§3.3.1函数的单调性与导数
【成功细节】
严俏华谈导数的计算的方法
本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）
函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增
函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x
'=+?=+，令()0f x '>可解得1x e
>
，所以函数的单调递增区
间是1
(,)e +∞.
【高效预习】（核心栏目）
“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。——叶圣陶
【精读·细化】
1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的
几何意义与导数之间的联系呢？如果在
某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？
细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。 【提升·解决】
1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.
【关注·思考】
2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.
细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.
【提炼·发现】
2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.
（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华
【学习细节】（核心栏目）
A ．基础知识
导数的应用
知识点1 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?
【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数
'
()()9.86.5
v t h t t =
=-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'
()()0v t h t =>．
（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．
【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.
【探究】函数的单调性可简单的认为是:若
212
1
()()
f f x x x
x
--
>0则函数f(x)为增函数.
可把
2121
()()
f f x x x x
--看作y x
??=
2121
()()
f f x x x x
--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.
即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。 （3）函数3y x =的定义域为R ，在定义域上为增函数； 而32()3y x x ''==，若0x ≠，则0y '>，当0x =时，0y '=； （4）函数1y x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调
递减； 而2
1
1()y x x
''==-
，因为0x ≠，显然0y '<.
【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间(,)a b 内，如果函数
()y f x =在这个区间内单调递增，那么'
()0f x >；如果函数()y f x =在这个区间内单调
递减，那么'()0f x <．
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？
【探究】如图，导数'
0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．
在0x x =处，'
0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，
函数()f x 在0x 附近单调递增；
在1x x =处，'
0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，
函数()f x 在1x 附近单调递减．
用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于2
π
,函数曲线呈向上增加状态; 当切线斜率负时,切线的倾
斜角大于
2
π
、小于π，函数曲线呈向下减小状态.
注意：1.若在某区间上有有限个点使'()0f x =，在其余的点恒有'()0f x >，则()f x 仍为增函数，（减函数的情形完全类似）.即是说在区间内'()0f x >是()f x 在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件.
2.()0f x '>能推出()f x 为增函数，但反之不一定．如函数3()f x x =在()-+，∞∞上单调递增，但()0f x '≥．所以()0f x '>是()f x 为增函数的充分条件，但不是必要条件．
3.()f x 为增函数，一定可以推出()0f x '≥，但反之不一定，因为()0f x '≥，即为
()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间内恒有()0f x '=，则()f x 为常数，函数不具有单
调性．所以()0f x '≥是()f x 为增函数的必要条件，但不是充分条件．
4.()f x 为增函数的充要条件是对任意的()x a b ∈，都有()0f x '≥且在()a b ，内的任一非空子区间上()0f x '≠．
【例题1】已知导函数'
()f x 的下列信息：
当14x <<时，'
()0f x >；
当4x >，或1x <时，'
()0f x <；
当4x =，或1x =时，'
()0f x =
试画出函数()y f x =图像的大致形状．
【解析】 利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性，然后画出简图.
【答案】 当14x <<时，'
()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；
当4x >，或1x <时，'
()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调
知识归纳
函数的单调性与导数的关系:
在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果
'
()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．
说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．
递减；
当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示． 知识点2 用函数的导数研究函数的单调性 求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；
（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．
【例题2】判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3()3f x x x =+； （2）2
()23f x x x =--； （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；
（4）3
2
()23241f x x x x =+-+.
【解析】先求出导数，然后求解不等式进行判断、求解，使()0f x '>的区间为增区间，使
()0f x '<的区间为减区间。
【答案】（1）因为3
()3f x x x =+， 所以，'
2
2
()333(1)0f x x x =+=+>
因此，3
()3f x x x =+在R 上单调递增，如图所示．
思维技巧
对于可导函数()f x 来说, '()0f x >是函数()f x 在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,
'
()0f x <是函数()f x 在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数3
()f x x =在R 上为增函数,
但(0)0f '=,所以在0x =处不满足'()0f x >.
