01第一讲 数学方法论与数学思想方法
- 格式：pdf
- 大小：300.38 KB
- 文档页数：37
第一讲
数学方法论与数学思想方法
• 数学的本质不在于它的对象，而在于它 的方法。 ——— Leibniz 莱布尼兹
• 数学的有机的统一，是这门科学固有的 特点。 ——— David Hilbert 希尔伯特
• 据我看来，要真正打好基础，有两个必 经的过程，即“由薄到厚”和“由厚到薄”的 过程.“由薄到厚”是学习、接受的过程， “由厚到薄”是消化、提炼的过程. ——— 华罗庚
在当今这个技术发达的社会里，扫除数学盲的任务已经代替了昔 日扫除文盲的任务，而成为当今教育的重要目标。 美国国家研究委员会《人人关心数学教育的未来》
数学思想方法的教育价值 数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是铭记在人 们头脑中起永恒作用的数学的精神与态度、数学的观 点与文化。 日本数学教育家米山国藏认为，“学生们在初中或高中 所学到的数学知识，在进入社会之后，几乎没有什么 机会应用。因而这种作为知识的数学，通常在出校门 不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工 作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想文化， 却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用” (《数学 的精神、思想与方法》)
• 诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出 乎其外．入乎其内，故能写之．出乎其 外，故能观之．入乎其内，故有生气， 出乎其外，故有高致．
———王国维《人间词话》
本讲内容
什么是数学方法论 数学思想方法的涵义 数学方法论的教学意义和教学途径
什么是数学方法论
数学方法论（Mathematical Methodology）， 也叫数学方法学，它是对数学方法本身进行研 究所形成的专门理论，即是数学方法的元理论。 数学方法论是数学发展的产物，因为数学的产 生和发展总包含着数学方法的产生、积累和发 展，而对数学方法的系统研究就形成了数学方 法论。
平面内点的位置与坐标。一个有序数对（坐标） 可在直角坐标平面内找到与之对应的点，反之， 直角坐标平面内的任一点也可以读出与之对应的 有序数对（坐标）。 三角函数的定义。利用单位圆说明各三角函数对 应的几何线段。 不等式的解集。不等式的解集，可以在数轴上表 示出来。用数轴上表示不等式的解集，比较形象、 直观。尤其是在解不等式组时，可以将几个不等 式的解集表示在同一个数轴上，这样比较容易求 出这些解集的公共部分，即不等式组的解集。
数形结合思想方法的初步形成
一次函数的图象和性质。通过前面多次孕育，学 生对数形结合思想方法已有了一定认识。现在学 习一次函数的性质，可以先让学生自己动手画出 函数的图象，然后观察图象，得出函数的性质， 从而沟通“数”与“形”，以便由“形”推“数”，由“数” 推“形”。至此，学生可初步形成数形结合思想方法， 认识到以“形”表“数”和以“数”表“形”是研究和解决 数学问题的重要思想方法。 二次函数的图象和性质。类似一次函数进行教学。
数学思想和数学方法是紧密联系的，两者虽层 次不同但它们之间并没有绝对的界限，因此常 统称为数学思想方法。 一般说来，强调指导思想时称数学思想，强调 操作过程时称数学方法。
比如极限是微积分的基本思想方法。
极限思想是一种用运动变化的观点，把所考察 的对象看作某对象在无限变化过程中变化结果 的思想，是“从有限中找到无限，从暂时中找到 永久，并且使之确定下来”的一种运动辨证思想。 在这种思想指导下，人们给出了用差商的极限 去描述切线斜率、变速运动物体的瞬时速度、 加速度等概念的方法；以及用分割求和取极限 的方法去描述变速运动物体的路程与速度的关 系、曲边梯形的面积与曲边的关系；这些都称 为极限方法。
于是沟通课本与学生的认识，使学生领悟、 理解、掌握、运用数学思想方法就需要通 过精心的教学设计和课堂上的教学活动过 程，在教师的主导、学生的参与下去完成。
具体地说，设计数学思想方法的教学过程应包 括“多次孕育、初步形成、应用发展”三个阶段。
一个案例：数形结合思想方法的教学过程 华罗庚先生写过一首词：
方法一：利用直线到原点的距离小于1，解得a. 方法二：先求出具有与直线的斜率相同的单位圆的切线，再 求得其在y轴上的截距，此即为a.
例2：设实数x，y满足5x2-8xy+5y2=9，求d= 的最大值。
解题思路：
x2 + y2
方法一：求曲线5x2-8xy+5y2=9与圆x2+y2=d2相交的条件 方法二：求原点到曲线5x2-8xy+5y2=9的距离（曲线5x28xy+5y2=9可看作由x2/9+y2=1旋转而来）
数形结合思想方法的应用。
分段函数。对于分段函数，由于不同的自变量取 值范围对应不同的解析式，所以只用解析式，对 函数的变化情况的描述不够直观。而通过函数的 图象，有助于学生更好地理解分段函数的特点。 一元二次不等式的解法。借助二次函数的图象来 获得。 数列。数列可视为定义在自然数集上的函数，因 此数列的问题可利用函数及其图象来解决。
单项式乘法。在推导单项式乘法的运算法则时，借 助于图形表示，通过“数形结合”可以使学生更容易 接受。如求2a×3a的值时，可作一个长为2a宽为3a 的长方形，则2a×3a表示该长方形的面积，于是有： 2a×3a=6a2，通过进一步的分析概括就可得到单项 式乘法的运算法则。同样，对于单项式与多项式乘 法以及多项式乘法的运算法则的推导也可以作类似 的设计。 勾股定理。为了证明勾股定理，只需将四个全等的 以a、b为直角边的直角三角形，围成一个边长为 a+b的正方形，利用面积公式即可证a2+b2=c2。
x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 6 x + 25
x2 + y2
1 2
的最大值。
1 2
的最小值。
a+
4．已知a>0，b>0，a+b=1,求证 2 <
a 2 − ab + b 2 + b 2 − bc + c 2
1 =a 1 +c
+
b+
≤2
5．求证：对任何a>0，b>0，c>0，都有 当
1 b
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞． 数缺形时少知觉，形少数时难入微． 数形结合百般好，隔离分家万事非． 切莫忘，几何代数统一体， 永远联系，切莫分离．
数形结合思想方法的孕育。
有理数的意义。应使学生掌握：任何一个有理数都 可以用数轴上的点来表示，并学会在数轴上找到与 任何一个有理数对应的点，读出数轴上的任何一个 有理点对应有理数。 绝对值。通过对有理数在数轴上的对应点到原点的 距离的观察，引导出有理数的绝对值概念。 有理数大小的比较。有了有理数与数轴上的点的对 应以后，有理数大小的比较可以由其在数轴上的位 置加以确定：数轴上右边的点表示的数大于左边的 点表示的数，即将“数”的问题通过“形”来解决。
、2 ）
例5：求证：对任何a>0，b>
+ b − bc+ c ≥
2 2
a2 + ac+ c2
，
当 = +
度)来证明。
1 b
1 a
1 c
时等号成立。
解题思路：利用余弦定理构造如下图形(边a与b、b与c均夹60
a
b
c
复数的几何意义。 圆与圆的位置关系。圆与圆的位置关系是一种图 形性质，但可以通过两圆圆心距和两圆半径之间 的数量关系来进行判断。 数形结合思想方法训练课。
1．设关于θ的方程Cosθ+Sinθ+a=0在区间(0,2π)上 有两个不等的实根α、β，求 （1）a 的取值范围；（2）α+β的值。 2．设实数x，y满足5x2-8xy+5y2=9，求d= 3．求函数z=
数学思想方法的教学意义
数学之于教育
数学教育作为教育的一个组成部分，在发展人、发展社会方面有着极 其重要的作用。
数学是人类文化的一个组成部分，数学的观念在众多不同的层次上影响 着我们的生活方式和工作方式。
在人类思想领域里，具有压倒性的新情况将是数学地理解问题占 统治地位。 （英）怀特海
数学是一切科学的基础，是打开科学大门的钥匙。数学既是科学的语言， 又是思维的工具。
数学思想方法的教学途径
一般来说，数学思想方法的教学要采取“渗透” 的方式进行。 所谓“渗透”，就是有机地结合数学内容的教学， 采用“教者有意、学者无心”的形式，反反复复 地向学生介绍数学思想方法，日积月累，期待 学生的认识飞跃。
这是因为：
