第十章 第2讲学案

第一章 行星地球第2讲 太阳对地球的影响编写人：宋从奇 审核：高三地理组 2014.8方向标1．了解太阳辐射的概念、特点及其对地球的影响。

2．了解太阳活动的主要类型、分布及其对地理环境和人们生产、生活的影响。

路线图【自主学习】(一)太阳辐射为地球提供能量1．太阳能量来源：太阳内部的○24________反应。

2．对地球的影响(1)能量来源⎩⎨⎧直接提供○25 资源为人类生活生产提供○26(2)动力来源：促进地球上○27________________的主要动力。

(二)太阳活动影响地球1．太阳大气层及太阳活动(见上图) 2．主要影响(1)扰动地球上空的________，影响无线电短波通信。

(2)扰乱地球磁场，产生“______”现象。

(3)高能带电粒子流冲进两极地区的高空大气，产生“______”现象。

(4)许多自然灾害的发生也与太阳活动有关，如______、水旱灾害等。

【合作探究】探究点一 太阳辐射的分布及影响因素读图，回答下列问题。

(1)1月份太阳辐射量最大值出现在什么纬度？ 试分析其原因。

(2)南北半球相应纬度上太阳辐射随月份的 变化规律有什么特点？(3)分析为什么青藏高原是我国太阳辐射最多的地区，而同纬度的四川盆地是我国太阳辐射最少？【展示点拨】◆学生展示：◆归纳梳理：1．影响太阳辐射分布的因素(1)全球的太阳辐射分布全球年太阳辐射总量大体从低纬向高纬递减，南、北半球纬度值相同的地区太阳辐射量随月份变化的规律相反，且不同季节表现出的结果并不相同。

(2)我国年太阳辐射总量的空间分布①总体特征我国年太阳辐射总量的分布，从总体上看，是从东部沿海向西部内陆逐渐增强。

高值中心在青藏高原，低值中心在四川盆地。

②特例分析青藏高原成为太阳辐射高值中心的原因：纬度较低，太阳高度大；海拔高，空气稀薄，大气对太阳辐射削弱作用小；晴天多，日照时间长；大气中尘埃含量少，透明度高，到达地面的太阳辐射能量多。

四川盆地成为低值中心的原因：盆地地形，水汽不易散发，空气中含水汽多，阴天、雾天较多，对太阳辐射削弱作用强。

2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．圆(数方程．根据圆的特点，结合参数方程概念求解． 如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M ， ∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数)(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(φ为参数)(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.若 (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)．∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．解：原点到曲线C 的距离为：x －2＋y －2＝＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2＝17＋3sin θ－2cos θ＝17＋413⎝⎛⎭⎪⎫313sin θ－213cos θ＝ 17＋413θ＋φ≥17－413＝13－2＝13－2.∴原点到曲线C 的最短距离为13－2.4．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是． 法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是．课时跟踪检测(八)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0) 解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ， 故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入，得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为36.二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l 的直角坐标方程为x ＝1. 由圆C 的参数方程可得x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋y －2＝1得直线l 与圆C 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 对应的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．P 是以原点为圆心，半径r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， ∵Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θθ＋sin θ＝cos 2θ＋cos θsin θ，y 1＝sin θθ＋sin θ＝sin θcos θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝1＋sin 2θ，x 1y 1＝12sin 2θ＋12sin 22θ.将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程， 整理，得⎝⎛⎭⎪⎫x 1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－122＝12.∴所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，以22为半径的圆．10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。

