第三章 微分中值定理及其应用

微分中值定理的应用4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.例 4.1.1[5]()f x 是定义在实数集R 上的函数,若对任意,x y R ∈,有2()()()f x f y M x y -≤-,其中M 是常数,则()f x 是常值函数.证明 对任意x R ∈,x 的改变量为x ∆,由条件有2()()()f x x f x M x +∆-≤∆,即()()f x x f x M x x+∆-≤∆∆,两边关于0x ∆→取极限得()()0limlim 0x x f x x f x M x x∆→∆→+∆-≤≤∆=∆所以()0f x '=.由中值定理()(0)()0f x f f x ξ'-==,即()(0)f x f =, 故在R 上()f x 是常值函数.思路总结 要想证明一个函数()f x 在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数()f x '在同一区间上恒为零即可.例4.1.2[2] 设()f x =112112321343x x x x x x ------,证明：存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.证明 由于()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,111(0)1220133f --=--=--,11(1)111121f =--0= .符合罗尔中值定理的条件,故存在ξ(0,1)∈,使()0f ξ'=例4.1.3 若()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)f f =0=,设3()()F x x f x =,试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使()0F ξ'''=.证明 由题设可知()F x ,()F x ',()F x '',()F x '''在[0,1]上存在,又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理,∃1ξ(0,1)∈使1()0F ξ'=,又23(0)[3()()]|0x F x f x x f x =''=+=可知()F x '在上1[0,]ξ满足罗尔中值定理,于是21(0,)ξξ∃∈,使得2()0F ξ''=,又23(0)[6()6()()]|0x F xf x x f x x f x ='''''=++=对()F x ''存在21(0,)(0,)(0,1)ξξξ∈⊂⊂,使 ()0F ξ'''=.例4.1.4[4]（达布定理的推论） 若函数()f x 在[,]a b 内有有限导数,且()()0f a f b +-''< ,则至少存在(,)c a b ∈,使得()0f c '=.证明 ()()0f a f b +-''<,不妨设()0f a +'<,()0f b -'>,因为()lim [()()]/()0x af a f x f a x a ++→'=--<由极限的局部保号性可知,∃1δ0>,当1(,)x a a δ∈+时,()()0f x f a -<,即()()f x f a <.同样∃20δ>,当2(,)x b b δ∈-时,()()0f x f b -<,即()()f x f b <.取12m in{,,}2b a δδδ-=,于是在(,)a a δ+,(,)b b δ-中,分别有()()f x f a <和()()f x f b <.故()f a ,()f b 均不是()f x 在[,]a b 中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为c 由费马定理可知,()0f c '=.小结 证明导函数方程()()0n f x =的根的存在性的证明方法有如下几种：①验证函数()f x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明()0f ξ'=.②在大多数情况下,要构造辅助函数()F x ,验证在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,证明()0F ξ'=,进而达到证明问题的目的.③验证x ξ=为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的. 例 4.1.5 设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,0a b <<,试证：,(,)a b ξη∃∈使()()2a b f f ξηη+''=.证明 由于0a b <<,2(),()f x g x x =,()20g x x '=≠,(,)x a b ∈由于(),()f x g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理 ,所以(,)a b η∃∈使22()()()2f f b f a b aηη'-=-()()()()()2f f b f a b a f b aηξη'-'⇒+==-,(,)a b ξ∈由上面二式可得,(,)a b ξη∃∈使得：()()2a b f f ξηη+''=.例4.1.6 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内不同的ξ,η使()()a b a bf f ξη+=+''.