高等数学应用题

高等数学题库(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除（一）函数、极限、连续一、选择题：1、在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，则f (x )是)(x ϕ的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、x =0是函数1()arctan f x x=的( )（A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ）（A ）)(lim x f xx →若存在，则f (x )有界；（B ）若在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，则),(lim 0x f x x →也存在；（C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xxx x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、若),1(3-=x f y Z 且x Zy ==1则f (x )的表达式为 ;2、 已知数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214lim 1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、设,)(ax ax x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题:1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim0-→； （2）xxx x -+→11ln 1lim 0；（3）)11(lim 22--+→x x x （4）xx x x cos 11sinlim30-→（5）x x x 2cos 3sin lim 0→ （6）xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a , b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a , b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a , b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.（二）导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，则tt x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 则(1)f '= ; 3、 设xey2sin =, 则dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x 则=dxdy; 5、 y =f (x )为方程x sin y + y e 0=x 确定的隐函数, 则(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 则(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 212、 设曲线21x e y -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A) 2x -y -2=0 (B) 2x +y +1=0 (C) 2x +y -3=0 (D) 2x -y +3=0 3、设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x ex f ax 处处可导，则( )(A) a =b =1 (B) a =-2, b =-1 (C) a =0, b =1 (D) a =2, b =1 4、若f (x )在点x 可微,则xdyy x ∆-∆→∆0lim的值为( )(A) 1 (B) 0 (C) -1 (D) 不确定5、设y =f (sin x ), f (x )为可导函数，则dy 的表达式为( )(A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx '(C)(sin )cos f x x ' (D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、若g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、 设()ln f x x x =, 求()()n f x .7、计算.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 若01lim sin 22ax x e b x →-=则a = , b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==则)(ln )0()(sin limx f f x f x -→= ;4、 x e y xsin =的极大值为 ，极小值为 ; 5、 )10(11≤≤+-=x xxarctgy 的最大值为 ，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（ ）（A ）仅有一个根； （B ）至少有一个根； （C ）没有根； （D ）以上结论都不对。

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。

第一章 函数 极限 连续问题1. 上岸点的问题有一个士兵P ，在一个半径为R 的圆形游泳池（图1—1）222x y R +≤内游泳，当他位于点（,02R-）时，听到紧急集 合号，于是得马上赶回位于A=（2R ，0）处的营房去，设该士 兵水中游泳的速度为1v ，陆地上跑步的速度为2v ，求赶回营房 所需的时间t 与上岸点M 位置的函数关系。

图1-1解：这里需要求的是时间t 与上岸点M 位置的函数关系，所以一定要先把上岸点M 的位置数字化，根据本题特点可设(cos ,sin )M R R θθ=其中θ为M 的周向坐标（即极坐标系中的极角），于是本题就成为了求函数关系()t f θ=的问题。

由对称性，我们可只讨论在上半圆周上岸的情况，即先确定函数()t f θ=的定义域为0θπ≤≤。

该士兵在水中游泳所花的时间为111PM t v === 而在陆地上跑步所需的时间，则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论：① 当03πθ≤≤时，有222M A t v '== ② 当3πθπ≤≤时，要先跑一段圆弧MB ，再跑一段且线段BA ，所以2221()(3R t MB BA v v πθ=+=-。

综上所述，可得121203(33t R v πθππθθπ≤≤=-≤≤问题2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假，他把美元兑换成加拿大元时，币面数值增加12%，回国后他发现把加拿大元兑换成美元时，币面数值减少12%。

把这两个函数表示出来，并证明这两个函数不互为反函数，即经过这么一来一回的兑换后，他亏损了一些钱。

解：设1()f t 为将x 美元兑换成的加拿大元数，2()f t 为将x 加拿大元兑换成的美元数，则1()12% 1.12,0f t x x x x =+⋅=≥ 2()12%0.88,0f t x x x x =-⋅=≥而21(())0.880.120.9856,f f t x x x =⨯=<故1()f t ，2()f t 不互为反函数。

