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2013—2014学年第一学期高二年级数学（理）限时练1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质编写：张 审核：高二数学组（理）一、选择题1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( )A ．180B ．－180C ．45D ．－452．若n a a )1(32+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )A ．第15项B ．第16项C ．第17项D ．第18项4．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.345．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．1206．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．(1＋x )2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋38．⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题9．在(1－x )10中，系数最大的项为________．10．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．11．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________.(用数字 作答)12．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x 的项为________．班级：姓名：得分：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案9、10、11、12、三、解答题13．已知(1－2x)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a7(x－1)7.求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a7；(2)a0＋a2＋a4＋a6.14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.15．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．。
课后导练基础达标1.已知（1-3x ）9=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 9x 9,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|等于（ ） A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x 的奇数次方的系数都是负值， ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|=a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 9. ∴已知条件中只需赋值x=-1即可. 答案：B2.对于二项式（x1+x 3）n（n ∈N ）,四位同学作出了四种判断，下述判断中正确的是（ ） ①存在n ∈N ,展开式中有常数项；②对任意n ∈N ,展开式中没有常数项；③对任意n ∈N,展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项.A.①与③B.②与③C.②与④D.④与① 解析：二项式（x 1+x 3）n展开式的通项为T r+1=r nC （x1）n-r ·（x 3）r =r n C x r-n ·x 3r =r n C x 4r-n , 当展开式中有常数项时，有4r-n=0，即存在n 、r 使方程有解. 当展开式中有x 的一次项时，有4r-n=1,即存在n,r 使方程有解. 即分别存在n ，使展开式有常数项和一次项. 答案：D 3.若（2x x 1-）n 展开式中含21x项的系数与含41x 项的系数之比为-5，则n 等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.10解析：∵T r+1=rn C （2x ）n-r （-x1）r, 令n-2r 1=-2,n-2r 2=-4,然后利用系数比为-5，得关于n 的方程. 即可解出n=6，故选B. 答案：B4.(2005全国高考卷Ⅱ)（x 2-y ）10的展开式中x 6y 4项的系数是（ ）A.840B.-840C.210D.-210解析：（x-2y ）10可以看作是由10个括号形成的连乘积，而x 6y 4是10项中取6个x 、4个y ，∴系数是610C x 6·44C ·（-2y ）4中的系数， ∴系数为610C ·22=840.答案：A5.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3,就等于二项展开式的第14项和第15项的系数比13n C ∶14n C =2∶3,即!13)!13(!∙-n n ∶!14)!14(!∙-n n =2∶3⇒1314-n =32,解之得n=34.答案：346.(2005广东高考)已知（xcosθ+1）5的展开式中x 2的系数与（x+45）4的展开式中x 3的系数相等，则cosθ=_______________.解析：（xcosθ+1）5=（1+xcosθ）5,展开式中x 2的系数为25C cos 2θ.（x+45）4=（45+x ）4，展开式中x 3的系数为4534C , 由题意可知25C cos 2θ=4534C ,∴cos 2θ=21,∴cosθ=±22. 答案：±22 7.(2005东北三校联考)若（x 2+21x）n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是_______________.解析：∵n=6,T r+1=r C 6（x 2）6-r ·（x -2）r =rC 6·x 12-4r ,令12-4r=0,r=3.∴36C =20.答案：208.求（1-x ）8的展开式中二项式系数最大的项. 解析：因为1-x 的幂指数8是偶数，由性质3，（1-x ）8的展开式中间一项（即第5项）的二项式系数最大，该项为128+T =T 5=48C （-x ）4=70x 4.9.已知n ∈N *,求证1+2+22+23+…+25n-1能被31整除. 证明：1+2+22+23+…+25n-1=21215---n =25n-1=32n -1=（31+1）n -1=31n +1n C 31n-1+2n C ·31n-2+…+1-n n C ·31+1-1=31（31n-1+1n C 31n-2+2n C 31n-3+…+1-n n C ）.而括号里的数必为正整数，故原式能被31整除.10.已知（x +31x）n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比（a+b ）2n 展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的中间项. 解：（a+b ）2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1,（x +31x）n展开式中偶数项的二项式系数的和为2n-1，依题意，有2n-1=22n-1-120,即（2n ）2-2n-240=0,解得2n =16或2n =-15（舍）.∴n=4.于是，第一个展开式中中间项为T x =24C （x ）2（31x）2=63x . 综合运用 11.计算：（1）1.0095;（2）0.9986（精确到0.001）.解：（1）1.0095=（1+0.009）5=1+5×0.009+25C ×（0.009）2+…+（0.009）5≈1+5×0.009+8.1×10 -4≈1.046. （2）（0.998）6=（1-0.002）6=1+6×（-0.002）+15×（-0.002）2+…+（-0.002）6≈1+6×（-0.002）=1-0.012=0.988.12.（1）证明：0n C +12n C +23n C +…+（n+1）nn C =（n+2）·2n-1.（2）设a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列，n ∈N *,求证：a n +c n >2b n .证明：（1）0n C +21n C +32nC +…+（n+1）n nC =0n C +1n C +2nC +…+nn C +（1n C +22n C +33n C +…+n n n C ）=2n +n （01-n C +11-n C +21-n C +…+11-+n n C ）=2n +n·2n-1=（n+2）·2n-1. （2）设公差为d,则a=b-d,c=b+d.a n +c n -2b n =（b-d ）n +（b+d ）n -2b n =［b n -1n C b n-1d+2n C b n-2d 2-…+（-1）n d n ］+［b n +1n C db n-1+2n C d 2b n-2-…+d n ］-2b n =2（2n C d 2b n-2+4n C d 4b n-4+…）>0,∴a n +c n >2b n . 拓展探究13.用二项式定理证明(32)n-1<12+n （n ∈N *且n ≥3）.证明：欲证（32）n-1<12+n 成立，只需证（32）n-1>21+n 成立，而（23）n-1=（1+21）n-1=01-n C +11-n C ·21+21-n C ·（21）2+…+11-+n n C ·（21）n-1=1+n-21+n n C 1-·（21）2+…+（21）n-1>n+21,所以原不等式成立.。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用(重、难点).知识点1杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＋C r n.＝C r－1n【预习评价】(1)杨辉三角的第n行数字规律与二项展开式有何联系？提示杨辉三角的第n行数字规律是二项式(a＋b)n展开式的二项式系数，即(a ＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.(2)C03＋C14＋C25＋…＋C1821＝________.解析原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝…＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.答案7 315知识点2二项式系数的性质相等，且同时取得最大值【预习评价】(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示 错误.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.(2)在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A.第6项B.第5项C.第5，6项D.第6，7项 解析 由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项.答案 A题型一 与杨辉三角有关的问题【例1】 如图在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.解由题图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律方法解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.(2)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.【训练1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行1 1第2行12 1第3行133 1第4行1464 1第5行1510105 1………解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3.∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！·（n－13）！＝2·n！14！·（n－14）！，得：3n－13＝214，∴n＝34.答案34【例2】 已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.解 令x ＝1，得：(2×1－1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.【迁移1】 (变换所求)例2条件不变，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|. 解 ∵(2x －1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.令x ＝－1，得：[2×(－1)－1]5＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－(－3)5＝35，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝35＝243.【迁移2】 (变换所求)例2条件不变，求a 1＋a 3＋a 5.解 由上题得⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝243，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝12×(1－243)＝－121.规律方法 (1)赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.(2)一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0).【训练2】 已知(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7＋a 8x 8.求：(1)a 0＋a 1＋…＋a 8；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8；(3)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|.解 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(－2)8＝256.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8＝48.②①＋②，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8)＝28＋48，∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12×(28＋48)＝32 896.(3)由于(1－3x )8＝C 08＋C 18×(－3x )＋C 28×(－3x )2＋…＋C 88×(－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，故a 0，a 2，a 4，a 6，a 8＞0，a 1，a 3，a 5，a 7＜0，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝48＝65 536.题型三 二项式系数性质的应用【例3】 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r ).假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！（5－r ）！r ！×3≥5！（6－r ）！（r －1）！，5！（5－r ）！r ！≥5！（4－r ）！