（
2
）
因为
2
(
)23f x x
x =--，所以，
()'
()2221f x x x =-=-
当'()0f x >，即1x >时，函
数2
()23f x x x =--单调递增；
当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图所示． （3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈， 所以，'()cos 10f x x =-<
因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图所示． （4）因为
3
2
()23241
f x x x x =+-+，所以
22
()66246(4)f x x x x x '=+-=+-．
当'()0f x >，即217
(,
)4
x --∈-∞或217
(
)
4
x -+
∈+∞时，函数2
()23f x x x =--单调递增；
当'
()0f x <，即2172
17
(
,
)4
4
x --
-+∈时，函数
2
()23f x x x =--单调递减；
函数3
2
()23241f x x x x =+-+的图像如图所示．
思维技巧
利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.
（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还有注意在定义域内不连续点和不可导点.
（3）注意在某一区间内()0f x '>（或()0f x '<）是函数()f x 在该区间上为增（减）函数的充分条
件，如3
()f x x =是R 上的可导函数，也是R 上的单调增函数，但当0x =时，()0f x '=.
知识点3 函数的导数与函数的增减速度
函数的导数对函数的单调性有影响的同时，还对函数增减的速度有影响。递增函数就是函数值随自变量的增大而增大，一个函数的增长速度快，就是说，在自变量的变化相同时，函数值的增长大，即平均变化率大，导数也就大；递减函数就是函数值随自变量的增大而减小，一个函数减小的快，那么在自变量的变化相同时，函数值的减小大，即平均变化率大，导数的绝对值也就大，从而导数的绝对值越大，函数增减的速度就越快．
一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图象就较“平缓”. 【例题3】如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．
【解析】以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
【答案】 ()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→
B ．综合拓展
例1 求函数4
2
()23f x x x =-+的单调增区间. 解析： 先求()f x '，若()0f x '>，则()f x 单调递增. 答案： ∵3()44f x x x '=- 令()0f x '>，即3
440x x -> 解得 10x -<<或1x >
∴()f x 的单调地增区间为(1,0)-，(1,)+∞. 总结：求函数单调区间的步骤和方法： （1）确定函数()f x 的定义域；
（2）求导数()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它的定义域内的一切实数根； （3）把函数()f x 的间断点（即包括()f x 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；
（4）确定()f x '在各个小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.
易错点：单调区间只能用和、或连接，不能使用并集符号.
例2求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数． 解析 先求出函数的导数，然后判断导数在此区间上的符号即可. 答案：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+ 当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，
所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．
例3证明1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数.
解析：可采用定义和求导法两种方法来解题，体会求导法在解决函数单调性问题上的优越性. 答案：方法一 任取两个数12,(0,)x x ∈+∞，设12x x <， 则21121
2
12
11()()x x f x f x x x x x --=
-=
∵120,0x x >>，且21x x > ∴21()()f x f x >， ∴1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数.
方法二：∵2
1()f x x
'=-，且0x >
∴()0f x '< ∴1()f x x
=
在(0,)+∞上是减函数.
解题规律：比较一下两种方法，用求导法证明更简便一些.如果是更为复杂的一些函数，用导数的符号判断函数的单调性更能显示出它的优越性. 例4已知函数1y x x
=+
，试讨论出此函数的单调区间.
解析:先求出函数的导数，然后利用导数不等式求解单调区间.
答案 1()y x x ''=+
=1－1·x －2
=
2
2
2
)
1)(1(1x
x x x
x -+=
-
令
2
)
1)(1(x
x x -+＞0.
解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +
x
1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令
2
)
1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.
∴y =x +x
1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
例5已知函数2
1()2f x ax x
=-
，(0,1]x ∈.
若()f x 在(0,1]x ∈上是增函数，求实数a 的取值范围. 解析
答案： 由已知得3
2()2f x a x
'=+，
∵()f x 在(0,1]上单调递增， ∴3
2()20f x a x
'=+>，即3
1a x
>-
在(0,1]x ∈上恒成立.
而3
1()g x x
=-
在(0,1]上是单调递增，
∴max ()(1)1g x g ==- ∴1a >-
当1a =-时，3
2()2f x x
'=-+
对(0,1)x ∈也有()0f x '>.
∴1a =-时，()f x 在(0,1)上是增函数
综合上述，()f x 在(0,1]x ∈上是增函数, a 的取值范围为[1,)-+∞.
