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渡河问题的数学模型解决方法

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1 渡河问题的数学模型解决方法 内容摘要： 本文通过对1934年和2002年两次武汉抢渡长江挑战赛的资料分析，对在抢渡过程中涉及到的水流速度，人的游泳速度、方向和起终点路程的关系等因素建立了数学模型，并以此进行了几个问题的研究。分析两次比赛路线的不同对选手到达终点成功率的影响，阐述了两次的成功人数百分比有很大差异的原因。然后考虑诸多因素的复杂变化，包括水流速度的分段或线性变化等，对模型进一步优化，找出人的游速的大小和方向与水流的关系，并提出几种可行性方案。最后将模型应用到实际问题中，通过对诸如空投、宇宙飞船对接等涉及到多个速度和位移关系的设想，将模型进一步验证和推广。 通过数学模型及相关数据，可算得： ①2002年第一名的游泳路线为从起点到终点的直线路程，游泳速度的大小为v=1.54m/s，方向为与平行河岸上游方向夹角6.62；一个游泳速度为1.5m/s的人应选择的方向为与平行河岸上游方向夹角2.58，他的成绩大约为s4.910； ②如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则他们无法到达终点。由于1934年和2002年两次比赛在水平方向（即水流方向）上路程的差异，计算出1934年选手的理论成功概率为81.1%，实际概率为90.9%；2002年的理论成功概率为19.3%，实际概率为18.3%，从而说明了为何两次比赛能到达终点人数的百分比有如此大的差异。最后得出能够成功

到达终点的选手的条件为sincos0vdvvs

③当水流速度沿离岸边距离分段变化时，游泳速度为1.5m/s 的选手应选择的方向是与平行河岸上游方向夹角2.58 ，路线为从起点到终点的直线距离，预计时间为784.5s ④当水流速度沿离岸边距离呈线性变化时，人的游泳方向从垂直河岸开始逐渐向减小方向偏离，中间一段水流速度恒定是也恒定，最后一段逐渐增大，当到达对岸时

90恰为　。由此可最终求总共经历时间约为 810s 2

一．基本模型建立 设水速为v0，垂直于岸边的距离为d,平行于岸边的位移为s，人的速度为v,出发方向与河岸平行方向夹角为θ，整个运动时间为t ，起点至终点的直线距离为l，如图所示：

若人要恰好从起点到达终点，则有： sincos0vdtvv

s

二．模型假设 1．不考虑温度（气温、水温）及水中除水速外其他因素对选手速度的影响； 2．由于在实际情况中，风力对人的影响比对水的影响要小得多，而风对水的影响在水速中已经体现，因此不考虑风力对人的直接影响； 3．假设1934年和2002年两次比赛具有相同的外界条件，即具有相同的水流速度； 4．开始人以某一初速度沿固定方向向对岸游，则只要满足人刚到达对岸的地点在终点的上游，就可以认为此人能够到达终点； 5．的范围是]180,0[，在开始时所有选手向各个方向起跳的机率相同。 三．模型分析 1．①分析2002年冠军的游泳速度的大小和方向 由于在游泳过程中水流速度，游泳速度的大小和方向始终不变，因此第一名的路线为从起点到终点的最短距离即直线距离。在这个条件下可以得出：

6.62,/54.1848,1160,1000,/89.10　sm　vs　tm　dm　ssmv可求得

终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门 v θ d

s v0 3

②分析v=1.5m/s的人所应选择的游泳方向及用时计算 s，　t　sm　vm　dm　ssmv9102.58/5.1,1160,1000,/89.10可求得

2．①若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则模型可简化为： vdtvs

0

s　tsm　v　m　dm　ssmv1.529,/19.2,1160,1000,/89.10可求得

但根据我们在网上查到的资料[1]，男子800M自由泳世界纪录为7分46秒，平均速度为1.72sm/；男子1500M自由泳世界纪录为14分41秒，平均速度为1.70sm/.由此可以看出若游泳者始终以和岸边垂直的方向游所需的速度大于目前为止世界上人们所能达到的最大速度。显然这是不成立的，因此可以得出结论： 若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则无法到达终点。 ②由于1934年当时比赛时的水温与水流速度现已无从考评，况且根据武汉的地理及气候特点，5月1日和9月9日的气候差异不足以对选手的速度产生较大影响。所以，只考虑水速和人的游泳速度。

mdl　slsd： m　dml6.4863,1160,500022222有　根据勾股定理有

考虑成功到达终点的概率时，我们只需研究某一合理速度。则在这一速度上两次比赛能够选择速度方向的差异决定了两次比赛选手们成功率的差异。根据题设的条件，我们假设v=1.5m/s为所有选手的普遍速度。则在这个速度的条件下，来研究1934年和2002年两次比赛中方向选择的差异。 又因为模型假设三，若选手可以到达终点，则模型应满足的条件是：

v θ

d

s v0

起点: 武昌汉阳门 4

sincos0vdvv

s

1934年时：

。，：　：　：　sm　vsm　vm　dms与理论情况基本吻合比为实际情况当年成功百分终点的理论概率为因此所有选手成功到达解不等式可推导出%9.90%100*4440%1.81%100*1806.36.1496.1496.3/5.1,/89.1,1160,6.48630