（r ＋1）！×3. ∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1. ∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45·34x 263＝405x 263. 规律方法 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的.求展开式系数最大的项，如求(a ＋bx )n (a 、b ∈R 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1， A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项. 【训练3】 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝(－2)r C r n x n －5r 2(0≤r ≤n ，r ∈N )，∴T 5＝T 4＋1＝24C 4n x n 2－10，T 3＝T 2＋1＝22C 2n x n 2－5. ∵24C 4n 22C 2n＝101， ∴n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去).(1)令x ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 28＝(1－2)8＝1，即所求各项系数的和为1. (2)展开式的通项为T r ＋1＝(－2)r C r 8x 8－5r 2(0≤r ≤8，r ∈N ).令8－5r 2＝32，得r ＝1， ∴展开式中含x 32的项为T 2＝T 1＋1＝(－2)1C 18x 32＝ －16x 32. (3)展开式的第r 项、第r ＋1项、第r ＋2项的系数的绝对值分别为C r －182r －1，C r 82r ，C r ＋182r ＋1.若第r ＋1项的系数绝对值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r －182r －1≤C r 82r ，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，解得5≤r ≤6，故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即T 6＝－1 792x －172，T 7＝1 7921x 11.课堂达标1.(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A.n ，n ＋1B.n －1，nC.n ＋1，n ＋2D.n ＋2，n ＋3 解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第(n ＋1)项与第(n ＋2)项.故选C. 答案 C2.设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A.－2B.－1C.1D.2解析 令x ＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.答案 A3.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数为________.解析 (1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋C 26＝35.答案 354.设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2＋…＋a 6＝64，两式相减，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加，得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 答案 －63655.已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 的值. 解 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.课堂小结1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0，1，2，…，n}的范围.基础过关1.已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A.11B.10C.9D.8解析∵(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.答案 D2.(x－1)11展开式中x的奇次项系数之和是()A.－2 048B.－1 023C.－1 024D.1 024解析(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024.答案 D3.(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( )A.2n ＋1B.2n －1C.2n ＋1－1D.2n ＋1－2解析 令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2.答案 D4.若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.解析 由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝81.答案 815.在(a －b )10的二项展开式中，系数最小的项是________.解析 在(a －b )10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T 6＝C 510a 5(－b )5＝－252a 5b 5.答案 －252a 5b 56.若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，求log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)的值.解 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.7.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i ＝0，1，2)的位置如图所示，求a 的值.解 由题意知，A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4).故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项知， T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r (r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3.能力提升8.在⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋51x 3n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )A.330B.462C.682D.792 解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.答案 B9.(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6D.a ＝1，b ＝2，n ＝5解析根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决.只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选D.答案 D10.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.解析由题知a＝C m2m，b＝C m＋12m＋1，∴13C m2m＝7C m＋12m＋1，即13×（2m）！m！m！＝7×（2m＋1）！（m＋1）！m！，解得m＝6.答案 611.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________. 解析(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案 312.在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1 024.(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512.偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解.令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1. ①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510. ②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，故偶数项系数的和为1－5102.13.(选做题)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.(2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2（k ＋1）≥10－k .∴83≤k ≤113，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。
课后导练基础达标1.若(2x+3)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4 ,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为（ ）A.1B.-1C.0D.2 解析：令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+3)4; 令x=-1，得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(2-3)4. 两式相乘，得 (a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(2+3)4(2-3)4=1,故选A.2.若(1+x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中，a 3=a 12，则自然数n 的值为( )A.13B.14C.15D.16 答案：C3.若(1-2x)2006=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 200 6x 200 6(x ∈R )则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+ …+(a 0+a 200 6）=(用数字作答).解析：取x=0,得a 0=1; 取x=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 200 6=(1-2)200 6=1.故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+ …+(a 0+a 200 6) =200 6a 0+(a 0+a 1+a 2+…+a 200 6） =200 6+1=200 7.4.若(x+1)n =x n +…+ax 3+bx 2+cx+1(n ∈N *)，且a ∶b=3∶1，那么n=____________. 解析：a ∶b=3n C ∶2n C =3∶1，n=11.答案：115.在二项式(ax m +bx n )12(a ＞0,b ＞0,m 、n≠0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.(1)求它是第几项； (2)求ba的范围. 解析：(1)设T r+1=rC 12(ax m )12-r ·(bx n )r =rC 12a 12-r b r x m(12-r)+nr 为常数项，则有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第5项. (2)∵第5项又是系数最大的项，∴有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥)2.()1(,57512484123931248412b a C b a C b a C b a C由①得3948231011122349101112b a b a ⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯,∵a ＞0,b ＞0，∴49b≥a,即b a ≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a ≤49.综合运用 6.二项式(x-x1)10的展开式，系数最大的项为( )A.第六项B.第五项和第六项C.第五项和第七项D.第六项和第七项解析：先求二项展开式的通项为T r+1=rr xC -1010(21--x)r=(-1)r·rrxC 231010-，则此项系数为(-1)r ·rC 10，故而得到每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为510C ，但第六项系数为-510C ，显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为410C =610C ，再由二项式系数的增减性规律可知，410C 即为最大值，因此正确选项为C. 答案：C 7.已知(x-xa )8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( ) A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 解析：T r+1=rC 8·x 8-r ·(-ax -1)r =(-a)r rC 8·x 8-2r. 令8-2r=0,∴r=4.∴(-a)448C =1 120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则(1-2)8=1. 当a=-2时，令x=-1,则(-1-2)8=38 答案：C8.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n =a 0+a 1x+…+a n x n ,若a 1+a 2+…+a n-1=29-n(n ∈N ，n ＞1),那么(1+y)6的展开式中含y n 项的系数是____________. 答案:15 9.已知(22x x -)8,则展开式中系数绝对值最大项是第几项?并求出系数最大的项和系数最小的项.解析:设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值.则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--118811882222r r r r r r r r C C C C ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥1281912r r r r ⇒5≤r≤6.故系数绝对值最大项是第六项与第七项.∵T 6=(-1)558C (x )3·(22x)5=-1 792218-x，T 7=(-1) 668C (x )2·(22x)6=1 792x -11， 则系数最大项为1 792x -11，系数最小项为-1 792218-x . 拓展探究10.已知数列｛a n ｝是首项为a 1,公比为q 的等比数列.(1)求和：a 102C -a 212C +a 322C ，a 103C -a 213C +a 323C -a 433C ；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.