有限元9

有限元第9讲动力学问题有限单元法动力学问题是指研究物体在运动中的受力和受力作用下的运动状态，常见的应用是结构工程学中的振动分析。

有限单元法是解决结构工程学中动力学问题的常用方法之一。

本文将介绍动力学问题和有限单元法的基本概念，并介绍其应用。

动力学问题的定义动力学是研究质点或刚体运动情况的分支学科，在结构工程学中是指结构在做振动时所受的力和运动状态。

动力学问题可以分为两种类型：稳态动力学问题和非稳态动力学问题。

稳态动力学问题是指结构在振动状态下所受的恒定力，而非稳态动力学问题则是指结构所受的变化的力，例如冲击力或地震力。

动力学问题的求解包括两个方面：一是确定受力情况；二是求解结构的运动状态。

确定受力情况通常需要通过实验或计算确定，求解结构运动状态则可以通过有限单元法来解决。

在结构工程学中，动力学问题的应用非常广泛。

例如，建筑物抗震设计需要对建筑物在地震作用下的反应进行分析，桥梁工程需要对桥梁在行车作用或风力作用下的振动响应进行分析。

有限单元法的基本概念有限单元法是一种将结构离散成若干小单元的数值分析方法，将结构分割成细小的单元，每个单元内部假设为均匀且连续的，通过对单元本身的运动状态进行求解，进而推知整个结构的运动状态。

有限元法用于解决的问题包括静力学问题、动力学问题、热力学问题和流体问题等。

有限单元法求解动力学问题的步骤主要包括如下几个步骤：1.离散化：将连续结构离散化成有限的小单元，每个单元内部运动状态通过定义一定数量的节点来确定。

2.建立单元的动力学方程：根据单元的形状和材料性质，建立单元的动力学方程，并计算单元的振动特性，例如频率和模态。

3.组装单元的方程：将单个单元的方程组装成整个结构的方程。

4.边界条件的处理：利用结构的边界条件（例如支撑、铰支等），将结构自由度减少到实际问题所需要的自由度。

5.求解结构的运动状态：通过求解整个结构的方程，得到结构的运动状态。

6.后处理：根据求解结果，进行结果的可视化和分析。

单元分析流程图
金属塑性成形原理
进行单元分析时，需要把单元内的任一点的位移分量表示成坐标 的某种函数，该函数称为位移函数。
多项式形式的位移函数应用最为广泛。多项式的次数越高，计算结 果越精确。在实际中，取有限次多项式来获得近似解。
位移函数的次数对计算精度的影响
金属塑性成形原理
位移函数的多项式形式： 实际工程应用中，插值函数多项式一般取1~3次。
金属塑性成形原理
第九章 金属塑性成形有限元软件应用
内容提纲
一、有限元基本原理简介 二、 Ansys软件简介 三、Abaqus软件简介 四、Deform-3D软件简介 五、Dynaform软件简介
金属塑性成形原理
金属塑性成形原理
第一节 有限元基本原理简介
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值计算方法。由 于采用类型广泛的边界条件，对工件的几何形状几乎没有什么限制和求解 精度高而得到广泛的应用。有限元法在40年代提出，通过不断完善，从 起源于结构理论、发展到连续体力学场问题，从静力分析到动力问题、稳 定问题和波动问题。随着计算机技术的发展与应用，为解决工程技术问题， 提供了极大的方便。
➢几何对称的变形体，利用其对称性，只选择对称部分进行网格划分。
金属塑性成形原理
二、位移函数的选择 ✓结构离散化后，要对单元进行力学特性分析。 ✓单元分析是有限元计算的核心，其任务是建立单元的结点力与结点 位移之间的关系，即建立单元的刚度矩阵。 ✓由弹性或塑性力学方程分析应力与应变，建立结点位移和内部应力 的关系，现借助虚功方程，导出单元结点力与结点位移的关系。
针对该问题研究者们提出了几种不同的处理方法， 典型的有拉格朗日（Lagrange）乘子法，罚函数法。
金属塑性成形原理

有限元方程组的求解

利用变分原理和离散化方法建立有限元矩阵方程后， 须求解以结点值为未知数的矩阵方程。 其方程写为： Ax b


（2.42）
式中系数矩阵A是一个n×n方阵，x是待求解的未知量，b表 示已知向量。

为精确描述实际问题，系数矩阵的维数（对应离散剖 分的结点值未知量个数）往往非常大，有庞大的计算 机内存需求和过长的计算时间。

除存储量降低外，有限元矩阵的特殊性质也能减少计算时间。大 量的零矩阵元素不需产生，加上适当设计算法，它们在解过程中 的运算也可避免。 正是这一为矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质，使得有 限元方法对分析电大尺寸问题时更有吸引力。


下面先介绍矩阵方程的解法，在此基础上然后 介绍Ansoft HFSS为在一定精度的要求上最大 限度的提高效率而设计的自适应迭代算法。
Lanczos法是有效的求解带状稀疏矩阵的本征值问题 的方法，Ansoft HFSS可以在solver中找到。
4 Ansoft HFSS的自适应迭代算法

矩阵方程的求解复杂度与有限元的剖分密度即未知数数目有很大 的关系，未知数数目越多，求解所需的时间越长。 然而，另一方面，有限元方法求解的精度与也随着未知数数目的 增加而更加准确。 因此，有限元方法的求解时间与准确度是一对矛盾。 为了在短的时间内取得越大的精度，Ansoft HFSS采取了自适应 迭代算法，如图2.5所示。 该算法一开始先选用较粗的剖分，采用前述的方法求解，然后看 其进度是否满足要求。 如不满足，进一步细化剖分，再次进行求解，直至达到给定的精 度。


如果矩阵可以分解为 A＝LU

（2.43）
其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

v u v 2 ， y 6 ， xy 3 5 都是常量，即线性位移模式反映 x y y x
假定的位移函数是多项式，它是连续函数，可以肯定，在单元内部位移函数是单值连续的。由于单 元的位移函数 u 、 v 都是坐标 x 、 y 的线性函数，在单元边界上位移也是线性变化的，两个相邻单元在 公共节点上具有相同的节点位移，因而相邻单元在公共边界上位移连续，即协调条件得到满足。 由上面分析可以看出，三角形常应变单元的位移模式可以保证计算结果的收敛。
px
py
px
py ]
T
（2-1-7b）
（2 ）若在 jm 边上受线性分布的水平方向的面力，它在 j 点的集度为 q ，在 m 点的集度为零 （如图 2-5） 。可预计由该面力求得的等效节点载荷只有 R xj 、
R xm ，其余节点载荷分量必为零。
将 jm 边上的分布面力写成 s 的函数，为
s { p} [ (1 ) q 0]T l 在 jm 边上的形函数也需用变量 s 表示，根据形函数的含义，
Ve
[k ii ] [k ij ] [ k im ] [k ji ] [k ij ] [k jm ] [k mi ] [ k mj ] [k mm ]
式中， t 为单元的厚度，当单元划分得足够小时，可以认为每个单元的厚度 t 为常值。子阵为
(2-1-5)
[k rs ] [ Br ]T [ D][B s ]tA
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二、 单元刚度矩阵 1、单元几何矩阵 [ B ] 有了单元的位移模式，利用平面问题的几何方程求得应变分量
0 x x u e e 0 { } [ L][ N ]{} [B ]{} y y v xy y x