大一高等数学练习题及答案解析 11．2．limx?0xx?.1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y2.3．设函数y?y由方程?1xe?tdt?xdy确定，则dxx?0tfdt?ff?1fx14. 设可导，且，，则f?x??5．微分方程y4y??4y?0的通解为 .二．选择题1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为.y?Acos2x; y?Axcos2x;f?lnx?x?ke在内零点的个数为.y?Axcos2x?Bxsin2x;y?Asin2x.．下列结论不一定成立的是.*f?x?dx??f?x?dxc,d?a,bca若,则必有;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有 xba?Taf?x?dx??f?x?dxT;tf?t?dtfx0若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??4. 设1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题 1 ．计算定积分x3e?xdx2.2．计算不定积分xsinxcos5x.xxa,t2处的切线的方程. ．求摆线?y?a,在4. 设F??cosdt，求F?.5．设四．应用题 1．求由曲线y?xn?nlimxnn，求n??.x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?旋转一周所生成的旋转体的体积.ta?1,f?a?at在内的驻点为 t. 问a为何值时t最小?并求3. 设最小值.五．证明题设函数f在[0,1]上连续，在内可导且1ff=?1试证明至少存在一点??, 使得f?=1. 一．填空题： 11．．limx?x?0e.4e.dy确定，则dxx?0121?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y3．设函数y?y由方程?1e?tdt?x?e?1.12x24. 设f?x?可导，且x1tfdt?f，f?1，则f?x??e2x.5．微分方程y4y??4y?0的通解为y?e二．选择题： .1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为y?Acos2xy； ?Axcos2x； ?y?Axcos2x?Bxsin2x； y?Asin2x．下列结论不一定成立的是f?lnx?x?k内零点的个数为. e 在若?c,da,b?,则必有dcf?x?dx??f?x?dxabb;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有a?Taf?x?dx??f?x?dxT;xtf?t?dtfx0 若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.. 设连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题： 1．计算定积分?0 解：2x3e?xdx202.2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedttde?t0220-------221??t22?t?te??edt?002?? -------22131e?2?e?te?2022--------22．计算不定积分解：xsinx5cosx.xsinx111?xdx?dx?xd??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx?--------3 x1dtanx44cosx4x113tanx?tanx?C4cos4x1-----------?xa,t2处的切线的方程.．求摆线?y?a,在,a)2解：切点为 -------2k?dyasint?s)t??dxt??a即y?x?a.-------24. 设．设F??cosdt22F2xcosxcos. ，则xn?nn?1)?limxnn，求n??.1nilnxn??ln1ni?1n ---------解：n1i1limlnxn?lim?ln??lndx0n??n??nni?1--------------12ln2101?x =------------22ln2?1e?limxne 故 n??=xln10??x1四．应用题 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：大一高等数学期末考试试卷一、选择题2ex,x0,1. 若f??为连续函数,则a的值为.ax,x01 3-12. 已知f??2,则limh?0f?f的值为.h13-113. 定积分?2?的值为. ?20-2124. 若f在x?x0处不连续,则f在该点处.必不可导一定可导可能可导必无极限二、填空题1．平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. ?dx? . ?113. limx2sinx?01= . x4. y?2x3?3x2的极大值为三、计算题1. 求limx?0xln. sin3x22. 设y?求y?.. 求不定积分?xlndx.4. 求?30?x,x?1,? fdx,其中f??1?cosx?ex?1,x?1.?5. 设函数y?f由方程?edt??costdt?0所确定,求dy. 00ytx6. 设?fdx?sinx2?C,求?fdx.3??7. 求极限lim?1??. n2n?四、解答题1. 设f??1?x,且f?1,求f. n2. 求由曲线y?cosxx??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2??2所得旋转体的体积.3. 求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程.4. 求函数y?x[?5,1]上的最小值和最大值.五、证明题设f??在区间[a,b]上连续,证明bafdx?b?a1b[f?f]??f??dx.2a标准答案一、 1 B; C; D; A.二、 1 y?x?1;2; 0;0.三、 1 解原式?limx?5x5分 x?03x21分2分 x??lxn2d分 ?212x?[lndx2分21?x1?[ln?x2]?C1分解令x?1?t,则分03fdx1fdt 1分122t1??1dt 1分 1?cost1分 ?0?[et?t]1e2e1 1分两边求导得ey?y??cosx?0,分ycosx 1分 ye?cosx 1分 sinx?1cosx?dy?dx分 sinx?1解 ?fdx?12?fd2?C4分3??lim1?解原式=??n2n?322n3?32分 =e2分四、1 解令lnx?t,则x?et,f??1?et, 分 f??dt=t?et?C.2分 ?f?1,?C?0, 分fxex. 1分解 Vx2??2??cosxdx分 ?2202cos2xdx2分 ?解 ?22. 分 6x?1分 y??3x2?6x?24,y令y0,得x?1. 1分当x?1时,y0; 当1?x时,y0,分 ?为拐点, 1分该点处的切线为y?3?21. 分解y??1??2分令y??0,得x3?. 1分435y52.55,y,y1,分 ?4?435y5y最大值为. 分 ?最小值为?4?4五、证明bafdf?分 ab[f]aaf[2xdx分a[2x?df分 bbb[2x?]f?a?2?afdx分[f?f]?2?afdx,分移项即得所证分 bbb大一高数试题及答案一、填空题________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ＋────── 的定义域为_________ √１－ｘ2_______________。

全国2010年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1.设函数x x f 31)(+=的反函数为)(x g ，则)10(g =（ ）A.-2B.-1C.2D.32.下列极限中，极限值等于1的是（ ）A.e)11(limxx x -∞→ B.x x x sin lim ∞→ C.2)1(lim xx x x +∞→ D.x xx arctan lim ∞→3.已知曲线x x y 22-=在点M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为A.(-1，3)B.(1，-1)C.(0，0)D.(1，1) 4.设C x F x x f +=⎰)(d )(，则不定积分⎰x f xxd )2(2=（ ）A.C F x +2ln )2( B.F (2x )+C C.F (2x )ln2+C D.2x F (2x )+C5.若函数),(y x z z=的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数yx z∂∂∂2=（ ）A.x sin - B.y sin C.x cos D.y cos 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则f (x 2)的定义域是______.7.极限=-+-∞→17272lim n nnn n ______. 8.设某产品的成本函数为C (q )=1000+82q ，则产量q =120时的边际成本为______.9.函数212x xy -=在x =0处的微分d y =______.10.曲线2ln -+=x x xy 的水平渐近线为______.11.设函数f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)，则方程0)(='x f 的实根个数为______.12.导数⎰=-xt t t xd )1(d d ______.13.定积分x x d |1|20⎰-=______.14.二元函数f (x ，y )=x 2+y 4-1的极小值为______. 15.设y =y (x )是由方程e y -xy =e 所确定的隐函数，则导数xy d d =______.三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16.设函数||sin )(x x x x f -=，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续?并说17.求极限)5cos 1(lim 2xx x -∞→. 18.设函数y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 的值. 19.求微分方程)1()2(322y x y y ++='的通解.20.求不定积分⎰--x xx d 112.四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.设函数f (x )=sin e -x ，求)0()0()0(f f f ''+'+.22.计算定积分⎰-=121d 12arctanx x I .23.计算二重积分⎰⎰+=Dy x y xI d d )1(2，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y轴所围成的区域.五、应用题(本题9分)24.在一天内，某用户t 时刻用电的电流为2)24(1001)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t .(1)求电流I (t )单调增加的时间段；(2)若电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?六、证明题(本题5分)25.设函数f (x )，g (x )在区间[-a ，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f (-x )+f (x )=2. 证明：⎰⎰-=aaax x g x x g x f 0d )(2d )()(.全国2010年1月高等教育自学考试高等数学（一）试题 课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

《高等数学基础》应用题实际问题的最大值和最小值——应用题（16分）例1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设圆柱体高h ，，底半径r因为222h r l +=，有222r l h =-圆柱体的体积公式为2V r h π=()()2223l h h l h h ππ=-=- ()223V l h π'=-令0V '=得3h =（唯一驻点），由实际问题知，底半径为3r =，高3h =时，圆柱体得体积最大。