解析：(1)a 102C -a 212C +a 322C=a 102C -a 1q 12C +a 1q 222C =a 1(1-q)2,a 103C -a 213C +a 323C -a 433C=a 103C -a 1q 13C +a 1q 223C -a 1q 333C =a 1(1-q)3.(2)结论是：a 10n C -a 21n C +a 32n C -…+(-1)n a n+1nn C =a 1(1-q)n .证明如下：左边=a 10n C -a 1q 1n C +a 1q 22n C -…+(-1)n a 1q n nn C =a 1［0n C -q 1n C +q 22n C -…+(-1)n q n nn C ］=a 1(1-q)n =右边. 备选习题11.已知(a+b)n 的展开式各项的二项式系数之和为8 192，则(a-b)2n 的展开式中共有( ) A.13项 B.14项 C.26项 D.27项 解析：由2n =8 192得n=13, ∴(a-b)2n 有27项 答案：D12.(经典回放)已知(3132x x +)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是___________.(以数字作答)解析:(3132-+x x )n的展开式中各项系数和为128， ∴令x=1,即得所有项系数和为2n =128.∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为T r+1=rC 7(32x )7-r·(31-x )r=r C 7·61163r x -,令61163r -=5即r=3时，x 5项的系数为37C =35. 答案：3513.如图所求，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，……，记这个数列的前n 项和为S(n)，则S(16)_____________.解析：由题意得S(16)=12C +22C +13C +23C + (19)+29C =(12C +13C +…+19C )+(22C +23C +… +29C )=(11C +12C +13C +…+19C )+( 22C +23C +…+29C )-1=210C +310C -1=164.14.求和S n =0n C -1+m m 1n C +2+m m 2n C +…+(-1)n ·nm m +·n n C . 解析：由k n C =k n n C -及k n C +1-k n C =k n C 1+,有S n =1-1+m m ·(11-n C +01-n C )+2+m m ·(21-n C +11-n C )+…+(-1)n-1·1-+n m m ·(2111----+n n n n C C )+(-1)n ·n m m +=S n-1-1+m m 01-n C +2+m m 1-n nC -…+（-1）n·112--+n n C m m=S n-1+n m ［0n C ·00+m -1n C ·11+m +…+(-1)n ·n m m +·n n C ］ =S n-1+n m ［0n C ·(1-1)- 1n C ·(1-1+m m )+…+(-1)n ·n n C ·(1-n m m +)］=S n-1+n m ·(1-1)n -分 n m S n∴S n =nm n+·S n-1，用迭代法，有S n =2)1()1(-∙-+-∙+n S n m n n m n =…=n nm C m n m n S m n m n +=+=+1)!(!!)!(!!0 15.设a 0,a 1,a 2, …，a n 成等差数列，求证：a 0+a 11n C +a 22n C +…+a k k n C +…+a n nn C =(a 0+a n )·2n-1. 证明：设S n =a 0+a 11n C +a 22n C +…+a n nn C ∵kn C =kn nC - (k=0,1,2, …，n)∴S n =a n 0n C +a n-11n C +a n-22n C +…+a 0两式相加得：2S n =0n C (a 0+a n )+ 1n C (a 1+a n-1)+ 2n C (a 2+a n-2)+ …+nn C (a n +a 0)∵a 0+a n =a 1+a n-1=…=a n +a 0∴2S n =(a 0+a n )( 0n C +1n C +2n C +…+nn C )=(a 0+a n )·2n ∴S n =(a 0+a n )·2n-1. 16.在(421xx +)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.解析：由题意得：0n C , 1n C ·21, 2n C ·41成等差数列，∴21n C ·21=0n C +412n C ∴n=8 ∴T 5为中间项，T 5=48C (x )4·(421x)4=835x17.已知a,b ＞0,n ∈N *且n ＞1，求证：2n n b a +≥(2b a +)n证明：∵a,b ＞0,n ＞1,n ∈N *，不妨设a≥b ＞0,则2b a -≥0，(2b a -)n≥0故a n +b n =( 2b a ++2b a -)n +(2b a +-2b a -)n=2［0n C (2b a +)n +2n C (2b a +)n -2(2b a -)2+4n C (2b a +)n -4·(2b a -)4+…+n n C (2b a -)n ］≥2(2b a +)n∴2n n b a +≥(2b a +)n。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于()A．20B．21C．22D．23考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题[答案] C[解析]根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22. 2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．210 B ．252 C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 [答案] A[解析] 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1B ．±1C ．2D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 [答案] C[解析] 由条件知2n＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k 5(x )5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k 1556kx-中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2048B ．－1023C ．－1024D ．1024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 [答案] D[解析] (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简 [答案] B[解析] x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.6．设⎝⎛⎭⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 [答案] B[解析] 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k 4(5x )4－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k 4342k x -， 令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 的值为( ) A ．28 B ．28－1 C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 [答案] B[解析] 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B .则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1， 得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n ，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n ， 即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小 考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题 [答案] C[解析] 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a 10－k (－b )k ＝(－1)k C k 10a 10－k b k 知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确． 二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________． 考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算 [答案] 6[解析] (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6. 10．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是________． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 [答案] 462[解析] ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题[答案] 7[解析] 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12， ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27， ∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7. 三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.② 与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100. 13．已知⎝⎛⎭⎫x ＋mx n 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 解 (1)二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项，则 T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝⎛⎭⎫m x k ＝C k 8m k x 8－2k ， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎨⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2. 四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 [答案] －6365[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365.15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项 解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8064. (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3， 故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15360x 4.。
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本P32～36,思考并完成以下问题 1．杨辉三角具有哪些特点？2．二项式系数的性质有哪些？[新知初探]1．杨辉三角的特点(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn . 2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C mn ＝C n －mn )． (2)增减性与最大值：当k<n ＋12时,二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值；当n 是偶数时,中间一项C n2n 取得最大值；当n 是奇数时,中间两项C n －12n ,C n ＋12n 相等,同时取得最大值．(3)各二项式系数的和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝2n,②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ) (2)二项式展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( )(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知(ax ＋1)n的展开式中,二项式系数和为32,则n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案：A3．(1＋x)2n(n∈N *)的展开式中,系数最大的项是( ) A ．第n2＋1项B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项答案：C4．在(a ＋b)n 的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9答案：A与杨辉三角有关的问题[典例] (1)杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被5整除,则具有类似性质的行是( )A ．第6行B ．第7行C ．第8行D ．第9行(2)如图,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n 项和为S(n),则S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461[解析] (1)由题意,第6行为1 6 15 20 15 6 1,第7行为1 7 21 35 35 21 7 1,故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除．(2)由题干图知,数列中的首项是C22,第2项是C12,第3项是C23,第4项是C13,…,第15项是C29,第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.[答案] (1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察,找出每一行的数与数之间,行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．[活学活用]如图, 在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知,第一行中的数是C01,C11；第2行中的数是C02,C12,C22；第3行中的数是C03,C13,C23,C33,…,第n行中的数是C0n,C1n,C2n,…,C n n.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3,则C13n∶C14n＝2∶3,解之得n＝34.