证明 由于,0a b >所以01a a b<<+.又由于()f x 在[0,1]上连续且(0)0,(1)1f f ==.由介值性定理,(0,1)τ∃∈使得()a f a bτ=+,()f x 在[0,],[,1]ττ上分别用拉格朗日中值定理有()(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=∈即()(),(0,)f f ττξξτ'=∈ (1)()(1)(),(,1)f f f ττηητ'-=-∈即1()(1)(),(,1)f f ττηητ'-=-∈于是由上面两式有1()1()()()f b f a b f ττηη--==''+()()()()f a f a b f ττξξ==''+将两式相加得1()()()()a b a b f a b f ξη=+''++即()()a b a bf f ξη+=+''.小结 大体上说,证明在某区间内存在,ξη满足某种等式的方法是：①用两次拉格朗日中值定理.②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例4.2.1[3] 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b ==⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以1()0f x '=.由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈.所以()0f ξ''<.例4.2.2 设0b a <≤,证明lna b a a b abb--≤≤.证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立. 下证 当0b a <<时,有lna b a a b ab b--<< ①作辅助函数()ln f x x =,则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使ln ln 1a b a bξ-=- ②由于0b aξ<<<,所以111a bξ<<③由②③有1ln ln 1a b aa bb-<<-,即lna b a a b ab b--<<.小结 一般证明方法有两种①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-； 第三步 把()f ξ'适当放大或缩小.4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题例4.3.1 设函数在0x x =点的某一邻域内可导,且其导数()f x '在0x 连续,而0nn x αβ<<当n →∞时00,n n x x αβ→→,求 ()()limn n n n nf f βαβα→∞--.解 设00{},{}()nn u x αβ⊂,则由拉格朗日中值定理有()()(),()n n n n n n n nf f f βαξαξββα-'=<<-. 已知0()nx n ξ→→∞,又()f x '在0x 连续,即00()lim ()x x f x f x →''=,所以0()()limlim ()lim ()()n n n n n x x n nf f f f x f x βαξβα→∞→∞→--'''===.例4.3.2 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞'+=,求lim ()x f x →∞.分析 由式[()()][()]xxf x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()xxF x f x e g x e==,显然()0g x '≠.解 由lim[()()]0x f x f x →∞'+=,知0ε∀>,0X ∃>当x X >时()()f x f x ε'+<,令()()xF x f x e=,()xg x e =对x X>,在[,]X x 上利用柯西中值定理有()()()()()()F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈即()()[()()]xXxXf x e f X ef f ee eeξξξξ'-+=-,亦有[()()]()()1X xX xf x f X ef f eξξ---'=+-,或|()||()||()()|(1)X xX xf x f X ef f e ξξ--'≤+++由于lim0X xx e-→+∞=,所以1,x X ∃>当1x x >时有X xeε-<和1X xe-<,于是1x x ∀>,使|()||()|2f x f X εε≤+即lim ()x f x →∞=.小结方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.4.4 证明零点存在性在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.例4.4.1 设iaR ∈且满足120 (02)31n a a a a n ++++=+,证明方程12012...0nn a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根.