高等数学方明亮版课件18函数的连续性与间断点

4
定义3 ( ) 0, 0,
使当 x x0 时, 恒有 f ( x) f ( x0 ) .
把极限定义严密化,便于分析论证.
连续性的三种定义形式不同, 但本质相同. 这三种定义中都含有 三个要素:
(1) f (x)在U ( x0 )内有定义;
lim f ( x)不存在,
x x0
则称 x0为f ( x)的间断点.
y
f ( x)在x 0处有定义,
lim( x) 0 lim(1 x) 1
1
x0
x0
f (0 0) f (0 0),
O
x
故x 0为f (x)的第一类 间断点.且是跳跃间断点.
f ( x0 0)及 f ( x0 0) 均存在, 则点x0为
.
解 f (1 0) 2, f (1 0) 2,
2
lim f ( x) 2 f ((11)), 2 x1
y2 x 1
x 1 为函数的第一类 间断点.
O1
x
且是可去间断点(removable discontinuity).
则
f (x)
2
x,
1 x,
一个不存在. 若f ( x0 0), f ( x0 0)之中有
一个为,则x x0称为无穷型间断点.
26
例
函数f
(
x)

sin
1 x
,
x 0,
0, x 0,
lim f ( x)不存在,
x x0
则称 x0为f ( x)的间断点.
f ( x)在x 0处有定义, 但当x 0时,sin 1 在

在 右连续.
在 连续
f x0
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
例3 证明 y sin x 在区间 , 连续.
证明：x , 当 x 取得增量 x 时，
对应的函数的增量为 y sin x x sin x
由公式
sin
x
x
sin
x
2 sin
x 2
cos
x
x 2
由
cos
x
x 2
2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
跳
不相等 第一类间断点: 左右极限都存在
跃 型
间断点
相等
可
第二类间断点: 无穷型,振荡型.
去
型
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
第 一
y
可去型
类
间
断 点
o x0
x
y
第
二
类
间 断
o
x0
x
点
无穷型
高等数学
y
跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
目录 上页 下页 返回 结束
4 f x0 f x0 f x0
证明题常用 1 判断函数在某点是否连续常用 2 分段函数在分段点处的连续性常用 4
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
例4 讨论函数
在 x 0 的连续性.
解：
lim f x lim x 2 2 f 0
x0
x0
lim f x lim x 2 2 f 0
y 0 就是 f x f x0 ,
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束

f ( x )的跳跃间断点 .
x , x 0, 例4 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. 1 x , x 0, y 解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
0
y
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 或
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim y 0 数的增量y 也趋向于零,即 x0
x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
定性的描述

(1) 函数 f (x)在 x0 无定义 ;
(2)
函数
f (x)
在
x0 虽有定义
, 但 lim
x x0
f (x)不存在;
(3) 函数 f (x)在 x0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但
lim f (x) f (x0)
x x0
x x0
这样的点 x0 称为间断点 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x 0 为其振荡间断点 . 连续必须具备下列条件:
若其中有一个为振荡 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或称它为该区间上的连续函数 .
x 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
的某邻域内有定义 , 答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
(3) y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对自变量的增量x x x0 , 有函数的增量 y f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 )
函数 f (x) 在点 x0 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
P65 3 ; 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )