建立空间直角坐标系建系的方法及技巧

建立空间直角坐标系建系的方法及技巧立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 （2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 （2016年全国数学新课标2卷）如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD上,AE=CF=,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'=.（Ⅰ）证明:D'H⊥平面ABCD ． （Ⅱ）求二面角B-D'A-C 的正弦值.三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3：（2017年全国新课标2卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．四、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例4：（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PO DO=．（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B PC E--的余弦值．五、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例5：如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段P A，BD上，且13 PM BNPA BD==．（1）求直线MN与PC所成角的大小；（2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值．:1．（1）证明见解析；（2）427. 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ， ()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由110n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，37cos ,321m n m n m n⋅<>===⨯⋅ 设二面角1A EF A --的平面角为θ，则7cos 7θ=，242sin 1cos 7θθ∴=-=. 因此，二面角1A EF A --的正弦值为427.【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【来源】【解析】试题分析：（Ⅰ）证，再证，最后证；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可取.设是平面的法向量，则，即，所以可取.于是，.因此二面角的正弦值是.【考点】线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．3．（1）见解析；（2）105【详解】试题分析：（1） 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-，()0,0,1n =，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为105． 试题解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又12BC AD =所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =，，,()100AB ，，=则()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，是底面ABCD 的法向量，所以 0,cos sin45BM n =()222z21x y z =-++即（x-1）²+y²-z²=0又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则 x ,1,33y z λλ===由①，②得()22x=1+x=1-22y=1y=166z z 22⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩舍去，所以M 261-,1，⎛ ⎝⎭，从而26AM 1-2⎛= ⎝⎭， 设()000x ,y ,z m =是平面ABM 的法向量，则(0000x 2y 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧++=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取(0,2)m =.于是·10,5m n cos m n mn==因此二面角M-AB-D 的余弦值为5点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=·m n mn．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．4．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）要证明PA ⊥平面PBC ，只需证明PA PB ⊥，PA PC ⊥即可；（2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB 的法向量为n ，平面PCE 的法向量为m ，利用公式cos ,||||n mm n n m ⋅<>=计算即可得到答案. 【详解】（1）由题设，知DAE △为等边三角形，设1AE =， 则DO =，1122CO BO AE ===，所以4PO DO ==PC PB ==== 又ABC 为等边三角形，则2sin 60BA OA =，所以BA =，22234PA PB AB +==，则90APB ∠=，所以PA PB ⊥， 同理PA PC ⊥，又PC PB P =，所以PA ⊥平面PBC ；（2）过O 作ON ∥BC 交AB 于点N ，因为PO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则121313(,0,0),(0,0,(,(,244444E P B C ----， 132(,)444PC =---，132()444PB =--，12(,0,24PE =--， 设平面PCB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，由00n PC n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111111320320x y z x y z ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，令12x =，得111,0z y =-=， 所以(2,0,1)n =-，设平面PCE 的一个法向量为222(,,)m x y z =由00m PC m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222320220x z x z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令21x =，得2232,3z y ==， 所以3(1,,2)3m = 故2225cos ,||||1033n m m n n m ⋅<>===⋅⨯ 设二面角B PC E --的大小为θ，则5cos 5θ=. 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.5．（1）30︒；（2）11． 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，然后求出M ，N ，P ，C 点坐标，根据点坐标即可求出直线MN 与PC 所成角的大小；（2）首先求出平面APN 与平面PND 的法向量，根据二面角公式即可求出二面角A ﹣PN ﹣D 的余弦值.【详解】解：（1）如图，已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有棱长均为6， ()3,3,0A -，()3,3,0B ，()3,3,0C -，()3,3,0D --，(P ，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ， 由13PM BN PA BD ==，得13PM PA =，13BN BD =，即((1111,,3,3,3x y z -=--，所以11x =，11y =-，1z = 由()()2213,3,06,6,03x y --=--，得21x =，21y =故()1,1,0N ，所(0,2,MN =-，(3,3,PC =--，所以,cos 2MN PC -⋅-===， 所以直线MN 与PC 所成的角为30；（2）因为AC ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量()1,1,0m =-，设平面P AN 的法向量为(),,n x y z =，(3,3,PA =--，(1,1,PN =-， 由00n PA n PN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得3300x y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，故()22,n =，所以22211,11211cos m n-+==-⋅，故锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值为11 11．【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解几何体中线线角与面面角，属于一般题.。