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同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
高一数学教案：应用题解析与技巧讲解在高中数学教育的过程中，应用题解析是至关重要的一个环节。
针对不同主题的应用题，正确的技巧讲解能够更有效地帮助学生理解和掌握相关知识，从而达到提高成绩的目的。
本篇文章将着重探讨高一数学中应用题的解析和技巧讲解。
一、题目类型高一数学中比较基础的应用题主要有以下几种类型：1. 面积、体积计算类问题如某平面图形（矩形/长方形/三角形等）的周长已知，求该图形的面积；或者一个柱体的底面积和高已知，求该柱体的体积等。
2. 直线、角度计算类问题如已知平面上一条直线方程，求该直线与x轴正向的夹角；或者已知两条平面直线方程，求它们的夹角等。
3. 应用题综合类问题此类问题为综合题，需要结合各类已知量以及相关公式来求出所要确定的未知量。
例如：已知某底面是正方形的六面体的表面积，求该六面体的体积等。
以上仅为基础类型，而高一数学对于这些类型的应用题有着更深刻和复杂的要求。
二、解题技巧1. 注意已知量在解应用题时，要注重对已知量进行分析和抽象。
例如：已知三角形三边，要求出该三角形的面积，此时将三角形的三条边命名为a、b、c，可以用海伦公式S = $\sqrt{(p - a)\cdot(p - b)\cdot(p -c)\cdot p}$（其中p = $\dfrac{1}{2}(a + b + c)$）来求出面积。
这个例子说明，对已知材料的敏感性对于学生解决应用题至关重要。
2. 手把手演示过程老师在讲授应用题时，可以手把手演示过程，通过示范来吸引学生注意和兴趣。
例如：计算某个圆的面积时，老师可以拿着一部分圆形的模型向学生展示圆心、半径、圆弧和扇形等概念，再加以模拟计算过程，让学生在观察中理解和掌握相关知识点。
3. 经典例题演练经典例题是理解应用题的重要途径。
为此老师可以结合课本上的例题、历年高考题目和实际应用场景的输入输出法式等来有针对性地进行演练和练习。
4. 双向交流在教学的过程中，老师要求学生在解题时进行交流，从而达到思维碰撞和错误纠正的目的。
数学应用的高中教案
主题：三角函数的应用
课时安排：2课时
教学目标：
1. 理解三角函数在实际问题中的应用；
2. 能够运用三角函数解决实际问题；
3. 提高学生的数学建模能力。
教学重点：
1. 了解三角函数在解决实际问题中的作用；
2. 掌握三角函数在解决实际问题中的应用方法。
教学难点：
1. 能够灵活运用三角函数解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和案例；
2. 学生准备相关课本及笔记。
教学步骤：
第一课时：
1. 导入：通过一个简单的实际问题引出三角函数的应用；
2. 概念讲解：介绍三角函数在解决实际问题中的作用；
3. 示例分析：通过几个实际问题的例子，让学生了解三角函数在实际问题中的应用；
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识。
第二课时：
1. 复习：回顾上节课所学内容；
2. 方法总结：总结三角函数在实际问题中的应用方法；
3. 案例分析：通过一个复杂实际问题的案例，让学生运用所学知识解决问题；
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识。
教学反思：
通过这两节课的学习，学生应当对三角函数在实际问题中的应用有一定的了解，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
在以后的学习中，应该进一步加深学生对数学应用的理解和掌握能力。
高中应用教案学习应用数学一、教案简介本教案为高中应用数学课程的一堂课教案，主要内容包括学习应用数学的概念、应用数学在实际生活中的运用、以及解决实际问题所需的数学方法和思维方式等。
二、教学目标1.了解应用数学的概念和基本原理；2.认识应用数学在实际生活中的运用，并能举例说明；3.掌握解决实际问题所需的数学方法和思维方式；4.培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。
三、教学内容与方法1.教学内容：（1）概念和原理：应用数学的定义和基本原理；（2）实际运用：展示应用数学在实际生活中的例子；（3）解决问题：讲解解决实际问题所需的数学方法。
2.教学方法：（1）讲授法：通过讲解概念和原理使学生了解应用数学的基本知识；（2）示范法：通过展示实际运用的例子，引导学生思考应用数学在生活中的可能性；（3）实践法：设计实际问题，引导学生运用数学方法解决。
四、教学过程1.导入环节通过提问引导学生思考：你认为什么是应用数学？应用数学在生活中有哪些实际运用？2.知识讲授（教师通过PPT或黑板展示）（1）概念和原理：介绍应用数学的定义和基本原理，强调数学在实际问题解决中的重要性。
（2）实际运用：通过展示应用数学在生活中的例子，如利用数学模型解决交通拥堵问题、预测人口增长等，让学生感受到数学在实际中的重要作用。
（3）解决问题：讲解解决实际问题所需的数学方法，如利用方程、函数等解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
3.示范与实践（1）示范应用数学在实际问题中的运用，如利用函数模型解决工程问题、应用几何解决空间布局问题等。
引导学生观察、分析和解决这些问题。
（2）设计实际问题，让学生运用所学的数学知识解决问题。
通过小组合作、讨论和报告等形式，展示解决问题的过程和结果。
4.总结与展望回顾本堂课的内容和学习收获，强调应用数学的重要性和实际应用的广泛性。
展望未来学习应用数学的方向和目标。
五、教学反思本教案通过理论讲解、示范和实践相结合的方式，使学生在实际问题中运用数学知识和方法解决问题。
课时：2课时年级：高中一年级教材：《数学》人教版教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质。
2. 学会运用函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的数学思维。
教学重点：1. 函数的概念及其性质。
2. 函数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 函数在实际问题中的应用。
2. 对数函数、指数函数的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习上节课内容，提问学生关于函数的概念和性质。
2. 引入新课题：函数的应用。
二、新课讲解1. 讲解函数在实际问题中的应用，以生活中的实例为例，如温度、人口、经济等。
2. 讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用函数进行解决。
3. 讲解对数函数、指数函数在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 学生独立完成课后练习题，教师巡视指导。
2. 针对学生的错误进行讲解，强调解题方法。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调函数在实际问题中的应用。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，提问学生关于函数的概念和性质。
2. 引入新课题：函数在实际问题中的应用。
二、新课讲解1. 讲解函数在实际问题中的应用，以生活中的实例为例，如物理学、经济学、生物学等。
2. 讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用函数进行解决。
3. 讲解对数函数、指数函数在实际问题中的应用。
三、课堂练习1. 学生独立完成课后练习题，教师巡视指导。
2. 针对学生的错误进行讲解，强调解题方法。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调函数在实际问题中的应用。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 在教学中，注重理论联系实际，引导学生将所学知识应用到实际生活中。
2. 注重培养学生的数学思维能力，提高学生的数学应用能力。
3. 课后作业的设计要具有针对性，有助于巩固所学知识。
教学目标：1. 让学生掌握函数题的基本概念和应用方法。
2. 培养学生分析问题和解决问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的实际应用意识。
教学重点：1. 函数题的基本概念和应用方法。
2. 分析问题和解决问题的能力。
教学难点：1. 函数题的灵活运用。
2. 对实际问题的理解和分析。
教学过程：一、导入1. 通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考如何运用函数知识解决问题。
2. 引出函数题的概念，让学生初步了解函数题的特点。
二、新课讲授1. 讲解函数题的基本概念，包括函数的定义、性质、图像等。
2. 举例说明函数题的常见类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
3. 讲解函数题的解题步骤和方法，包括：a. 分析问题，找出已知条件和所求量。
b. 根据已知条件和所求量，选择合适的函数模型。
c. 运用函数的性质和图像，求解问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成一些基础函数题，巩固所学知识。
2. 教师针对学生的练习情况，进行个别辅导和讲解。
四、案例分析1. 选择一些具有代表性的实际案例，让学生分析并运用函数知识解决问题。
2. 引导学生从实际问题中提炼出数学模型，并运用所学知识进行求解。
五、总结与反思1. 总结本节课所学的函数题应用方法，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在生活中发现函数现象，提高数学应用意识。
教学评价：1. 课堂练习完成情况，检验学生对函数题应用方法的掌握程度。
2. 学生在案例分析中的表现，评估学生分析问题和解决问题的能力。
3. 学生对数学知识的实际应用意识，通过课后作业或实践活动进行评价。
教学资源：1. 教材及相关辅导资料。
2. 多媒体课件，展示函数图像和实际案例。
3. 练习题和案例分析资料。
教学反思：1. 教师在讲解过程中，是否注重启发式教学，引导学生主动思考。
2. 学生在课堂练习和案例分析中的表现，是否达到教学目标。
3. 教学过程中是否关注学生的个体差异，给予适当辅导。
高中数学教学案例：微积分应用主题：高中数学教学案例——微积分应用要求：在教学案例中，阐述微积分的应用场景和解决问题的方法，符合高中数学教学大纲要求，具体案例字数在1500字左右，简明扼要，不包含任何网址链接和图片。
微积分作为高中数学教学中计算与实际问题相结合的重要内容，在讲授微积分的口算题、证明题和计算题的同时，更应注重微积分在实际应用中的运用方法。
下面介绍一些微积分应用的案例，以帮助教师更好地教学。
案例一：利润最大小A开了一家鞋店，每双鞋的成本为10元，标价是30元，现有 200 双鞋进货，小A想知道什么时候卖出的鞋的收益最大，在何时卖出最多的鞋。
解法：假设小A在t时刻卖出x双鞋，则卖出每一双鞋的收益为（30-10）=20元。
设小A在t时刻的收益为p，则有：p = 20*x现在我们需要对函数进行建模，首先求解鞋的销售量随时间变化的表达式。
由于鞋的数量有限，设小A在t时刻所卖出的鞋为x(t) 双，根据高中数学时的知识，x(t)应当是一个连续可导的函数，且满足x(0) = 0，x(200) = 200。
因此，令x(t)满足上述条件，则有：x(t) = 200*t/10 = 20*t由于该问题的目标是利润最大，因此需要求解最大收益。
由于每双鞋的成本为10元，因此总成本为10*x(t)元，利润为p = 20*x(t) - 10*x(t)= 10*x(t)= 10*(200*t/10)= 200t因此，问题被转化为优化目标是200t的最大值，使用微积分中的极值问题求解，即求解dp/dt =0时所得到的时间。
dp/dt = 200当t = 0时，p = 0 ;当t = 1 时，p = 200此时，小A可以在品质保证的前提下，全部卖出20*1=20双鞋，将得到 200 元的最大利润。
案例二：曲线的最大值和最小值有一个规定斜坡的水平距离为600米，坡度为a，如何确定坡度才能使得斜坡从底端到顶端的时间最短？解法：首先建立一个含有一定参数的模型：设坡度为x，则垂直高度为mx(t)，其中m= tan(x)，则斜坡的长度为：L = √[600²+m²*（2L-mt²）²]为计算曲线的最大值和最小值，需将L关于t求导，即：dL/dt = m²*（8L-4mt²）/（2L-mt²）*（2mt）设置其为0，列出方程：（8L-4mt²）/（2L-mt²） = 0即mt² = 2L/4 = L/2因此，t² = L/2m，当t²=L/2m时，有dL/dt = 0，且t²=L/2m取极值。
第一章 函数 极限 连续 问题1. 上岸点的问题 有一个士兵P，在一个半径为R的圆形游泳池（图1—1） 222xyR
内游泳，当他位于点（,02R）时，听到紧急集
合号，于是得马上赶回位于A=（2R，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为1v，陆地上跑步的速度为2v，求赶回营房 所需的时间t与上岸点M位置的函数关系。 图1-1
解：这里需要求的是时间t与上岸点M位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M的
位置数字化，根据本题特点可设 (cos,sin)MRR
其中为M的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()tf的问题。由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()tf的定义域为0。 该士兵在水中游泳所花的时间为
2221111
1(cos)sin54cos22PMRRtRRvvv
而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论： ① 当03时，有22254cosMARtvv；
② 当3时，要先跑一段圆弧»MB，再跑一段且线段BA，所以 »222
1()(3)3RtMBBAvv。
综上所述，可得
1212
54cos54cos,02354cos(3),233RRvvtRRvv
问题2 外币兑换中的损失 某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后
B A O x y P M
M他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。 解：设1()ft为将x美元兑换成的加拿大元数，2()ft为将x加拿大元兑换成的美元数，则 1()12%1.12,0ftxxxx
2()12%0.88,0ftxxxx 而21(())0.880.120.9856,fftxxx故1()ft，2()ft不互为反函数。 思考题：设一美国人准备到加拿大去度假，他把1000美元兑换成加拿大元，但因未能去成，于是又将加拿大元兑换成了美元，问题亏损了多少钱？（14.4美元）
问题3 黄山旅游问题 一个旅游者，某日早上7点钟离开安徽黄山脚下的旅馆，沿着一条上山的路，在当天下午7点钟走到黄山顶上的旅馆。第二天早上7点钟，他从山顶沿原路下山，在当天下午7点钟回到黄山脚下的旅馆。试证明在这条路上存在这样一个点，旅游者在两天的同一时刻都经过此点。 证明：设两个旅馆之间的路程为L，以()ft表示在时刻([7,19])t该旅游者离开山脚下的旅馆的路程，则可知()ft是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)0f，(19)fL。 以()gt表示该旅游者在第二天下山时在与前一天相同时刻尚未走完的路程，则可知()gt是区间[7,19]上的连续函数，且有(7)fL，(19)0f。
于是原问题可转化为：证明存在[7,19]，使()()fg。 作辅助函数()()()tftgt，则()t在区间[7,19]上连续，且有 2(7)(19)[(7)(7)][(19)(19)]0fgfgL
，
根据闭区间上连续函数的零值定理可知，一定存在[7,19]，使()0。就得到了所需要证明的结论。