二 圆锥曲线的参数方程1．理解椭圆的参数方程及其应用．(重点) 2．了解双曲线、抛物线的参数方程．3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 椭圆的参数方程阅读教材P 27～P 29“思考”及以上部分，完成下列问题．普通方程参数方程x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φy ＝a sin φ(φ为参数)椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.45 B.35 C.34D.15【解析】 由椭圆方程知a ＝5，b ＝4，∴c 2＝9，c ＝3，e ＝35.【答案】 B教材整理2 双曲线的参数方程 阅读教材P 29～P 32，完成下列问题.普通方程参数方程x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φy ＝b tan φ(φ为参数)下列双曲线中，与双曲线⎩⎨⎧x ＝3sec θ，y ＝tan θ(θ为参数)的离心率和渐近线都相同的是( )A.y 23－x 29＝1B.y 23－x 29＝－1 C.y 23－x 2＝1 D.y 23－x 2＝－1 【解析】 由x ＝3sec θ得， x 2＝3cos 2θ＝3sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝3tan 2θ＋3， 又∵y ＝tan θ，∴x 2＝3y 2＋3，即x 23－y 2＝1.经验证可知，选项B 合适． 【答案】 B教材整理3 抛物线的参数方程阅读教材P 33～P 34“习题”以上部分，完成下列问题． 1．抛物线y2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．2．参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝________.【解析】 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1， |PF |等于点P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 【答案】 4[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x5，sin θ＝y3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a ，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．[再练一题]1．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝5sin θ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4).双曲线参数方程的应用求证：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2， 则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用．[再练一题]2．如图2­2­1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2­2­1【证明】 设P (sec φ，tan φ)， ∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.【导学号：91060021】【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x y ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)． 当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．[再练一题]3．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2[构建·体系]圆锥曲线的参数方程—⎪⎪⎪—椭圆的参数方程—双曲线的参数方程—抛物线的参数方程1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x 24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y 24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )【导学号：91060022】A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax， 代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0) 4．在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1. 又a >0，∴a ＝32.【答案】 325．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，求它们的交点坐标．【解】 将⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程得：x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入得：516t 4＋t 2－1＝0，解得t 2＝45，∴t ＝255(y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54×45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(七) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A 2．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1 B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3) D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤3，∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B5．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t－2－ty ＝2t ＋2－t(t 为参数)表示的曲线是( )【导学号：91060023】A ．双曲线B ．双曲线的上支C ．双曲线的下支D ．圆【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：x 2－y 2＝(2t －2－t )2－(2t ＋2－t )2＝－4，即y 2－x 2＝4.又注意到2t＞0,2t＋2－t≥22t ·2－t＝2，得y ≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为：y 2－x 2＝4(y ≥2)．显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支． 【答案】 B 二、填空题6．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23) 直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 37．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝08．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1) 三、解答题9．如图2­2­2所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2­2­2【解】 抛物线标准方程为x2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2t 2，得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t2(t 为参数)，消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．10．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，① x 24＋y 2＝1，②①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝85.设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.[能力提升]1．P 为双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4sec θ，y ＝3tan θ(θ为参数)上任意一点，F 1，F 2为其两个焦点，则△F 1PF 2重心的轨迹方程是( )A ．9x 2－16y 2＝16(y ≠0) B ．9x 2＋16y 2＝16(y ≠0) C ．9x 2－16y 2＝1(y ≠0) D ．9x 2＋16y 2＝1(y ≠0)【解析】 由题意知a ＝4，b ＝3，可得c ＝5， 故F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设P (4sec θ，3tan θ)，重心M (x ，y )，则x ＝－5＋5＋4sec θ3＝43sec θ，y ＝0＋0＋3tan θ3＝tan θ.从而有9x 2－16y 2＝16(y ≠0)． 【答案】 A2．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)【解析】 将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1化为普通方程得(y ＋1)2＝－(x －1)(0≤x ≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m <1.【答案】 D3．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b 的取值范围是________．【解析】 将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b 得： 4sin θ＝2cos θ＋b .∵恒有公共点，∴以上方程有解．令f (θ)＝4sin θ－2cos θ＝25sin(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝12，∴－25≤f (θ)≤25， ∴－25≤b ≤2 5. 【答案】 [－25，25]4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。

第2课时 参数方程和普通方程的互化1．了解参数方程化为普通方程的意义．2．理解参数方程与普通方程的互相转化与应用．(难点) 3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(重点)[基础·初探]教材整理 参数方程和普通方程的互化 阅读教材P 24～P 26，完成下列问题．1．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】 消去sin 2θ，得x ＝2＋y ， 又0≤sin 2θ≤1，∴2≤x ≤3. 【答案】 C2．圆x 2＋(y ＋1)2＝2的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)B.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)D.⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝－1＋2sin θ(θ为参数)【解析】 由x ＝2cos θ，y ＋1＝2sin θ知参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]普通方程化为参数方程曲线的普通方程为x －123＋y ＋225＝1，写出它的参数方程．【思路探究】 联想sin 2θ＋cos 2θ＝1可得参数方程． 【自主解答】 设x －13＝cos θ，y ＋25＝sin θ，则⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)，即为所求的参数方程．1．将圆的普通方程化为参数方程： (1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．2．普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性．若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致．[再练一题]1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 【解析】 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t2y ＝4t21＋t2(t 为参数)利用参数思想解题已知x (1)3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值.【导学号：91060018】【思路探究】 设圆的参数方程，将问题转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决．【自主解答】 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ∈[0,2π))．(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)，其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4,3)．∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1. (2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－34，且φ的终边过点(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.1．参数思想是解决数学问题的重要思想，在参数方程中，参数(参变量)起着媒介作用，它是联系曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的桥梁．通过参数θ，间接建立曲线上任意一点的坐标间的联系，拓宽了解题思路，简化了思维过程．它是研究解析几何问题的重要工具．2．运用参数思想解题的关键在于参数的选择．选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系．由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数．3．(1)解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题．(2)注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)．其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b )．[再练一题]2．若本例条件不变，如何求y ＋2x ＋1的取值范围？ 【解】 由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ∈[0,2π))，∴k ＝y ＋2x ＋1＝3＋sin θ1＋cos θ， ∴sin θ－k cos θ＝k －3，即1＋k 2sin(θ＋φ)＝k －3(φ由tan φ＝－k 确定)， ∴sin(θ＋φ)＝k －31＋k2. 依题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －31＋k 2≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k －31＋k 22≤1，解得k ≥43， 即y ＋2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. [探究共研型]参数方程化为普通方程探究1 【提示】 参数方程直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，就容易判断了．探究2 将参数方程化为普通方程时，常用的方法有哪些？【提示】 (1)代入法．先由一个方程中求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．教科书例3(1)用的就是代入法．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．教科书例3(2)就用此法．例如对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t cos θ，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t sin θ.如果t 是常数，θ是参数，那么可以利用公式sin 2θ＋cos 2θ＝1；如果θ是常数，t 是参数，那么适当变形后可以利用(m ＋n )2－(m －n )2＝4mn .在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？【思路探究】 (1)运用加减消元法，消t ；(2)当t ＝0时，方程表示一个点，当t 为非零常数时，利用平方关系消参数θ，化成普通方程，进而判定曲线形状．【自主解答】 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0.∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线．(2)(ⅰ)当t为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x－at＝cos θ，③y－bt＝sin θ. ④③2＋④2得x－a2t2＋y－b2t2＝1，即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．1．消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(e x＋e－x)2－(e x－e－x)2＝4，⎝⎛⎭⎪⎫1－k21＋k22＋⎝⎛⎭⎪⎫2k1＋k22＝1等．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．[再练一题]3．将下列参数方程分别化为普通方程，并判断方程所表示曲线的形状：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x＝2cos θy＝2sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin4θ＋cos4θy＝1－2sin2θcos2θ(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x＝a2⎝ ⎛⎭⎪⎫t＋1ty＝b2⎝⎛⎭⎪⎫t－1t(a，b为大于零的常数，t为参数)．【解】(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x＝2cos θy＝2sin θ两式平方相加，得x2＋y2＝4.∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2.即方程的曲线表示圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 4θ＋cos 4θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2sin 2θcos 2θ，y ＝1－2sin 2θcos 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12sin 22θ，y ＝1－12sin 22θ，∴x －y ＝0. ∵0≤sin 22θ≤1， ∴12≤1－12sin 22θ≤1. 即方程x －y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1表示一条线段．(3)∵x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，∴t >0时，x ∈[a ，＋∞)，t <0时，x ∈(－∞，－a ]．由x ＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，两边平方可得x 2＝a 24⎝⎛⎭⎪⎫t 2＋2＋1t 2，①由y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 两边平方可得y 2＝b 24⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－2＋1t2， ②①×1a 2－②×1b 2并化简，得x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b 为大于0的常数)，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．