解题技巧 （1）本题知道了函数的单调性，而去求参数的范围，这是一种非常重要的题型.在某个区间上，()0f x '>（或()0f x '<），()f x 在这个区间上单调递增（递减）；但由()f x 在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到()0f x '>（或()0f x '<
）是不够的，即还有可
能()0f x '=也能使得()f x 在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证.
（2）本题用到一个非常重要的转化，即
()m f x ≥恒成立?m ax ()m f x ≥； ()m f x ≤恒成立?min ()m f x ≤.
例 6 设()f x 是R 上的偶函数，在区间(,0)-∞上()0f x '>且有
2
2
(21)(321)f a a f a a ++<-+-，求实数a 的取值范围.
解析：偶函数在对称区间上有相反的单调性，奇函数有相同的单调性，我们可利用单调性转化需考虑范围问题.
答案 ∵在(,0)-∞上()0f x '>, ∴()f x 在(,0)-∞上为增函数， 又∵()f x 是偶函数
∴()f x 在(0,)+∞上为减函数，且22(321)(321)f a a f a a -+-=-+ ∴原不等式可化为22(21)(321)f a a f a a ++<-+ 而2
2
17212()04
8
a a a ++=+
+
>，2
2
123213()03
3
a a a -+=-
+
>恒成立，
∴2
2
21321a a a a ++>-+ 解得03a <<.
例7 若函数3
2
11()(1)132
f x x ax a x =
-
+-+在区间(1,4)上为减函数，在区间(6,)+∞上
为减函数，试求实数a 的取值范围.
答案 函数()f x 的导数2
()1f x x ax a '=-+-.
令()0f x '=，解得1x =或1x a =-
当11a -≤即2a ≤时，函数()f x 在(1,)+∞上为增函数，不合题意；
当11a ->，即2a >时，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数，在(1,1)a -上为减函数，在
(1,)a -+∞上为增函数，
依题意，应有(1,4)x ∈时，()0f x '<，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '>. ∴416a ≤-≤ 解得57a ≤≤
所以a 的取值范围是[5,7]. 特别提示：
本题的关键之处在于一定要就小的值进行分类讨论，本题只要考查导数的概念和计
算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查了综合应用所学知识解决问题的能力；
例8 当x ∈(0,
2
π
)时,证明tan x >x .
分析:首先构造函数f (x )=tan x －x ,然后判断f (x )在(0, 2
π
)上的单调性.
证明:设f (x )=tan x －x ,x ∈(0,
2
π
).
∴f ′(0)=(x
x cos sin )′－1=
x
x
x 2
2
cos sin cos +－1=
x
2
cos
1－1=
x
x
2
2
cos
cos 1-=tan 2x >0.
∴f (x )在(0,
2
π
)上为增函数.
又∵f (x )=tan x －x 在x =0处可导且f (0)=0, ∴当x ∈(0,
2
π
)时,f (x )>f (0)恒成立,即tan x －x >0.
∴tan x >x .
深化升华:对于tan x 的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函数的导数,然后根据运算法则求导.
【作业】
□ 课堂作业
1．（知识点2）设()f x 在(,)a b 内可导,则()0f x '<是()f x 在(,)a b 内内单调递减的（ ）.
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
2．（知识点2）函数3
y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
3．（知识点2）函数4
2
25y x x =-+的单调减区间为 （ ）
A ．(,1])-∞-和[0,1]
B ．[1,0]-和[1,)+∞
C ．[1,1]-
D ．(,1)-∞-和
[1,)+∞
4．（知识点2）已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,3(- 5．（知识点2，3）已知函数()f x 、()g x 均为(,)a b 上的可导函数，在[,]a b 上连续且
()()f x g x ''>，()()f a g a =，则当(,)x a b ∈时有（ ）
A ．()()f x g x >
B ．()()f x g x <
C ．()()f x g x =
D ．大小关系不能
确定
6．（知识点2）已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调减函数,则实数a 的取值范围是（ ）
A ．),3[]3,(+∞--∞
B ．]3,3[-
C ．),3()3,(+∞--∞
D ．)3,3(- 7．（知识点2）已知32()(0)f x ax bx cx a a =+++>为增函数，则（ ） A ．230b ac -> B ．0,0b c >> C ．0,0b c =>
D ．230b ac -<
8．（知识点2）函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
□ 课后作业
9．（知识点2）函数x
x y 142
+
=单调递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),2
1
(+∞ D ．),1(+∞
10．（知识点2）ln y x x =在(0,5)上是
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在(0,
e
1)上单调递减,在(
e
1,5)上是递增函数
D ．在(0, e
1)上是递增函数,在(
e
1,5)上是递减函数
11．（知识点2）若函数3
2
()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则m 的取值范围是__________.