答案：34求展开式的系数和[典例] 设(1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016·x2 016(x∈R)．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 016的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 016|的值． [解] (1)令x ＝1,得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 016＝(－1)2 016＝1.①(2)令x ＝－1,得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 016＝32 016.②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 015)＝1－32 016, ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015＝1－32 0162.(3)∵T r ＋1＝C r2 016(－2x)r＝(－1)r·C r2 016·(2x)r, ∴a 2k －1＜0(k∈N *),a 2k ＞0(k∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 016| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 016＝32 016.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b)n,(ax 2＋bx ＋c)m(a,b,c∈R ,m,n∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x ＝1即可；对(ax ＋by)n(a,b∈R ,n∈N *)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地,若f(x)＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1), 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f(1)＋f(－1)2,偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f(1)－f(－1)2.[活学活用]已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7,求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7,a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解：(1)∵(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7, 令x ＝1,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1,① 令x ＝0,得a 0＝1, ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1,得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2 187,② 由①,②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094, a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.求展开式中系数或二项式系数的最大项[典例] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 28的展开式中, (1)求二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项是第几项？ [解] T r ＋1＝C r8·(x)8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝(－1)r ·C r 8·2r·x 4－5r 2.(1)二项式系数最大的项为中间项,即为第5项, 故T 5＝C 48·24·x4－202＝1 120x －6.(2)设第r ＋1项系数的绝对值最大,则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，即⎩⎪⎨⎪⎧18－r ≥2r ＋1，2r ≥19－r .整理得⎩⎪⎨⎪⎧r≥5，r≤6.于是r ＝5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．解：由本例(1)知, 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大, 第6项的系数为负, 第7项的系数为正．故系数最大的项为T 7＝C 68·26·x－11＝1 792x－11.系数最小的项为T 6＝(－1)5C 58·25x －172＝－1 792x －172.2．[变条件,变设问]在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,求展开式中常数项．解：由题意知n ＝8,通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k8·⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k ·x8－43k,令8－43k ＝0,得k ＝6,故常数项为第7项,且T 7＝(－1)6·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 68＝7.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a ＋b)n中的n 进行讨论． (1)当n 为奇数时,中间两项的二项式系数最大． (2)当n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大．层级一 学业水平达标1．关于(a －b)10的说法,错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小解析：选C 根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n,故A 正确；当n 为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故B 正确,C 错误；D 也是正确的,因为展开式中第6项的系数是负数,所以是系数中最小的．2．已知(a ＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n 等于( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选D ∵只有第5项的二项式系数最大, ∴n2＋1＝5.∴n＝8. 3．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,当a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝254时,n 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C 令x ＝1,则a 0＋a 1＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2),∴2(1－2n)1－2＝254,∴n＝7.4．若对于任意实数x,有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3,则a 2的值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选B x 3＝[2＋(x －2)]3,a 2＝C 23·2＝6.5．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C nn ＝729,则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析：选B C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n＝729. ∴n＝6,∴C 16＋C 36＋C 56＝32.6．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n (n∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ,b n ,则a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.解析：由题意知a n ＝2n成等比数列,令x ＝1则b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 也成等比数列,所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋1.答案：2n ＋17．(2x －1)10展开式中x 的奇次幂项的系数之和为________． 解析：设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10, 令x ＝1,得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1,再令x ＝－1,得 310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10,两式相减,可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102.答案：1－31028．(1＋x)n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32,则系数最大的项是________． 解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn <32,即8<2n<32.所以n ＝4.所以展开式共有5项,系数最大的项为T 3＝C 24(x)2＝6x. 答案：6x9．若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f(x)＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10, a 0＝f(0)＝25＝32,a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝f(1)＝0, 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 10)＝f(1)·f(－1)＝0.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n,若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数．解：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ,整理得n 2－21n ＋98＝0, ∴n＝7或n ＝14,当n ＝7时,展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5,T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352；T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70；当n ＝14时,展开式中二项式系数最大项是T 8,T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.层级二 应试能力达标1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n－1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C 法一：令x ＝1得,1＋2＋22＋ (2)＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.法二：令n ＝1,知各项系数和为3,排除A 、B 、D 选项．2．在(1＋x)n(n 为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A,偶数项的和为B,则(1－x 2)n的值为( ) A ．0 B ．AB C ．A 2－B 2D ．A 2＋B 2解析：选C (1＋x)n＝A ＋B,(1－x)n＝A －B,所以(1－x 2)n＝A 2－B 2. 3．若(1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016(x∈R),则a 12＋a 222＋…＋a2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C (1－2x)2 016＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 016x2 016,令x ＝12,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 016＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝0,其中a 0＝1,所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.4．若(x ＋y)9按x 的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x ＋y ＝1,xy<0,则x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45 D ．(1,＋∞)解析：选D 二项式(x ＋y)9的展开式的通项是T r ＋1＝C r9·x9－r·y r.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy<0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x)－4x 7·(1－x)2≤0，x(1－x)<0，由此解得x>1,即x 的取值范围是(1,＋∞)．5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为________．解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为2n,∴2n＝64,∴n＝6. ∴T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 6－2r . 由6－2r ＝0得r ＝3, ∴其常数项为T 3＋1＝C 36＝20. 答案：206．若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含有x 的项为第6项,若(1－3x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式的通项为T r ＋1＝C rn (x 2)n －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r. 因为含x 的项为第6项, 所以r ＝5,2n －3r ＝1,解得n ＝8.令x ＝1,得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28,令x ＝0,得a 0＝1, ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝28－1＝255. 答案：2557．