例2：设一体积为V 的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。

解：设底半径为r ，则高为2V r π， 表面积为2222222V V S r r r r rππππ=+=+ 224V S r rπ'=-，令0S '=得r =例3：设一体积为V 的开口圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小。

解：设底半径为r ，则高为2V r π， 表面积为22222V V S r r r r rππππ=+=+ 222V S r rπ'=-，令0S '=得r =时，表面积最小例4：欲做一个底为正方形，容积为108立方米的开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为2108h x=表面积222210843244y x xh x xx x x =+=+=+ 令243220y x x'=-=，解得6x =（唯一驻点） 由实际问题知道，当底边长为6，高210836h ==用料最省 例5：求曲线2y x =上的点，使其到点()3,0的距离最短解：曲线2y x =上的点(),x y 到点A （3，0）的距离公式为d == 令()()222359D x d x x x x ==-+=-+()25D x x '=- 令()0D x '=得52x =（唯一驻点）解出y = 因为d 与2d 在同一点上同时取到最小值，所以由实际问题知曲线2y x =上的点5,22⎛±⎝⎭到点A （3，0）的距离最短。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则其在(a,b)内一定可积的是：A.有界函数B.无界函数C.奇函数D.偶函数2.微分方程y''5y'+6y=0的通解为：A.y=C1e^x+C2e^3xB.y=C1e^2x+C2e^3xC.y=C1e^x+C2e^-6xD.y=C1e^2x+C2e^-3x3.级数∑n=1∞(n^2/n!)的收敛性是：A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法确定4.在空间直角坐标系中，曲面z=x^2+y^2的切平面方程在点(1,1,2)处为：A.z=2x+2y1B.z=x+y1C.z=2x+2y+1D.z=x+y+15.设矩阵A为对称矩阵，则A的特征值：A.一定全为实数B.一定全为正数C.一定互不相同D.一定存在复数特征值二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处一定连续。

（）2.若函数f(x)在区间(a,b)内单调增加，则其导数f'(x)在(a,b)内一定大于0。

（）3.级数∑n=1∞1/n^2是发散的。

（）4.多元函数的极值点一定是函数的驻点。

（）5.若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B一定有共同的特征向量。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^33x在x=______处取得极小值。

2.微分方程y''+4y=0的通解为y=______。

3.级数∑n=1∞(-1)^(n-1)/n的值为______。

4.曲线x^2+y^2=1在点(√2/2,√2/2)处的切线方程为______。

5.若矩阵A的特征值为λ1,λ2,λ3，则矩阵A^3的特征值为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1.简述罗尔定理及其应用。

2.解释什么是函数的泰勒展开。

3.什么是拉格朗日中值定理？给出一个应用实例。

4.简述多元函数的极值和最值的区别。

⾼等数学应⽤题及解答题⽬⼀：⼀辆汽⻋以40km/h的速度⾏驶，突然发现前⽅有红灯停⻋，需要在3秒内停下来。

假设汽⻋的减速度为5m/s²，求汽⻋在3秒内停下来的距离是多少？答案：⾸先需要将速度的单位统⼀化，将40km/h转换为m/s，40km/h = 40/3.6 m/s ≈ 11.11 m/s。

根据物理学的运动学公式，汽⻋在匀减速情况下⾏驶的距离可以表⽰为：s = v0t + 1/2at²其中，s为⾏驶的距离，v0为初始速度，t为时间，a为减速度。

代⼊所给数据，得到：s = 11.11 m/s × 3 s + 1/2 × (-5 m/s²) × (3 s)² ≈ 33.33 m + 1/2 × (-5 m/s²) × 9 s² ≈ 33.33 m - 22.5 m ≈ 10.83 m因此，汽⻋在3秒内停下来的距离是约为10.83⽶。