证明 引进辅助函数23112() (2)31n nxxxF x ax a a a n +=+++++,显然(0)(1)0F F ==,()F x 又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,()F x 满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=而1212()...nnF x a a x a x a x '=++++故方程1212...0nna a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根ξ.注 本题构造()F x 的依据是使()F x 得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程510x x +-=有唯一正根. 证明 （存在性）令5()1f x x x =+-,显然()f x 是连续函数,取区间[0,]N 则()f x 在[0,]N 上连续,在(0,)N 内可导,且4()510f x x '=+>,由连续函数的零点定理,知存在0x (0,)N ∈使0()0f x =即方程有正根(0)N >.（唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,设处0x 外还有一个10x >不妨设01x x <使1()0f x =则()f x 在01[,]x x 上满足罗尔中值定理条件,于是存在01(,)x x ξ∈使()0f ξ'=这与上面的4()510f x x '=+>矛盾.所以,方程有唯一的正根.例 4.4.3 设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,证明(,)a b ξ∃∈使()()()()()()0()()()f ag ah a f b g b h b f g h ξξξ='''并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.证明 作辅助函数()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =由于()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知(,)a b ξ∃∈使()()()0()()()()()()()f ag ah a F f b g b h b f g h ξξξξ'==''',①若令()1h x =,则由①式有()()10()()()1()()f ag a F f b g b f g ξξξ'=='',②由②式可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-此即柯西中值定理.若令()1h x =,()g x x =由①式有()10()()1()1f a aF f b bf ξξ'==',③由③可得()()()f b f a f b aξ-'=-此即为拉格朗日中值定理.此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法（1）构造恰当的函数()F x ,使()()F x f x '=；对()F x 使用洛尔定理即可证得结论存在ξ,使得()0f ξ=；（2）对连续函数()f x 使用介值定理；证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证.4.5 函数的单调性例4.5.1[6] 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导,()f x '单调增加,且(0)0f =,则函数()f x x在(0,)a 也单调增加.证明 对任意12,(0,)x x a ∈,且12x x <,则()f x 在1[0,]x 与12[,]x x 均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在11212(0,),(,)c x c x x ∈∈,使111()(0)()0f x f f c x -'=-, 21221()()()f x f x f c x x -'=-,由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以121121()()()f x f x f x x x x -≤-,从而1212()()f x f x x x ≤,即函数()f x x在(0,)a 也单调增加.4.6 导数的中值估计例4.6.1[7] 设()f x 在[,]a b 上二次可微, ()()0f a f b ''==,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得22()()()()f f b f a b a ξ''≥--.证明 因为函数()f x 在[,]2a b a +与[,]2a b b +上可导,所以由中值定理有11()()2(),(,),22a bf f a a b f c c a a b a +-+'=∈+- （1）22()()2(),(,),22a bf b f a b f c c b a b b +-+'=∈+-（2）(1)(2)+,并整理得212()()[()()]f c f c f b f a b a''+=--,（3）又()()0f a f b ''==,且()f x 在[,]a b 上二次可微,则分别在1(,)a c 与2(,)c b 内至少存在1ξ与2ξ,使11111()(),(,),f c f a c c aξξ'''=∈-（4）22222()(),(,),f c f c b c bξξ'''=∈-（5） (4)(5)+,并整理得211122()()()()()(),f c f c f c a fc b ξξ''''''+=-+-（6） 将（6）式代入（3）式得11222()()()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-=-+--令12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=,则11222()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-≤-+--()f b aξ''≤-即22()()()()f f b f a b a ξ''≥--,(,)a b ξ∈.