抛物线与面积问题
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2014年二轮复习抛物线之焦点弦面积问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455抛物线之对称与比例高考大纲自检自查必考点抛物线22y px =与过焦点直线()2py k x =-联立 2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去x ,得2()22y p y k p =-,整理得到2022k kp y y p --= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则21221210(*)2k p y y k y y p ⎧=+>⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩V抛物线焦点弦性质总结AB 过焦点,Q 为AB 的中点,1122(,),(,)A x y B x y性质1:''AQ BQ ⊥⇔以AB 为直径的圆与准线相切于'Q 性质2:''A F B F ⊥ 性质3:'Q F AB ⊥性质4:'Q B 垂直平分'B F ,'Q A 垂直平分''A F AQ ⇔平分'A AF ∠,'BQ 平分'B BF ∠性质5:2'Q F AF BF = 性质6:221212,4p x x y y p ==- 性质7:2'min Q AB S p =V 性质8:以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切性质9:'AB 过原点O ,'A B 过原点O性质10:过A 点作AO 并延长交准线于'B ,则'BB 平行于x 轴自检自查必考点B'Q'QA'FOyxBAF'B'A'FOyBA性质11:1cos p AF α=- ;()1cos pBF AFx αα=∠=+112;AF BF p += 1222sin pAB x x p α=++= 22sin ABC p S α=V 性质12:2''4A B AF BF =【例1】 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于1122(,),B(,)A x y x y 两点,求证:(1)12AB x x p =++ (2)112AF BF P+=【例2】 设抛物线20)2(y px p =>的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A B 、两点,点C 在抛物线的准线上,且BC x P 轴. 证明:直线AC 经过原点O .例题精讲【例3】 在平面直角坐标系xOy 中,过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作直线与抛物线相交于A B ,两点.若点N 是点F 关于坐标原点O 的对称点,求ANB ∆面积的最小值.【例4】 如图,P 是抛物线22y x =上的动点,点,B C 在y 轴上,圆()2211x y -+=内切于PBC ∆,求PBC ∆面积的最小值.【例5】 已知抛物线24x y =的焦点为F ,过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ,B 两点,抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M .(I )求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列; (II )设直线MF 交该抛物线于C ,D 两点,求四边形ACBD面积的最小值.【例6】 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A B 、两点,点R 是含抛物线顶点C 的弧AB 上一点,求RAB ∆的最大面积.yxOMFDCBA【例7】 如图所示,设抛物线22(01)y px p =<< 与圆()2259x y -+=在x 轴上方的交点为A B 、,与圆()22627x y -+=在x 由上方的交点为C D 、,P AB 为中点,Q CD 为的中点.(1)求PQ .(2)求ABQ ∆面积的最大值.【例8】 如图,正方形ABCD 的边AB 在直线:4l y x =+ 上,,C D 两点在抛物线2y x =上,求正方形ABCD 的面积.【例9】 如图,抛物线顶点在原点,圆224x y x +=的圆心是抛物线的焦点,直线l 过抛物线的焦点,且斜率为2,直线l 交抛物线与圆依次为,,,A B C D 四点,求AB CD +的值.【例10】 已知抛物线24x y =的焦点为F A B ,、是抛物线上的两动点,且0AF FB λλu u u r u u u r= (>).过A B 、两点分别作抛物线的切线,设其交点为M .(Ⅰ)证明FM AB ⋅u u u u r u u u r为定值;(Ⅱ)设ABM ∆的面积为S ,写出()S f λ=的表达式,并求S 的最小值.。
中考数学抛物线压轴题之面积问题(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为抛物线上第四象限内一动点,顺次连接AC,CM,MB,是否存在点M,使四边形MBAC的面积为9,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.(3)将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点,过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E,且D在N的上方,将A点绕O顺时针旋转90°得M,若∠NBD=∠MBO,试求E的的坐标.2.已知:如图,直线y=﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点,抛物线y=x2+bx+c过A、C两点,(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点,连接PA,PC,试问△PAC的面积是否存在最大值,若存在,请求出△APC面积的最大值,以及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点M为抛物线上一点,点N为抛物线对称轴上一点,若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形,请直接写出点M的坐标.3.如图1,二次函数y=﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C点,连结AC,过点C作CD⊥AC交AB于点D.