m+2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2n＝0无实数根，则一次函数y＝（2﹣n）x+n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于n的一元一次不等式，解不等式即可得出n的取值范围，再根据n的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（2n）＝16﹣8n＜0，解得：n＞2，∵一次函数y＝（2﹣n）x+n中，k＝2﹣n＜0，b＝n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．5．（2021秋•寿光市期中）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为．【分析】讨论：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得到m的值；当a＝b时，利用判别式的意义得到Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17．【解答】解：当a＝3或b＝3时，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当a＝b时，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：16、17．6．（2020秋•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可证得结论；（2）由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为5，①当b＝c时，根据根的判别式Δ＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x＝5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．【解答】（1）证明：Δ＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）∵△ABC为等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为5．①当b＝c时，Δ＝（m﹣5）2＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣8x+16＝0，解得：b＝c＝4，∵b+c＝4+4＝8＞5，∴4、4、5能构成三角形．该三角形的周长为4+4+5＝13．②当b或c中的一个为5时，将x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，解得：m＝6，∴原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．∵4、5、5能组成三角形，∴该三角形的周长为4+5+5＝14．综上所述，该三角形的周长是13或14．7．（2020•亳州模拟）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．【分析】（1）根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0列出关于m的不等式，根据这两个不等式解答m的取值范围；（2）由（1）中m的取值范围求出整数m的值，然后将其代入关于x的方程（m2﹣m）x2﹣2mx+1＝0，得到关于一元二次方程的解析式，然后把m代入该方程，求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m＝1，将m＝1代入原方程，得x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．8．（2020秋•沁阳市月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+3时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由方程的系数结合根的判别式、b＝a+3，可得出Δ＝（a+1）2+8＞0，进而可找出方程ax2+bx+1＝0有两个不相等实数根；（2）由根的判别式Δ＝b2﹣4a＝0，可得出：若b＝2，a＝1，则原方程为x2+2x+1＝0，解之即可得出结论．【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a，∵b＝a+3，∴Δ＝（a+3）2﹣4a＝a2+6a+9﹣4a＝（a +1）2+8＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴b 2﹣4a ＝0，即b 2＝4a ， 取a ＝1，b ＝2， 则方程为x 2+2x +1＝0， ∴x 1＝x 2＝﹣1．9．（2021秋•台州期中）关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为5，求m 的值及方程的另一个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）代入x ＝5可求出m 的值，再解方程，即可求出方程的另一个根． 【解答】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴b 2﹣4ac ≥0， ∴1﹣4m ≥0， ∴m ≤；（2）把x ＝5代入方程x 2﹣x +m ＝0得25﹣5+m ＝0， ∴m ＝﹣20，解x 2﹣x ﹣20＝0得x 1＝5，x 2＝﹣4， 所以m ＝﹣20，另一个根为﹣4．三 根与系数的关系（韦达定理）知识点睛：1.若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为21x x 、，则有abx x -21=+，ac x x =•21 2.两根关系的常见变形：2122122212-1x x x x x x ）（）（+=+212212214--2x x x x x x ）（））（（+=212122112212-3x x x x x x x x x x ）（）（+=+212121114x x x x x x +=+）（ 类题训练1．（2021秋•义马市期中）已知m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，则m 2+mn +n 2的值为（ ）A ．﹣1B ．9C ．27D ．23【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出m +n 与mn 的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．【解答】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2＝0的两个不相等的实数根，∴m +n ＝5，mn ＝﹣2，则原式＝（m +n ）2﹣mn ＝52﹣（﹣2）＝25+2＝27．故选：C ．2．（2021•遵义一模）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，则x 12+x 22的值是（ ）A ．﹣7B ．7C ．2D ．﹣2【分析】先利用根与系数的关系得到x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，再利用完全平方公式得到x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝1，所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×1＝7．故选：B ．3．（2018•眉山）若α，β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，则+的值是（ ） A ． B ．﹣ C ．﹣ D ．【分析】根据根与系数的关系可得出α+β＝﹣、αβ＝﹣3，将其代入+＝中即可求出结论． 【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x 2+2x ﹣9＝0的两根，∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3， ∴+＝＝＝＝﹣．故选：C．4．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而可确定m的值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1•x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，∴2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2＝0，解得：m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1．