专题突破三 空间直角坐标系的构建策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717.故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可．跟踪训练1 如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段P A ，CD 的中点，求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值．考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角解 因为平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以，P A ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． EF →＝(1,2，－1)，BD →＝(－2,2,0)， 故cos 〈EF →，BD →〉＝243＝36.即异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为36. 二、利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 过点B 作BP 垂直BB 1交C 1C 于点P ， 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BP ，AB ⊥BB 1，以B 为坐标原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Bxyz .又BP ⊥BB 1，BB 1∩AB ＝B ，且BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，所以BP ⊥平面ABB 1A 1， 因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1(0,2，2)，P ⎝⎛⎭⎫32，0，0.点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口．跟踪训练2 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 解 取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC 得AE ⊥BC ， 从而AE ⊥AD ，AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz . 由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎫52，1，2，PM →＝(0,2，－4)， PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2，AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||A N →|＝8525.设AN 与平面PMN 所成的角为θ，则sin θ＝8525，∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525.三、利用面面垂直关系例3 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连接BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小．考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 解 取AE 中点M ，连接BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形， 所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，平面BAE ∩平面AEC ＝AE ，所以BM ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为坐标原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Mxyz ，如图，则B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)，M (0,0,0)， 所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)，MD →＝(0，3，0)， 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因平面ABE 的一个法向量MD →＝(0，3，0)， 所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．跟踪训练3 在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A －VD －B 的平面角的余弦值． 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 (1)证明 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ， 则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． 易得AB →＝(0,2,0)， VA →＝(1,0，－3)．∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD . (2)解 易得DV →＝(1,0，3)． 设E 为DV 的中点，连接EA ，EB ， 则E ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－32，EB →＝⎝⎛⎭⎫32，2，－32.∵EB →·DV →＝⎝⎛⎭⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0，∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .又EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217. 四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系例4 如图所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，O 1，O 分别为上、下底面的中心，且A 1在底面ABCD 上的射影是O .(1)求证：平面O 1DC ⊥平面ABCD ；(2)若点E ，F 分别在棱AA 1，BC 上，且AE ＝2EA 1，问点F 在何处时，EF ⊥AD? 考点 向量法求解直线与直线的位置关系 题点 方向向量与线线垂直(1)证明 如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OB ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设OA ＝1，OA 1＝a .则A (1,0,0)，B (0,1,0)，A 1(0,0，a )，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，O 1(－1,0，a )． 则O 1D →＝(1，－1，－a )，O 1C →＝(0,0，－a )．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面O 1DC 和平面ABCD 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·O 1D →＝0，m ·O 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1－z 1a ＝0，－z 1a ＝0.令x 1＝1，则m ＝(1,1,0)，而n ＝λOA 1→＝(0,0，λa )，故m ·n ＝0，即平面O 1DC 与平面ABCD 的法向量垂直，故平面O 1DC ⊥平面ABCD . (2)解 由(1)可知，OE →＝⎝⎛⎭⎫13，0，23a ，AA 1→＝(－1,0，a )， AD →＝BC →＝(－1，－1,0)．设BF →＝γBC →，则BF →＝(－γ，－γ，0)，故点F 的坐标为(－γ，1－γ，0)，∴FE →＝⎝⎛⎭⎫13＋γ，γ－1，23a . EF ⊥AD ⇔FE →·AD →＝0，而FE →·AD →＝－13－γ－γ＋1＝0，解得γ＝13.故当F 为BC 的三等分点(靠近B )时，有EF ⊥AD .点评 依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系．跟踪训练4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 的中点，正四棱锥的底面边长为2a ，高为h .(1)求∠DEB 的余弦值；(2)若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值． 考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角解 (1)如图所示，以V 在底面ABCD 内的正投影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB .由AB ＝2a ，OV ＝h ，知B (a ，a,0)，C (－a ，a,0)，D (－a ，－a,0)，V (0,0，h )，E ⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，h 2. ∴BE →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，32a ，h 2， ∴cos 〈BE →，DE →〉＝BE →·DE →|BE →||DE →|＝－6a 2＋h 210a 2＋h 2. 即cos ∠DEB ＝－6a 2＋h 210a 2＋h 2.(2)∵BE ⊥VC ，∴BE →·VC →＝0，即⎝⎛⎭⎫－32a ，－a 2，h 2·(－a ，a ，－h )＝0， ∴32a 2－a 22－h 22＝0，∴h ＝2a . 此时cos 〈BE →，DE →〉＝－6a 2＋h 210a 2＋h 2＝－13， 即cos ∠DEB ＝－13.1.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角为________．答案 45°解析 以D 为原点，分别以射线DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，C (0,1,0)， E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，F ⎝⎛⎭⎫12，0，12， EF →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－12， DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角是45°.2．在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值为________．考点 向量法求二面角 题点 向量法求二面角 答案63解析 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 平面SAB 的一个法向量 AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0， 并求得平面SCD 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12， 则cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝63.即所求锐二面角的余弦值为63. 3.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝2，AA 1＝22，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且OC ⊥平面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值． 考点 题点(1)证明 由题意知tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22，又∠ABD ，∠AB 1B 为三角形的内角， 故∠ABD ＝∠AB 1B ，则∠AB 1B ＋∠BAB 1＝∠ABD ＋∠BAB 1＝π2，所以∠AOB ＝π2，即AB 1⊥BD .又CO ⊥平面ABB 1A 1，AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以AB 1⊥CO ，因为BD ∩CO ＝O ，BD ，CO ⊂平面CBD ， 所以AB 1⊥平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ，所以AB 1⊥BC .(2)解 如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫0，－233，0，B ⎝⎛⎭⎫－263，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，0，233，D ⎝⎛⎭⎫63，0，0， AB →＝⎝⎛⎭⎫－263，233，0，AC →＝⎝⎛⎭⎫0，233，233， CD →＝⎝⎛⎭⎫63，0，－233，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－263x ＋233y ＝0，233y ＋233z ＝0，令y ＝1，则z ＝－1，x ＝22， ∴平面ABC 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫22，1，－1. 设直线CD 与平面ABC 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈CD →，n 〉|＝|CD →·n ||CD →|·|n |＝⎪⎪⎪⎪63×22＋0×1＋⎝⎛⎭⎫－233×(－1)5＝155.一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15 B.56 C.55 D.22 考点 题点 答案 C解析 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(1,1，3)，D 1(0,0，3)， 所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)， 因为cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝－1＋325＝55.2.如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E ，F 分别为PQ ，AB ，BC 的中点，则异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是( )A.3030 B.25 C.－3030D.15考点 题点 答案 A解析 由题设易知，AB ，AD ，AQ 两两垂直．以A 为原点，AB ，AD ，AQ 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方形边长为2，则A (0,0,0)，E (1,0,0)，M (0,1,2)，F (2,1,0)，EM →＝(－1,1,2)，AF →＝(2,1,0)，cos 〈EM →，AF →〉＝EM →·AF →|EM →|·|AF →|＝－130＝－3030，则异面直线EM 与AF 所成角的余弦值为3030. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BD 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值是( ) A.33 B.63 C.22D ．1 考点 题点 答案 B解析 以D 1为坐标原点，D 1A 1—→，D 1C 1—→，D 1D →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A 1(2,0,0)，C 1(0,2,0)，D (0,0,2)，B (2,2,2)， 且n ＝(1,1,1)是平面A 1C 1D 的一个法向量， 因为DB →＝(2,2,0)，所以cos 〈n ，DB →〉＝DB →·n |DB →||n |＝422×3＝63.设DB 与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝cos 〈n ，DB →〉＝63.4．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．75° C ．105°D ．90°考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0， C 1(0，2，0)，B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.5．(2018·贵州贵阳高二检测)如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23 B.66 C.33 D.63考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角 答案 B解析 如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)， ∴BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)．设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝2y ＋z ＝0，n ·BD →＝3x ＋3y ＝0，取z ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1. 又平面ABE 的法向量为m ＝(1,0,0)， ∴cos 〈n ，m 〉＝m ·n |n ||m |＝1262×1＝66.∴平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66. 6.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°，则二面角A －A 1C －B 的余弦值是( )A.55 B.105 C.155D.22考点 题点 答案 C解析 由题意知AB ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB →，AC →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)． 设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0.又因为BC →＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3y ＝0，3y －3z ＝0，令y ＝1，则n ＝(3，1,1)．取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的一个法向量， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝3×1(3)2＋1＋1×1＝155.所以二面角A －A 1C －B 的余弦值为155. 二、填空题7.如图所示，在四面体ABCD 中，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为________．考点 向量法求直线与直线所成的角 题点 向量法求直线与直线所成的角 答案24解析 取BD 的中点O ，连接OA ，OC . 由题意知OA ，OC ，BD 两两垂直，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0，3，0)，A (0,0,1)， 所以AB →＝(1,0，－1)，CD →＝(－1，－3，0)， cos 〈AB →，CD →〉＝－12×2＝－24，因为异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以AB 与CD 所成角的余弦值是24. 8.如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，OA ＝4，OB ＝3，OP ＝4，OP ⊥底面ABCD .设点M 满足PM →＝λMC →(λ>0)，当λ＝12时，直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值是________．考点 题点 答案1010解析 以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则P A →＝(4,0，－4)，DB →＝(0,6,0)，AB →＝(－4,3,0)． 当λ＝12时，得M ⎝⎛⎭⎫－43，0，83， 所以MB →＝⎝⎛⎭⎫43，3，－83. 设平面DBM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧DB→·n ＝6y ＝0，MB →·n ＝43x ＋3y －83z ＝0，解得y ＝0，令x ＝2，则z ＝1，所以n ＝(2,0,1)．因为cos 〈P A →，n 〉＝P A →·n |P A →||n |＝442×5＝1010，所以直线P A 与平面BDM 所成角的正弦值为1010. 9．