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中偶数项的二项式系数和比(a ＋b)2n 的展开式中奇数项的二项式系数和小于120,求第一个展开式中的第3项．解：因为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n －1,而(a ＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n －1,所以有2n －1＝22n －1－120,解得n ＝4,故第一个展开式中第3项为T 3＝C 24(x)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2＝63x.8．在二项式(ax m＋bx n )12(a ＞0,b ＞0,m,n≠0)中有2m ＋n ＝0,如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．(1)求系数最大的项是第几项？ (2)求ab的范围．解：(1)设T r ＋1＝C r 12(ax m )12－r·(bx n )r＝C r12a12－r b r x m(12－r)＋nr为常数项,则有m(12－r)＋nr ＝0,即m(12－r)－2mr ＝0, ∴r＝4,它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3， ①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5. ②由①得12×11×10×94×3×2a 8b 4≥12×11×103×2a 9b 3,∵a＞0,b ＞0, ∴94b≥a ,即a b ≤94. 由②得a b ≥85,∴85≤a b ≤94. 故a b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，94.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )A ．7B ．64C ．12D ．81解析：选C 根据分步乘法计数原理,共有4×3＝12种． 2．(1－x)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－720 B ．720 C ．120D ．－120解析：选D 由T r ＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10x r,因为r ＝3,所以系数为(－1)3C 310＝－120. 3.某城市的街道如图,某人要从A 地前往B 地,则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种解析：选B 此人从A 到B,路程最短的走法应走两纵3横,将纵用0表示,横用1表示,则一种走法就是2个0和3个1的一个排列,只需从5个位置中选2个排0,其余位置排1即可,故共有C 25＝10种．4．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )A ．300B ．216C ．180D ．162解析：选C 由题意知可分为两类,(1)选“0”,共有C 23C 12C 13A 33＝108,(2)不选“0”,共有C 23A 44＝72,∴由分类加法计数原理得72＋108＝180,故选C ．5．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园．为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数共有( )A ．12B ．24C ．36D ．48解析：选B 第一步,将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步,将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A 33种排法,故总的排法有2×2×A 33＝24种．6．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B 依题意,这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．7．已知直线ax ＋by －1＝0(a,b 不全为0)与圆x 2＋y 2＝50有交点,且交点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有( )A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条解析：选B 先考虑x≥0,y≥0时,圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1),依圆的对称性知,圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有C 212＝66(条),过每一点的切线共有12条,又考虑到直线ax ＋by －1＝0不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条,所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．8．将二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法种数为( ) A ．A 37 B ．A 66A 36 C ．A 66A 37D ．A 77A 37解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝C r82r ·x 16－3r 4,r ＝0,1,2,…,8.当16－3r 4为整数时,r ＝0,4,8. ∴展开式共有9项,其中有有理项3项,先排其余6项有A 66种排法,再将有理项插入形成的7个空档中,有A 37种方法．∴共有A 66A 37种排法．二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)9．男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有________人．解析：设女生有x 人,则C 28－x ·C 1x ＝30,即(8－x)(7－x)2·x＝30,解得x ＝2或3.答案：2或310．若(1＋2)4＝a ＋b 2(a,b 为有理数),则a ＝________,b ＝________. 解析：∵(1＋2)4＝C 04(2)0＋C 14(2)1＋C 24(2)2＋C 34(2)3＋C 44(2)4＝1＋42＋12＋82＋4 ＝17＋122,由已知,得17＋122＝a ＋b 2, ∴a＝17,b ＝12. 答案：17 1211．已知(1＋x)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n,若a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝16,则n ＝________,a 3＝________. 解析：令x ＝1,得2n＝16,则n ＝4.a 3＝C 34＝4. 答案：4 4 12．若⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n 等于________,此时常数项为________． 解析：二项式的通项为T r ＋1＝C rn (2x 3)n －r·⎝⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n 2n －r ·x3n －7r 2,令3n －72r ＝0,即r ＝67n,而r∈N *.∴n 为7的整数倍,即最小的正数n 等于7,此时常数项为T 7＝C 67·2＝14.答案：7 1413．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120,则实数a ＝________,展开式中各项系数的和是________．解析：T r ＋1＝(－a)r C r 8x8－2r,令8－2r ＝0⇒r ＝4.∴T 5＝C 48(－a)4＝1 120,∴a＝±2.当a ＝2时,各项系数的和为(1－2)8＝1；当a ＝－2时,各项系数的和为(1＋2)8＝38.答案：±2 1或3814．用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以适合题意的四位数有24－2＝14个．答案：1415．将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：先分组C 25C 23C 11A 22,再把三组分配乘以A 33得：C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种．答案：90三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)已知(1＋2x)n的展开式中,某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍,而且是它的后一项系数的56,试求展开式中二项式系数最大的项．解：二项式的通项为T k ＋1＝C k n (2k)x k 2由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍,是第k ＋2项系数的56,∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n·2k ＋1，解得n ＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是： T 4＝C 37(2x)3＝280x 32与T 5＝C 47(2x)4＝560x 2.17．(本小题满分15分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上,有2件商品不能参加评选,要选出4件商品,并排定选出的4件商品的名次,有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列,且必须将获金质奖章的两件商品放上,有多少种不同的布置方法？解：(1)10件商品,除去不能参加评选的2件商品,剩下8件,从中选出4件进行排列,有A 48＝1 680(或C 48·A 44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上,有A 26种方法,再从剩下的8件商品中选出4件,布置在剩下的4个位置上,有A 48种方法,共有A 26·A 48＝50 400(或C 48·A 66)(种)．18．(本小题满分15分)已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式中,前三项系数成等差数列． (1)求n ；(2)求第三项的二项式系数及项的系数； (3)求含x 项的系数．解：(1)∵前三项系数1,12C 1n ,14C 2n 成等差数列．∴2·12C 1n ＝1＋14C 2n ,即n 2－9n ＋8＝0.∴n＝8或n ＝1(舍)．(2)由n ＝8知其通项公式T r ＋1＝C r 8·(x)8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r .C r 8.x4－34r,r ＝0,1, (8)∴第三项的二项式系数为C 28＝28.第三项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 28＝7.(3)令4－34r ＝1,得r ＝4,∴含x 项的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫124·C 48＝358.19.(本小题满分15分)如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形,要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种,并且相邻的小三角形颜色不同,共有多少种不同的涂色方法？解：分为两类：第一类：若1,3同色,则1有5种涂法,2有4种涂法, 3有1种涂法(与1相同),4有4种涂法． 故N1=5×4×1×4=80.第二类：若1,3不同色,则1有5种涂法,2有4种涂法,3有3种涂法,4有3种涂法． 故N2=5×4×3×3=180种．综上可知不同的涂法共有N ＝N 1＋N 2＝80＋180＝260种．20．(本小题满分15分)7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站； (4)老师不站中间,女生不站两端．解：(1)两名女生站在一起有站法A 22种,视为一种元素与其余5人全排,有A 66种排法．故有不同站法有A 22·A 66＝1 440种．(2)先站老师和女生,有站法A 33种,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,有插入方法A 44种．故共有不同站法A 33·A 44＝144种．(3)7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种,而由高到低有从左到右,或从右到左的不同．故共有不同站法2×A 77A 44＝420种．(4)中间和两端是特殊位置,可如下分类求解：①老师站两端之一,另一端由男生站,有A 12·A 14·A 55种站法,②两端全由男生站,老师站除两端和正中间的另外4个位置之一,有A 24·A 14·A 44种站法．故共有不同站法共有A 12·A 14·A 55＋A 24·A 14·A 44＝2 112种．。
1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质[综合训练·能力提升]一、选择题（每小题5分，共30分） 1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析 该式展开共2n ＋2项，中间有两项：第n ＋1项与第n ＋2项，所以第n ＋1项与第n ＋2项为二项式系数最大的项．答案 C2．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 解法一 x 3＝[2＋(x －2)]3＝C 0323＋C 1322(x －2)＋C 232(x －2)2＋C 33(x －2)3＝8＋12(x －2)＋6(x －2)2＋(x －2)3，故a 2＝6.解法二 右边x 2的系数为C 02a 2＋C 13(－2)a 3＝a 2－6a 3，右边x 3的系数为a 3， 利用左右两边对应系数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 2－6a 3＝0.故a 2＝6.答案 B3．关于(a －b )10的说法，错误的是 A ．展开式中的二项式系数之和为1 024 B ．展开式中第6项的二项式系数最大 C ．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小解析 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A 正确；当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．答案 C4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于 A ．64 B ．32 C ．63 D ．31解析 C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.答案 B5．如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是 A ．7 B ．－7 C ．21 D ．－21 解析 由题意知2n＝128，∴n ＝7.设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27的展开式中第r ＋1项为含1x3的项．则T r ＋1＝C r7·37－r ·(－1)r ·x 7－53r ，令7－53r ＝－3，得r ＝6. ∴1x3的系数为C 67·37－6(－1)6＝21.答案 C 6．