∴m＝1．故选：D．5．（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝2【分析】由根的判别式Δ＝4＞0，可得出x1≠x2，选项A不符合题意；将x1代入一元二次方程x2﹣2x＝0中可得出x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝2，x1•x2＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．6．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（）A．﹣1B．1或﹣1C．1D．2【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，由题意可知：m2＝1，∴m＝±1，当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0，当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，故选：C．7.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，则x12+x22＝．【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2×1＝23．故答案为：23．8．（2021秋•越秀区校级期中）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，求：（1）+的值；（2）m2﹣mn+n2的值．【分析】（1）根据m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，由根与系数的关系得出m+n和mn的值，再把要求的式子进行变形，再把m+n和mn的值代入即可；（2）先把m2﹣mn+n2变形为（m+n）2﹣3mn，再根据（1）得出的m+n和mn的值，代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣，∴+＝＝＝﹣；（2）m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝（）2﹣3×（﹣）＝+＝10．9．（2021秋•惠安县校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1＝2x2，求k的值．【分析】（1）根据题意可得Δ≥0，从而可以求得k的取值范围；（2）根据根与系数的关系和x1＝2x2，可以求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4k≥0，解得k≤，即k的取值范围是k≤；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝9，x1x2＝k，∵x1＝2x2，∴3x2＝9，∴x2＝3，∴x1＝6，∴k＝18．四一元二次方程的实际应用类题训练：1．如图，在南河公园有一个矩形的花坛，长10米，宽7米（阴影部分）．在花坛的周围是等宽度的石子路，路的面积为84平方米．则石子路的宽度为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【分析】设石子路的宽度为x米，将四周的路面计算在内，则新矩形的长和宽分别为（10+2x）米和（7+2x）米，可知新矩形的面积减去花坛的面积等于路的面积，列方程求出x的值即可．【解答】解：设石子路的宽度为x米，根据题意得（10+2x）（7+2x）﹣10×7＝84，整理得2x2+17x﹣42＝0，解得x1＝2，x2＝﹣10.5（不符合题意，舍去），∴石子路的宽度为2米，故选：C．2．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升．某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只，如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口翠月平均增长的百分率为x，则可根据题意列出的方程是（）A．200000（1+x）2＝728000B．200000（1+x）3＝728000C．200000（1+x）+200000（1+x）2＝72800D．200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000【分析】设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据第二季度完成728000个零件的生产任务，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设该工厂生产这种零件平均每月的增长率为x，根据题意得：200000+200000（1+x）+200000（1+x）2＝728000．故选：D．3．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确是（）A．x+x（1+x）＝81B．1+x+x2＝81C．1+x+x（1+x）＝81D．x（1+x）＝81【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后有81人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝81．故选：C．4．有一人患了新型冠状病毒肺炎，经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有100人患了新型冠状病毒肺炎，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x（1+x）人，依题意得：1+x+x（1+x）＝100，整理得：x2+2x﹣99＝0，解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．5．如图是一个长20cm，宽15cm的矩形图案，其中有两条宽度相等，互相垂直的彩条，彩条所占面积是图案面积的，设彩条的宽度为xcm，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．【分析】设彩条的宽度为xcm，表示出两条彩条的面积，根据彩条所占面积是图案面积的四分之一列出方程即可．【解答】解：设彩条的宽度为xcm，根据题意列方程得，，故选：B．6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．7．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．8．工人师傅给一幅长为120cm，宽为40cm的矩形书法作品装裱，作品的四周需要留白如图所示，已知左、右留白部分的宽度一样，上、下留白部分的宽度也一样，而且左侧留白部分的宽度是上面留白部分的宽度的2倍，使得装裱后整个挂图的面积为7000cm2，设上面留白部分的宽度为xcm，可列得方程为．【分析】根据题意表示出装裱后的长与宽，进而得出等式求出答案．【解答】解：设上面留白部分的宽度为xcm，则左右空白部分为2x，可列得方程为：（120+4x）（40+2x）＝7000．故答案为：（120+4x）（40+2x）＝7000．9．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．【分析】根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可．【解答】解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答：剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝8cm，动点P，Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/S的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P、Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP＝3xcm，DQ＝（16﹣2x）cm，根据题意得：（16﹣2x﹣3x）2+82＝102，解得：x1＝2，x2＝．答：当P、Q两点从出发开始到2秒或秒时，点P和点Q的距离是10cm．故答案为：2或．11．