12．（知识点2）已知1x >，求证：ln(1)x x >+．
13． （知识点2）已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-
（1）求)(x f y =的解析式；
（2）求)(x f y =的单调递增区间。
14．（知识点2） 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-
（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
□ 家庭作业
15．已知函数 2
3
2()4()3
f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的
取值范围．
【作业参考答案】
课堂作业答案：
1．A 分析：由()0f x '<能够推出()f x 在(,)a b 内单调递减，但由()f x 在(,)a b 内单调递减不能推
出()0f x '<，如3()f x x =-在R 内为减函数，而2
()30f x x '=-≤。故为充分不必要
条件。
2．C '
2
310y x =+>对于任何实数都恒成立．
3． A 分析 由3440y x x '=-≤，得2
(1)0x x -≤，解得 1x ≤-或01x ≤≤.
4．B '2
()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，2
412033a a ?=-≤?-≤≤
5．A 分析 令()()()F x f x g x =-，∴()()()0F x f x g x '''=->
∴()F x 在(,)a b 上为增函数， 又()()()0F a f a g a =-=
∴在(,)x a b ∈时，()()F x F a >， ∴()()f x g x >． 6． B
分析 '2
()3210
f x x ax =-+-≤在
)
,(+∞-∞恒成立，
2
412033
a a ?=-
≤?-≤≤ 7．D 分析 2()320f x a x b x
c '=++>恒成立，因为0a >，则24430b a c ?=-?<，
即230b ac -<. 8．5(,1)3
-
分析 由'2
325(35)(1)0y x x x x =+-=+-≥，解得513
x -≤≤.
9．5
,13x x <-
>或 5(,),(1,)3-∞-+∞ '2
53250,,13
y x x x x =+-><->令得或 □ 课后作业
10．C 分析 1l n l n 1y x x x x
'=+?
=+，
令0y '>，解得1x e
>，
∴ln y x x =在(e
1,5)上为增函数，同理可求在(0,e
1)上为减函数．
11．13
m ≥
分析 2()32f x x x m
'=++，由题意可知32()1f x x x m x =+++f (x )在R 上只能递增，所以()0f x '≥恒成立，即4120m ?=-≤，解得13
m ≥．
12．分析 构造函数()ln(1)F x x x =-+。
证明：设()ln(1)F x x x =-+，1x > ∵1()[ln(1)]11
1
x F x x x x x ''=-+=-=
++
又1x >， ∴()0F x '>
∴()F x 在(1,)+∞上为增函数 又(1)1ln 21ln 0F e =->-=，
∴当1x >时，()0F x >，即ln(1)x x >+．
13．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，
∵'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+= ∴切点为(1,1)-，
则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-， 得591,,2
2
a b c a b ++=-==-
得
∴4
2
59()122
f x x x =
-
+
（2）'3310310()1090,0,10
10
f x x x x x =->-
<<>
或
∴单调递增区间为310310(,0),(
,)10
10
-
+∞.