(2018·山西太原高二检测)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，P A＝PD ＝5，平面ABCD ⊥平面P AD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是________．考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角 答案88585解析 如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系．则B (1,2,0)，C (－1,2,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫－12，1，1. ∴BM →＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1. 设平面PCO 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OP →＝(x ，y ，z )·(0，0，2)＝0，n ·OC →＝(x ，y ，z )·(－1，2，0)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝2y ，取n ＝(2,1,0)．因此直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是 |cos 〈BM →，n 〉|＝|－3－1|172×5＝88585.10.如图，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.若CF ⊥平面ABCD ，CF ＝2，则二面角B －AF －D 的大小为________．考点 题点 答案 π2解析 过点A 作AE ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，BD →，AC →，AE →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0，D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)． 设平面ABF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0，令z ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的一个法向量为n 2＝(2，－1,1)． 由n 1·n 2＝0，知平面ABF 与平面ADF 垂直， 所以二面角B －AF －D 的大小为π2.11.如图，在棱长为2的正方体AC 1中，点P ，Q 分别在棱BC ，CD 上，B 1Q ⊥D 1P ，且PQ ＝ 2.若P ，Q 分别为BC ，CD 的中点，则二面角C 1－PQ －A 的余弦值是________．考点 题点 答案 －13解析 以A 为坐标原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则P (2,1,0)，Q (1,2,0)，C 1(2,2,2)． 设平面C 1PQ 的法向量为n ＝(a ，b ，c )． 因为PQ →＝(－1,1,0)，PC 1→＝(0,1,2)， 又n ·PQ →＝n ·PC 1→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＋2c ＝0.令c ＝－1，则a ＝b ＝2，所以n ＝(2,2，－1)．因为k ＝(0,0,2)为平面APQ 的一个法向量， 所以cos 〈n ，k 〉＝－13.因为二面角为钝角，所以所求余弦值为－13.12．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，则AC 1与侧面ABB 1A 1所成角的大小为________． 考点 题点 答案 30°解析 以A 为坐标原点，AB ，AA 1所在直线为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ， AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )， AC 1→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·AB →＝0且n ·AA 1→＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0，2az ＝0，∴y ＝z ＝0.故n ＝(x,0,0)．∴cos 〈AC 1→，n 〉＝n ·AC 1→|n ||AC 1→|＝－x 2|x |，∴|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 三、解答题13.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．(1)求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2)求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 考点 向量法求直线与平面所成的角 题点 向量法求直线与平面所成的角解 如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以{OB →，OC →，OO 1→}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz .因为AB ＝AA 1＝2，所以A (0，－1，0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0，－1,2)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．(1)因为P 为A 1B 1的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫32，－12，2，从而BP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1→＝(0,2,2)，故|cos 〈BP →，AC 1→〉|＝|BP →·AC 1→||BP →||AC 1→|＝|－1＋4|5×22＝31020.因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020.(2)因为Q 为BC 的中点，所以Q ⎝⎛⎭⎫32，12，0，因此AQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AC 1→＝(0,2,2)，CC 1→＝(0,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧AQ →·n ＝0，AC 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋32y ＝0，2y ＋2z ＝0.不妨取n ＝(3，－1,1)．设直线CC 1与平面AQC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈CC 1→，n 〉|＝|CC 1→·n ||CC 1→||n |＝22×5＝55.所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55.14.如图，在四棱锥E －ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，AB ＝4，BC ＝CD ＝EA ＝ED ＝2.(1)证明：BD ⊥平面AED ；(2)求平面ADE 和平面CDE 所成角(锐角)的余弦值． 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角(1)证明 因为BC ⊥CD ，BC ＝CD ＝2，所以BD ＝2 2. 又因为EA ⊥ED ，EA ＝ED ＝2，所以AD ＝2 2. 又因为AB ＝4，由勾股定理知BD ⊥AD . 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面AED .(2)解 如图，取AD 的中点O ，连接OE ，则OE ⊥AD .因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以OE ⊥平面ABCD .取AB 的中点F ，连接OF ，则OF ∥BD . 因为BD ⊥AD ，所以OF ⊥AD .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则D (－2，0,0)，C (－22，2，0)，E (0,0，2)，DC →＝(－2，2，0)，DE →＝(2，0，2)． 设平面CDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n 1＝0，DE →·n 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x ＋z ＝0，令x ＝1，可得平面CDE 的一个法向量n 1＝(1,1，－1)．又平面ADE 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)． 因此|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝33. 所以平面ADE 和平面CDE 所成角(锐角)的余弦值为33. 15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值． 考点 题点解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行．延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点．理由如下： 由已知得，BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形．从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ， 所以CM ∥平面PBE .(2)由已知得，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以CD ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，P A ⊥CD ，AB ∩CD ＝M ，AB ，CD ⊂平面ABCD ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)， 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝2，得n ＝(2，－2,1)．设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.。