[构建·体系]参数方程与普通方程的互化—⎪⎪⎪—参数方程化为普通方程—普通方程化为参数方程—参数方程中的最值、范围问题1．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x＝t12y＝t－12B.⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin ty＝1sin tC.⎩⎪⎨⎪⎧x＝cos t，y＝1cos tD.⎩⎪⎨⎪⎧x＝tan t，y＝1tan t【答案】 D2．下列在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x＝sin 2θy＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝⎛⎭⎪⎫－34，12C．(2，3) D．(1，3)【解析】化为普通方程：y2＝1＋x(－1≤x≤1)，当x＝－34时，y＝±12.【答案】 B3．与参数方程⎩⎨⎧x＝ty＝21－t(t为参数)等价的普通方程为( ) A．x2＋y24＝1B．x2＋y24＝1(0≤x≤1)C．x2＋y24＝1(0≤y≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)【解析】 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而由⎩⎪⎨⎪⎧t ≥01－t ≥0得0≤t ≤1，从而0≤x ≤1,0≤y ≤2. 【答案】 D4．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θy ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相外切，则实数a ＝________.【导学号：91060019】【解析】 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2,2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32⇒a ＝± 2.【答案】 ± 25．化下列参数方程为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 1＋ty ＝2t1＋t(t ∈R 且t ≠－1)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ＋1tan θy ＝1cos θ＋1sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ≠k π，k π＋π2，k ∈Z .【解】 (1)变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋21＋t，y ＝2－21＋t，∴x ≠－1，y ≠2，∴x ＋y ＝1(x ≠－1)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1sin θcos θ， ①y ＝sin θ＋cos θsin θ·cos θ， ②②式平方结合①得y 2＝x 2＋2x ，由x ＝tan θ＋1tan θ知|x |≥2，所以方程为(x ＋1)2－y 2＝1(|x |≥2)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝1【解析】 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆弧D ．射线【解析】 消去t ，得x －3y －5＝0. ∵0≤t ≤5， ∴－1≤y ≤24.【答案】 A3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2y ＝2t 2＋1B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝4t ＋1C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1【解析】 由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．【答案】 C4．若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 由于圆x2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B.【答案】 B5．能化为普通方程x 2＋y －1＝0的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φy ＝1－tan 2φC.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin 2θ【解析】 对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0,1])；对B ，可化为x 2＋y －1＝0；对C ，可化为x 2＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2＝4x 2－4x 4(x ∈[－1,1])．【答案】 B 二、填空题6．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是________.【导学号：91060020】【解析】 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋5cos αy ＝2＋5sin α(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以5为半径的圆，则曲线C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，化为一般方程即x 2＋y 2－2x －4y ＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ得ρ＝2cos θ＋4sin θ.【答案】 ρ＝2cos θ＋4sin θ7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝4－42＋8＋82＝16.【答案】 168．点(x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx的取值范围是________．【解析】 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y 2＝1.设yx＝k ，∴y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，k 取得最小值与最大值， ∴|－2k |k 2＋1＝1，k 2＝13，∴y x的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程．【解】 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6)． 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2，∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)．故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6)． 10．已知P (x ，y )是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点． (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 【解】 方程x 2＋y 2－2y ＝0变形为x 2＋(y －1)2＝1，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(1)2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1其中φ由tan φ＝2确定， ∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是2－1， ∴当且仅当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．[能力提升]1．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2【解析】 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρcos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|32－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.【答案】 D2．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)3．若点(x ，y )在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)上，则x 2＋y 2的最小值是________．【解析】 法一：由题意可知，x 2＋y 2＝(3＋2cos θ)2＋(－4＋2sin θ)2＝29＋12cos θ－16sin θ＝29＋20cos(θ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝－34，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.法二：将原式转化为普通方程(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，它表示圆．令t ＝x 2＋y 2，则t 可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，t min ＝(0－32＋0＋42－2)2＝9，所以x 2＋y 2的最小值为9.【答案】 94．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．。

班级： 学生姓名： 《第10课 思想的活跃与百家争鸣》自学探究学案 编辑： 审核：苇元沟中学初一历史小组答案写在背面，标清题号第10课 思想的活跃与百家争鸣【认定目标】1、 学习目标：了解孔子在思想和教育方面的主要成就；了解诸子百家的代表人物及主要思想；分析百家争鸣的时代背景。

2、 学习重点：了解孔子和诸子百家的主要思想成就。

3、 学习难点：帮助学生分清各派政治主张。

【自主学习】（相信自己就一定行！）简介：，名_____，字_____，是_____末年鲁国人，地位：我国伟大的_______家，_______ 家，______家学派的创始人。

思想成就：_______和______。

1.孔子 ________________________________________________； ________________________________________________； ________________________________________________； 教育成就 ________________________________________________； ________________________________________________； 孔子死后，他的学生把他的言论整理成___________一书。

2、战国时期的诸子百家 学派 代表人物 相关著作 思想内容 儒家 道家 墨家 法家【共同探究】（各抒己见，达成共识，有你课堂才会更精彩）战国时代我国思想领域出现了什么现象？为什么这个时期会出现这种现象？ 【课堂训练】（积极主动，展示风采）1．在“诸子百家”中，儒家学派对后世影响最大，这一学派的创始人是 ( ) A ．孔子 B.老子 C.墨子 D.韩非子2．人类希望和平安宁，温馨和谐。

中国的《道德经》被称为世界上除《圣经》以外发行量最大的“畅销书”。

四 渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)[基础·初探]教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φ，y ＝rφ－φcos φ(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程 阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r－cos φ(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程【解析】 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离.【导学号：91060027】【思路探究】 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．【自主解答】 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72.即A 、B 两点之间的距离为 16－63π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．[再练一题]1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．【解】 将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋＋2＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.程以及对应的圆的渐开线的参数方程．【思路探究】 根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．【自主解答】 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2， 所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y＝1πφ－φcos φ(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．[再练一题]2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．【解】 首先根据摆线的参数方程可知 圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．[构建·体系]渐开线与摆线—⎪⎪⎪⎪—渐开线—摆线1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 【解析】 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.【答案】 C 2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2φ＋φsin φ，y＝2φ－φcos φ(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4【答案】 A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )【导学号：91060028】A ．πB ．3πC ．6πD ．10π【解析】 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．【答案】 C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． 【解析】 由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φsin φ(φ为参数)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝4φ－φcos φ(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．【解】 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(九) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.【答案】 B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )【导学号：91060029】A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.【答案】 C3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程． ∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C4．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋－2＝10.【答案】 C5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φy＝12k π－cos φB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k πφ－sin φy＝1k π－cos φC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k πφ－sin φy＝12k π＋cos φD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k πφ－sin φy＝1k π＋cos φ【解析】 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φy ＝r －cos φ令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)． ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π.又r ＞0，∴k ∈N ＋. 【答案】 A 二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P的坐标为________．【解析】 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φy ＝φ－φcos φ(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．【答案】 (π，2)7．已知平摆线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．【解析】 由已知方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. 【答案】 2 2π8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．【解析】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．【答案】 (63，0)和(－63，0) 三、解答题 9．已知圆C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．【解】 (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．【解】 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)． [能力提升]1．如图2­4­1，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )图2­4­1A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【解析】 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.【答案】 C2．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．【解析】 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)3．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 【答案】 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 4．如图2­4­2，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r 2，请推出Q 的轨迹的参数方程．图2­4­2【解】 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ当|AQ |＝r 2时， 有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ，∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数)． 当AQ ＝3r 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝r θ－sin θ，y 0＝r －cos θ，∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数)．。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学第2讲直线与圆的位置关系4弦切角的性质学案1______年______月______日____________________部门1．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)2．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)[基础·初探]教材整理弦切角定理阅读教材P33～P34，完成下列问题．1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．2．弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图2­4­1，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.图2­4­11．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则( )A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA【解析】由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】C2．如图2­4­2所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠PQM＝70°，则∠NMP等于( )图2­4­2A．20°B．70°C．110°D．160°【解析】根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用弦切角定理解决与角有关的问题如图2­4­3，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB＝CE.图2­4­3【精彩点拨】解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识，进行角度的等量替换．【自主解答】连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°，所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.则∠CEB＝∠DAC，由圆周角定理知∠DAC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE.1．把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用的常见题目．2．利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．[再练一题]1．如图2­4­4，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．图2­4­4(1)求证：∠DAC＝∠BAC；(2)若AC＝8，cos∠B AC＝，求⊙O的直径．【解】(1)证明：连接BC，OC，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠B＋∠BAC＝90°.因为直线CD与⊙O相切于点C，所以∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°.因为AD⊥CD，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠DAC＝∠BAC.(2)因为cos∠BAC＝，所以＝，因为AC＝8，所以AB＝10，故⊙O的直径为10.利用弦切角定理证明比例式或乘积式如图2­4­5，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F，求证：CD2＝CE·CF.【导学号：07370042】图2­4­5【精彩点拨】连接CA，CB，∠CAP＝→∠CBA，∠CBP＝∠CABRt△CAE∽Rt△CBD→→结论Rt△CBF∽Rt△CAD【自主解答】连接CA，CB.∵PA，PB是⊙O的切线．∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CA B.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，∴＝，即CD2＝CE·CF.1．解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡．2．弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．3．弦切角定理有时还需与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现．[再练一题]2.如图2­4­6，已知AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足．图2­4­6(1)求证：∠ADE＝∠B；(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD·DA ＝FO·DE.【证明】(1)连接OD，因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA.因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又因为AB＝AC，所以AD平分∠BAC，即∠OAD＝∠CAD，所以∠ODA＝∠DAE＝∠OAD.因为∠ADE＋∠DAE＝90°，所以∠ADE＋∠ODA＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥EF.因为OD是⊙O的半径，所以EF是⊙O的切线．所以∠ADE＝∠B.(2)因为OF∥AD，所以∠F＝∠ADE.又因为∠DEA＝∠FDO(已证)，所以△FDO∽△DEA.所以FD∶DE＝FO∶DA，即FD·DA＝FO·DE.[构建·体系]1．如图2­4­7，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为( )图2­4­7A．105°B．115°C．120°D．125°【解析】连接AC，构造出夹圆周角∠ADC所对弧的弦切角，即∠PCA，而∠PCA显然等于∠PCB加上一个直角，由此即得结果．【答案】B2.如图2­4­8，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若∠BCM＝38°，则∠B＝( )图2­4­8A．32°B．42°C．52°D．48°【解析】如图，连接AC.∵∠BCM＝38°，MN是⊙O的切线，∴∠BAC＝38°.∵AB为⊙O的直径，∴∠B＝90°－38°＝52°.【答案】C3．如图2­4­9，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65°，则∠BAC＝________.图2­4­9【解析】∵OA＝OB，∠B＝65°，∴∠OAB＝65°，∴∠O＝50°，∴∠BAC＝∠O＝25°.【答案】25°4．如图2­4­10，已知AB为圆的直径，弦AC与AB成30°角，DC 切圆于点C，AB＝5 cm，则BD等于________cm.图2­4­10【解析】如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠A＝30°，AB＝5 cm，∴BC＝ cm，∠CBA＝60°.∵CD切⊙O于C，∴∠DCB＝∠A＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC＝ cm.【答案】525.如图2­4­11，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.图2­4­11(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【解】(1)证明：如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE，而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，∠DCE＝90°.又因为DE＝DE，所以△DBE≌△DCE，所以DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC边的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE ＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2­4­12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝( )图2­4­12A. B.C. D.55【解析】由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.【答案】D2．如图2­4­13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF 切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是( )图2­4­13A．4 B．5C．6 D．7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】B3.如图2­4­14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )图2­4­14A．2 B．3C．2 D．4【解析】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2，故选C.【答案】C4．如图2­4­15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P ＝40°，则∠ACP等于( )【导学号：07370043】图2­4­15A．20° B．25°C．30°D．40°【解析】如图，连接OC，BC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.∵OC＝OB，∴∠B＝∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】B5．如图2­4­16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是( )图2­4­16A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】当点P在优弧上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】C二、填空题6.如图2­4­17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图2­4­17【解析】∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝.【答案】mn7．如图2­4­18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．图2­4­18【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】48.如图2­4­19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.图2­4­19【解析】连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝＝.【答案】 3三、解答题9．如图2­4­20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.图2­4­20求证：△CTD为等腰三角形．【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．10．如图2­4­21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD 交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.图2­4­21【证明】连接AM，MB，因为DA⊥AB，MN⊥CD，所以∠MDA＋∠MNA＝180°.又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，所以∠MDA＝∠MNB，又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，所以△ADM∽△MNB，所以＝，同理＝，所以＝，即有MN2＝AD·BC.[能力提升]1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝( ) 【导学号：07370044】A. B．2 3C．2－1 D．2＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，在Rt△OPA中，由AP＝，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝.【答案】A2．如图2­4­22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )图2­4­22A．1 B．2C．3 D．4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP，得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】A3．如图2­4­23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.图2­4­23【解析】由PA为⊙O的切线，BA为弦，得∠PAB＝∠BCA.又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以＝.而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.【答案】354．如图2­4­24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD 垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图2­4­24证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.。