14．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，
'
3
'
()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=
切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,2
2
a b c a b ++=-=
=-
得
4
2
59()12
2
f x x x =
-
+
（2）'
3
310310()1090,0,1010
f x x x x x =->-
<<>
或
单调递增区间为310310(,0),(,)10
10
-
+∞
□ 家庭作业
15．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'
()0f x ≥对
[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤
所以实数a 的取值范围为[]1,1-．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关
系：即“若函数单调递增，则'()0
f x≤”来求解，注意此
f x≥；若函数单调递减，则'()0
时公式中的等号不能省略，否则漏解．
【教材习题参考答案】
人教新课标小学数学四年级上册教案全集 旧州三小杨成忠 第一单元大数的认识 教材简析 本单元的教学内容包括：亿以内数的认识，数的产生，十进制计数法，亿以上数的认识，计算工具的认识，用计算器计算，数学活动“1亿有多大？”。 前面学习了万以内数的读法和写法，已经掌握了“个”、“十”、“百”、“千”这几个计数单位，并且能够正确地读、写完以内的数。本单元是在上述基础上把计数单位扩展到“万”、“十万”、“百万”、“千万”、“亿”。因为在多位数中最常用的是亿以内的数，学生掌握了亿以内数的读法和写法后，比亿达的数的读写就可依此类推了。另外教材还介绍了数的产生、常见的计算工具及使用方法。 掌握大数的读、写法，数的大小比较和把大数改写成用“万”或“亿”作单位的数，了解数的产生和世界上曾出现过的不同数字以及不同时期的计算工具，学会用计算器进行计算，培养数感。 学情分析 1、学生在以前的学习中已经认识了万以内数，能比较熟练地掌握数的读法和写法以及大小比较，这样，理解和掌握本单元的知识内容就比较容易。 2、亿以内的数在日常生活中应用并不太平常，学生了解也并不太多，教学中应大量提供一些数据信息，使学生感受数学与生活的实际联系，拉近学生与知识的联系。 3、亿以内数的读写法和大小比较与万以内数类似，学习中教师适当加以引导，学生可凭借知识经验自学自悟。难点是大数的改写，教学中应让学生在自悟数位顺序表的基础上，通过交流讨论学习改写方法。 目标导向 知识与技能 1、掌握大数的读、写和大小比较的方法，会读、写大数，会比较数的大小。 2、掌握将大数改写成用“万”或“亿”作单位的数的方法，会用“四舍五入”法求大数的近似数。 3、了解数的产生、计算工具的发展，会用电子计算器进行四则计算。 过程与方法
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系
最新人教版四年级数学上册教学设计（第二单元：公顷和平方千米） 本册课时安排： 根据《义务教育阶段国家数学课程标准（征求意见稿）》中的“各学段课程内容参考教学时间一览表”，实验教材的编者为四年级上学期数学教学安排了59课时的教学内容。各部分教学内容教学课时大致安排如下，教师教学时可以根据本班具体情况适当灵活掌握。 一、大数的认识（10课时） 1亿有多大？………………………………………………………1课时 二、公顷和平方千米（3课时） 二、角的度量（4课时） 三、三位数乘两位数（9课时） 1．口算乘法…………………………………………………2课时左右 2．笔算乘法…………………………………………………7课时左右 四、平行四边形和梯形（6课时） 五、除数是两位数的除法（13课时） 1．口算除法…………………………………………………2课时左右 2．笔算除法………………………………………………12课时左右 整理和复习………………………………………………………1课时 六、统计（3课时） 你寄过贺卡吗？…………………………………………………1课时 七、数学广角（4课时） 八、总复习（5课时） 教学中需要准备的教具和学具： 本册教材是第二学段的开始，第一学段教学时用过的一些教具和学具有的仍可继续使用，如小棒、方木块、钉子板等。第二学段的教学需要一些新教具和学具，这里介绍几种，供参考。 1．多位数计数器教学“大数的认识”时使用（见教科书第3页）。可以自制，制作原理和方法与一年级下册的计数器相同，只是要把数位扩展到千亿位。也可直接在市场上购买。 2．多级数位顺序表教学数位、计数单位、大数的读写时使用（见教科书第20页）。可以自制，制作原理和方法与二年级下册的“万以内数位表”相同，只是要把数位扩展到千亿位，加上数级、计数单位等的内容，并可在表的下面贴上一张白纸或连接几排插袋，便于进行读、写数的练习。 3．计算器教学计算工具的认识、大数的四则计算时使用。计算器一般分成算术型计算器和科学型计算器两种，算术型计算器可完成基本的四则计算，但是不能自动识别四则混合运算的顺序。科学型计算器比算术型计算器的功能有所扩展，可以进行乘方、开方、指数、对数、统计等运算，能够自动识别四则混合运算顺序。本套教科书以信利牌（TRUL Y）P－127型小学生专用计算器为例，介绍电子计算器的构造、功能和使用方法。 4．算盘教学计算工具的认识时使用。教师应准备一个算盘教具，有条件的学校可再准备几个算盘学具。 5．用硬纸条做的角和平行四边形教学角的度量和平行四边形时使用。通过操作理解角的大小变化，测量角的大小，理解平行四边形的不稳定性及平行四边形与长方形之间的转化关系。 6．量角器、三角板、直尺教学角的度量、平行四边形和梯形时使用。这几种教具和学具要求有很高的精确度，自己很难制作，可在市场上购买。 7．其他教具教师还可以根据各部分教学内容的需要自己准备或设计制作一些教具和学具。如用小棒作为算筹记数，找两把扇子认识平角和周角等；根据教科书第57页的“格子乘法表”制作表格。教科书第120页思考题的学具，如果计数器不能代替，可以自己制作类似的便于操作的学具。