2002年时： 。，：　：　：　sm　vsm　vm　dms合同样与理论情况基本吻比为实际情况当年成功百分终点的理论概率为因此所有选手成功到达解不等式可推导出%3.18%100*18634%3.19%100*1804.232.582.584.23/5.1,/89.1,1160,10000

由此可以得出结论，由于两年的比赛中在s值上存在的很大差异，使得两次竞渡能够成功的理论概率存在很大差异，1934年时成功率远大于2002年时的成功率，因此两次比赛能够到达终点的人数的百分比有如此大的差别。 同时，2002年时能够成功到达终点的选手的条件即为模型的条件，即：

sincos0vdvv

s

3．当水流速度分段分布时，研究游泳方向的问题 由于水流速度永远只沿平行河岸方向，因此竖直方向速度永远等于sinv，所以人在竖直方向保持匀速直线运动





米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(yyyyv





ttttttt3218.3200

200960 v

v

v

   5

根据以上图示和模型可列出方程组： stvvtvvtvvdtttv)cos(8.3)cos()cos()8.3(sin

321

代入数据可得： 10008.3)cos5.111.2(2)cos5.147.1(11608.5sin5.1ttt



从而可以得出： st1.3373.2311 st9.1562.58

22

因为要用最少的时间到达终点，所以取T=5.8t=784.5s，2.58

所以方向为与平行河岸方向夹角为2.58，经历总时间为784.5s

4．当水流速度呈线性变化时，研究游泳者的速度和方向 ①当游泳者的游泳方向始终保持不变时: 在水平方向，当2000y，水流速度呈线性变化：





)/(cos14.1)/(cos28.2cos)/(cos14.12)cos0()cos/28.2(2)cos()cos(1302minmax1sm vvvsm vvvvsm vvvsmvvvvv





在竖直方向，游泳者始终保持匀速sinv

：





ttttttt3218.3200

200960

根据模型，则有： dtttvstvtvtv)(sin321

332211

代入各数据可得：

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基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档

基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档

基于商人过河游戏的数学建模1提出问题文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。

商人怎样才能安全渡河呢？”此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一个可行的方案来。

文献[1]中通过图解法给出了解答，但是当商人数与随从数发生变化，船能容纳的人数不是二人时，图解法就会变得繁复而难以解决问题。

因此，将上述游戏改为n名商人各带一个随从过河，船每次至多运p个人，至少要有一个人划船，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。

但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。

商人怎样才能安全渡河的问题。

除此之外，考虑了随着船载人数的增多，以及商人与仆人的对数增多到多少时，会影响商人的安全渡河的问题。

2问题分析由于这个虚拟的游戏已经理想化了，所以不必再作假设。

我们希望能找出这类问题的规律性，建立数学模型，并通过计算机编程进行求解。

安全渡河游戏可以看做是一个多步决策过程，分步优化，船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶回此岸的每一步，都要对船上的商人和随从做出决策，在保证商人安全的前提下，在无限步内使全部人员过河。

用状态表示某一岸的人员状况，决策表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。

问题转化为在状态的允许范围内，确定每一步的决策，最后获取一个全局最优方案的决策方案，达到渡河的目标。

除此以外，我们还要找出，随着船载人数的增加，商人与仆人对数达到多少时，会影响到商人不能安全过河。

这里要对船载人数进行限制，因为船载人数过多时，此智力游戏会变得相当繁复，就会失去作为游戏的本来意义。

3模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为，随从数为，，，。

将二维向量定义为过程的状态。

安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。

当时，；当时，。

记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量定义为决策。

小船渡河数学模型

小船渡河数学模型

小船过河数学模型1.问题及背景一只小船度过宽度为d的河流，目标是起点A正对着的另一岸的B 点。

建立小船渡河航线模型，并分析研究小船的渡河航行时间。

2.问题假设和分析假设河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为K。

在小船渡河问题中，我们若选地面为参考系，小船将会涉及到两个分运动：一个是与小船的动力装置有关、与船头同向的小船在静水中的速度方向的运动；另一个是受水流作用使得小船具有速度方向的运动。

3.模型建立以B为坐标原点，BA所在的线段为x轴的正半轴建立如图一所示的坐标系。

设小船航迹为y=y(x)，由运动力学知，小船实际速度v=v1+v2，设小船与B点连线与x轴正方向夹角为θ，则V=﹣iv2cosθ﹢j(v1﹣v2sinθ) 即dd dd =﹣v2cos θ，dddd=v1﹣v2sin θ 设小船t 时刻位于点（x ，y ）处，显然有cos θ=d (d d +d d )d /d ，sin θ=d(d d +d d )d /d即dd dd =﹣v2d (d d +d d )d /d ，dd dd =v1﹣v2d(d d +d d )d /d 所以dd dd =dddd dd dd= (v1﹣v2d (d d +d d )d /d )/(﹣v2d(d d +d d )d /d )于是初值问题(x 2+y 2)1/2dd dd =﹣k (d d +d d )d /d d ﹢dd， 0<x<d y(d)=0即为小船航迹应满足的数学模型，它是一阶齐次微分方程。