(1)求点D的坐标;(2)如图2,已知点E是该二次函数图象的顶点,在线段AO上取一点F,过点F作FH⊥CD,交该二次函数的图象于点H(点H在点E的右侧),当五边形FCEHB的面积最大时,求点H的横坐标;(3)如图3,在直线BC上取一点M(不与点B重合),在直线CD的右上方是否存在这样的点N,使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.4.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过原点,且与直线y=﹣kx+6交于则A(6,3)、B(﹣4,8)两点.(1)求直线和抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,解决下列问题:①在直线AB下方的抛物线上求点P,使得△PAB的面积等于20;②连接OA,OB,OP,作PC⊥x轴于点C,若△POC和△ABO相似,请直接写出点P的坐标.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=1,与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点E,与抛物线交于点P,Q(点P在y轴左侧,点Q在y轴右侧),连接CP,CQ,若△CPQ的面积为,求点P,Q的坐标;(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G顺时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上?若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.6.在平面直角坐标系中,直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B.(1)求c的值及a、b满足的关系式;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;(3)如图,当a=﹣1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(4,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),对称轴x=与x轴交于点H.(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线y=kx+1(k≠0)与y轴交于点E,与抛物线交于点 P,Q(点P在y轴左侧,点Q在y轴右侧),连接CP,CQ,若△CPQ的面积为,求点P,Q的坐标;(3)在(2)的条件下,连接AC交PQ于G,在对称轴上是否存在一点K,连接GK,将线段GK绕点G逆时针旋转90°,使点K恰好落在抛物线上,若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),点B在x轴的负半轴上,且OA=3OB.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标;(3)在线段OC上是否存在一点M,使BM+CM的值最小?若存在,请求出这个最小值及对应的M点的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.(1)求此抛物线的解析式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不点B,C重合),过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长.②连接PB,PC,求△PBC的面积最大时点P的坐标.(3)设抛物线的对称轴与BC交于点E,点M是抛物线的对称轴上一点,N为y轴上一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形?如果存在,请直接写出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B 三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.①求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标;②当△OPC为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.11.如图抛物线y=ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A(﹣6,0)和点B(2,0),与y轴交于点C,点P 是抛物线上一个动点(不与点C重合)(1)求抛物线的解析式;(2)当点P是抛物线上一个动点,若△PCA的面积为12,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线的顶点为D,在抛物线上是否存在点E,使得∠EAB=2∠DAC,若存在请直接写出点E 的坐标;若不存在请说明理由.12.如图,直线y=x+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=x2+bx+c经过点B,C,与x轴的另一个交点为点A.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标;(3)若点M是抛物线上一点,请直接写出使∠MBC=∠ABC的点M的坐标.13.综合与探究如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)点N是抛物线上异于点C的动点,若△NAB的面积与△CAB的面积相等,求出点N的坐标;(3)如图2,当P为OB的中点时,过点P作PD⊥x轴,交抛物线于点D.连接BD,将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度(0<m≤2),将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S,求S与m的函数关系式.14.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.15.如图,已知关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.(1)求出二次函数的关系式;(2)点P为线段MB上的一个动点,过点P作x轴的垂线PD,垂足为D.若OD=m,△PCD的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出m的取值范围;(3)探索线段MB上是否存在点P,使得△PCD为直角三角形?如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.16.如图,Rt△AOB中,∠A=90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA=2,AB =8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.(1)填空:直线OC的解析式为;抛物线的解析式为;(2)现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上(包括端点O、C),抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形?如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.17.已知抛物线y=﹣x2+bx和直线l:y=x﹣b.(1)求证:抛物线与直线l至少有一个公共点;(2)若抛物线与直线l交于A,B两点,当线段AB上恰有2个纵坐标是整数的点时,求b的取值范围;(3)当b>0时,将直线l向上平移b+1个单位长度得直线l',若抛物线y=﹣x2+bx的顶点P在直线l'上,且与直线l'的另一个交点为Q,当点C在直线l'上方的抛物线上时,求四边形OPCQ面积的最大值.18.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣2,0)、B(4,0),交y轴于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的解析式;(2)动点D在第四象限且在抛物线上,当△BCD面积最大时,求点D坐标,并求△BCD面积的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得∠QBC=45°,如果存在,直接写出点Q坐标,不存在,请说明理由.19.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标:(3)在抛物线上存在点P,使得△APB的面积与△ACB的面积相等,求点P的坐标.20.如图,对称轴x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(2,0),B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上的动点,求△BPC的面积的最大值;(3)若点P在抛物线对称轴的左侧运动,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,且PE=OD,求点P的坐标;(4)在对称轴上是否存在一点M,使△AMC的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值;若不存在,请说明理由.21.如图,已知抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)直接写出点A、B、C的坐标;(2)在抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA+PC的值最小,求此时点P的坐标;(3)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,直线BC把△BDF的面积分成两部分,使S△BDE:S△BEF=2:3,请求出点D的坐标;(4)若M为抛物线对称轴上一动点,使得△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.22.如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0)、C(0,3)两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点.作直线BC.点P是抛物线上的一个动点.过点P作PQ⊥x轴,交直线BC于点Q.设点P的横坐标为m(m>0).PQ 的长为d.(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标;(2)求d与m之间的函数关系式;(3)当点P在直线BC下方,且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1:2时,求m的值;(4)连接AC,作直线AP,直线AP交直线BC于点M,当△PCM、△ACM的面积相等时,直接写出m的值.23.已知:如图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A点,与y轴交于C点,且A(1,0)、B(3,0),点D 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)在y轴上是否存在M点,使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线上的动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标.24.如图,开口向下的抛物线y=ax2﹣5ax+4a(a为常数)与x轴交于A、B两点(A在B点左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,横坐标设为t,连接DC、DB.(1)求A、B的坐标.(2)当点D为抛物线的顶点时,△BCD的面积为15,求抛物线的解析式.(3)若a=﹣1,过点D作x轴的垂线,垂足为H,当1≤t≤4时,DH+mHO的最大值为.求正实数m的值.25.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这个二次函数的关系解析式,x满足什么值时y<0?(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.26.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣4,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,过点A 的直线y=mx+n交抛物线的另一个点为点E,点E的横坐标为2.(1)求b和c的值;(2)点P在直线AE下方的抛物线上任一点,点P的横坐标为t,过点P作PF∥y轴,交AE于点F,设PF =d,求出d与t的函数关系式,并直接写出t的取值范围;(3)在(2)问的条件下,过点P作PK⊥AE,垂足为点K,连接PE,若PF把△PKE分成面积比为11:12的两个三角形,求出此时t的值.27.若抛物线上y1=ax2+bx+c,它与y轴交于C(0,4),与x轴交于A(﹣1,0)、B(k,0),P是抛物线上B、C之间的一点.(1)当k=4时,求抛物线的方程,并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标;(2)当a=1时,求抛物线的方程及B的坐标,并求当△BPC面积最大时P的横坐标;(3)根据(1)、(2)推断P的横坐标与B的横坐标有何关系?28.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接AC,BC,将△OBC沿BC所在的直线翻折,得到△DBC,连接OD.(1)用含a的代数式表示点C的坐标.(2)如图1,若点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方,求抛物线的解析式.(3)设△OBD的面积为S1,△OAC的面积为S2,若=,求a的值.29.如图,抛物线y=ax2﹣x﹣2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.30.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD是菱形,顶点A、C、D均在坐标轴上,且AB=5,sinB=.(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c,求当y1<y2时,自变量x的取值范围;(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E,P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点,当P点在何处时,△PAE的面积最大?并求出面积的最大值.31.如图,在平面直角坐标系xOy中,AB⊥x轴于点B,AB=3,tan∠AOB=,将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°,得到△OA1B1;再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°,得到△OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点B、B1、A2.(1)求抛物线的解析式.(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,△PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标.(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.32.在平面直角坐标系中,直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A、B.(1)求c的值及a、b满足的关系式;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;(3)如图,当a=﹣1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.33.如图①,在平面直角坐标中,点A的坐标为(1,﹣2),点B的坐标为(3,﹣1),二次函数y=﹣x2的图象为l1.(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线经过点A,但不过点B.①满足此条件的函数解析式有个.②写出向下平移且经点A的解析式.(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线经过A,B两点,所得的抛物线l2,如图②,求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标,并求△ABC的面积.(3)在y轴上是否存在点P,使S△ABC=S△ABP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.34.如图1,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等?若存在求出点P,若不存在请说明理由;(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出点F的坐标,若不存在请说明理由.35.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O 开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.(1)直接写出抛物线的解析式:;(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?最大面积是多少?(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.36.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4)、C(5,0),二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A,C两点.(1)求该二次函数的表达式;(2)F、G分别为x轴,y轴上的动点,顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值;(3)抛物线上是否在点P,使△ODP的面积为12?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.37.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,当△PBQ 存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK:S△PBQ=5:2,求K点坐标.38.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B点重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值;(2)设点P的横坐标为m;①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在,直接写出m的值;若不存在,说明理由.39.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2与直线y=x﹣2交于点A(m,0)和点B(﹣2,n),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)若向下平移抛物线,使顶点D落在x轴上,原来的抛物线上的点P平移后的对应点为P′,若OP′=OP,求点P的坐标;(3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB的面积是△ABC面积的一半?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.1.【解答】解:(1)∵A(﹣1,0),∴OA=1,OC=3OA=3,∴C(0,﹣3),将A(﹣1,0)、C(0,﹣3)代入y=x2+mx+n中,得,解得,∴y=x2﹣2x﹣3;(2)存在,理由:令y=0,则x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴B(3,0),∴直线BC的解析式为y=x﹣3,设M(m,m2﹣2m﹣3),过点M作MN∥y轴交BC于N,如图1,∴N(m,m﹣3),∴MN=m﹣3﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+3m,∴S四边形MBAC=S△ABC+S△BCM=AB×OC+MN×OB=×4×3×(﹣m2+3m)×3=9,解得:m=1或2,故点M的坐标为(1,﹣4)或(2,﹣3);(3)∵OB=OC=ON,∴△BON为等腰直角三角形,∵∠OBM+∠NBM=45°,∴∠NBD+∠NBM=∠DBM=45°,∴MB=MF,过点M作MF⊥BM交BE于F,过点F作FH⊥y轴于点H,如图2,∴∠HFM+∠BMO=90°,∵∠BMO+∠OMB=90°,∴∠OMB=∠HFM,∵∠BOM=∠MHF=90°,∴△BOM≌△MHF(AAS),∴FH=OM=1,MH=OB=3,故点F(1,4),由点B、F的坐标得,直线BF的解析式为y=﹣2x+6,联立,解得,∴E(﹣3,12).2.【解答】解:(1)y=﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点,则点A、C的坐标分别为:(﹣3,0)、(0,﹣3);将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:,解得,故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3;(2)存在,理由:如图1,过点P作y轴的平行线交AC于点H,设点P(x,x2+2x﹣3),则点H(x,﹣x﹣3),△APC面积S=S△PHA+S△PHC=×PH×OA=(﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3)×3=﹣x2﹣x,∵﹣<0,故S有最大值,当x=﹣时,S的最大值为,此时点P(﹣,﹣);(3)如图2,设点N(﹣1,s),点M(m,n),n=m2+2m﹣3,过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H,交过点N与x轴的平行线于点G,∵∠GMN+∠GNM=90°,∠GMN+∠HMC=90°,∴∠HMC=∠GNM,∵∠MGN=∠CHM=90°,MN=MC,∴△MGN≌△CHM(AAS),∴GN=MH,即GN=|﹣1﹣m|=MH=|n+3|,①当﹣1﹣m=n+3时,即m+n+4=0,即m2+3m+1=0,解得:m=,故点M(,);②当﹣1﹣m=﹣(n+3)时,即m=n+2,同理可得:点M(,);故点M的坐标为:(,)或(,)或(,)或(,).3.【解答】解:(1)令x=0,则y=3,∴C(0,3),∴OC=3.令y=0,则﹣x2+x+3=0,解得:x1=﹣4,x2=6,∴A(﹣4,0),B(6,0),∴OA=4,OB=6.∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,∵CO⊥AD,∴OC2=OA•OD,∴OD=,∴D(,0).(2)∵y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣1)2+,∴E(1,).如图2,连接OE、BE,作HG⊥x轴于点G,交BE于点P.由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为:y=﹣x+.设H(m,﹣m2+m+3),则P(m,﹣m+).∴HG=﹣m2+m+3,HP=y H﹣y P=﹣m2+m﹣.∴S△BHE=(x B﹣x E)•HP=(﹣m2+m﹣)=﹣m2+m﹣.∵FH⊥CD,AC⊥CD,∴AC∥FH,∴∠HFG=∠CAO,∵∠AOC=∠FGH=90°,∴△ACO∼△FHG,∴==,∴FG=HG=﹣m2+m+4,∴AF=AG﹣FG=m+4+m2﹣m﹣4=m2+m,∴S△AFC=AF•OC=(m2+m)=m2+m,∵S四边形ACEB=S△ACO+S△OCE+S△OEB=×4×3+×3×1+6×=,∴S五边形FCEHB=S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC=+(﹣m2+m﹣)﹣(m2+m)=﹣m2+m+15=﹣(m ﹣)2+,∴当m=时,S五边形FCEHB取得最大值.此时,H的横坐标为.(3)∵B(6,0),C(0,3),D(,0),∴CD=BD=,BC=3,∴∠DCB=∠DBC.①如图3﹣1,△CMN≌△DCB,MN交y轴于K,则CM=CN=DC=DB=,MN=BC=3,∠CMN=∠CNM=∠DBC=∠DCB,∴MN∥AB,∴MN⊥y轴,∴∠CKN=∠COB=90°,MK=NK=MN=,∴△CKN∼△COB,∴==,∴CK=,∴OK=OC+CK=,∴N(,).②如图3﹣2,△MCN≌△DBC,则CN=CB=3,∠MCN=∠DBC,∴CN∥AB,∴N(3,3).③如图3﹣3,△CMN≌△DBC,则∠CMN=∠DCB,CM=CN=DC=DB=,MN=BC=3,∴MN∥CD,作MR⊥y轴于R,则===,∴CR=,RM=,∴OR=3﹣,作MQ∥y轴,NQ⊥MQ于点Q,则∠NMQ=∠DCO,∠NQM=∠DOC=90°,∴△COD∼△MQN,∴==,∴MQ=MN=,NQ=MN=,∴NQ﹣RM=,OR+MQ=,∴N(﹣,).综上所述,满足要标的N点坐标有:(,)、(3,3)、(﹣,).4.【解答】解:(1)把A(6,3)代入y=﹣kx+6,得3=﹣6x+6.解得k=﹣.故直线的解析式是:y=﹣x+6.把O(0,0)、A(6,3)、B(﹣4,8)分别代入y=ax2+bx+c,得.解得.故该抛物线解析式是:y=x2﹣x;(2)①如图1,作PQ∥y轴,交AB于点Q,设P(x,x2﹣x),则Q(x,﹣x+6),则PQ=(﹣x+6)﹣(x2﹣x)=﹣(x﹣1)2+,∴S△PAB=(6+4)×PQ=﹣(x﹣1)2+=20,解得x1=﹣2,x2=4,∴点P的坐标为(4,0)或(﹣2,3);②设P(x,x2﹣x),如图2,由题意得:AO=3,BO=4,AB=5,∵AB2=AO2+BO2,∴∠AOB=90°,∵∠AOB=∠PCO,∴当=时,△CPO∽△OAB,即=.整理,得4|x2﹣x|=3|x|.解方程4(x2﹣x)=3x,得x1=0(舍去),x2=7,此时P点坐标为(7,);解方程4(x2﹣x)=﹣3x,得x1=0(舍去),x2=1,此时P点坐标为(1,﹣);当=时,△CPO∽△OBA,即=,整理,得3|x2﹣x|=4|x|,解方程3(x2﹣x)=4x,得x1=0(舍去),x2=,此时P点坐标为(,).解方程3(x2﹣x)=﹣4x,得x1=0(舍去),x2=﹣,此时P点坐标为(﹣,).综上所述,点P的坐标为:(7,)或(1,﹣)或(﹣,)或(,).5.【解答】解:(1)对称轴x=1,则点B(﹣2,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣4)=a(x2﹣2x﹣8),即﹣8a=2,解得:a=,故抛物线的表达式为:y=;(2)设直线PQ交y轴于点E(0,1),点P、Q横坐标分别为m,n,△CPQ的面积=×CE×(n﹣m)=,即n﹣m=2,联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得:…①,m+n=2﹣4k,mn=﹣4,n﹣m=2==,解得:k=0(舍去)或1;将k=1代入①式并解得:x=,故点P、Q的坐标分别为:(,﹣)、(,).