2015年高考数学一轮复习导学案：几何概型

高考总复习：古典概型与几何概型

【考点梳理】

知识点一、古典概型

1. 定义

具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等。

2. 古典概型的基本特征

（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。

（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。

3.古典概型的概率计算公式

由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。如果某个事件A包含m个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含m个基本事件的概率之和，即nmAP)(。

所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：

试验的基本事件总数包含的基本事件数事件AAP)(

4.求古典概型的概率的一般步骤：

（1）算出基本事件的总个数n；

（2）计算事件A包含的基本事件的个数m；

（3）应用公式()mPAn求值。

5．古典概型中求基本事件数的方法：

（1）穷举法；

（2）树形图；

（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。

知识点二、几何概型 1. 定义：

事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。

2.几何概型的两个特点：

（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；

（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。

3.几何概型的概率计算公式：

随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。

所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：AAP)(

其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A表示构成事件A的区域的几何度量。

普通高中课程标准理科数学2015届高考总复习

第一轮复习计划书

（征求意见稿）

东莞市东华高级中学高三理科数学组

（2014.8）

一、背景分析

最近3年广东高考数学命题很平稳，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用、运算和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现新课标的特色。

二. 教学指导原则

1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。在复习课中要认真落实 双基，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养. 特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。

2、高中的“重点知识”复习中要保持较大的比重和必要的深度。

重点内容函数、三角、不等式、数列、立体几何，向量、概率及解析几何中的综合问题等。 在教学中，要避免重复及简单的操练。总之高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心，加强运算能力为主体进行复习。

3、重视“通性、通法”的落实。

要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上；放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。

4、渗透数学思想方法, 培养数学学科能力。

《考试说明》明确指出要考查数学思想方法, 要加强学科能力的考查。 我们在复习中要加强数学思想方法的复习, 如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想. 以及换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等数学基本方法都要有意识地根据学生学习实际予以复习及落实。

5、结合实际，了解学生，分类指导。

古典概型与几何概型

考纲要求

1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率；3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；4.了解几何概型的意义．

知识梳理

1．古典概型

(1)基本事件的特点

①任何两个基本事件是互斥的．

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

(2)古典概型的定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(3)古典概型的概率公式

P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.

2．几何概型

(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

(2)几何概型的两个基本特点

(3)几何概型的概率公式

P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.

1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．

2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

3．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．

诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )

(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )

(4)概率为0的事件一定是不可能事件．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，概率为0的事件有可能发生，所以(4)不正确．

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- 1 - / 16 第三节 模拟方法—概率的应用

[考纲传真] 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．

1．模拟方法

对于某些无法确切知道的概率问题，常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验．

2．几何概型

(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．

(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．

[常用结论]

几种常见的几何概型

(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；

(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；

(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( )

(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． ( )

(3)在一个正方形区域内任取一点的概率为0． ( )

(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110． ( )

[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

2．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )

A．12 B．13 word

- 2 - / 16 C．14

D．1

B

[坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.]

3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )