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第2课时 平面直角坐标系中的位似变换1.理解位似图形的坐标变化规律；（难点）2.能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律作出位似图形.（重点）一、情景导入观察如图所示的坐标系中的几个图形，它们之间有什么联系？二、合作探究 探究点：平面直角坐标系中的位似变换 【类型一】 求在坐标系中进行位似变化对应点的坐标在平面直角坐标系中，已知点A（6，4），B （4，－2），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ）A.（3，2）B.（12，8）C.（12，8）或（－12，－8）D.（3，2）或（－3，－2）解析：根据题意画出相应的图形，找出点A 的对应点A ′的坐标即可.如图，△A ′B ′O 与△A ″B ″O 即为所作的位似图形，可求得点A 的对应点的坐标为（3，2）或（－3，－2）.故选D. 方法总结：位似图形与位似中心有两种情况：（1）位似图形在位似中心两侧；（2）位似图形在位似中心同侧.若题中未指明位置关系，应该分两种情况讨论，防止漏解.【类型二】 在平面直角坐标系中画位似图形如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （2，4），C （4，5），D （3，1）围成四边形ABCD ，作出一个四边形ABCD 的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点.解析：以坐标原点O 为位似中心的两个位似图形，一种可能是位似图形在位似中心同侧，此时各顶点的坐标比为2；另一种可能是位似图形在位似中心的两侧，此时各顶点的坐标比为－2，此题作出一个即可.解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律，分别取A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2），顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′.则四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的一个位似图形.方法总结：画以原点为位似中心的位似图形的方法：将一个多边形各点的横坐标与纵坐标都乘±k（或除以±k），可得新多边形各顶点的坐标，描出这些点并顺次连接这些点即可.三、板书设计平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.位似变换是特殊的相似变换.以学生的自主探究为主线，培养学生的探索精神和合作意识.注重数形思想的渗透，通过坐标变换，在平面坐标系中，让学生画图、观察、归纳、交流，得出结论.在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律.通过交流合作，体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心.。
位似图形对应点坐标变化规律及拓展
归纳图形点移动规律，可概括为“双曲线关于原点的对称性规律”。
即，点的水平（x）坐标无论如何变化，纵（y）坐标却要遵循特定的函数关系式。
按照此原理，绘制图形时可先
确定点的水平位置，再利用其他函数确定点的纵坐标，即可完成图形的绘制。
接下来要拓展的是，如果双曲线的曲率系数不定，那么可以由双曲线方程得出点移动规律。
例如，假设双曲线曲率系数是k，那么，
x^2=k*y^2
y^2=k^(-1) * x^2
可以看出，当k > 0时，在直角坐标系上，横坐标和纵坐标要做相反的运动，当k < 0时，横坐标和纵坐标要做相同的运动，而当k=0时，反而得到的是一条平行于横轴的直线。
另外，双曲线的能量关系也可以用来求解双曲线上特定点的位置机制：
能量关系式为：E = k*(x^2 + k^(-1)*y^2)
可以从中求得位置关系式：
x^2 = (E/k)*(1-k^(-1)*y^2)
以此类推，可以把这种求解机制扩展到定义域内的任意多边形上，按照多边形各顶点及其
位置属性计算出点移动规律，此类规律更为灵活，可以用于更多的图形绘制形式。
总之，双曲线点移动规律可概括为“双曲线关于原点的对称性规律”，通过其灵活性，可用
于绘制多边形，得出特定点的移动机制，并可以从能量方程上求解双曲线上特定点的位置
机制。
第3章图形的相似
3.6 位似
【应用举例】
例1 [教材P99例] 如图3－6－44，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，C(1，2)．以坐标原点O为位似中心，将OABC放大为原图形的3倍．
图3－6－44
图3－6－45
解：将平行四边形OABC的各顶点的坐标分别乘3，得O(0，0)，A′(9，0)，B′(12，6)，C′(3，6)，依次连接点O，A′，B′，C′，则四边形OA′B′C′即为所要求的图形，如图3－6－45所示．
变式一如图3－6－46，在直角坐标系中，四边形OABC 的顶点坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(4，4)， C(－2，3)．画出四边形OABC以O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的位似比是2∶1.