(3)设点K(1,m),联立PQ和AC的表达式并解得:x=,故点G(,)过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M,交过点R与y轴的平行线于点N,则△KMG≌△GNR(AAS),GM=1﹣==NR,MK=,故点R的纵坐标为:,则点R(m﹣1,)将该坐标代入抛物线表达式解得:x=,故m=,故点K(1,).6.【解答】解:(1)y=x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=﹣3,故点A、B的坐标分别为(﹣3,0)、(0,3),则c=3,则函数表达式为:y=ax2+bx+3,将点A坐标代入上式并整理得:b=3a+1;(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,则函数对称轴x=﹣≥0,而b=3a+1,即:﹣≥0,解得:a≥﹣,故:a的取值范围为:﹣≤a<0;(3)当a=﹣1时,b=3a+1=﹣2二次函数表达式为:y=﹣x2﹣2x+3,过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,∵OA=OB,∴∠BAO=∠PQH=45°,S△PAB=×AB×PH=×3×PQ×=,则PQ=|y P﹣y Q|=1,在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,则直线m与抛物线两个交点,分别与点AB组成的三角形的面积也为1,故:|y P﹣y Q|=1,设点P(x,﹣x2﹣2x+3),则点Q(x,x+3),即:﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3=±1,解得:x=或,故点P(,)或(,)或(,)或(,).7.【解答】解:(1)对称轴x=,则点B(﹣1,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣4)=a(x2﹣3x﹣4),即﹣4a=2,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=x2+x+2;(2)设直线PQ交y轴于点E(0,1),点P、Q横坐标分别为m,n,△CPQ的面积=×CE×(n﹣m)=,即n﹣m=,联立抛物线于直线PQ的表达式并整理得:x2+(﹣k)x+1=0…①,m+n=3﹣2k,mn=﹣2,n﹣m===解得:k=0(舍去)或3;故y=3x+1,则x2+x+2=3x+1,解得:x=,故点P、Q的坐标分别为:(,)、(,);(3)设点K(,m),联立PQ和AC的表达式并解得:x=,故点G(,),过点G作y轴的平行线交过点K′与x轴的平行线于点M,交过点K与x轴的平行线于点N,则△GNK≌△K′MG(AAS),NK=﹣==MG,NG=﹣m,则点K′(﹣m,)将该坐标代入抛物线表达式并解得:m=,故点K(,)或(,).8.【解答】解:(1)OA=3OB=3,则点B(﹣1,0),抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即﹣3a=3,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+3;(2)过点P作y轴的平行线交CA于点H,由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为:y=﹣x+3△ACP的面积=PH×OA=3×(x2﹣2x+3+x﹣3)=(﹣x2+3x),当x=时,△ACP的面积的最大,最大值为:,此时点P(,);(3)过点M作MN⊥AC,则MN=CM,故当B、M、N三点共线时,BM+CM=BN最小,直线CA的倾斜角为45°,BN⊥AC,则∠NBA=45°,即BN=AB=2=AN,则点N(1,2),由点B、N的坐标得,直线BN的表达式为:y=x+1,故点M(0,1).9.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,∴,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)如图:①设P(m,m2﹣4m+3),将点B(3,0)、C(0,3)代入得直线BC解析式为y BC=﹣x+3.∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,∴D(m,﹣m+3),∴PD=(﹣m+3)﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+3m.答:用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m.②S△PBC=S△CPD+S△BPD=OB•PD=﹣m2+m=﹣(m﹣)2+.∴当m=时,S有最大值.当m=时,m2﹣4m+3=﹣.∴P(,﹣).答:△PBC的面积最大时点P的坐标为(,﹣).(3)存在这样的点M和点N,使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形.根据题意,点E(2,1),∴EF=CF=2,∴EC=2,根据菱形的四条边相等,∴ME=EC=2,∴M(2,1﹣2)或(2,1+2)当EM=EF=2时,M(2,3)答:点M的坐标为M1(2,3),M2(2,1﹣2),M3(2,1+2).10.【解答】解:(1)x2﹣2x﹣3=0,则x=3或﹣1,故点A、B的坐标分别为(﹣1,﹣1)、(3,﹣3),设抛物线的表达式为:y=ax2+bx,将点A、B的坐标代入上式得:,解得:,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x;(2)将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:直线AB的表达式为:y=﹣x﹣,故点C(0,﹣),同理可得:直线OP的表达式为:y=﹣x;①过点D作y轴的平行线交AB于点H,设点D(x,﹣x2+x),则点H(x,﹣x),△BOD面积=×DH×x B=×3(﹣x2+x+x)=﹣x2+x,∵,故△BOD面积有最大值为:,此时x=,故点D(,﹣);②当OP=PC时,则点P在OC的中垂线上,故y P=﹣,则点P(,﹣);②当OP=OC时,t2+t2=()2,解得:t=(舍去负值),故点P(,﹣);③当PC=OC时,同理可得:点P(,﹣);综上,点P(,﹣)或(,﹣)或(,﹣).11.【解答】解:(1)函数的表达式为:y=a(x+6)(x﹣2)=a(x2+4x﹣12),﹣12a=6,解得:a=﹣,函数的表达式为:y=﹣x2﹣2x+6…①,顶点D坐标为(﹣2,8);(2)如图1所示,过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′,在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″,过点P作PH∥y轴交AC于点H,作PG⊥AC于点G,∵OA=OC,∴∠PHG=∠CAB=45°,则HP=PG,S△PCA=PG×AC=PG×6=12,解得:PH=4,直线AC的表达式为:y=x+6,则直线m的表达式为:y=x+10…②,联立①②并解得:x=﹣2或﹣4,则点P坐标为(﹣2,8)或(﹣4,6);直线n的表达式为:y=x+2…③同理可得点P(P″、P′″)的坐标为(﹣3﹣,﹣﹣1)或(﹣3,﹣1),综上,点P的坐标为(﹣2,8)或(﹣4,6)或(﹣3﹣,﹣﹣1)或(﹣3,﹣1).(3)点A、B、C、D的坐标为(﹣6,0)、(2,0)、(0,6)、(﹣2,8),则AC=,CD=,AD=,则∠ACD=90°,sin∠DAC==,延长DC至D′使CD=CD′,连接AD′,过点D作DH⊥AD′,则DD′=2,AD=AD′=,S△ADD′=DD′×AC=DH×AD′,即:2×=DH×,解得:DH=,sin2∠DAC=sin∠DAD′====sin∠EAB,则tan∠EAB=,①当点E在AB上方时,则直线AE的表达式为:y=x+b,将点A坐标代入上式并解得:直线AE的表达式为:y=x+…④,联立①④并解得:x=(不合题意值已舍去),即点E(,);②当点E在AB下方时,同理可得:点E(,﹣),综上,点E(,)或(,﹣).12.【解答】解:(1)将点B坐标代入y=x+c并解得:c=﹣3,故抛物线的表达式为:y=x2+bx﹣3,将点B坐标代入上式并解得:b=﹣,故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣3;(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,设点P(x,x2﹣x﹣3),则点H(x,x﹣3),S四边形ACPB=S△AOC+S△PCB,∵S△AOC是常数,故四边形面积最大,只需要S△PCB最大即可,S△PCB=×OB×PH=×2(x﹣3﹣x2+x+3)=﹣x2+3x,∵﹣<0,∴S△PCB有最大值,此时,点P(2,﹣);(3)过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G,交抛物线于M′,设∠MBC=∠ABC=2α,过点B在BC之下作角度数为α的角,交抛物线于点M,过点G作GK⊥BC交BC于点K,延长GK交BM于点H,则GH=GN,BC是GH的中垂线,OB=4,OC=3,则BC=5,设:OG=GK=m,则CK=CB﹣HB=5﹣4=1,由勾股定理得:(3﹣m)2=m2+1,解得:m=,则OG=ON=,GH=GN=2OG=,点G(0,﹣),在Rt△GCK中,GK=OG=,GC=OC﹣OG=3﹣=,则cos∠CGK==,sin∠CGK=,则点K(,﹣),点K是点GH的中点,则点H(,﹣),则直线BH的表达式为:y=x﹣…②,同理直线BG的表达式为:y=x﹣…③联立①②并整理得:27x2﹣135x+100=0,解得:x=或4(舍去4),则点M(,﹣);联立①③并解得:x=﹣,故点M′(﹣,﹣);故点M(,﹣)或(﹣,﹣).13.【解答】解:(1)如图1,把点A(﹣2,0)、B(4,0)分别代入y=ax2+bx﹣3(a≠0),得,解得,所以该抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣3;(2)将x=0代入y=x2﹣x﹣3,得y=﹣3,∴点C的坐标为(0,﹣3),∴OC=3.设N(x,y),∵S△NAB=S△CAB,∴|y|=OC=3,∴y=±3.当y=3时,x2﹣x﹣3=3,解得x=+1.当y=﹣3时,x2﹣x﹣3=﹣3,解得x1=2,x2=0(舍去).综上所述,点N的坐标是(+1,3)或(﹣+1,3)或(2,﹣3);(3)如图2,由已知得,BB′=m,PB′=2,设直线BC的表达式为y=kx+b(k≠0).∵直线y=kx+b经过点B(4,0),C(0,﹣3),∴,解得,∴直线BC的表达式为y=x﹣3.当0<m≤2时,由已知得P′B=2+m.∵OP′=2﹣m,∴E(2﹣m,﹣m﹣).由OB=4得OP=2,把x=2代入y=x2﹣x﹣3中,得y=﹣3,∴D(2,﹣3),∴直线CD∥x轴.∵EP′=m+,D′P=3,∴ED′=DP′﹣EP′=3﹣m﹣=﹣m+.过点F作FH⊥PD′于点H,则∠D′HF=∠D′P′B′=90°.∵∠HD′F=∠P′D′B′,∴△D′HF∽△D′P′B′,∴=.∵∠FCD′=∠FBB′,∠FD′C=∠FB′B,∴△CD′F∽△BB′F,∴=.又∵CD′=2﹣m,∴=.设D′F=k(2﹣m),B′F=km,∴D′B′=2k,∴=.∴=.∵P′B′=2,∴HF=2﹣m.∴S△ED′F=ED′•HF=×(﹣m+)×(2﹣m).∵S△PB′D′=PB′•PD′=×3×2=3,∴S=S△PB′D′﹣S△ED′F=3﹣×(﹣m+)×(2﹣m)=﹣m2+m+.14.【解答】解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3;又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3),得,解得,故直线AC为y=x+1;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4),当x=1时,y=x+1=2,∴B(1,2),∵点E在直线AC上,设E(x,x+1).①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,解得,x=0或x=1(舍去),∴E(0,1);②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1),∵F在抛物线上,∴x﹣1=﹣x2+2x+3,解得x=或x=,。
第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题:例、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的A、B两个顶点在x轴上,顶点C在y轴的负半轴上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面积S△ABC=15,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。
⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标;⑵求S△MBC;归纳:怎样求坐标系内任意三角形的面积问题:二、抛物线中三角形的等积变化:1、在抛物线上是否存在点D,使得△ABC和△ABD面积相等,若存在,求出点D的坐标,若不存在,说明理由。
2、在抛物线上是否存在点E,使得△ABC和△BCE面积相等,若存在,求出点E的坐标,若不存在,说明理由。