初二精品培优学案第一讲记叙文阅读专题讲解解题锦囊（二）记叙文的写作手法记叙文的表达方式及其作用记叙文的表现手法及其作用把“大将”拖出来瞧一瞧！！！一、记叙文的写作手法写作手法是一种统称，包括：。

二、记叙文的表达方式及其作用锦囊妙计：1、记叙文的表达方式有:。

2、常用表达方式及其作用（1）描写：1）、人物描写 2）、环境描写 3）、其他描写有的，三、记叙文的表现手法及其作用锦囊妙计：1、常见表现手法：。

2、常见表现手法的特点：（1）衬托：（2）对比：（3）象征：（4）欲扬先抑：（5）讽刺夸张：（6）托物言志：（7）借景抒情：不想当“将军”的士兵不是好士兵！！！一、“豆子发芽”五种表达！二、说说他们的表现手法！1、鲁迅的《故乡》中写二十年前后的家乡变化。

2、高尔基的《海燕》，在暴风雨即将来临时刻，作家笔下的海燕。

3、鲁迅的《阿长与〈山海经〉》，先表现我对她的讨厌憎恶之情，后文又赞扬阿长。

4、吴敬梓的《范进中举》，范进喜极而疯5、刘禹锡的《陋室铭》，就借自己简陋的居所来表达自己安贫乐道、追求高尚品德的志趣。

6、朱自清的《春》，通过对春天景色的描写，表达了对春的热爱和赞美之情。

7、周敦颐的《爱莲说》中用菊花、牡丹，突出莲的高洁。

“将军”有令，兄弟们冲啊！！！异乡人的花园我家的一间房子出租给了一个异乡人，他三十一二岁。

朴实敦厚，每天蹬着三轮车，去城里贩卖茶叶。

赚着城里人的钱。

早晨，他吆喝一声，便消失在城郊尚未修好的坎坷路上。

下午，我远远地看见他回来，哼着小调，开门，卸货，还随手把铁门前的砖扔出好不知不觉中，我家四周的小路平整了许多。

小路两旁也被人修葺得齐齐整整，尤其是门前一块杂乱荒废的地，慢慢地竟显得有模有样。

这大概就是他的杰作吧。

冬去春来。

我家门前荒弃多年的空地上突然开满了鲜花，月季、鸡冠花、紫菊、彩雀、剑兰、芍药，还有许多叫不出名的花，姹紫嫣红，分外妖娆。

这些花在园中排列有序，整齐得如同计量过，鹅黄、嫩绿、桃红、深橘......罗列分明，绝无掺杂。

第二章气体、固体和液体第3节气体的等压变化和等容变化（第一课时）【核心素养目标】物理观念知道什么是等压变化和等容变化.科学思维知道盖－吕萨克定律和查理定律的内容和表达式，并会进行相关计算.科学探究了解p－T图像和V－T图像及其物理意义．科学态度与责任通过气体的等压变化和等容变化知识应用的实例，感受物理中科学技术与社会的紧密联系，体会科学知识的应用价值，进一步增强学生的学习动力和科学意识。