第一，从数学知识内容与数学思想方法的关系来看 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以 数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识， 因此是一种隐形的知识内容，要通过反复体验才 能领悟和运用。 数学方法是处理、解决问题的一种方式、途径、 手段，是对变换数学形式的认识，同样要通过数 学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断 实践中才能理解和掌握。 数学思想方法不象知识那样可以具体地编排在某 一教材，它几乎渗透在所有的教学内容之中。
例3：求函数z= x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 6 x + 25 的最小值。
解题思路：z 可表示为直线y=0上的点到点(1,2)与点(-3,4) 的距离之和。
例4：已知a>0，b>0，a+b=1,求证
2
<
a+
1 2
+
b+
1 2
≤2
a+
1 1 b+ 2 2、
解题思路：本题可构造直角三角形（边长为 来证明。
也就是说，数学方法论研究和讨论的是数学的发展规 律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新 等法则。
一般认为，宏观数学方法论属数学哲学的范畴。 数学方法论主要应讨论微观数学方法论，即数 学本身所蕴涵的思想方法以及数学创造活动的 基本规律。
数学思想方法的涵义
所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出 来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活 动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学 问题的指导思想。比如，化归思想、极限思想、 公理化思想等。 所谓数学方法是指研究数学问题过程中所采用 的手段、途径、方式等。比如变量代换方法、 解析法等。
数学方法论与数学思想方法
• 数学的本质不在于它的对象，而在于它 的方法。 ——— Leibniz 莱布尼兹
• 数学的有机的统一，是这门科学固有的 特点。 ——— David Hilbert 希尔伯特
• 据我看来，要真正打好基础，有两个必 经的过程，即“由薄到厚”和“由厚到薄”的 过程.“由薄到厚”是学习、接受的过程， “由厚到薄”是消化、提炼的过程. ——— 华罗庚
在当今这个技术发达的社会里，扫除数学盲的任务已经代替了昔 日扫除文盲的任务，而成为当今教育的重要目标。 美国国家研究委员会《人人关心数学教育的未来》
数学思想方法的教育价值 数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是铭记在人 们头脑中起永恒作用的数学的精神与态度、数学的观 点与文化。 日本数学教育家米山国藏认为，“学生们在初中或高中 所学到的数学知识，在进入社会之后，几乎没有什么 机会应用。因而这种作为知识的数学，通常在出校门 不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工 作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想文化， 却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用” (《数学 的精神、思想与方法》)
• 诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出 乎其外．入乎其内，故能写之．出乎其 外，故能观之．入乎其内，故有生气， 出乎其外，故有高致．
———王国维《人间词话》
本讲内容
什么是数学方法论 数学思想方法的涵义 数学方法论的教学意义和教学途径
什么是数学方法论
数学方法论（Mathematical Methodology）， 也叫数学方法学，它是对数学方法本身进行研 究所形成的专门理论，即是数学方法的元理论。 数学方法论是数学发展的产物，因为数学的产 生和发展总包含着数学方法的产生、积累和发 展，而对数学方法的系统研究就形成了数学方 法论。