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2），当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）．（2）∵S△ABC＝，∴当t＜10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，当t＞10秒时，S△PCQ＝，整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，易证△APE≌△QCM，∴AE＝PE＝CM＝QM＝t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM＝AC＝10∴DE＝5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE＝5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．12．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，∴x＝10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．13．甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费﹣月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润﹣月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；（2）求租出汽车多少辆时，两公司月利润差恰为18400元？【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，由（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据题意列出方程，并解答．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．故答案是：48000；37；（2）设每个公司租出的汽车为x辆，两公司的月利润分别为y甲，y乙，则y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850．当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，y甲﹣y乙＝18400，即[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850＝18400，整理，得x2﹣36x+331＝0此方程无解．故此情况不存在；当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，y乙﹣y甲＝18400，即3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850＝18400，整理，得（x﹣45）（x+9）＝0，解得x1＝45，x2＝﹣9（舍去）所以当每个公司租出的汽车为45辆时，两公司月利润差恰为18400元．。
期末复习——一元二次方程1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数；含未知数的最高次是2；整式方程；是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。
（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）；才能确定a 、b 、c 的值。
2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。
ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法：()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。
1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥() （3）公式法：用配方法推导求根公式；由此产生了第三种解法公式法；它是解一元二次方程的主要方法；是解一元二次方程的通法。
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。
a b c b ac b ac x b b aca∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解；而右边是零的方程。
我们在解一元二次方程时；要注意根据方程的特点；选择适当的解法；使解题过程简捷些。
一般先考虑直接开平方法；再考虑因式分解法；最后考虑公式法。
对于二次项系数含有字母系数的方程；要注意分类讨论。
3. 一元二次方程根的判别式()来判断。
即根的情况可以用判别式一元二次方程∆-≠=++ac b a c bx ax 400 22当时，方程有两个不相等的实数根。
b ac 240-> 当时，方程有两个相等的实数根。
b ac 240-=当时，方程没有实数根。
b ac 240-<根的判别式△＝b 2－4ac 的意义；在于不解方程可以判别根的情况；还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
一元二次方程专题复习 知识盘点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。
2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。
如果n ＜0，则原方程 。
（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。
4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。
《一元二次方程》（概念、解法与判别式）知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根的判别式.考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)1．以下方程中①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③2．关于x 的方程(a 2-a -2)x 2+ax +b =0是一元二次方程的条件是（ ）A ．a ≠-2且a =1B ．a ≠2C ．a ≠2且a ≠-1D ．a =-1考点二、一元二次方程的根1．已知关于x 的一元二次方程（k +4）x 2+3x +k 2+3k -4=0的一个根为0，求k 的值．2．已知t 是方程x 2－x －1=0的一个解，则－t 3＋2t 2＋2 002的值为（ ）．A ．2 001B ．2 002C ．2 003D ．2 0043．设t 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实数根，则24N b a c =-与2(2)M at b =+的大小关系是（ ）． A ．N M < B ．N M = C ．N M > D ．不能确定考点三、一元二次方程的解法直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)配方法公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=01．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （4）0)31(2=-m（5）20.010y -= （6）210.503x -= （7）2(31)90x +-= （8）85)13(22=+x2．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --= （2）0152=++y y（5）22300x -= （6）211063x x +-=3．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --= （2）2227x x +=（3）23412y y =- （4）3(32)1x x -=-4．用因式分解法解下列各方程：（1）09412=-x （2）230x =（3）02172=-x x （4）04542=-+y y（7）2(1)2(1)3x x +-+= （8）224(3)25(2)x x +=-5．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+-（3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （4）3)13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x6．