解题方法小结选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论. 4.7 证明函数在区间上的一致连续例4.7.1 设函数()f x 在(0,1]内连续且可导,有0lim ()0x x f x +→'=,证明：()f x 在(0,1]内一致连续.证明 由函数极限的局部有界性知,存在0M >和(0,1)c ∈,使(),(0,]x f x M x c '≤∈于是12,(0,]x xc ∀∈,且12x x ≠不妨设12xx <由柯西中值定理,12(,)x x ξ∃∈,有2121()()()2()1/(2)f x f x f f x x ξξξξ'-'==-即221212212x x x x x x x -=+-≤-故0,ε∀>2m in{(),}2c Mεδ∃=,当12,(0,]x x c ∈,且21x x δ-<时,由上面两式得到212121()()22f x f x M x x M x x ε-≤-≤-<于是知()f x 在(0,]c 上一致连续,由于()f x 在(0,1]上连续,所以()f x 在[,1]c 上一致连续, 由定理知()f x 在(0,1]内一致连续.证明函数在区间上的一致连续解题小结：利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性例 4.8.1 设函数()f x 在点0x =的某邻域内有二阶连续导数,且()limx f x x→=,证11()n f n ∞=∑绝对收敛. 证明 由0()limx f x x→=且()f x 在0x =可导,知(0)0,(0)0f f '==故()f x 在点x =处的一阶泰勒公式为：2211()(0)(0)()()2!2!f x f f x f x f x ξξ'''''=++=,(0,)x ξ∈因()f x M''≤,故221()()2!2M f x f x xξ''=≤.取1x n=有211()()2M f n n≤ 由于211()2n Mn∞=∑收敛,由比较判别知11()n f n∞=∑绝对收敛. 定理[8] 已知()f x 为定义在[1,)+∞上的减函数,()F x 为定义在[1,)+∞上的连续函数,且()()0F x f x '=>,(1,)x ∈+∞. ⑴当极限l i m ()n F n →∞存在时,正项级数1()n f n ∞=∑收敛,设其和为a,则lim ()(1)lim ()(1)(1)n n F n F a F n F f →∞→∞-≤≤-+；⑵当极限lim ()n F n →∞=∞时,正项级数1()n f n ∞=∑发散.证明 下面只证定理的前半部分.因为函数()F x 在区间[,1]k k +上满足中值定理的条件（其中1k ≥）,所以在(,1)k k +内至少存在ξ使得(1)()()F k F k f ξ+-=成立,又()f x 为减函数,故有(1)(1)()(),1,2,,f k F k F k f k k n +<+-<=⋅⋅⋅.将上述n 个不等式相加得(2)(3)...(1)(1)(1)(1)(2)...()f f f n F n F f f f n ++++<+-<+++. 令(1)(2)...()nS f f f n =+++, 则(1)(1)(1)(1)nnS f f n F n F S -++<+-<,（1）第10页 因极限lim ()n F n →∞存在,()f x 为减函数,从而数列{()}F n 有界,(1)(1)f n f +<,所以数列{}nS 单调递增且有上界,故极限lim nn S →∞存在,即级数1()n f n ∞=∑收敛.从而lim()0n f n →∞=,由（1）可得1lim ()(1)()lim ()(1)(1)n n n F n F f n F n F f ∞→∞→∞=-≤≤-+∑.例4.8.2 判定级数21nn n e∞=∑是否收敛？若收敛,请估计其和.解 令2()xf x x e -=,2()(22)xF x x x e -=-++,则()()F x f x '=,()(2)xf x x x e -'=-,故当2x ≥时,()0f x '≤,此时()f x 为减函数,又lim ()n F n →∞0=,由定理知级数21nn n e∞=∑收敛,且22lim ()(2)lim ()(2)(2)nn n n n F n F F n F f e∞→∞→∞=-≤≤-+∑,所以210(2)(1)0(2)(2)(1)nn n F f F f f e∞=-+≤≤-++∑即2212111014nn n eeeee∞----=+≤≤+∑.判定级数的敛散性的一般解题方法方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；方法二 先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论；。