在(x －2)2 010的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于A ．23 015B ．－23 014C ．23 014D ．－23 008解析 因为S ＝（x －2）2 010－（x ＋2）2 0102，当x ＝2时，S ＝－23 0152＝－23 014.答案 B二、填空题（每小题5分，共15分）7．如图是一个类似“杨辉三角”的递推式，则其第n 行的首尾两个数均为________．1 3 3 5 6 5 7 11 11 7 9 18 22 18 9…解析 由1，3，5，7，9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案 2n －18．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中，x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________． 解析 设f (x )＝(a ＋x )(1＋x )4，则其所有项的系数之和为f (1)＝(a ＋1)·(1＋1)4＝(a ＋1)×16，又奇数次幂项的系数和为12[f (1)－f (－1)]，∴12×(a ＋1)×16＝32，∴a ＝3.答案 39．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1·x ＋a 2·x 2＋…＋a 50·x 50，则a 3等于________．解析 a 3＝C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋…＋C 350＝C 45＋C 35＋…＋C 350＝C 451. 答案 C 451三、解答题（本大题共3小题，共35分）10．（10分）设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值． (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.解析 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.与(2)中(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝（2－3）100－（2＋3）1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)][(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)因为T r ＋1＝(－1)r C r1002100－r(3)r x r ，所以a 2k －1<0(k ∈N *)．所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 答案 (1)2100(2)(2－3)100－2100(3)（2－3）100－（2＋3）1002(4)1 (5)(2＋3)10011．（12分）已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．解析 (1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，所以m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m （m －1）2＋2n (n －1)＝m 2－m2＋(11－m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫m －2142＋35116. 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. (2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， 所以f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3， 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30. 答案 (1)3 (2)3012．（13分）已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0. 解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数＝C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数＝C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数＝C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n 2＋n －156＝0. 所以n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.所以9.4<k <10.4，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10.答案 (1)当n ＝7时，T 4和T 5的二项式系数最大，此两项的系数分别是352，70 当n ＝14时，T 8的二项式系数最大，它的系数为3432 (2)T 11＝16 896x 10。
[ 作 ][A基稳固]1．在 (a－ b)20的二睁开式中，二式系数与第 6 的二式系数同样的是 ()A．第 15B．第 16C．第 17D．第 18分析：第 6 的二式系数 C205，又 C2015＝C205，因此第16 切合条件．答案： B2． (1＋ x)＋ (1＋ x)2＋⋯＋ (1＋ x)n的睁开式中各系数和()A．2n＋ 1 B ． 2n－ 1C． 2n＋1－ 1 D ．2n＋1－ 2分析：令 x＝1，得 2＋ 22＋⋯＋ 2n＝ 2n＋1－ 2.答案： Dx＋3n3．已知的睁开式中，各系数的和与各二式系数的和之比64， n 等于 () 3xA ． 4B ． 5C． 6 D ．74nn n分析：令 x＝1，得各系数的和 4，又各二式系数的和 2 ，故2n＝64，∴n＝6.答案： C4．若 (1＋2)5＝ a＋ b 2(a， b 有理数 )， a＋b＝ ()A．45B．55C． 70 D ．80分析：∵ (1＋2)5＝ 1＋ C51× 2＋ C52×(2)2＋ C53×(2)3＋ C54×(2)4＋C55×(2)5＝1＋5 2＋20＋20 2＋20＋ 4 2＝41＋ 29 2，∴a＝ 41， b＝ 29， a＋ b＝ 70.故 C.答案： C5． (2015 年高考湖北卷 )已知 (1＋ x)n的睁开式中第 4 与第 8 的二式系数相等，奇数的二式系数和 ()A．212B．211C． 210 D ．29分析：∵ (1＋ x)n的睁开式中第 4 与第 8 的二式系数分C3， C7，nn∴C3n＝ C7n，得 n＝ 10.进而有 C010＋ C110＋ C210＋ C310＋⋯＋ C1010＝ 210，又 C010＋ C210＋⋯＋ C1010＝ C110＋ C310＋⋯＋ C910，因此奇数的二式系数和C010＋ C210＋⋯＋C1010＝ 29.答案： D6．若 (x－ 2)5＝ a5x5＋ a4x4＋ a3x3＋ a2x2＋ a1x＋ a0， a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＝________.( 用数字作答)分析：令 x＝0，得 a0＝ (－ 2) 5＝－ 32.令 x＝ 1，得 a5＋a4＋ a3＋ a2＋ a1＋ a0＝ (1－ 2)5＝－ 1，故 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＝－ 1－ (－ 32)＝ 31.答案： 3131n的睁开式中第六系数最大，睁开式中不含x 的 ________．7．若 x＋ 2x分析：由意知，睁开式各的系数等于各的二式系数．第六系数最大，即第六中，故n＝ 10.∴通 T r＋1＝ C10r·(x3)10－r·12r＝ C10r·x30－5r .令 30－ 5r ＝ 0，得 r＝ 6.x∴常数 T ＝ C6＝ 210.710答案： 2108．若 (1－ 2x)2 004＝ a0＋ a1x＋ a2x2＋⋯＋ a2 004x2 004(x∈ R)， (a0＋a1)＋ (a0＋ a2)＋ (a0＋ a3)＋⋯＋( a0＋ a2 004)＝ ________.(用数字作答 )分析：在 (1－ 2x)2 004＝a0＋ a1x＋ a2x2＋⋯＋ a2 004x2 004中，令 x＝ 0， a0＝1，令 x＝ 1， a0＋a1＋ a2＋ a3＋⋯＋ a2 004＝ (－ 1)2 004＝ 1，故 (a0＋a1)＋ (a0＋ a2)＋ (a0＋ a3)＋⋯＋ (a0＋ a2 004)＝2 003a0＋ a0＋ a1＋a2＋a3＋⋯＋ a2 004＝2 004.答案： 2 0049．已知 (1－ x)8的睁开式，求：(1)二式系数最大的；(2)系数最小的．分析： (1)因 (1－ x)8的指数 8 是偶数，因此由二式系数的性知，中一 (即第 5 ) 的二式系数最大，T5＝C48(－ x)4＝ 70x4 .(2)二睁开式系数的最小在各中确立．由意知第 4 和第 6 系数相等且最小，分T4＝C38(－ x)3＝－ 56x3， T6＝ C58(－ x) 5＝－ 56x5.10．已知 (1－ 2x)7＝ a0＋ a1(x－ 1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3(x－ 1)3＋⋯＋a7(x－ 1)7.求：(1)a0＋ a1＋ a2＋⋯＋ a7；(2) a 0＋ a 2＋ a 4＋ a 6.分析： (1)令 x ＝ 2，得(1 － 2×2)7＝－ 37＝ a 0＋ a 1＋ a 2 ＋⋯ ＋ a 7，∴a 0＋ a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a 7＝－ 37.(2) 令 x ＝ 0，得 a 0－ a 1＋ a 2－a 3＋⋯ ＋ a 6－ a 7＝ 1.又由 (1) 得， a 0＋ a 1＋ a 2＋ ⋯＋ a 7＝－ 37， 两式相加，可得2(a 0＋ a 2＋ a 4＋ a 6)＝ 1－ 37.∴ a 0＋ a 2＋ a 4＋ a 6＝1－ 37.2[B能力提高 ]x ＋a1．已知对于 x 的二 式n睁开式的二 式系数之和32，常数80， a 的3 x( )A ． 1B ．±1C ． 2D ．±2a15 5r分析： 由条件知nr5 －rrr r6中，令 15－2 ＝32 即 n ＝ 5，在通 公式 T r ＋ 1＝ C 5( x)3 ＝ C 5a xx5r ＝0 得 r ＝ 3，∴ C 53a 3＝ 80.解得 a ＝ 2.答案： C2 0152 015a 1 a 2 a 2 0152．若 (1－ 2x) ＝ a 0＋ a 1x ＋ ⋯ ＋ a 2 015x(x ∈ R)， 2 ＋ 22＋ ⋯ ＋22 015的 ()A ． 2B ． 0C ．－ 1D ．－2分析：(1 －2x) 2 015＝ a ＋ a2 015，令 x ＝1 ，1 2 015 ＋a 1 a 2a 2 01521－2×＝ a2 ＋22 0151x ＋⋯ ＋ a 2 015x22 ＋⋯＋2＝0，此中 a 0 ＝1，因此 a 1 a 2a 2 0152＋ 22＋ ⋯ ＋ 22 015＝－ 1.答案： C3．在 (1＋ x)6(1＋ y)4 的睁开式中，x m y n 的系数 f(m ，n)， f(3,0)＋ f(2,1)＋ f(1，2)＋ f(0,3)＝( )A ．45B ．60C ． 120D ．210分析：在 (1＋ x)6 的睁开式中， x m 的系数 C m 6，在(1＋ y)4 的睁开式中， y n 的系数C n 4，故 f(m ，mn32 11 23n)＝ C 6 ·C 4.进而 f(3,0) ＝ C 6＝20， f(2,1) ＝C 6·C 4＝ 60， f(1， 2) ＝C 6·C 4＝ 36，f(0,3) ＝ C 4＝ 4，所以原式＝ 20＋ 60＋ 36＋ 4＝ 120，故 C.答案： C4．如 所示， 在由二 式系数所组成的 三角形中，第 ________行中从左至右第 14 个与第 15 个数的比 2∶ 3.第 0 行 1第 1 行1 1第 2 行 1 2 1第 3 行 1 3 31第 4 行 14 6 41 第 5 行1 5 10105 1分析：由 可 第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比2∶ 3，故二 睁开式的第14 和第 15的系数比2∶ 3，即 C n 13∶ C n 14＝2∶ 3，n ！n ！＝2∶ 3，因此 n －！ ·13！∶n －！ ·14！∴ 14 ＝2，∴ n ＝ 34. n － 13 3答案： 345．已知 (1＋ 3x)n 的睁开式中，末三 的二 式系数的和等于 121，求睁开式中二 式系数最大的 ．分析： 由 意知， C n n ＋ C n n － 1＋ C n n －2＝ 121，即 C 0＋ C 1＋ C 2＝ 121，nnn∴1＋ n ＋n n －＝ 121，即 n 2＋ n － 240＝0，2解得 n ＝ 15 或－ 16(舍 )．∴在 (1＋ 3x) 15的睁开式中，二 式系数最大的 是第八、九两 ， 777 7 7，T 8＝ C 15(3x) ＝ C 153 x T 9＝C 815(3x) 8＝ C 81538x 8.6． 用二 式定理 明2n ＋1 ≥n 2＋ n ＋ 2(n ∈ N * )．明： 当 n ＝ 1 ， 21＋1＝ 4,12＋ 1＋2＝ 4，因此 2n ＋1＝n 2＋n ＋ 2；当 n ≥2 ，2n ＋1＝ 2(1＋ 1)n ＝ 2(1＋ C 1n ＋ C 2n ＋ ⋯＋ C n n )≥2(1＋ C n 1＋C n 2)＝ 2[1＋ n ＋nn －]2＝n 2＋ n ＋ 2.n ＋12*) 建立．因此 2≥n ＋ n ＋ 2(n ∈ N。
杨辉三角和二项式系数的性质练习1.在(a ＋b )10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )A ．第8项B ．第7项C ．第9项D ．第10项答案：C2.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1 3.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.(2)令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由(2x －1)5的通项T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－r 知a 1，a 3，a 5为负值， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243.(3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.4.在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)设在第n 行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧34＝C k －1n C k n ，45＝C k n C k ＋1n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝n ！（k －1）！（n ＋1－k ）！×k ！（n －k ）！n ！，45＝n ！k ！（n －k ）！×（k ＋1）！（n －1－k ）！n ！， 所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝k n ＋1－k ，45＝k ＋1n －k，即⎩⎨⎧3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5， 所以⎩⎨⎧n ＝62，k ＝27，即在第62行会出现C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.5.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n ，由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎨⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23(3x 2)4＝405x 263.。