第一单元、大数的认识 一、教材分析 《大数的认识》是义务教育课程标准实验教科书数学(四年级上册)的起始单元。是在学生认识和掌握万以内数的基础上学习的。生活中大数广泛存在，对大数的认识既是万以内数的认识的巩固和扩展，也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一。第一课时《认识大数》（P2_P4）则是从“计数单位、数位、数级、十进制计数法等数概念的多方面来全面地认识数，为避免学生在读、写大数时尽量少出错打下良好的基础。因此，这部分内容学习的重点是：熟记数位顺序表和有关计数单位的知识，知道每个数位上数字的含义。教学难点是比较正确熟练地说出计数单位和数位顺序和知道“每相邻两个计数单位之间的进率是十”。 二、教学目标 1、使学生认识计数单位万、十万、百万、千万和亿，知道亿是个大数；知道亿以内各个计数单位的名称和相邻两个单位之间的关系。
2、掌握数位顺序表及数位分级，为以后学习读数和写数打下基础。 3、能正确地说出每个数位上的数字的含义。 4、通过情境创设，小组合作学习等形式，使学生快乐地获得知识，感受大数在生活中的广泛运用；发展学生的数感。 三、教学重点 熟记数位顺序表和有关计数单位的知识，知道每个数位上数字的含义。 四、教学难点 比较正确熟练地说出计数单位和数位顺序和知道“每相邻两个计数单位之间的进率是十”。 五、课时安排 大数的认识约20课时 第一课时亿以内数的认识 教学内容:P2-4例1 教学目标： 1．使学生认识计数习惯单位万、十万、百万、千万、亿以及每相邻两个单位间的十进关系。 2．理解、掌握我国计数习惯。 3．体会大数在生活中的广泛应用，培养学生在实际生活中寻找数学信息的意识和能力。 4．了解我国人口普查状况，在教学中渗透爱国主义教育。
高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... １ 1.2集合的运算 ................................................ ...... ３ 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ ６ 1.4一元二次不等式的解法.......................................... ９1.5简易逻辑 ................................................ ...... １２ 1.6充要条件 ................................................ ...... １５ 1.7数学巩固练习.............................................. １８.1函数的概念 ................................................ .... ２１.2函数的解析式及定义域 ........................................ ２４.3函数的值域 ................................................ .... ２８.4函数的奇偶
性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. ３７.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误！未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误！未定义书签。.3等差数列、
第一单元大数的认识 第一课时课题：亿以内数的读法(一) 教学内容：亿以内数的认识（课本第2~4页的内容） 教学目标： 1、使学生在认识万以内数的基础上，进一步认识计数单位万、十万、百万、千万、亿，知道亿以内各个计数单位的名称和每相邻两个计数单位间关系。 2、理解、掌握我国计数习惯。 3、体会大数在生活中的广泛应用，培养学生在实际生活中寻找数学信息的意识和能力。 4、了解我国人口状况，在教学中渗透国情教育。 教学难点： 数级、数位、计数单位的区别以及”位值”的理解。 教学重点： 计数单位以及各计数单位间的关系。 教学媒体： 计数器、小卡片、表格 教学过程： 一、复习引入 1、让学生写出生活中常见的一些数。如： 学校里共有多少名学生?你家里没月收入大约是多少元?一年的收入大约有多少元? 2、万以内数的计数单位。 教师板书：25000 老师：这是一个存折里显示的存款，请同学们说一说，这里有多少存款？这个数是几位数?(五位数)各个数位的名称是什么?各个数位上的计数单位分别是什么? 2 5 0 0 0 ……万千百十个 位位位位位→数位
……万千百十个→计数单位 二、学习新课。 1、导入新知，揭示课题。 老师：以上所说的到的是我们过去学过的知识─万以内的数，其实在生活中我们已经常用到比万大的数，这就需要我们学习更大的数─亿以内数的认识。 2、介绍主题图。 老师：2000年我国开展第五次全国人口普查，现在老师提供几个省.直辖市和自治区的人口数，请同学们看看这几个省，直辖市和自治区的人口数据。 (1)投影出示：（教科书第2页主题图） (2)看了这些数据，你了解了什么?有什么想法?有没有什么问题需要提的? 3、教学例1 教师：从同学们刚才尝试读数中，我们明白要想正确地读出这些大数，应该先了解掌握这些数的数位和计数单位。现在，我们就先来学习这些知识点。 (1)投影出示例1图： 老师：19612368这个数有多大呢? (2)计数单位的认识： 计数器上遮去万以上的计数单位 ①一千一千地数，数到10个一千。 老师：10个一千是多少 学生：10个一千是一万。(学生根据已有的知识─满10向前一位进1，得出结果。) 教师用计数器表示： ②一万一万地数，数到10个一万。 老师：10个一万是多少?(在计数器上显示“十万”) ③同样方法认识百万、千万。 ④认识亿的计数单位。 现在请同学们想一想：千万位左边一位是什么位?它的计数单位是多少? 老师明确说明：千万位左一位是亿位，它的计数单位是亿。在计数器上显示”亿”。 (3)计数单位之间的关系。