第2章 微分和微分法·导数的简单应用90 §2-4 微分中值定理及其应用读者知道，常数(作为区间上的常值函数)的导数恒等于零，那么相反的结论也是正确的吗？又当函数)(x f 在区间),(b a 内单调增大时，由于0(0)()()0(0)x f x x f x x ≥∆>⎧+∆-⎨≤∆<⎩， 从而0)()(≥∆-∆+x x f x x f , 所以它的导数(若存在的话)()()()lim0∆→+∆-'=≥∆x f x x f x f x x那么反过来，若)(0)(b x a x f <<≥'时，函数)(x f 在区间),(b a 内一定是单调增大的吗？要回答这样的问题，就要用到微分学中最重要的一个定理，即微分中值定理(或称拉格朗日中值定理).1.微分中值定理 为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理. 罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b f a f ，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=(图2-14)（*）.证 因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，所以它在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m .若=m M ，则()0()≡≤≤f x a x b ，结论显然成立；若<m M ，则)(x f 在区间),(b a 内某点c 取到最大值或最小值（即不可能同时在两个端点上取到最大值和最小值）.根据定理2-1，有()0f c '=.【注】下面的结论有时也称为罗尔定理： 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b =.若()f x 在开区间(,)a b 内有导数，则至少有一点(,)c a b ∈，使()0f c '=.(图2-15)只要作辅助函数()()()F x f x f a =-，则()()0F a F b ==.根据已证的罗尔定理，就会有点),(b a c ∈，使()()0F c f c ''==.微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使)()()()(b c a ab a f b fc f <<--=' （2-6）（*）罗尔一生从未接受微积分.他是一个代数学家.他可能是在研究代数方程的根时得出类似的结论.后来人们习惯上称它为罗尔定理（他的结论不可能是这种形式）.)图2-14)§2-4 微分中值定理及其应用 91特别，当)()(b f a f =时，它就是罗尔定理（见罗尔定理后的注）.因此，微分中值定理是罗尔定理的推广.[分析] 如图2-16，曲线)(x f y =上必有一点(,())C c f c ，它在该点处切线的斜率等于弦AB 的斜率(切线与弦平行)，即式(2-6).证 考虑函数(曲线与弦的差))]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x ---+-=δ（图2-17）显然，函数)(x δ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b a δδ(在区间两端等于零).根据罗尔定理，必有点),(b a c ∈，使0)(='c δ，即)()()()(b c a ab a f b fc f <<--='【注】微分中值定理的上述证明方法的优点是直观, 而下面的证明方法容易推广（用于证明§2-9中的泰勒公式）.设待定常数C 满足条件()()()f b f a C b a =+- （※）再作辅助函数()()[()()]()F t f t f a C t a a t b =-+-≤≤, 则函数()F t 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，因此有中值(,)c a b ∈, 使()0F c '=, 即()()0()F c f c C C f c '''=-=⇔=.把它代入上面的等式（※）, 则得()()()()()f b f a f c b a a c b '=+-<< 或 ()()()()f b f a f c a c b b a-'=<<-等式(2-6)又称为拉格朗日中值公式或微分中值公式.它有很多变形，例如，若令)10(<<--=θθab a c则拉格朗日中值公式为()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<< (2-7)它对b a >也成立.又如，若函数)(x f 在开区间),(b a 内有导数，则对任意),(b a x ∈和()(,)x x a b +∆∈，都有)10()()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f (2-8) 通常称它为有限增量公式(其中x ∆为有限增量．．．．)，以便区别于无穷小量形式(或极限形式)的公式图2-17图2-16第2章 微分和微分法·导数的简单应用92 ()()()()f x x f x f x x o x '+∆-=∆+∆其中x x d =∆为无穷小量.请读者注意两者的区别．．．．．．．．．．. 微分中值定理和罗尔定理，只断定那个中值)(b c a c <<的存在性，而没有指出它在区间),(b a 内的具体位置.尽管如此，仍不失它在微积分中的重要性，因为在几乎所有的应用中，并不需要知道它在区间),(b a 内的具体位置.微分中值定理使我们能够根据函数的导数．．．．．．．．．．．．．．．．．．)(x f '所提供的信息，反过来去推断函数本身所具有的某些特性或变化状态．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 推论 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b证 设),(0b a x ∈为任意固定一点.根据拉格朗日中值公式，对于任意),(b a x ∈，都有)10(0))](([)()(0000<<=--+'=-θθx x x x x f x f x f即))(()(0b x a x f x f <<≡.对于定义在区间,a b 上的函数)(x f ，若另有定义在区间,a b 上的可微函数()F x 使d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=则称函数()F x 为)(x f 的一个原函数.函数)(x f 在区间,a b 上的原函数不是唯一的，若函数()G x 也是它在区间,a b 上的原函数，因为[]()()()()()()0F x G x F x G x f x f x '''-=-=-=根据上述推论，所以()()F x G x c -≡(常数)或()()F x G x c ≡+.因此，若函数()f x 在区间,a b 上有原函数，则它在该区间上就会有无穷多个原函数，而且每两个原函数之间只能相差一个常数.2.函数单调性的判别法 下面的结论实际上也是微分中值定理的推论.它指出了用导数判别函数单调性的方法.定理2-2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数. ⑴ 若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵ 若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数. （在有限个点上有0)(='x f 时，结论仍成立）证 设1x 和2x 为区间],[b a 上任意两点且21x x <，根据拉格朗日公式，则有2112121()()[()]()f x f x f x x x x x θ'-=+--若()0()f x a x b '><<，则21()()0f x f x ->，即)()(21x f x f <，因此()f x 是增函数；若()0()f x a x b '<<<，则21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >，因此()f x 是减函数. 例18 设13)(23-+=x x x f ，则)2(363)(2+=+='x x x x x f 于是，方程0)(='x f 有根12x =-和20x =. 用这两个根把函数)(x f 的定义域),(+∞-∞分§2-4 微分中值定理及其应用 93成三个小区间 (图2-18)：]0)([),0(],0)([)0,2(],0)([)2,(>'+∞<'->'--∞x f x f x f可见，函数)(x f 在区间)2,(--∞和),0(+∞内增大，而在区间)0,2(-内减小.3.证不等式的方法情形Ⅰ 设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(a g a f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<>.(见图2-19)情形Ⅱ 设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(b g b f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<<.(见图2-20)证 譬如证情形Ⅰ(图2-19).令)()()()(b x a x g x f x h <≤-=.根据条件()i ，则0)(=a h ；根据条件()ii ，()0()h x a x b '><<.因此，)(x h 是增函数.于是，)()()(0b x a x h a h <<<=所以有))(()(b x a x g x f <<>.例19 证明：⑴ 当0>x 时，x x <+)1ln(； ⑵ 当1->x 且0≠x 时，xx x +>+1)1ln(.因此，当0>x 时，有x x xx <+<+)1ln(1.证 ⑴令)1ln()(,)(x x g x x f +==，则0)0()0(==g f 且)0(11)(1)(>+='>='x xx g x f [属于情形Ⅰ]因此，有)0()1ln(>+>x x x .图2-19图2-20图2-18•2-·0x第2章 微分和微分法·导数的简单应用94 ⑵ 令)1ln()(,1)(x x g xx x f +=+=. 在区间]0,1(-上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+>+=' [属于情形Ⅱ]因此，有)1ln(1x xx +<+)01(<<-x .其次，在区间),0[+∞上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+<+=' [属于情形Ⅰ]因此，有)1ln(1x xx +<+)0(+∞<<x .习 题1.不求导数，而根据罗尔定理证明：函数22)(23+--=x xx x f在区间)1,1(-内必有点c ，使0)(='c f .2.证明：不论m 为何值，多项式m x x x P +-=3)(3在区间]1,1[-上不会有两个实根.3.设多项式nn x a x a x a a x P ++++= 2210)(的系数满足等式01321210=+++++n a aa a n 证明：多项式)(x P 在区间)1,0(内必有实根. 提示：考虑函数1210121)(+++++=n n x n a x a x a x f .4.设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有导数，且A x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim （有限值）证明：在),(b a 内至少有一点c ，使0)(='c f .提示：将函数()f x 连续延拓到闭区间[,]a b 上.5.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间),(b a 内可微分，且()()0f a f b ==.证明：对任意实数λ，必存在点(,)a b ξ∈，使()()f f ξλξ'=提示：令()e()xF x f x λ-=.6.对于下列函数，在所示区间上应用拉格朗日中值公式，求出中值c ：⑴)51()(2≤≤=x x x f ； ⑵)42(1)(≤≤=x xx f ；⑶)94()(≤≤=x x x f ； ⑷)e 1(ln )(≤≤=x x x f .答案：⑴3=c ；⑵22=c ；⑶4/25=c ；⑷1e -=c .7.证明：对于0≥x ，则有)(x θθ=使§2-4 微分中值定理及其应用 95θ+=-+x x x 211而且)(x θθ=满足01111;lim ;lim 4242x x θθθ+→+∞→≤≤==8.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数.证明：必有点),(b a c ∈，使)()()()(c f c c f ab a af b bf '+=-- [ 提示：考虑函数)()(x xf x g =]9.设函数()f x 在点a 连续且有极限lim ()x af x →'.证明：必有导数()f a '且()lim ()x af a f x →''= [点a 的导数等于近旁导数的极限]同样，若函数()f x 在点a 左连续[右连续]且有左极限lim ()x af x -→'[右极限lim ()x af x +→']，则必有左导数()f a -'[右导数()f a +']且()lim ()x a f a f x --→''= ()lim ()x a f a f x ++→⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦提示：()()()f a x f a f a x x θ'+∆-=+∆∆(01)θ<<.【注1】根据这个结论, 函数1,()0,x a f x x a=⎧=⎨≠⎩在含点a 的区间内没有原函数（用反证法证）。

