2018年数学一轮复习专题2.9函数的图象(讲)

第09节函数的图象【考纲解读】【知识清单】1. 利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.对点练习画出函数y＝x2－2|x|－1的图象.【答案】见解析出(－∞，0)上的图象，得图象如图2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象.(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的f (1,a )（a >0）倍y ＝f (ax ). y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A （A >0）倍y ＝Af (x ).(4)翻转变换y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.对点练习【2017浙江台州4月一模】已知函数，则在同一个坐标系下函数与的图象不可能的是 （ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】函数 是奇函数，关于原点对称，A.C 图象说明，那么就向右平移个单位，正确，B.D 中的，那么是向左平移个单位，B 正确，而D 错误，故选D.【考点深度剖析】高考对函数图象的考查形式多样，命题形式主要有由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查.【重点难点突破】考点1 作图【1-1】分别画出下列函数的图象：()()()()111221(31|)|||x y lg x y f x lg x ＋＝－；＝－；＝－ 【答案】见解析(3) 第一步作y ＝lgx 的图像．【领悟技法】画函数图像的一般方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．【触类旁通】【变式】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1x＋1；(3)y＝10|lg x|.【答案】见解析【解析】(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图1.(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0＜x ＜1，如图3.考点2 识图【2-1】【2017浙江，7】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数y=f (x )的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ． 【2-2】【2017课标3】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为（ ）A BD ．C D 【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C,当x →+∞时，1y x →+，故排除B,满足条件的只有D,故选D.【2-3】已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是( )【答案】B【领悟技法】有关图象辨识问题的常见类型及解题思路(1)由实际情景探究函数图像：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域。

(2)由解析式确定函数的图象。

此类问题往往从以下几方面判断：①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④从函数的周期性，判断图象的循环往复。

利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项。

【触类旁通】【变式一】函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.【答案】D【解析】设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过）；又()0,2x ∈时，()4e x f x x '=-，()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数，排除C.故选D.【变式二】【2017山东临沂一模】已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是()【答案】D【变式三】如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止。

用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数有( )①②③④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A有①是错误的。

考点3 用图【3-1】不等式2)1 (log x x－＜＋的解集为________．【答案】(－1，0)【解析】设f(x)＝log2(－x)，g(x)＝x＋1.函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的图像如图．由图像可知不等式log2(－x)＜x＋1的解集为{x|－1＜x＜0}．【3-2】已知函数213,1()log ,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________. 【答案】35(,][,)44-∞+∞【解析】对任意x ∈R ，都有()||1f x k ≤－成立，即()max |1|f x k ≤－. 因为()f x 的草图如图所示，观察213,1()log ,1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象可知，当12x =时，函数()max 14f x =， 所以1|41|k ≥－，解得34k ≤或54k ≥. 【3-3】设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B） （C ） （D ） 【答案】C【领悟技法】要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x 轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x 的范围). 【触类旁通】【变式一】(2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，0)B.(0，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.(0，＋∞)【答案】B【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.【变式二】函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图所示，那么不等式f xcos x<0的解集为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2【解析】在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上y ＝cos x >0，在⎝⎛⎭⎪⎫π2，4上y ＝cos x <0.由f (x )的图像知在⎝⎛⎭⎪⎫1，π2上f x cos x <0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f xcos x为偶函数，所以f x cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.【易错试题常警惕】对函数图象识别不全而致误【易错典例】函数y ＝x 2－2sin x 的图象大致是( )易错分析：只关注了函数的奇偶性，对函数的单调性不明确导致错误．错解：函数y ＝x 2－2sin x 为奇函数，且x 趋于无穷大时，函数值y 也趋于无穷大，故选B ．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.利用函数处理方程解的问题，方法如下：(1)方程f (x )＝a 在区间I 上有解⇔a ∈{y |y ＝f (x )，x ∈I }⇔y ＝f (x )与y ＝a 的图象在区间I 上有交点．(2)方程f (x )＝a 在区间I 上有几个解⇔y ＝f (x )与y ＝a 的图象在区间I 上有几个交点． 一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答．【典例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)<0B.f (x 1)＋f (x 2)>0C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0【答案】D又120x x <<，∴()()21f x f x >，即()()120f x f x <－.。