题⽬⼆：⼀⽀⽕箭以初速度50m/s垂直升空，当它上升到⾼度1000m 时，速度已经减为40m/s，求⽕箭上升的时间和它上升时所受的平均加速度。

答案：根据物理学的运动学公式，⽕箭上升的时间可以表⽰为：t = (v - v0) / a其中，t为时间，v为末速度，v0为初速度，a为平均加速度。

代⼊所给数据，得到：t = (40 m/s - 50 m/s) / a = -10 m/s / a为了求解平均加速度，我们还需要知道⽕箭上升的距离，即：s = v0t + 1/2at²代⼊所给数据，得到：1000 m = 50 m/s × t + 1/2a × t²联⽴以上两式，可解得：a = -2v0/t t = -10/v0 s = -v0²/2a代⼊所给数据，得到：t = -10 m/s / 50 m/s = 0.2 ss = -50 m/s × 50 m/s / (2 × (-10 m/s²)) = 125 ma = -2 × 50 m/s / 0.2 s² = -500 m/s²因此，⽕箭上升的时间为0.2秒，所受的平均加速度为-500 m/s²。

高等数学（一）（第三章练习题）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在2.设函数f(x)在点a 可导，且1h 2)h 5a (f )h 5a (f lim 0h =--+→，则=')a (f （ ）A.51B.5C.2D.21 3.设函数y=2x 2，已知其在点x 0处自变量增量3.0x =∆时，对应函数增量y ∆的线性主部为-0.6，则x 0=（ ） A.0B.1C.-0.5D.-44.设某商品的需求函数为Q=a-bp ，其中p 表示商品价格，Q 为需求量，a 、b 为正常数，则需求量对价格的弹性=EPEQ（ ）A.bp a b --B. bp a b- C. bp a bp -- D. bp a bp -5．函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件又非必要条件 6.设函数f(x)在x=a 处可导，则f(x)在x=a 处（ ） A.极限不一定存在 B.不一定连续 C.可微 D.不一定可微 7.设函数(x)(x),a)-(x f (x)ϕϕ=在x=a 处可导，则（ ） A.)x ()x (f ϕ=' B.)a ()a (f ϕ'=' C.)a ()a (f ϕ=' D.)a x ()x ()x (f -+ϕ=' 8.设y=lnsinx,则dy=（ ） A.-cotx dx B.cotx dx C.-tanx dx D.tanx dx9.设y=a x (a>0,a ≠1),则y (n)==0x （ ）A.0B.1C.lnaD.(lna)n10.设一产品的总成本是产量x 的函数C(x),则生产x 0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（ ） A.x )x (C B.0x x x )x (C = C.dx )x (dC D.0x x dx )x (dC =11.设函数y=f(x)在点x 0可导，且,a )x (f 0='则 =∆-∆-→∆x)x (f )x 2x (f lim 000x （ ）A.aB.2aC.-2aD.-2a 12.若函数f(x)在点x 0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy 的线性主部为2，则函数在该点的导数值=')x (f 0（ ） A.4B.8C.0.5D.0.12513.设某商品的供给函数为S=a+bp ，其中p 为商品价格，S 为供给量，a,b 为正常数，则该商品的供给价格弹性=EPES（ ） A.bpa bp+B.bp a b+ C.bpa bp +- D.bpa b+- 14．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D - B ．)p ('D D p - C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-15．设△y=f(x 0+△x)-f(x 0)且函数f(x)在x=x 0处可导，则必有（ ） A ．0x lim →∆△y=0 B ．△y=0 C ．dy=0 D ．△y=dy16．设产品的利润函数为L （x ）,则生产x o 个单位时的边际利润为（ ） A ．00x )x (L B ．dx)x (dL C ．0x x dx )x (dL =D ．)dx)x (L (dx d 17．设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16! B ．15! C ．14!D ．018.设f (x )为可微函数，且n 为自然数，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)n x (f )x (f 1lim n =（ ）A.0B.)x (f 'C.-)x (f 'D.不存在19.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y '=（ ） A.)x (f ' B.)x (f -' C.-)x (f 'D.-)x (f -'20.设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P 2,则当P = 5时的需求价格弹性为（ ） A.0.25 B.-0.25 C.100D.-10021已知某商品的成本函数为500302)(++=Q Q Q C ，则当产量Q =100时的边际成本（ ） A ．5 B ．3 C ．3.5D ．1.522.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ）A.0B.1C.-1D.不存在23.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ）A.)p (S S p '-B. )p (S S p 'C. )p (S p 'D. )p (S S 1'24.设f (x )=x |x |，则f ′(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.不存在25.设某商品的需求量D 对价格p 的需求函数为D =50-5p，则需求价格弹性函数为( ) A.250-p p B.p p -250 C.51pp -250D.51250-p p 26.设生产x 个单位的总成本函数为C （x ）=7x 2012x 2++，则生产6个单位产品时的边际成本是（ ）A.6B.20C.21D.2227．设函数y =150-2x 2,则其弹性函数ExEy=（ ） A ．221504x - B ．221504x x- C ．150242-x xD ．1502422-x x28.设f (x )=2x,则f ″(x )=（ ）A.2x ·ln 22B.2x ·ln4C.2x ·2D.2x ·429．设f (x )=arccos(x 2)，则f ＇(x )=（ ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.曲线y =x +ln x 在点（1，1）处的切线方程为________________.2.设函数y =ln x ,则它的弹性函数ExEy=_____________. 3.函数f(x)在点x 0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x 0可导的___________条件.4．设某商品的市场需求函数为D=1-7P，P 为商品价格，则需求价格弹性函数为 .5．设y=2x 2e x ，则y ''(0)= .6. 已知某商品的产量为q 件时总成本为C （q ）=100q+160q 2(百元)，则q=500件时的边际成本为___________.7.设f(x)在x=a 处可导，则=--→h)a (f )h 2a (f lim 0h ___________.8.曲线y=sinx 在点π=32x 处的切线方程为___________. 9．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则10. 设f(x)=⎩⎨⎧≥<-1|x |,01|x |,x 12,则'-f (1)=_____.11.设y=cos 2x 1+，则'y =_____.12.已知某产品的产量为g 时，总成本是C(g)=9+800g 2，则生产100件产品时的边际成本MC|g=100=_____.13.设⎩⎨⎧>≤-=0x ,x 0x ,e 1)x (f 2x ，则-'f (0)=___________。

第一章 函数 极限 连续问题1、 上岸点的问题有一个士兵P,在一个半径为R 的圆形游泳池(图1—1) 222x y R +≤内游泳,当她位于点(,02R -)时,听到紧急集 合号,于就是得马上赶回位于A=(2R ,0)处的营房去,设该士兵水中游泳的速度为1v ,陆地上跑步的速度为2v ,求赶回营房所需的时间t 与上岸点M 位置的函数关系。

图1-1解:这里需要求的就是时间t 与上岸点M 位置的函数关系,所以一定要先把上岸点M 的位置数字化,根据本题特点可设(cos ,sin )M R R θθ=其中θ为M 的周向坐标(即极坐标系中的极角),于就是本题就成为了求函数关系()t f θ=的问题。

由对称性,我们可只讨论在上半圆周上岸的情况,即先确定函数()t f θ=的定义域为0θπ≤≤。

该士兵在水中游泳所花的时间为111PM t v === 而在陆地上跑步所需的时间,则要视上岸点位置的两种不同的情况要分别进行讨论:① 当03πθ≤≤时,有222M A t v '==② 当3πθπ≤≤时,要先跑一段圆弧MB ,再跑一段且线段BA ,所以2221()(3R t MB BA v v πθ=+=-。

综上所述,可得121203(33t R v πθππθθπ≤≤=-+≤≤问题2 外币兑换中的损失某人从美国到加拿大去度假,她把美元兑换成加拿大元时,币面数值增加12%,回国后她发现把加拿大元兑换成美元时,币面数值减少12%。

把这两个函数表示出来,并证明这两个函数不互为反函数,即经过这么一来一回的兑换后,她亏损了一些钱。

解:设1()f t 为将x 美元兑换成的加拿大元数,2()f t 为将x 加拿大元兑换成的美元数,则1()12% 1.12,0f t x x x x =+⋅=≥ 2()12%0.88,0f t x x x x =-⋅=≥而21(())0.880.120.9856,f f t x x x =⨯=<故1()f t ,2()f t 不互为反函数。