问题4 利润与销量之间的函数关系 收音机每台售价90元，成本为60元。厂家为鼓励销售商大量采购，军队凡是订购量超过100台以上的，每多订购一台，售价就降低1分（例如，某商行订购了300台，订购量比100台多200台，于是每台就降价0.01200=2（元），商行可以按88元/台的价格购进300台），但最低价为75元/台。 1） 把每台的实际售价p表示为订购量x的函数； 2） 把利润P表示成订购量x的函数； 3） 当一商行订购了1000台时，厂家可获利多少？ 解：1）当100x时售价为90元/台。 现在计算订购量x是多少台时售价降为75元/台， 90-75 =15，150.01=1500 所以，当订购量超过1500+100台时，每台售价为75元。当订购量在100~1600时，售价为90-（x-100）*0.01，因而实际售价p与订购量之间的函数关系为 90,10090(100)0.01,100160075,1600xpxxx
2）每台利润是实际售价p与成本之差 P=（p-60）x 3）由1）先计算出p=90-（1000-100）*0.01=81。再有2）可知 P=（81-60）*1000=21000（元）
问题5 Fibonacci数列与黄金分割问题 “有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，以后亦每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对?” 解：这是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，L）在1202年所著“算法之书”（又译《算盘书》（Liberabaci））中的一个题目。他是这样解答的：若用“○”、“△”分别表示一对未成年和成年的兔子（简称仔兔和成兔），则根据题设有： 从上图可知，六月份共有兔子13对；还可看出，从三月份开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和。按这规律可写出数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233可见一年后共有兔子233对。 这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。 若设F0=1，F1=1，F2=2，F3=3，F4=5，F5=8，F6=13，… 则此数列应有下面的递推关系： Fn+2 = Fn+1 + Fn（n = 0，1，2，…） 这个关系可用数学归纳法来证明，其中的通项 1111515225nnnF
是由法国数学家比内（Binet）求出的。 与Fibonacci数列紧密相关的一个重要极限是
151lim0.6182nnnFF （1）
或者 151lim1.6182nnnFF （2） 下面我们先来说明（2）式的含义并证明之（至于（1）式的含义见后面的说明）。 记1nnnFbF，则（nb-1）×100%就是第（n+1）月相对于第n月的兔子对数增长率（n = 0，1，2，…），例如： 010,1101nb
021,111100%1nb
032,110.550%2nb 053,110.6666%3nb
…… 若limnnb存在，则（limnnb-1）表示许多年后兔子对数的月增长率（同时也是成兔对数
及仔兔对数在许多年后的月增长率——因为成兔对数、仔兔对数各自从今年1月、2月开始算起，也是Fibonacci数列）。 limnnb存在的证明及求法如下：
证：01b 111111(1,2,)nnnnnnnFFFbnFFb
L
用数学归纳法容易证明： 数列{2nb}是单调增加的；数列{21nb}是单调减少的。 又，对一切30,22nnb成立。即数列{2nb}、{21nb}是有界的。 根据“单调有界数列必有极限”的准则，知数列{2nb}、{21nb}的极限存在，分别记为*b
与b*，即 *2limnnbb，*21limnnbb
分别对22111nnbb及21211nnbb的两边取极限，得 **
11bb 与 **11bb
两式相减，得 ******bbbbbb 由此得 **0bb，即221limlimnnnnbb。若不然，则有 **1bb 而由 ***1bbb，得 *0b 这是不可能的（因为211nb）因此limnnb存在，记作b，即 limnnbb
对111nnbb的两边取极限，得11bb 解此方程，得152b，因为1nb，故151.6182b 即 1limlim1.618nnnnnFbF 从而 lim10.618nnb 可见许多年以后兔子总对数，成兔对数及仔兔对数均以每月61.8%的速率增长。
问题6 巧分蛋糕 妹妹小英过生日，妈妈给做了一块边界形状任意的蛋糕（如图所示）。哥哥小明见了也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这点切一刀，使切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你。小明苦想了半天，终于用刚刚学过的高等数学知识初步解决了这个问题。你知道他用的是什么办法吗？
分析：问题归结为如下一道几何证明题。 已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（无论什么形状），P是曲线所围图形上任一点。求证：一定存在一条过P的直线。将这图形的面积二等分。
证明： 1. 过P点认作一直线l，将曲线所围图形分为两部分，其面积分别为S1 和S2。若 S1 =S2（此情况很难办到），则l即为所求；若S1S2，则不妨设S1>S2 (此时l与x轴的正向
x l 图1-2（4）0时S1 和S2 00
S1（0）
S2（0）
x l
S2（） S1（）
0图1-2（3）旋转成角
l P
图1-2（1）能切成相等的两块吗？ 图1-2（2）0时S1 和S2
P x
l
S2 S1
0
