2008年专升本高数二考试真题及参考答案

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确.本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==---- 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx xx x x x y e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】5325y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x--+''=+= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yv vy u y y u ux y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴⨯=- 1λ⇒=- 本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x →→--=22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)1dydy t tdt t t dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫===⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dx te dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2l n (1)x t =+所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d ye x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈2212222000sin cos 2cos sin ()cos 22t t t t t tdt t tdt dt t πππ===-⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰ 222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知20()(ttf x dx f x =⎰⎰上式两端对t 求导得2()(f t f t = 即y '=由分离变量法解得1l n ()y t C +=+， 即t y C e =将(0)1y =代入知1C =，故t y e +=，1()2tt y e e -=+ 于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使 32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得 1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．本题的难度值为0.270. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3) 因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为0.272.。

高数二专升本真题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间(-∞,-4)上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减2. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(1,2)处的切线斜率是（）A. 0B. 3C. 6D. 93. 已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2-1，求f(g(x))的表达式是（）A. 2(x^2-1)-1B. 2x^2-3C. x^2-1D. x^2-2x+14. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 函数y=ln(x)的图像与直线y=2x的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36. 已知级数∑(1/n^2)（n从1到∞）是收敛的，那么它的和S是（）A. π^2/6B. eC. 1D. 27. 函数f(x)=sin(x)在区间[0,π]上的值域是（）A. [-1,0]B. [0,1]C. [-1,1]D. [1,e]8. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标是（）A. (0,0)B. (2,8)C. (1,4)D. (4,16)9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求f'(x)是（）A. 3x^2-6x-9B. x^2-6x-9C. 3x^2-9x+5D. x^3-9x^2+510. 函数y=e^x的图像是（）A. 一条直线B. 一条抛物线C. 一条双曲线D. 一条指数曲线二、填空题（每题2分，共20分）11. 若f(x)=x^3+2x^2-5x+7，则f'(x)=________________。

12. 函数y=x^2-4的极小值点是x=______________。

13. 定积分∫(1,e) e^x dx的值是________________。

14. 函数f(x)=x/(x+1)的渐近线是x=______________。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积。

