第三章微分中值定理导数的应用
教学目的与要求
1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，
会描绘函数的图形。
4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6． 了解方程近似解的二分法及切线法。
一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理
如()x f
满足：
（1）在[]b ,a 连续.
（2）在()b ,a 可导.
（3）()()b f a f
= 则至少存在一点()b ,a ∈ξ
使()0f
/
=ξ
例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=
有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f
在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，
证明存在()1,0∈η，使()()0f f /=ηη+η。
证： 设()()x xf x F
=在[a,b]可导，()()1F 0F =
∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η
例 设()x f
在[0，1]可导，且()()01f 0f ==,
证明存在η ()()0F F /
=η+η 。
解: 设()()x f e x F
x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理
存在η 使()0F /
=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，
亦即()()0f f
/=η+η
例 习题6
设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理
如()x f
满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，
则存在()b ,a ∈
ξ
使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。 推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f =
⑵ 如果在区间I 上())0(0
x f /
<>，
()x f 在Ｉ单增（减）
例 对任意满足
1x <的x ，
都有4
x arcsin 2
1x
1x 1arctg π=++-
设 ()x arcsin 2
1
x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x
1x 121x 1x 111x f 22/
=-++-⋅+-⋅+-+=
0x 121x 12x 1x 12x 1212
22=-++⋅-+⋅+⋅-= ∴ ()c x f
=
∵ ()40f π= ∴ ()4
x f π=
例 设
()0x >，证明
()x x 1ln x
1x
<+<+ 求导证明
作业：见各章节课后习题。
二、洛必达法则 未定形：
如下的函数极限都是未定形。
1、
型： 如：x x x x x --→tan sin lim 0型：
2、
∞
∞
型： 如：0ln lim >+∞→a x x a
x
3、∞*0型： 如：0ln lim >⋅+∞
→a x
x a x
4、∞-∞型：如：)1
sin 1(
lim 0
x
x x -→ 5、0
0 型： 如：x x x arctan 0
lim
+→
6、0
∞ 型： 如：x
x ctgx ln 10
)
(lim +→
7、∞
1 型： 如：2
1
0)sin (
lim x x x
x → 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，
且它们只表示类型，没有具体意义。 1、
00 （∞
∞
）型的洛必达法则a x →(同理∞→x ) 定理：对函数和，如果： （1）
0)(lim )
(=∞→→x f x a
x , 0)(lim )
(=∞→→x g x a x
（2）在某个邻域),(δa N 内（X x >后）有导数
'f 和'g ，且0)('≠x g ；
（3）)
(')
('lim
)
(x g x f x a x ∞→→存在（或无穷），则成立： )()
(lim )
(x g x f x a x ∞→→=)(')('lim )(x g x f x a x ∞→→
例：1) bx
ax x sin sin lim
0→
2)
30sin lim x x x x -→ 3) 1
23lim 2331+--+-→x x x x x x
例： 1)
x
x x
12
arctan lim
-+∞
→π
2) n
x x x
ln lim
+∞→
3) x
n
x e
x λ+∞→lim (λ>0)
3、其它类型
1) 0
11,
0∞
→
∞⋅∞
2) 0
0000101⨯-→-→
∞-∞ 3)
)0(0
ln 0ln 00型∞⋅⨯=→=y y
4)
0,1∞==∞
y y 解法同3）
例 ： 1) )0(ln lim 0
n x x n x +
→
2) )tan (sec lim 2
x x x -→
π
3) x
x x +
→0
lim 4) x
x x
x x sin tan lim
20-→