解关于x 的方程（含有字母系数的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x(3)n m nx x n m -=++2)(2（0≠+n m ）(4)x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+-考点四、一元二次方程根的判别式知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，注意分类讨论；2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；4．解决一元二次方程的整数根问题.5．进行有关的证明,1．不解方程，判别方程根的情况：（1）4x x x 732=+-（2）x x 4)2(32=+（3）x x 54542=+2．已知关于x 的二次方程0962=+-x kx ，那么：（1）当k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）当k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）当k 满足 时,方程无实数根.3．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是 ．4．如果关于x 的方程02=++k x x 没有实数根，则k 的取值范围为 ．5．已知关于x 的方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k ．6．已知关于x 的方程2(2)230m x mx m -+++=有两个实根，则m 的取值范围是 ．7．若关于x 的方程2430k x x -+=有实根，则k 的非负整数值是 .8．已知0k >，且方程23121kx x k ++=-有两个相等实根，那么k 的值等于（ ）．A ．B ．±C ．3或4-D ．39．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．10．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根.11．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有两个不相等的实数根.12．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ． （1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．13. 若关于x 的二次方程)1(2)1(22x c bx x a -=++有两个相等实根，则以正数a 、b 、c 为边长的三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形14．已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．15．当k 是什么整数时, 方程(k 2–1)x 2–6(3k –1)x +72=0有两个不相等的正整数根.16．已知正整数k ，且关于x 的方程230x x k ++=有整数解，解这个方程．17．设m 为整数，且404<<m 时，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个相异整数根，求m 的值及方程的根.知识点五：根与系数的关系关系: x 1+x 2=-b/a x 1 x 2=c/a已知方程的一个根,求另一个根及字母的值,求与方程的根有关的代数式的值,求作一元二次方程,已知两数的和与积,求此两数判断方程两根的特殊关系,知识点六：实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,。
《一元二次方程》全章复习1． 一元二次方程的有关概念2． 配方法的应用3． 根判别式，根与系数的关系4． 一元二次方程的解法：1）直接开平方法 2)因式分解法 3）配方法 4）公式法5． 实际问题：1）传播与数字问题 2）增长率与销售问题 3）有关面积的问题【巩固练习】1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A.211x x x-=+ B.224x xy y -+= C.20ax bx c +=+ D.(x 1)1x x -=- 2.在一元二次方程2410x x --=中，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A.1，4B.1，-4C.-1，-4D.2,4x x -3.在一元二次方程260x kx --=中，已知一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-24.关于x 的一元二次方程22(a 1)10x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.1或-1D.12 5.若关于x 的一元二次方程220x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A.m <1B.m > -1C.m < -1D.m > 16. 若关于x 的方程2(m 1)02x m mx +-+=有两个不等的实数根，则m 的取值范围是7. 已知2410x x a +=-可变为2(2)x b -的形式，则ab=8. 若关于x 的方程2(2)10x x m m +++=-有两个相等的实数根，则m=9.已知一个矩形长比宽多2cm ，其面积为82cm ，则此长方形的周长是10. 若方程2310x x b +=+无解，则b 应满足的条件是11. 若关于x 的方程22(21)20k x x k -+-+=+有实数根，则k 的取值范围是 12. 若分式2817x x x -+-的值为0，则x= 13. 关于x 的方程22202x x a b a +-=+的根是14. 若关于x 的方程260x x k +=+的两根之差为2，则k=15. 已知关于x 的方程22(31)0x x m m --+=有两根为12,x x ，且121134x x +=-，则m= 16.用恰当的方法解下列方程： （1）21(3)13x += （2）2(21)2(2x 1)x +=+（3）(x 8)16x += （4）2280x x +-=（5）22(32)(2x 1)x +=- （5）2(21)4(21)40y y +-++=17.已知,αβ是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值18.已知12,x x 是方程2214160x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值，（1）212()x x - （2）2112x x x x + （3）12(2)(2)x x -- （4）12x x -19.已知关于x 的方程222(a 1)740x x a a +-+--=的两根为12,x x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值20.实数k 在什么范围取值时，方程22(k 1)0kx kx -+-=有两个正的实数根21.若关于x 的方程2430x x k -+-=的两根为12,x x ，且满足123x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值23.若n > 0，关于x 的方程21(m 2n)04x x mn --+=有两个相等的正的实数根，求m n24.如果2246130x x y y -++=，求(xy)z25.水果店花500元进了一批水果，按40%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利67元．若两次打折相同，每次打了几折？26.如图，在△ABC中，AB=10m，BC= 40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2?25.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为_________ 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）。
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0 或 b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。
专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