·91·第三章 微分中值定理及其应用§1.1 微分中值定理及其应用网络图§1.2 内容提要与释疑解难定义 若存在x 0的某邻域()δ,0x U ，使得对一切()δ,0x U x ∈，都有 )),()(()()(00x f x f x f x f ≥≤则称)(0x f 为极大值（极小值），称x 0为极大（小）值点。

极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。

费马（Femat ）定理（取到极值的必要条件）设f(x)在点x 0处取到极值，且)('0x f 存在，则.0)('0=x f 反之不真，例如,0)0(',3)(',)(23===f x x f x x f 但f(0)不是极值。

费马定理常用于证明f(x)=0有一个根，找一个F(x)，使).()('x f x F =证明F （x ）在某点x 0处导数的应用微分中值定理费马定理 罗尔定理拉格朗日定理 柯西定理 泰勒公式中值定理应用 方程根的存在性适合某种条件ξ的存在性 不等式 函数性态研究 最大值与最小值曲线的局部性质 单调区间 极值 凹向与拐点 渐近线函数图形的描绘曲率 曲率圆中心——渐屈线半径·92·取到极值且)('0x F 存在，由费马定理知,0)('=x F 即.0)(0=x f 罗尔（Rolle ）定理 设f(x)在闭区间[a ,b ]上满足下列三个条件：（1）f (x )在闭区间[a ,b ]上连续；（2）f(x)在开区间（a ,b ）内可导；（3）),()(b f a f =则至少存在一点(),,b a ∈ξ使.0)('=ξf推论 在罗尔定理中，若f(a)=f(b)=0，则在（a ,b ）内必有一点ξ，使,0)('=ξf 即方程f(x)=0的两个不同实根之间，必存在方程f'(x)=0的一个根。

2一.应用麦克劳林公式，按X 乘幕展开函数f （X ）=（X - 解：f （X ）是6次多项式,二 f(x)=f(0)+f'(0X+f~^)x 2+f_^)x 3+^^^)x 42! 3! 4! 5计算出：f(0) =1, f'(0)=3(x 2-3x + 1#2x -3?x 才-9f "(O) = 60, f '"(0)= -270, f 伫0)= 720, f (m o )= -1080,f 00)=720故 f(X)= 1 - 9x + 30x 2 -45x 3 + 30x 4 - 9x 5 + X6二•当Xo = -1时，求函数 f （X ）= 1的n 阶泰勒公式。

Xf (x )=(-1X-2)x —3，…，f g(x )=(-1)kk!x n•• f ( — 1)= -1, f '(一1)——1, f''(—1)= -2 f'"(—1)——3!,…,f (nn —1)= -n!=(_1广 n(x + 1)n=(匕在一1和X 之间)1 f "f_1\ f1f (—1)+ f'( — 1)(x + 1)+^^~^(x + 1)2+…+ --- (x +1)n+ R/x)X 2! ■ =-1 + (x + 1) +(x + l f +…+ (x +1)n]+(T)n%7EX x + 1严第3章 微分中值定理及其应用 （第二讲泰勒公式、 函数极值等 ）解: f(x)=丄=x —1Xf (x )= x^23X+ 1)3。

5+d6Rn(X)= fr )=（-1厂（n + 1!© 一卩七）n!三•求函数f（X）= xe x的n阶麦克劳林公式。

解：f(x) = xe\ f'(x)=eXd + x) f (x)=eX(2+x)…，f(k)(x)= e x(k+X)I I II Q f(x) = xe = f(0)+f(0%+ —2! -^-f(n\0)x n+^^f(MG)x n+1 n! (n + 1!=0 +1 + —X2+•1 1K—n x n+ ------ e (n + 1 + 匕[^“十12 13 =X + X2+ —X3 ++(n +-—M k n + 1)+ E ]x n岀©可表示为日X （0 <日吒1 ）兀 2 ..当 0w x<2 时，证明一x^sinx。

第三章 微分中值定理与导数的应用Chapter 3 Mean Value Theorem of Differentials and the Application of Derivatives3.1 微分中值定理 (The Mean Value Theorem)一、罗尔定理 (Rolle's Theorem) 费马引理 (Fermat Lemma)设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义 , 并且在0x 处可导 , 如果对任意的0()x U x ∈, 有0()()f x f x ≤( 或0()()f x f x ≥), 那么0()0f x '=。

Let ()f x be defined on the open interval 00(,)x x δδ-+for some δ. If ()f x is differentiable at 0x , and for any x in 00(,)x x δδ-+ , (or 0()()f x f x ≥)then 0()0f x '=.驻点、奇异点和临界点(1) 如果函数在c 点的导数()0f c '=, 则称c 点为驻点；(2) 如果c 是区间(,)I a b =的内点 , 且函数在c 点的导数()f c '不存在 , 则称c 点为奇异点 ；（3) 函数的定义域内的驻点、奇异点和端点统称为函数的临界点。

Stationary Point, Singular Point, and Critical Point(1) If c is a point at which ()0f c '=, we call c a stationary point; (2) If c is an interior point of (,)I a b = where ()f c ' fails to exist, we call c a singular point;(3) Any point of the three types ，including stationary point, singular point and end point, in the domain of a function is called a critical point of ()f x .罗尔定理 (Rolle's Theorem)如果函数()f x 满足 :(1) 在闭区间[,]a b 上连续 ； (2) 在开区间(,)a b 内可导 ；(3) 在区间端点处的函数值相等 , 即()()f a f b =，那么在(,)a b 内至少有一点ξ()a b ξ<<， 使得()0f ξ'=。

第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理定义（极值）若，使得恒有 ，则称在取极小值.恒有，则称在取极大值.费马引理 若在处取得极值,且在处可导,则罗尔定理 若 1）在上连续；在内可导；则，使2）3）费马(1601 – 1665)费马 法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:历经358年, 直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决 .引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若在上连续；2）内可导，1）在，使则注：1）结论都成立.2）有限增量公式推论 设在区间上连续，在内可导，则在上拉格朗日 (1736-1813)法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来, 数学中的许多成就都可直接或间接地追溯到他的工作,他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.例1 试证例2 证明：当时，例3 证明：当时，三、柯西中值定理柯西中值定理 若上连续；在内可导，且1）2）在则，使内容小结1. 意义建立局部和整体的关系2. 关系罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理3. 应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论作业P132：5；6；7；8；10；11；12.。

第三章微分中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。

教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。

§3 1 微分中值定理一、教学目的与要求：1．掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论，强调定理的条件是充分而非必要的；2．会验证中值定理的正确性，掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的方法（关键是构造辅助函数）；3．理解三个中值定理之间的关系。

二、重点、难点：中值定理的应用三、主要外语词汇：Fermat ，Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium valueaxioms,Lead a reason,shut zone,open zone.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数.证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。

第三讲：微分中值定理及其应用导数的应用：求切线、法线1、曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .2、曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的发现方程为 .一阶导数与单调性的关系、二阶导数与凹凸性的关系1、设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)2、设在[]0,1上()0f x ''>，则()0f '，()1f '，()()10f f -或()()01f f -的大小顺序是（ ）（A ） ()()()()1010f f f f ''>>- （B ）()()()()1100f f f f ''>-> （C ） ()()()()1010f f f f ''->> （D ）()()()()1010f f f f ''>-> 3、求证arcsin arcsin |2x y π+=恒成立4、设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-.5、（思考）设()f x 在0x 邻域内有定义，且000()()lim ()nx x f x f x k x x →-=-，其中n 为正整数，0k ≠为常数，讨论0()f x 是否为极值.渐近线：1.铅直渐近线lim ()x a f x +→=∞ 或 l i m ()x af x -→=∞则x a =为曲线()y f x =的一条垂直渐近线。

2.水平渐近线lim ()x f x b →+∞= 或 l i m ()x fx b→-∞= 则y b =为曲线()y f x =的一条水平渐近线。

3.斜渐近线 若()lim0x f x a x→+∞=≠，()lim x f x ax b →+∞-=⎡⎤⎣⎦ 或()lim 0x f x a x→-∞=≠，()lim x f x ax b →-∞-=⎡⎤⎣⎦ 则y ax b =+是曲线()y f x =的一条斜渐近线。