图3－6－46
变式二如图3－6－47，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，用上一节课的方法画出五边形OBCDE的位似图形，使它与五边形OBCDE的位似比为1∶2.比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么？。
第2课时位似变换与坐标答案详解(2)因为以点O 为位似中心,将△ABC 作位似变换且同向放大到原来的两倍,且△ABC 内一点P 的坐标为(a,b),所以位似变化后对应的点P ′的坐标是(2a,2b). 课时层级训练 基础巩固练 【测控导航表】 知识点 题号 位似图形与坐标2,3,4,5,6,7 图形变换1,8 1.B 解析:如图所示:位似中心F 的坐标为(2,2),k 的值为=21.故选B.2.D 解析:分情况讨论:①若点A 与其对应点A ′在O 的同侧, 则点A ′的坐标为(-3×31,6×31),即(-1,2);②若点A 与其对应点A ′在O 的两侧,则点A ′的坐标为(-3×(-31),6×(-31)), 即(1,-2).故选D.3.A 解析:因为正方形BEFG 的边长是6,所以BE=EF=6,因为两正方形的相似比为1∶3,所以==31,所以AB=BC=CD=AD=2,根据位似图形的性质可知, =31, 即=31,所以=31, 所以OB=3,所以C 点坐标为(3,2),故选A.4.(2,2) 解析:因为线段AB 的两个端点坐标分别为A(1,1),B(2,1), 所以AB=1,因为以原点O 为位似中心,将线段AB 放大后得到线段CD,CD=2, 所以两图形相似比为1∶2,所以点C 的坐标为(2,2).5.(-2,4)或(2,-4) 解析:依题意可知,位似中心为原点O,位似后三角形的边长为原来的2倍,所以点A 的对应点A ′的坐标为(-2,4)或(2,-4).6.(4,2) 解析:因为矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 关于原点位似,且相似比为2,所以==2,因为B(2,1),且B 1在OB 的延长线,所以B 1(4,2).7.(4,3)或(-8,-3) 解析:由题意得点A(-2,0),点B(0,1). 又因为△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3,所以点B ′(x,3)或(x,-3).因为点B ′(x,3)或(x,-3)在直线y=21x+1上,所以B ′坐标为(4,3)或(-8,-3).8.解:(1)如图,△O1A1B1即为所求作三角形.(2)如图,△O2A2B2即为所求作三角形.(3)点P(a,b)为△OAB内一点,位似变换后的对应点P′的坐标为(2a+2,2b).能力提升练9.解:(1)如图所示:正方形A1A2B1C1,A2A3B2C2,A3A4B3C3,…,A n A n+1B n C n的位似中心坐标为(0,0).(2)因为点C1,C2,C3,…,C n在直线y=x上,点A1的坐标为(1,0),所以OA1=A1C1=1,OA2=A2C2=2,则A3O=A3C3=4,所以可得OA4=A4C4=8,则OA5=16,故A4(8,0),A5(16,0),B4(16,8),C4(8,8).。
第2课时 位似变换的坐标变化规律关键问答①在平面直角坐标系中，以原点为位似中心位似的两个图形，对应点的坐标有什么关系？1．如图4－8－12，平面直角坐标系中有一条“鱼”，它有六个顶点，则( )图4－8－12A ．将各点横坐标乘2，纵坐标不变，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似B ．将各点纵坐标乘2，横坐标不变，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似C ．将各点横、纵坐标都乘2，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似D ．将各点横坐标乘2，纵坐标乘12，得到的“鱼”与原来的“鱼”位似 2．①如图4－8－13，已知△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，则点P ′的坐标为( )图4－8－13A ．(－x ，－y )B ．(－2x ，－2y )C ．(－2x ，2y )D ．(2x ，－2y )3.2019·阿坝州 如图4－8－14，在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，D (3，0)，△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB ＝1.5，则DE ＝________．图4－8－14命题点 1 求位似图形的顶点坐标 [热度：85%]4．②如图4－8－15，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为( )图4－8－15A ．(3，2)B ．(3，1)C ．(2，2)D ．(4，2)易错警示③相似比为13，这个三角形的位置有几种情况？5．③2019·河北模拟 如图4－8－16，在平面直角坐标系中，已知点A (－3，6)，B (－9，－3)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是( ) 图4－8－16A ．(－1，2)B ．(－9，18)C ．(－9，18)或(9，－18)D ．(－1，2)或(1，－2)6.如图4－8－17，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长扩大为原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )图4－8－17A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3) 命题点 2 求位似中心的坐标 [热度：80%]7. ④如图4－8－18，在正方形ABCD 和正方形OEFG 中，若点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是( )图4－8－18A ．(1，0)B ．(－5，－1)C ．(1，0)或(－5，－2)D ．(1，0)或(－5，－1)易错警示④位似图形对应点的连线一定经过位似中心．注意本题应分两种情况讨论．8．⑤在平面直角坐标系中，点A ，B ，E ，D ，F 的坐标分别是A (4，3)，B (4，0)，E (5，0)，D (13，6)，F (13，0)，△DEF 是由△AOB 经过位似变换得到的，求位似中心的坐标．图4－8－19方法点拨⑤位似图形对应点的连线一定经过位似中心．命题点3与位似有关的作图、计算与应用[热度：72%]9．2019·鞍山模拟改编如图4－8－20所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比．图4－8－2010．⑥如图4－8－19，△ABC在方格纸中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(3，4)，点C的坐标为(7，3)，并求出点B的坐标；(2)在(1)的条件下，以原点O为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的位似图形△A′B′C′；(3)计算(2)中△A′B′C′的面积．