第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形，其余各面 底面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台
高 一 数 学 教 案 (必修五) 重庆铁路中学陈昭旭
数学5 第一章解三角形 课题:§1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
新人教版四年级数学上册全册教案 全册教材分析 一、全册教学内容 本册教材包括下面一些内容：大数的认识，公顷和平方千米，角的度量，三位数乘两位数，平行四边形和梯形，除数是两位数的除法，条形统计图，数学广角和总复习等。 二、全册教学目标 1．认识计数单位“十万”、“百万”、“千万”、“亿”、“十亿”、“百亿”、“千亿”，认识自然数，掌握十进制计数法，会根据数级读写亿以内和亿以上的数，会根据要求用“四舍五人”法求一个数的近似数。体会和感受大数在日常生活中的应用，进步发展数感。 2．体会并认识常用的土地面积单位——公顷、平方千米，掌握土地面积单位间的进率，知道1公顷=10000平方米，1平方千米=100公顷，会进行简单的单位换算。 3．会笔算三位数乘除两位数的乘法、除数是两位数的除法，会进行相应的乘、除法估算和验算。 4．会口算两位数乘一位数和几百几十乘一位数，数十数除整十数、整十数除几百几十数。 5．认识直线、射线和线段，知道它们的区别；认识常见的几种角，会比较角的大小，会用量角器量出角的度数，能按指定度数画角。 6．认识垂线、平行线、会用直尺、三角板画垂线和平行线；掌握平行四边形和梯形的特征。 7．结合生活情境和探索活动学习图形的有关知识，发展空间观念。 8．初步认识简单的条形统计图（1格表示1个单位和1格表示多个单位），能用涂色的方法再跳性统计图中描述简单数据。 9．经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。 10．初步了解运筹的思想，形成从生活中发现数学问题的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。
11. 体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。 12. 养成认真作业、书定整洁的良好习惯。 三、全册教学重难点 1. 会根据数级读、写亿以内和亿以上的数。 2．会笔算三位数乘除两位数的乘法、除数是两位数的除法，会进行相应的乘、除法估算和验算。 四、全册课时安排 1、大数的认识……………………………………………………15课时 2、公顷和平方千米………………………………………………2课时 3、角的度量………………………………………………………7课时 4、三位数乘两位数………………………………………………15课时 5、平行四边形和梯形……………………………………………8课时 6、除数是两位数的除法…………………………………………20课时 7、统计……………………………………………………………2课时 8、数学广角………………………………………………………3课时 9、总复习…………………………………………………………6课时
第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程： 一、复习准备： 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； >； （2）312 >吗？ （3）312 （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 二、讲授新课： 1. 教学命题的概念： ①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题. ②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）； 假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）. 上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题. ③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集； （2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？ x<； （5）215 （6）平面内不相交的两条直线一定平行； （7）明天下雨. （学生自练→个别回答→教师点评） ④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式： ①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式. ③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等； （3）全等的两个三角形面积也相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式. 巩固练习： 教材 P4 1、2、3 4. （师生共析→学生说出答案→教师点评） ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；
高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.