(3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛。

()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛。

()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛。

（6）设函数f 连续,若22(,)uvD F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵。

若30A =，则（ ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。

()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。

()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭。

30676 77D4 矔 29252 7244 牄27551 6B9F 殟-25596 63FC 揼：二、填空题：9—14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.(10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2数学）理科数学( 必修+选修Ⅱ)第Ⅰ卷一、选择题1．设集合M{ m Z| 3 m 2} ，N { n Z| 1 ≤n ≤3}，则M N （）A．0，1 B．1，0，1 C．0，1，2 D．1，0，1，22．设a，b R且b 0 ，若复数 3( a bi ) 是实数，则（）A． 2 2b a B．32 2a b C．32 2b a D．92 2a 9b3．函数1f ( x)xx的图像关于（）A．y 轴对称B．直线y x 对称C．坐标原点对称D．直线y x 对称4．若 1 3x ( e ，1)， a ln x，b 2 ln x，c ln x ，则（）A．a < b < c B．c <a < b C． b < a < c D． b < c < a≥，yx≤5．设变量x，y 满足约束条件：x 2 y 2 ，则z x 3 y 的最小值（），≥x 2．A． 2 B． 4 C． 6 D．86．从20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．20297． 6 4(1 x ) (1 x ) 的展开式中x 的系数是（）A． 4 B． 3 C．3 D．48．若动直线x a 与函数 f ( x ) sin x 和g ( x) cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为（）A．1 B． 2 C． 3 D．22 2x y9．设a 1 ，则双曲线 2 2 1的离心率 e 的取值范围是（）a (a 1)A．( 2，2) B．( 2，5)C．(2 ，5) D．(2 ，5 )第1 页（共11 页）10．已知正四棱锥 S AB C D 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE ， SD 所成的角的余弦值为（ ）1 23 2A ．B ．C ．D ．333311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x y 2 0 与 x 7 y 4 0 ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．1 3D ．1 212．已知球的半径为 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为 2，则两圆的圆心距等于（ ）A ．1B ． 2C ． 3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．13．设向量 a (1，2) ， b(2 ，3) ，若向量ab 与向量 c( 4， 7) 共线，则．14．设曲线 axye 在点 (0 ，1) 处的切线与直线 x 2 y 1 0 垂直，则 a．15．已知 F 是抛物线 2C ： yx 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A ， B 两点．设 FA FB ，4则 FA 与 FB 的比值等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空 间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件②．（写出你认为正确的两个充要条件） 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 10 分）在 △ A B C 中， cos 5 B ，13cos 4 C ．5（Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）设 △ A B C 的面积 33△，求 B C 的长．SA BC218．（本小题满分 12 分）购买某种保险， 每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金． 假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险， 且各投保人是否出险 相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为4101 0.999 ．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．第2 页（共11 页）19．（本小题满分12 分）如图，正四棱柱A BC D ABCD 中，AA1 2 AB 4 ，点E 在CC 1 上且C1 E 3EC ．1 1 1 1（Ⅰ）证明：A C 平面B E D ；1 D1 C1（Ⅱ）求二面角 A D E B 的大小．1 A1 B1ED C A B20．（本小题满分12 分）设数列 a 的前n 项和为S ．已知n n a a ，1na 1 S 3 ，n n*n N．n（Ⅰ）设 b S 3 ，求数列n n b 的通项公式；n（Ⅱ）若a≥ a ，n 1 n*n N，求a 的取值范围．21．（本小题满分12 分）设椭圆中心在坐标原点， A (2 ，0)，B (0，1) 是它的两个顶点，直线y kx ( k 0) 与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点．（Ⅰ）若ED 6DF ，求k 的值；（Ⅱ）求四边形A EBF 面积的最大值．22．（本小题满分12 分）sin x设函数 f ( x)．2 cos x（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0 ，都有 f ( x ) ≤ax ，求a 的取值范围．第3 页（共11 页）2008 年参考答案和评分参考一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C部分题解析：2. 设a，b R且b 0 ，若复数 3( a bi ) 是实数，则（）A． 2 2b a B．32 2a b C．32 2b a D．