空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧
.
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值.
解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--,,,(010)CD =-,
,. 设1BC 与CD 所成的角为θ,
则11317cos 17
BC CD
BC CD θ==. 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB =
,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值.
解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系.
由于BC =1,BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=3
π, ∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,0,2)、B 1
(0,2,0)、3102c ??- ? ???,,、13302C ?? ? ???
,,.
设302E a ?? ? ???,,且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =,
即3322022a a ????---- ? ? ? ????
,,,, 233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ????--= ? ????
?, 即12a =或32a =(舍去).故3102E ?? ? ???
,,. 由已知有1EA EB ⊥,111B A EB ⊥,故二面角A -EB 1-A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角.
因11(002)B A BA ==,,,31222EA ?
?=-- ? ??,, 故11112cos 3
EA B A EA B A θ=
=,即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3,在四棱锥V -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD .
(1)证明AB ⊥平面VAD ;
(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值.
解析:(1)取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系.
设AD =2,则A (1,0,0)、D (-1,0,0)、B (1,2,0)、
V (0,0,3),∴AB =(0,2,0),VA =(1,0,-3).
由(020)(103)0AB VA =-=,
,,,,得
AB ⊥VA . 又AB ⊥AD ,从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直,∴ AB ⊥平面VAD ;
(2)设E 为DV 的中点,则1
3022E ??- ? ???
,, ∴3302EA ??=- ? ???,,,3322EB ??=- ? ???
,,,(103)DV =,,. ∴3
32(103)02EB DV ??=-= ? ???
,,,,, ∴EB ⊥DV .
又EA ⊥DV ,因此∠AEB 是所求二面角的平面角.
∴21cos 7
EA EB
EA EB EA EB ==,. 故所求二面角的余弦值为217
. 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V -ABCD 中,E 为VC 中点,正四棱锥底面边长为2a ,高为h .
(1)求∠DEB 的余弦值;
(2)若BE ⊥VC ,求∠DEB 的余弦值.
解析:(1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系,其中O x ∥BC ,O y ∥AB ,则由AB =2a ,OV =h ,有B (a ,a ,0)、C (-a ,a ,0)、D (-a ,-a ,0)、V (0,0,h )、222a a h E ??
- ???
,, ∴3222a h BE a ??=-- ???,,,3222a h DE a ??= ???
,,. ∴22
226cos 10BE DE
a h BE DE a h BE DE -+==+,,
即22226cos 10a h DEB a h
-+=+∠; (2)因为E 是VC 的中点,又BE ⊥VC ,
所以0BE VC =,即3()0222a h a a a h ??----= ???
,,,,, ∴22
230222
a h a --=,∴2h a =. 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+,,即1cos 3
DEB =-∠.
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用
自身对称性可建立空间直角坐标系.
例5已知两个正四棱锥P -ABCD 与
Q -ABCD 的高都为2,AB =4.
(1)证明:PQ ⊥平面ABCD ;
(2)求异面直线AQ 与PB 所成的角;
(3)求点P 到平面QAD 的距离.
(2)由题设知,ABCD 是正方形,且AC ⊥BD .由(1),PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP ,,为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1),易得
(2202)(022)AQ PB =--=
-,,,,,1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB <>==,. 所求异面直线所成的角是1arccos 3
. (3)由(2)知,点(0(22220)(00
4)D AD PQ -=--=-,
,,,,,. 设n =(x ,y
,z )是平面QAD 的一个法向量,则00AQ AD ?=??=??,,n n 得00z x y +=+=?
?,,取x =1,得
(11-,,n =.点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n
n .
点评:利用图形所具备的对称性,建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易得出.第(3)问也可用“等体积法”求距离.