图4－8－19方法点拨⑥在平面直角坐标系中作一个图形的位似图形，常以原点为位似中心，根据“位似图形对应点的坐标的比等于k或－k”直接求出各对应点的坐标，再描出各对应点，连接各点即可得到所要作的图形．11.⑦已知：如图4－8－20，△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且它们的周长比为2∶1；(3)求△A2B2C2的面积．图4－8－20易错警示⑦位似图形的位似中心不一定都是原点．12．⑧如图4－8－21，点A的坐标为(3，4)，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(4，0)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位长度后得到△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为________，△A 1O 1B 1的面积为________；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得到△A 2OB 2，则点A 2的坐标为__________；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3OB 3，则点A 3的坐标为__________；(4)以点O 为位似中心，按相似比为2∶1将△AOB 扩大后得△A 4OB 4，若点B 4在x 轴的正半轴上，则点A 4的坐标为__________，△A 4OB 4的面积为__________．图4－8－21解题突破⑧位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，平移、轴对称、旋转变换都是全等变换，位似变换是相似变换，其相似比就是相似三角形的相似比．处理与位似有关的问题的关键是熟练把握位似图形的有关性质.详解详析【关键问答】①若位似图形与原图形的的相似比为|k|，则对应点的横坐标、纵坐标都乘k 或－k.1．C 2.B 3.4.54．A [解析] ∵正方形BEFG 的边长是6，∴BE ＝EF ＝6.∵两正方形的相似比为1∶3，∴BC EF ＝BC 6＝13，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.根据位似图形的性质可知OB OE ＝13，即OB OB ＋6＝13，∴OB ＝3，∴点C 的坐标为(3，2)．故选A. 5．D [解析] ∵点A (－3，6)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标是(－1，2)或(1，－2)．故选D.6．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴，过点B ′作B ′F ⊥x 轴．∵点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长扩大为原来的2倍，点B 的对应点B ′的横坐标是a ，∴FO ＝a ，CF ＝a ＋1，∴CE ＝12(a ＋1)，∴点B 的横坐标是－12(a ＋1)－1＝－12(a ＋3)．故选D. 7．C [解析] ∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中，点A 和点F 的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，∴E (－1，0)，G (0，－1)，D (5，2)，B (3，0)，C (5，0)．(1)当点E 和点C 是对应顶点，点G 和点A 是对应顶点时，位似中心就是直线EC 与直线AG 的交点．设直线AG 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧2＝3k ＋b ，－1＝b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1，∴直线AG 的函数表达式为y ＝x －1，与直线EC 的交点坐标是(1，0)．(2)当点A 和点E 是对应顶点，点C 和点G 是对应顶点时，位似中心就是直线AE 与直线CG 的交点．设直线AE 的函数表达式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，则⎩⎨⎧3k 1＋b 1＝2，－k 1＋b 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝12，b 1＝12， 故直线AE 的函数表达式为y ＝12x ＋12.① 设直线CG 的函数表达式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，则⎩⎨⎧5k 2＋b 2＝0，b 2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝15，b 2＝－1， 故直线CG 的函数表达式为y ＝15x －1.② 联立①②，得⎩⎨⎧y ＝12x ＋12，y ＝15x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.故直线AE 与直线CG 的交点坐标是(－5，－2)．综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是(1，0)或(－5，－2)．故选C.8．解：如图，连接DA ，并延长交x 轴于点P ，∵A (4，3)，B (4，0)，E (5，0)，D (13，6)，F (13，0)，△DEF 是由△AOB 经过位似变换得到的，∴位似比为36＝12， 则PB PF ＝12，即PO ＋4PO ＋13＝12， 解得PO ＝5.故位似中心P 的坐标为(－5，0)．9．解：(1)如图所示，点O 即为所求．(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比为2.10．[解析] (1)根据A (3，4)，C (7，3)，找出原点，求出点B 的坐标即可；(2)根据位似比为2，得出△A ′B ′C ′各顶点的坐标，即可画出△A ′B ′C ′；(3)利用所画图形得出△A ′B ′C ′的底与高，即可求出面积．解：(1)图略，B (3，2)．(2)略．(3)△A ′B ′C ′的面积＝12×4×8＝16. 11．解：(1)△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1如图所示．(2)∵△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且它们的周长比为2∶1，∴它们的相似比为2∶1. 如图所示的△A 2B 2C 2即为所求．( 3)连接AC 2，则AC 2＝AA 2＝AB ＝10，AC 2⊥AB ，∴△A 2B 2C 2的面积＝12×210×10＝10. 12．(1)(2，4) 8 (2)(－3，－4)(3)(3，－4)(4)(6，8)32[解析] (1)根据平移的性质，图形向左平移1个单位长度即各点横坐标减1，即可得出点A1的坐标，根据平移前后三角形的面积不变即可得出△A1O1B1的面积；(2)根据旋转的性质，将△AOB绕原点旋转180°后，对应点的横、纵坐标均变为原来的相反数，即可得出答案；(3)利用轴对称的性质以及点的坐标特征即可得出答案；(4)根据位似图形的性质，按相似比为2∶1将△AOB放大后对应点的坐标变为原来的2倍，利用相似三角形的性质“面积比等于相似比的平方”得出答案即可．。