『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————
人教版四年级数学上册各单元教学设计 一、教材分析 这一册教材包括下面一些内容：大数的认识，三位数乘两位数，除数是两位数的除法，角的度量，平行四边形和梯形的认识，复式条形统计图，数学广角和数学实践活动等。大数的认识，三位数乘两位数，除数是两位数的除法，角的度量，以及平行四边形和梯形的认识是本册教材的重点教学内容。 在数与计算方面，这一册教材安排了大数的认识，三位数乘两位数，除数是两位数的除法。在小学阶段，本学期结束后，有关正整数的认识和计算的内容将全部教学完。本册这些知识的学习，一方面使学生学会用较大的数进行表达和交流，掌握较大数范围内的计算技能，进一步发展数感；另一方面通过十进制计数法的学习，对有关数概念的各方面知识进行系统的整理和融会贯通，为学生形成科学、合理的数学认知结构奠定基础；并为进一步系统学习小数、分数及小数、分数的四则运算做好铺垫。因此，这部分知识仍然是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能。 在空间与图形方面，这一册教材安排了角的度量、平行四边形和梯形两个单元，这些都是本册的重点教学内容。在已有知识和经验的基础上，通过丰富的数学活动，让学生进一步认识直线、线段、射线、角、垂线、平行线、平行四边形和梯形，学会一些简单的作图方法；同时获得探究学习的经历，体会各种图形的特征及图形之间的关系，促进学生空间观念的进一步发展。 在统计知识方面，本册教材安排了复式条形统计图。教材介绍了纵向和横向两种不同形式的复式条形统计图，让学生利用已有的知识，学会看懂这两种统计图并学习进行数据分析，进一步体会统计在现实生活中的作用，形成统计的观念。 在用数学解决问题方面，教材一方面结合乘法和除法两个单元，教学用所学的乘、除法计算知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，初步体会的运筹的数学思想方法，感受数学的魅力。同时让学生学习应用优化的思想方法解决一些简单的实际问题，培养学生观察、分析及推理的能力，培养他们探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识。 本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个综合应用数学的综合应用──“1亿有多大”和“你寄过贺卡吗？”，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。 二、教学内容 本册教材共分八个单元：大数的认识；角的度量；三位数乘两位数；平行四边形和梯形；除数是两位数的除法；统计；数学广角；总复习。以上各单元内容涉及数与代数、空间与图形、统计与概率（数学思想方法）用数学四大领域。具体分析如下： 1、数与代数领域的知识包括大数的认识；三位数乘两位数；除数是两位数的除法三个单元。以上三块内容是小学阶段整数教学的总结完善阶段，因此，以上内容是小学阶段的重要基础知识和基本技能。是本册教材的教学重点之一。 2、空间与图形领域的知识包括角的度量；平行四边形和梯形两个单元。以上两块内容是小学阶段系统学习几何知识的开始。（第一学段学习的相关几何知识基本是属于直观认识阶段）因此，这部分内容学习对以后进一步学习和培养学生的空间观念有着重要的作用。是本册教材的又一教学重点。 3、统计与概率（数学思想方法）领域的知识包括统计；数学广角两个单元。统计主要学习复式条形统计图（纵式和横式）学会看懂复式统计图并进行数据分析；数学广角让学生初步体会运筹思想和对策论方法解决生活中的实际问题。
高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 体重. （分析思路→教师演示→学生整理）
第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算 ②提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e（即残差变量或随机 =++，其中残差变量e中包含体重变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.
人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）
§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3）
第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培
第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、 教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360? 角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境：“转体720? ，逆（顺）时针旋转”，角有大于360? 角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360? ? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360? ?~角的概念，它是如何定义的呢？ [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720? ” （即转体2周），“转体1080? ”（即转体3周）等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?