4. 模型求解假设d=100m ，v1=1m/s ，v2=2m/s 令dd=u ，则y=ux ，dd dd =x dddd﹢u ，把它们带入初值问题，整理，得 xdd dd=﹣k(1﹢u 2)1/2对上式分离变量并积分，得arshu=ln(u ﹢(1﹢u 2)1/2)=﹣k(lnx ﹢lnC)带入初始条件x=d ，u=0，得C=1d，所以ln(u ﹢(1﹢u 2)1/2)=﹣kln dd =ln(d d)﹣k从而u=sh(ln(d d )﹣k )= d d [(d d )﹣k ﹣(d d)k]带入u=d d，得y=d d [(d d )﹣k ﹣(d d )k ]= d d [(d d )1﹣k ﹣(d d)1+k]，0≦x ≦d 5. 结果分析小船航线的参数方程为dd dd =﹣dd(d d +d d )d /d ， x(0)=d dd dd =1﹣dd(d d +d d )d /d ， y(0)=0 由Matlab 求解数值和画图, Matlab 程序如下：通过数值解求出小船渡河的时间为66.65s6.参考文献司守奎.数学建模算法与应用..国防工业,2013.1。

猫鸡米过河数学建模

猫鸡米过河数学建模

1, 0,1, 0 0,1, 0, 0 1,1, 0, 0 0, 0,1, 0 1,1,1, 0 2 （5） 1, 0, 0,1 0,1,1,1 1, 0, 0, 0 0,1,1, 0 1, 0,1, 0 0, 0, 0, 0 1,1, 0, 0 0,1,1, 0 （7）1, 0,1, 0 1, 0, 0,1 0, 0,1,1 1, 0, 0, 0 0, 0,1, 0

可取运算：规定A与B相加时对每一分量按 二进制法则进行 （0+0=0,1+0=0+1=1,1+1=0 ）。这样， 一次渡河就是一个可取状态向量与一个可 取运载向量相加，可取状态经过加法运算 仍是一个可取状态，这种运算称为可取运 算。在上述规定下，问题转化为：从初始 状态（1,1,1,1）至少经过多少次（奇数次） 可取运算才能转化为状态（0,0,0,0）。
1,0,1,0 1,0,1,1 1,1,0,0 1,1,0,1 （4） 0,0,0,1 1 1,0,0,1 1,0,0,0 1,0,0,0 1,0,0,1
（5）
1, 0,1, 0 1, 0, 0, 0 1,1, 0, 0 1,1,1, 0 （6） 0, 0,1, 0 1, 0, 0,1 1, 0,1,1 1, 0, 0, 0 1, 0,1, 0
去
回
去
回
去
回
去
六、 模型的Байду номын сангаас价


第7步已经出现了(0,0,0,0)状态，说明经7次运载即可，其过程为：
人, 鸡 人 人, 猫（或米）人，鸡 人, 米（或猫）人 人, 鸡
小船过河模型

小船过河模型

则河宽即为最短路程。
要使小船能够垂直过河，
则需满足
d v2 v o v1
因为
只有
时，小船才能垂直过河。
其过河最短时间为
一、小船渡河时间最短
结论：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，其与水流 速度无关，其值为
二、小船过河最短路程
1.当有
时，小船能够垂直过河，其所用时间为
如果 ，小船渡河时向下游漂流的距离是多少呢？
方法二： 将船对水的 速度沿平行于河岸和垂直 河岸方向正交分解。
注意：船的实际运动 v（相对于河岸的运动）
——是合运动。
方法技巧
1. 处理方法 小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分 运动，船的实际运动是两个运动的合运动. 2. 两种情景
(1)渡河时间最短：若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行 驶，如图所示，此时过河时间 t＝vd1 (d 为河宽)．
一、小船渡河时间最短
结论：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，其与水流速度无 关，其值为
二、小船过河最短路程
1.当有
时，小船能够垂直过河，其所用时间为
如果 ，小船渡河时向下游漂流的距离是多少呢？
分析：当
时，小船不能垂直过河，其
最短路程的求法为：
以 的末端为圆心，以 的大小
为半径，做一圆，小船合速度
的方向与该圆相切。
d
由几何关系有，
v2
o
xm in v1
一、小船渡河时间最短
结论：当船头垂直河岸时，渡河时间最短，其与水流速度无 关，其值为
二、小船过河最短路程
1.当有
时，小船能够垂直过河，其所用时间为
v v 2.当有 1 时2 ，小船渡河向下漂流的最短距离为