92 2a b ，9解： 3 3 2 2 3( a bi ) a 3a bi 3a(bi ) (bi ) （←考查和的立方公式，或二项式定理）3 2 2 3(a 3a b ) ( 3a b b ) i（←考查虚数单位i 的运算性质）R （←题设条件）∵a，b R且b 0∴ 2 33a b b 0 （←考查复数与实数的概念）∴ 2 2b a .3故选 A.6. 从20 名男同学，10 名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学的概率为（）A．929B．1029C．1929D．2029思路1：设事件A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”，其概率为：P ( A )2 1 1 2C C C C20 10 20 103C30（←考查组合应用及概率计算公式）2 0 1 9 1 0 91 02 02 1 2 13 0 2 9 2 8（←考查组合数公式）3 2 11 0 1 9 1 0 1 0 1 0 9（←考查运算技能） 1 0 2 9 1 42029故选 D.思路2：设事件A：“选到的 3 名同学中既有男同学又有女同学”，事件 A 的对立事件为 A ：“选到的 3 名同学中要么全男同学要么全女同学”其概率为：P ( A) 1 P ( A) （←考查对立事件概率计算公式）13 3C C20 103C30（←考查组合应用及概率计算公式）第4 页（共11 页）20 19 8 10 9 81 32 13 2 130 29 28（←考查组合数公式）3 2 12 0 1 9 1 8 1 0 9 8（←考查运算技能） 3 0 2 9 2 82029故选 D.7. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． 2 C． 3 D．2分析：如果把公共弦长为 2 的相互垂直的两个截球面圆，想成一般情况，问题解决起来就比较麻烦，许多考生就是因为这样思考的，所以浪费了很多时间才得道答案；但是，如果把公共弦长为2 的相互垂直的两个截球面圆，想成其中一个恰好是大圆，那么两圆的圆心距就是球心到另一个小圆的距离 3 ，问题解决起来就很容易了.二、填空题13．2 14．2 5．3 2 216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题17．解：（Ⅰ）由cos5B ，得13sin12B ，13由cos4C ，得5sin3C ．5所以33sin A sin( B C ) sin B cos C cos B sin C ．···········································5 分65（Ⅱ）由33S△得ABC21 33A B A C sin A ，2 2由（Ⅰ）知sin33A ，65故AB AC 65 ，·······································································································8 分又A B sin B 20A C A Bsin C 13，故20132A B 65 ，13A B ．2所以 B CA B sin A 11sin C 2 ． (10)分18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000 人中出险的人数为，第5 页（共11 页）4则~ B (10 ， p ) ．（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000 元赔偿金，则A 发生当且仅当 0 ，···· ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ····2 分P ( A ) 1P ( A ) 1P (0)4101 (1 p ) ，又410 P (A ) 1 0.999 ，故 p 0.001 ． ····· ···· ·· ···· ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····5 分（Ⅱ）该险种总收入为 10 000 a 元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 1 0 0 0 05 0 0，0盈利 1 0 0 0a0( 1 0 0 0 05 0，0盈利的期望为 E1 0 0 0 a 0 1 0 0E0 05 ，0 ····· ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····9 分由43~ B (10 ，10 ) 知，3E10 000 10 ，444E10 a10 E5 104443410 a 10 10105 10 ．E ≥44410 a 1010 5 10≥ 0a≥10 5a ≥（元）．15故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元． ·· ······ ······ ······ ···· ·· ···· ··· ······ ······ ······ ······ ······ ··12 分19．解法一：D1依题设知 A B 2 ， C E 1 ．C 1（Ⅰ）连结A C 交 BD 于点 F ，则B D A C ．A 1B1由三垂线定理知， B DA C ． 1······ ······ ······ ······ ······ ··· ······ ······ ···· ······ ······ ······ ······ ······ ····3 分HE在平面 A C A 内，连结E F 交 A 1C 于点 G ，1G DA A A C C1 2 2由于， A BF F C C E第6 页（共11 页）故R t △A AC ∽Rt △FCE ，1 AA C CFE ，1C F E 与F C A 互余．1于是A C EF ．1A C 与平面B E D 内两条相交直线 B D，E F 都垂直，1所以A C 平面 B ED ．·······························································································6 分1（Ⅱ）作G H D E ，垂足为H ，连结A H ．由三垂线定理知A H D E ，1 1故A HG 是二面角1 A D E B 的平面角．1·······························································8 分2 2EF CF CE 3 ，C GC E C FE F 23， 2 23 EG C E C G．3EG 1 1 EF F D 2，G H ． EF 3 3 D E 15又 2 2A1 C AA1 AC 2 6 ，5 6A G A C C G ．1 13A G1tan A H G 5 51H G ．所以二面角A D E B 的大小为arctan 5 5 ．1························································12 分z解法二：以D 为坐标原点，射线 D A 为x 轴的正半轴，D1 C1建立如图所示直角坐标系D xyz ．A1 B1 依题设，B (2 ，2，0) ，C (0，2，0)，E (0，2，1)， A (2 ，0，4) ．1 ED E (0 ，2，1)，D B (2 ，2，0) ，xDA BCyA1 C ( 2，2，4)，DA1 (2，0，4) ．················································································3 分（Ⅰ）因为A1C DB 0 ，A1C DE 0 ，故A C BD ，A1C D E ．1又DB DE D ，第7 页（共11 页）所以A C 平面 D BE ．····························································································6 分1（Ⅱ）设向量n( x，y，z)是平面D A E 的法向量，则1n DE ，n D A ．1故2 y z 0 ，2 x 4 z 0 ．令y 1，则z 2 ，x 4 ，n(4 ，1，2) ．······························································9 分n等于二面角，A C1 A D E B 的平面角，1cos n A C，1 nnA C1A C11442．所以二面角 A D E B 的大小为a rccos11442．·························································12 分20．解：（Ⅰ）依题意，nS 1 S a 1 S 3 ，即n n n nnS 1 2S 3 ，n n由此得n 1 nS S ．···················································································4 分1 3 2( 3 )n n因此，所求通项公式为n n 1b S 3 ( a 3)2 ，n n*n N．①········································································6 分（Ⅱ）由①知n n 1S 3 ( a 3)2 ，n*n N，于是，当n ≥ 2 时，a S Sn n n1n n 1 n 1 n 2 3 ( a 3) 2 3 ( a 3) 2n 1 n 22 3 ( a 3)2 ，n 1 n 2a 1 a 4 3 (a 3)2n nn 2n2 32 12 a3 ，2当n ≥ 2 时，n 2 3a ≥ a 12 a 3≥0n 1 n2第8 页（共11 页）a ≥．9又a2 a13 a1 ．综上，所求的 a 的取值范围是9，．·································································12 分21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2x42 1y ，直线A B，EF 的方程分别为x 2 y 2 ，y kx ( k 0) ．··········································2 分如图，设D ( x ，kx )，E ( x ，kx )，F ( x ，kx ) ，其中0 0 1 1 2 2 x x ，1 2且x ，x 满足方程1 22 2(1 4k ) x 4 ，yBF故x x2 121 4k 2．①EODAx由ED 6DF 知x0 x1 6( x2 x0 ) ，得1 5 10x (6 x x ) x0 2 1 27 7 7 1 4k 2；由D 在A B 上知x0 2kx0 2 ，得x 021 2 k．2 10所以，1 2 k 7 1 4k 2化简得 224 k 25 k 6 0 ，解得2k 或33k ．8··································································································6 分（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F 到 A B 的距离分别为h 12x 2kx 2 2(1 2k 1 4k ) 1 125 5(1 4 )k，h 22x 2kx 2 2(1 2k 1 4k )2 225 5(1 4 )k．······························································9 分又 2AB 2 1 5 ，所以四边形A EBF 的面积为1S A B (h h )1 221 4(12 k)52 5(1 4 2 )k第9 页（共11 页）2(1 2 k )2 1 4 k221 4k4k21 4k≤ 2 2 ，当2k 1 ，即当1k 时，上式取等号．所以S的最大值为2 2 ．2···························12 分解法二：由题设，BO 1 ，AO 2 ．设y kx ，1 1 y kx ，由①得2 2x2 0 ，y 2 y1 0 ，故四边形A EBF 的面积为S S△S△BEF AEFx2 2 y2 ····················································································································9 分( x 2 y )2 222 2x2 4 y2 4 x2 y2≤ 2 22( x 4 y )2 22 2 ，当x2 2 y2 时，上式取等号．所以S的最大值为2 2 ．············································12 分22．解：（Ⅰ） f ( x) (2 cos x) cos x sin x( sin x) 2 cos x 12 2(2 cos x) (2 cos x)．··································2 分当2 π2π2kπx 2kπ（k Z）时，3 3cos1x ，即 f ( x) 0 ；2当2 π4π2kπx 2kπ（k Z）时，3 3cos1x ，即 f ( x) 0 ．2因此 f ( x)在每一个区间2π2π2 π 2 πk ，k （k Z）是增函数，3 3f ( x)在每一个区间2π4π2 π 2 πk ，k （k Z）是减函数．3 3································6 分（Ⅱ）令g ( x ) ax f ( x)，则11 页）第10 页（共g (x) a2 cos x 12 (2 cos x)a2 32 cos x (2 cos x)2321 1 1a2 cos x3 3．故当1a ≥时，g ( x)≥0 ．3又g (0) 0 ，所以当x ≥0 时，g ( x)≥g (0) 0 ，即 f ( x ) ≤ax ．··························9 分当01a 时，令h(x ) sin x 3ax ，则h( x)cos x 3a．3故当x 0，arccos 3a 时，h ( x) 0 ．因此h( x ) 在0，arccos 3a 上单调增加．故当x (0 ，arccos 3a ) 时，h(x ) h (0) 0 ，即sin x 3ax ．于是，当x (0，arccos 3a)时，sin x sin xf ( x ) ax2 cos x 3．π 1 π当a ≤0 时，有f≥ a ．2 2 21因此， a 的取值范围是，．··············································································12 分311 页）第11 页（共。