平面内点的位置与坐标。一个有序数对（坐标） 可在直角坐标平面内找到与之对应的点，反之， 直角坐标平面内的任一点也可以读出与之对应的 有序数对（坐标）。 三角函数的定义。利用单位圆说明各三角函数对 应的几何线段。 不等式的解集。不等式的解集，可以在数轴上表 示出来。用数轴上表示不等式的解集，比较形象、 直观。尤其是在解不等式组时，可以将几个不等 式的解集表示在同一个数轴上，这样比较容易求 出这些解集的公共部分，即不等式组的解集。
数形结合思想方法的初步形成
一次函数的图象和性质。通过前面多次孕育，学 生对数形结合思想方法已有了一定认识。现在学 习一次函数的性质，可以先让学生自己动手画出 函数的图象，然后观察图象，得出函数的性质， 从而沟通“数”与“形”，以便由“形”推“数”，由“数” 推“形”。至此，学生可初步形成数形结合思想方法， 认识到以“形”表“数”和以“数”表“形”是研究和解决 数学问题的重要思想方法。 二次函数的图象和性质。类似一次函数进行教学。
数学思想和数学方法是紧密联系的，两者虽层 次不同但它们之间并没有绝对的界限，因此常 统称为数学思想方法。 一般说来，强调指导思想时称数学思想，强调 操作过程时称数学方法。
比如极限是微积分的基本思想方法。
极限思想是一种用运动变化的观点，把所考察 的对象看作某对象在无限变化过程中变化结果 的思想，是“从有限中找到无限，从暂时中找到 永久，并且使之确定下来”的一种运动辨证思想。 在这种思想指导下，人们给出了用差商的极限 去描述切线斜率、变速运动物体的瞬时速度、 加速度等概念的方法；以及用分割求和取极限 的方法去描述变速运动物体的路程与速度的关 系、曲边梯形的面积与曲边的关系；这些都称 为极限方法。
于是沟通课本与学生的认识，使学生领悟、 理解、掌握、运用数学思想方法就需要通 过精心的教学设计和课堂上的教学活动过 程，在教师的主导、学生的参与下去完成。
具体地说，设计数学思想方法的教学过程应包 括“多次孕育、初步形成、应用发展”三个阶段。
一个案例：数形结合思想方法的教学过程 华罗庚先生写过一首词：
方法一：利用直线到原点的距离小于1，解得a. 方法二：先求出具有与直线的斜率相同的单位圆的切线，再 求得其在y轴上的截距，此即为a.
例2：设实数x，y满足5x2-8xy+5y2=9，求d= 的最大值。
解题思路：
x2 + y2
方法一：求曲线5x2-8xy+5y2=9与圆x2+y2=d2相交的条件 方法二：求原点到曲线5x2-8xy+5y2=9的距离（曲线5x28xy+5y2=9可看作由x2/9+y2=1旋转而来）
数形结合思想方法的应用。
分段函数。对于分段函数，由于不同的自变量取 值范围对应不同的解析式，所以只用解析式，对 函数的变化情况的描述不够直观。而通过函数的 图象，有助于学生更好地理解分段函数的特点。 一元二次不等式的解法。借助二次函数的图象来 获得。 数列。数列可视为定义在自然数集上的函数，因 此数列的问题可利用函数及其图象来解决。
单项式乘法。在推导单项式乘法的运算法则时，借 助于图形表示，通过“数形结合”可以使学生更容易 接受。如求2a×3a的值时，可作一个长为2a宽为3a 的长方形，则2a×3a表示该长方形的面积，于是有： 2a×3a=6a2，通过进一步的分析概括就可得到单项 式乘法的运算法则。同样，对于单项式与多项式乘 法以及多项式乘法的运算法则的推导也可以作类似 的设计。 勾股定理。为了证明勾股定理，只需将四个全等的 以a、b为直角边的直角三角形，围成一个边长为 a+b的正方形，利用面积公式即可证a2+b2=c2。
x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 6 x + 25
x2 + y2
1 2
的最大值。
1 2
的最小值。
a+
4．已知a>0，b>0，a+b=1,求证 2 <
a 2 − ab + b 2 + b 2 − bc + c 2
1 =a 1 +c
+
b+
≤2
5．求证：对任何a>0，b>0，c>0，都有 当
1 b
数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞． 数缺形时少知觉，形少数时难入微． 数形结合百般好，隔离分家万事非． 切莫忘，几何代数统一体， 永远联系，切莫分离．
数形结合思想方法的孕育。
有理数的意义。应使学生掌握：任何一个有理数都 可以用数轴上的点来表示，并学会在数轴上找到与 任何一个有理数对应的点，读出数轴上的任何一个 有理点对应有理数。 绝对值。通过对有理数在数轴上的对应点到原点的 距离的观察，引导出有理数的绝对值概念。 有理数大小的比较。有了有理数与数轴上的点的对 应以后，有理数大小的比较可以由其在数轴上的位 置加以确定：数轴上右边的点表示的数大于左边的 点表示的数，即将“数”的问题通过“形”来解决。
、2 ）
例5：求证：对任何a>0，b>
+ b − bc+ c ≥
2 2
a2 + ac+ c2
，
当 = +
度)来证明。
1 b
1 a
1 c
时等号成立。
解题思路：利用余弦定理构造如下图形(边a与b、b与c均夹60
a
b
c
复数的几何意义。 圆与圆的位置关系。圆与圆的位置关系是一种图 形性质，但可以通过两圆圆心距和两圆半径之间 的数量关系来进行判断。 数形结合思想方法训练课。
1．设关于θ的方程Cosθ+Sinθ+a=0在区间(0,2π)上 有两个不等的实根α、β，求 （1）a 的取值范围；（2）α+β的值。 2．设实数x，y满足5x2-8xy+5y2=9，求d= 3．求函数z=
数学思想方法的教学意义
数学之于教育
数学教育作为教育的一个组成部分，在发展人、发展社会方面有着极 其重要的作用。
数学是人类文化的一个组成部分，数学的观念在众多不同的层次上影响 着我们的生活方式和工作方式。
在人类思想领域里，具有压倒性的新情况将是数学地理解问题占 统治地位。 （英）怀特海
数学是一切科学的基础，是打开科学大门的钥匙。数学既是科学的语言， 又是思维的工具。
数学思想方法的教学途径
一般来说，数学思想方法的教学要采取“渗透” 的方式进行。 所谓“渗透”，就是有机地结合数学内容的教学， 采用“教者有意、学者无心”的形式，反反复复 地向学生介绍数学思想方法，日积月累，期待 学生的认识飞跃。
这是因为：
第一，从数学知识内容与数学思想方法的关系来看 数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是以 数学内容为载体的对数学内容的一种本质认识， 因此是一种隐形的知识内容，要通过反复体验才 能领悟和运用。 数学方法是处理、解决问题的一种方式、途径、 手段，是对变换数学形式的认识，同样要通过数 学内容才能反映出来，并且要在解决问题的不断 实践中才能理解和掌握。 数学思想方法不象知识那样可以具体地编排在某 一教材，它几乎渗透在所有的教学内容之中。
例3：求函数z= x 2 − 2 x + 5 + x 2 + 6 x + 25 的最小值。
解题思路：z 可表示为直线y=0上的点到点(1,2)与点(-3,4) 的距离之和。
例4：已知a>0，b>0，a+b=1,求证
2
<
a+
1 2
+
b+
1 2
≤2
a+
1 1 b+ 2 2、
解题思路：本题可构造直角三角形（边长为 来证明。
也就是说，数学方法论研究和讨论的是数学的发展规 律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新 等法则。
一般认为，宏观数学方法论属数学哲学的范畴。 数学方法论主要应讨论微观数学方法论，即数 学本身所蕴涵的思想方法以及数学创造活动的 基本规律。
数学思想方法的涵义
所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出 来的对数学知识的本质认识，它在数学认识活 动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学 问题的指导思想。比如，化归思想、极限思想、 公理化思想等。 所谓数学方法是指研究数学问题过程中所采用 的手段、途径、方式等。比如变量代换方法、 解析法等。
