2-3 分块矩阵及其运算.ppt

λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 0 1 , 4 1 2 0
1 解 把 A, B 分块成 0 A = −1 1
0 1
0 0 0 0 2 1 0 1 0 1
E O = , 1 A E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
第三节、 第三节、分块矩阵及运算
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵A，为了 简化运算，经常采用分块法 分块法， 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 A1 0 = A2 , 1 A3 b
即
A
A 1 = A2 A3
A = (a 1 0 0) 1
0 a 0 0 A2= 0 1 1 b
其中 Ai (i = 1,2, L s )
A1 都是方阵 , 那末称 A 为 O A2 分块对角矩阵 . A= , O O A = diag A1 , A2 ,L , As . As

n1列 n2列
m1 m2 m s m , n1 n2 nt n.
5
A11 B11 A12 B12 A21 B21 A22 B22 A B As1 As1 As 2 As 2 kA11 kA12 kA21 kA22 kA kAs1 kAs 2
A12 . A22
a13 a14 a11 a12 A11 , , A12 a21 a22 a23 a24 A21 (a31 a32 ), A22 (a33 a34 ),
3
经常把矩阵的行或列作为子块.
2 a21 a22 a23 1 a31 a32 a33 j a1 j
§3分块矩阵
一 矩阵的分块 二 分块矩阵的运算 三分块矩阵的应用举例
1
一、矩阵的分块 在理论研究和实际应用中往往需要把大的矩 阵分成若干个小矩阵，这些小矩阵称为原矩 阵的子阵或子块，原矩阵则称为分块矩阵. 例如矩阵 1 0 0 0 0 1 0 0 3 2 A , A1 , 3 2 1 0 1 2 1 2 0 1
2 0 0 0
其实更简单,分块计算只是为了认识一下矩 阵分块,并且说明直接计算和分块计算结果 是一样的.
10
2.分块矩阵的乘法 我们知道A和B相乘，必须A的元素的列 数等于B的元素的行数；对应地，分块相 A 乘时，A的块的列数必须等于B的块的行 数,并且A的每块元素的列数必须等于B的 每块的元素的行数.
A 1 a2 j
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24 , a a32 a33 a34 31 1 a11 a12 a13 a14 ,

，
B
3 0
4 1
1 3
B11 B21
1 0 1
B12 B22
．
所以，
AB
A11 A21
A12 B11
A22
B21
B12 B22
A11B11 A21 B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21 B12
A12 B22 A22 B22
．
1.1 分块矩阵的运算
1 1
2 3
1，| A3 | 5 ，都不为零，均可逆，故 A 可逆。
又因为
A11
1 3
，
A21
3
1
2 1
，
A31
1 5
，则
．
1.1 分块矩阵的运算
5.例题
由于
A1
A2
A2
A1
A2
A12
A22
，
A3
A3
A32
且
A12
9 ，A22
1 1
2
2
3
3
4
8 11
，A32
C
O
时，有
A O
O 1 A1
B
O
O B 1
．
线性代数
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
Asr
B11 B12
B
B21
B22
Bs1 Bs2
B1r
B2r
Bsr
则 ，
A11 B11
A
B
A21
B21
As1 Bs1
A12 B12 A22 B22
As2 Bs2
A1r B1r

可分块成A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14
a24
a31
a32
a33
a34
记做A
A11 A21
A12
A22
a11 a12 a13 a14
也可分块成A
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
记作A 1,2,3,4
特点 同行上的子矩阵有相同的“行数”； 同列上的子矩阵有相同的“列数”．
二、分块矩阵的运算
1．加法与数乘 设矩阵 A、B 是两个行数和列数相同且采用
相同的分块法得到的分块矩阵
A11
A
As1
A1r
B11
B
Asr
Bs1
其中 Aij , Bij 是同型矩阵 .
B1r
Bsr
（1）加法
A11 B11
A
B
As1 Bs1
A1r B1r
Asr Bsr
1
解 将矩阵 A B 分块
1 0 1 0
B
1
2
0
1
1 0 4 1
1
1
2
0
1 0 0 0
1 0 1 0
A ，
0
1
1 2
0 1
0
0
E A21
. 1 1 0 1
，
O
E
B
1
1
2 0
0 4
1 1
B11 B21
1
1
2
0
E
B22
则有
E
AB
A21
O B11
E
B21

而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行，
aj1,aj2,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故
( AB )T = AT BT
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元
素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
第三节 矩阵的分块
本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的
方法，即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线 与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩
阵称为矩阵A的子块。以子块为元素的形式上 的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些
小矩阵当做一个数来处理。
a11 a12 a13 a14
A11 A21 ... An1
A*
A12 ...
A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊ 伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ：
AA*A*A(detA)E
例 1设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
如果n 阶方阵如果满足主对角线上的元素全 为1，其余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶单位矩阵。记作En 或 E。
如果n 阶方阵主对角线上的元素全为k，其 余元素全为零，这样的 n 阶矩阵称为 n 阶数量 矩阵。
二、矩阵的运算
1.矩阵的加法: 设有两个同型的 m×n 阶矩阵
A= (aij) 、B= (bij)，则矩阵 A 与 B 的和记为 A+B，并规定

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數學（五）第二章 數學（
第一步驟： 第一步驟：依原理 將 與 對調 , 可得出與原方程組 同解的另一方程組幅度
第二步驟：依原理 將 ‧( – 2 ) + 第二步驟： 與 ‧( – 3 ) + 可得出與原方程組同解的另一方程組
x+ y−z = 8 2 x − y + 3z = − 2 3 x − 9 y − 2 z = 9
將
1 1 −1 8 × 1 3 → 0 −3 5 − 18 ×(–4) 0 −12 1 −15 1 ．( ) + 與 ．( – 4 ) + ,
2 2 10 1 0 3 11 → 0 − 3 5 −18 12 0 0 −19 57 第14頁/38頁 14頁/38 頁
2 x − y + 3 z = − 2 方程組 x + y − z = 8 可以用矩陣表示為 3 x − 9 y − 2 z = 9
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2 −1 3 − 2 1 1 −1 8 . 3 −9 −2 9
數學（五）第二章 數學（
數學（五）第二章 數學（
第四步驟：依原理 第四步驟：
可得出與原方程組同解的另一方程組
1 將 14． ( − ) 與 3
1 15 ． − ( ), 19
16
x
2 + z=2 3 5 y− z=6 3
z=−3
17
18
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數學（五）第二章 數學（
x + y − z = 8 − 3 y + 5 z = − 18 − 19 z = 57