S△ABC。
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由3、在抛物线上是否存在点M,使S△MBC= 134、(2011成都)在抛物线上是否存在异于B、C的点M,使△MBC中BC边上的高为7√?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.5、点P(2,-3)是抛物线对称轴上的一点,在线段OC上有一动点M,以每秒2个单位的速度从O向C 运动,(不与点O,C重合),过点M作MH∥BC,交X轴于点H,设点M的运动时间为t秒,试把△PMH 的面积S表示成t的函数,当t为何值时,S有最大值,并求出最大值;6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5,在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F,使得△BCF的面积最大,若存在,求出点F的坐标,并求出最大面积,若不存在,说明理由。
练习:1、如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2,与y轴交于点C(0,-4),其中x1,x2是方程x2-4x-12=0的两个根.(1)求A、B两点坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)点M是线段AB上的一个动点(不与A、B两点重合),过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,在M点运动时,△CMN的面积是否存在最大值?若存在,求出△CMN面积最大时点M的坐标;若不存在,请说明理由.2、(2010玉溪)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,△AOB(1)求点B的坐标;(2)求过点A、O、B的抛物线的解析式;(4)在(2)中x轴下方的抛物线上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线,交直线AB于点D,线段OD 把△AOB分成两个三角形.使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.yAB。
抛物线面积计算公式:S=x^2(1)y。
抛物线是指平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹,包含两个方面的问题,凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性)。
另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。
求得抛物线中三角形面
积最大值,就先要分析抛物线的基本参数,因为抛物线是一种比较复杂的曲线,需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。
抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c,a为抛物线的系数,a>0,抛物线呈转弯向上,a<0,呈
转弯向下;b表示抛物线的开口方向,b>0,表示开口向右,b<0,表示开口向左。
因此,
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置,以及抛物线的开口位置,就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。
在定位了三角形端点位置后,只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积:S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2,a,b,c分别为三角形的三边长。
最后,把求的所有的三角形面积按从大到小排列,那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。
抛物线中三角形面积最大值问题,要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征,以及
三角形的基本定义,之后再结合海伦公式求出最大面积。
海伦公式和抛物线方程是相结合,那么广大教师和学生并不必对此感到困惑,只需要把这两个概念理解深入,就能在一定的
时间内得出满意的答案。
抛物线与面积问题
知识聚焦:
面积是平面几何中一个重要的概念,关联着平面图形中的重要元素边与角,
由动点而生成的面积问题,是抛物线与直线相结合的常见形式.解这类问题常用
到以下与面积相关的知识:
(1)图形的割补;
(2)等积变形;
(3)等比转化.
1、已知抛物线y=x2—(m+3)x+23(m+1).
(1)小明发现无论m为何值时,抛物线总与x轴相交,你知道为什么吗?请给
予说明;
(2)如图,抛物线与x轴的正半轴交于M、N两点,且线段MN的长度为2,
求此抛物线的解析式;
(3)如图,(2)中的抛物线与y轴交于点A,过点A的直线y=x+b与抛物线的
另一个交点为点B,与抛物线的对称轴交于点D,点C为抛物线的顶点.问在线
段AB上是否存在一点P,过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,使四边形DCEP
为平行四边形?若存在,请求出该平行四边形的面积;若不存在,说明理由.
2、已知抛物线y=x2+4ax+3a2(a﹥0).
(1)求证:抛物线的顶点必在x轴的下方;
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的右边),过A、B两点的圆
M与y轴相切,且点M的纵坐标为3,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,若抛物线的顶点为P,抛物线与y轴交于点C,求△
CPA的面积。
3、如图,对称轴为直线x=—2的抛物线经过A(一3,O)和B(O,一3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点D(m.n)是抛物线上一动点,且位于第二象限,四边形ODAE是以0A
为对角线的平行四边形.
①当四边形ODAE的面积为49时,请判断四边形ODAE是否为菱形,并说明理
由;
②当点E也刚好落在抛物线上时,求m的值;
(3)设抛物线与x轴另一交点为C,抛物线上是否存在点P,使得△PBC为直
角三角形?若存在,直接写
出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4、如图,已知抛物线与x轴交于A(一l,O)、B(4,O)两点,
与y轴交于点C(0,3)
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若
存在,求出点P韵坐标;若不存在,请说明理由.