知识点一气体的等压变化【情境导入】如图所示，用水银柱封闭了一定质量的气体．当给封闭气体缓慢加热时能看到什么现象？说明了什么？【重难诠释】1．盖－吕萨克定律及推论表示一定质量的某种气体从初状态(V、T)开始发生等压变化，其体积的变化量ΔV与热力学温度的变化量ΔT成正比．2．V－T图像和V－t图像一定质量的某种气体，在等压变化过程中(1)V－T图像：气体的体积V随热力学温度T变化的图线是过原点的倾斜直线，如图甲所示，且p1<p2，即斜率越小，压强越大．(2)V－t图像：体积V与摄氏温度t是一次函数关系，不是简单的正比例关系，如图乙所示，等压线是一条延长线通过横轴上－273.15 ℃的倾斜直线，且斜率越大，压强越小，图像纵轴的截距V0是气体在0 ℃时的体积．特别提醒一定质量的气体，在压强不变时，其体积与热力学温度成正比，而不是与摄氏温度成正比．【典例精析】例1．如图为一简易恒温控制装置，一根足够长的玻璃管竖直放置在水槽中，玻璃管内装有一段长L＝4 cm的水银柱，水银柱下方封闭有一定质量的气体(气体始终处在恒温装置中且均匀受热)．开始时，开关S断开，水温为27 ℃，水银柱下方空气柱的长度为L0＝20 cm，电路中的A、B部分恰好处于水银柱的正中央．闭合开关S后，电热丝对水缓慢加热使管内气体温度升高；当水银柱最下端恰好上升到A、B处时，电路自动断开，电热丝停止加热，大气压强p0＝76 cmHg.则水温为多少时电路自动断开()A．320 K B．340 K C．330 K D．333 K【规律方法】应用盖－吕萨克定律解题的一般步骤(1)确定研究对象，即被封闭的一定质量的气体．(2)分析被研究气体在状态变化时是否符合定律的适用条件：质量一定，压强不变．(3)确定初、末两个状态的温度、体积．(4)根据盖－吕萨克定律列式求解．(5)求解结果并分析、检验．知识点二气体的等容变化【情境导入】(1)为什么拧上盖的水杯(内盛半杯热水)放置一段时间后很难打开杯盖？(2)打足气的自行车在烈日下曝晒，常常会爆胎，原因是什么？【重难诠释】1．查理定律及推论表示一定质量的某种气体从初状态(p、T)开始发生等容变化，其压强的变化量Δp与热力学温度的变化量ΔT成正比．2．p－T图像和p－t图像一定质量的某种气体，在等容变化过程中(1)p－T图像：气体的压强p和热力学温度T的关系图线是过原点的倾斜直线，如图甲所示，且V1<V2，即体积越大，斜率越小．(2)p－t图像：压强p与摄氏温度t是一次函数关系，不是简单的正比例关系，如图乙所示，等容线是一条延长线通过横轴上－273.15 ℃的倾斜直线，且斜率越大，体积越小．图像纵轴的截距p0是气体在0 ℃时的压强．特别提醒一定质量的某种气体，在体积不变的情况下，压强p跟热力学温度T成正比，而不是与摄氏温度t成正比．【典例精析】例2．如图所示，圆柱形汽缸倒置在水平地面上，汽缸内部封有一定质量的气体．已知汽缸质量为10 kg，缸壁厚度不计，活塞质量为5 kg，其横截面积为50 cm2，所有摩擦不计．当缸内气体温度为27 ℃时，活塞刚好与地面接触，但对地面无压力．(已知大气压强为p0＝1.0×105 Pa)求：(1)此时封闭气体的压强；(2)现使汽缸内气体温度升高，当汽缸恰对地面无压力时，缸内气体温度为多少摄氏度？【规律方法】应用查理定律解题的一般步骤(1)确定研究对象，即被封闭的一定质量的气体．(2)分析被研究气体在状态变化时是否符合定律的适用条件：质量一定，体积不变．(3)确定初、末两个状态的温度、压强．(4)根据查理定律列式求解．(5)求解结果并分析、检验．知识点三p－T图像与V－T图像【重难诠释】1．p －T 图像与V－T图像的比较不同图像点纵坐标压强p体积V斜率意义斜率越大，体积越小，V4<V3<V2<V1斜率越大，压强越小，p4<p3<p2<p1相同点①都是一条通过原点的倾斜直线②横坐标都是热力学温度T③都是斜率越大，气体的另外一个状态参量越小2.分析气体图像问题的注意事项(1)在根据图像判断气体的状态变化时，首先要确定横、纵坐标表示的物理量，其次根据图像的形状判断各物理量的变化规律．(2)不是热力学温度的先转换为热力学温度．(3)要将图像与实际情况相结合．【典例精析】例3．如图所示是一定质量的气体从状态A经B到状态C的V－T图像，由图像可知()A．p A＞p B B．p C＜p BC．V A＜V B D．T A＜T B针对训练一、单选题1．如图所示为一定质量的某种气体等容变化的图线，下列说法中正确的是（）A．不管体积如何，图线只有一条B．图线1和图线2体积不同且有V1>V2C．两图线气体体积V2>V1D．两图线必不会交于t轴上的同一点2．如图所示，孔明灯在中国有非常悠久的历史，其“会飞”原因是，灯内燃料燃烧使内部空气升温膨胀，一部分空气从灯内排出，使孔明灯及内部气体的总重力变小，空气浮力将其托起。