高中数学课时分层作业8“杨辉三角”与二项式系数的性质（含解析）新人教A 版选修23课时分层作业(八) “杨辉三角”与二项式系数的性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第8项 C ．第5,6项D ．第6,7项D [由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40B [因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的二项展开式的各项系数和为32，所以令x ＝1得2n＝32，所以n ＝5.所以⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的二项展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，故二项展开式中x 4的系数为C 25＝10.]3．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31B [由已知(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝12×26＝32.]4．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29D [因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.]5．已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a的值为( ) A.1285 B.2567 C.5125D.1287A [a ＝C 48＝70，设b ＝C r 82r，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，得5≤r ≤6，所以b ＝C 6826＝C 2826＝7×28，所以b a ＝1285.] 二、填空题6．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．2n －1 [由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列， 所以a n ＝2n －1.]7．(a ＋a )n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第8项T 8＝________. 120a [C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a )7＝120a .]8．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________． －121 [展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.] 三、解答题9．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.[解] (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. ① ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7， ② 由①－②2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256.(3)由①＋②2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.10．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． [解] (1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5；(2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024. (3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0， 令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1.[能力提升练]1．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( ) A ．第9项 B ．第8项 C ．第7项D ．第6项B [展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．]2．已知(x －1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4C [由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.]3．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n＝________.81 [由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1， 可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝34＝81.]4．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.34 [由已知，得C 13n C 14n ＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34.]5．已知x ＋m xn 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． [解] (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x8－r m xr ＝C r 8m r x 8－2r， 令8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r≥C r －18m r －1，C r 8m r ≥C r ＋18m r ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9mm ＋1<7.即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.。
1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质填一填1.杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即C m n ＝C n －mn)． (2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项取得最大值；当n 是奇数时，中间两项相等，同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.判一判判断(1．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(√)2．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(×)3．二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n .(×)4．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数和为32，则n 等于5.(√) 5．(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大的项是第n 项．(×)6.⎝⎛⎭⎫x －1x 10展开式的各项系数的和为210.(×) 7．在(a ＋b )10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是第7项．(×) 8．在(1＋x )n (n ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5n 等于10.(√)想一想1.(1＋2x )2 016(1＋x )2 016的展开式中，二项式系数的最大值是多少？提示：在(1＋2x )2 016和(1＋x )2 016的二项展开式中，都含有2 017项，中间一项的二项式系数最大，即第1 009项的二项式系数C 1 0082 016最大． 2．若(a ＋b )n 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n ＝8.3．(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的取值有关系吗？提示：(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和与a ，b 的值无关，其和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.思考感悟：练一练1.在(a ＋b )n )A ．第n －k 项B ．第n －k －1项C ．第n －k ＋1项D ．第n －k ＋2项解析：第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，故第n －k ＋2项的二项式系数为C n －k ＋1n. 答案：D2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第9项B ．第8项C ．第9项和第10项D ．第8项和第9项解析：因为展开式的第5项为T 5＝C 4n x -4-43n ，所以令n －43－4＝0，解得n ＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．答案：A3．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．2×39 解析：令x ＝－1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2. 答案：A4．若(x ＋3y )n 的展开式中各项系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．解析：(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y ＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5. 答案：5知识点一 与杨辉三角有关的问题1.15个数之比为2:3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2:3，则C 13n :C 14n ＝2:3.∴3C 13n ＝2C 14n ，即3·n ！13！·(n －13)！＝2·n ！14！·(n －14)！，∴n ＝34.答案：342．在“杨辉三角”中斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为S n ，求S 19的值．解析：由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274. 知识点二 求二项展开式中二项式系数最大项或系数最大项( )A ．第5项B ．第6项或第7项C ．第6项D ．第7项解析：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8.所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.故选A 项． 答案：A4．(1－x )13的展开式中系数最小的项为( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项解析：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C 项．答案：C知识点三 赋值法求系数和5.若(3x －7610(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解析：(1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②2得：a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8 256.(3)由①＋②2得：a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.(4)法一：∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8 256－(－8 128)＝16 384.法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384.6．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.解析：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－4(2－3)44(2－3)47.已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解析：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各种的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 2(5+2r)3．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45x 23 (3x 2)4＝405x263. 8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求该展开式中所有有理项的项数； (2)求该展开式中系数最大的项．解析：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n ＝10.∴T r ＋1＝C r10x 10-2r 2r x －2r ＝C r 102rx10-52r，当r ＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z .∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第T r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥111－r，110－r ≥2r ＋1.解得193≤r ≤223.∵r ∈N ，∴r ＝7.∴展开式中系数最大的项为T 8＝C 71027x 25-2＝15 360x25-2.基础达标一、选择题1．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：由2n ＝64，得n ＝6.T k ＋1＝C k 6x 6－k ·x －k ＝C k 6x 6－2k ，由6－2k ＝0，得k ＝3，∴T 4＝C 36＝20.答案：B2．若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为( ) A ．－1 B ．1C ．27D ．－27解析：二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 展开式的二项式系数之和为8，所以2n ＝8，解得n ＝3. 所以⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3展开式的系数之和为(1－2)3＝－1. 答案：A 3.⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40解析：令x ＝1，则有1＋a ＝2，得a ＝1，故二项式为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5，故其常数项为－22×C 35＋23C 25＝40.答案：D4．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．210 B ．252 C ．462 D ．10解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210. 答案：A5.⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第五项 B ．第六项C ．第五项和第六项D ．第五项和第七项解析：由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510，二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项． 答案：D6．若(1－2x )2 009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 009x 2 009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：令x ＝0，则a 0＝1.令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝0，故a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝－1.答案：C7．487被7除的余数为a (0≤a <7)，则⎝⎛⎭⎫x －ax 26的展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320C ．20D ．－20解析：因为487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，所以487被7除的余数为6，所以a ＝6.所以⎝⎛⎭⎫x －6x 26的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r ，令6－3r ＝－3，得r ＝3，所以⎝⎛⎭⎫x －6x 26的展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320. 答案：B 二、填空题8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －19．(a ＋a )n 的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T 8＝________.解析：C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a )7＝120a 132.答案：120a 13210．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________． 解析：(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(－2＋3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4； 两式相乘得(3－4)4＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝1. 答案：1 11．在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为 1 024，则中间项系数是________．解析：∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.答案：46212．若(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 012)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012中，令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝1， 则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012 ＝(－1)2 012＝1，故(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 012) ＝2 011a 0＋a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝2 012. 答案：2 012 三、解答题13．对二项式(1－x )10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 解析：(1)展开式共11项，中间项为第6项，T 6＝C 510(－x )5＝－252x 5；(2)C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024. (3)设(1－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0 令x ＝0，得a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1.14．已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．解析：∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n， 整理得n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70；当n ＝14时，展开式中二项式系数最大项是T 8，T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432.能力提升15.已知⎝⎛⎭⎫x ＋mx n 展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解析：(1)二项式系数之和为2n ＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝⎛⎭⎫m xr＝C r 8m r x 8－2r ， 故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358， 解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r ≥C r －18m r －1C r 8m r ≥C r ＋18m r ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎨⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.16．杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3：4：5?解析：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1,6,15,20,15,6,1，所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)设在第n 行出现的三个相邻的数的比是3：4：5，并设这三个数分别是C k －1n ，C k n ，C k ＋1n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧34＝C k －1n C k n，45＝Ckn Ck ＋1n，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝n ！(k －1)！(n ＋1－k )！×k ！(n －k )！n ！，45＝n ！k ！(n －k )！×(k ＋1)！(n －1－k )！n ！，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝kn ＋1－k ，45＝k ＋1n －k ，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝62，k ＝27，即在第62行会出现C 2662：C 2762：C 2862＝3：4：5.。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、选择题1．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( )A ．11B ．10C ．9D ．82．(x －1)11展开式中x 的奇次项系数之和是( )A ．－2048B ．－1023C ．－1024D ．10243．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2 4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n 等于( )A ．81B ．27C ．243D ．7295．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．86．在( 1x ＋51x 3)n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1024，则中间项系数是( ) A ．330B ．462C ．682D ．7927．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5二、填空题8．在(a －b )10的二项展开式中，系数最小的项是________．9．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝________.10.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )，(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.11．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.三、解答题12．在(3x－2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．13．在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．[答案]精析1．D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.B7．D [根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决．只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选D.]8．－252a 5b 5 9.710．3[解析] 由题意知，A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝⎛⎭⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知， T r ＋1＝C r n ⎝⎛⎭⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 11．3[解析] 方法一 将(a ＋x )(1＋x )4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a )x 3＋(4＋6a )x 2＋(1＋4a )x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a )＋(1＋4a )＝32，解得a ＝3.方法二 (1＋x )4展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r ，由题意可知a (C 14＋C 34)＋C 04＋C 24＋C 44＝32，解得a ＝3.12．解 (1)二项式系数最大的项是第11项，T 11＝C 1020310(－2)10x 10y 10＝C 1020610x 10y 10.(2)设系数绝对值最大的项是r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r ， 解得725≤r ≤825(r ∈N )， 所以r ＝8，即T 9＝C 820312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于系数为正的项为y 的偶次方项，故可设第2r －1项系数最大，于是⎩⎪⎨⎪⎧ C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r －420·324－2r ·22r －4，C 2r －220·322－2r ·22r －2≥C 2r 20·320－2r ·22r ， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧10r 2＋143r －1077≤0，10r 2＋163r －924≥0. 解得r ＝5，即2×5－1＝9项系数最大．T 9＝C 820·312·28·x 12y 8. 13．解 在(2x －3y )10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210＝1024.(2)奇数项的二项式系数的和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29＝512.偶数项的二项式系数的和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29＝512.(3)设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10(*)，各项系数之和即为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x ＝y ＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10，偶数项系数的和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9. 由(3)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1. ①令(*)中x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510. ②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，故奇数项系数的和为1＋5102；1－510①－②，得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，故偶数项系数的和为2.。
第一章 1.3 1.3.2请同学们认真完成练案[8]A 级 基础巩固一、选择题1．在(a ＋b )10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( C ) A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项[解析] 由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．2．(2020·蚌埠一模)已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2＝( B )A ．18B ．24C ．36D ．56[解析] 对于等式(2x －1)4＝[(2x －2)＋1]4＝[1＋(2x －2)]4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4．a 2＝C 24·22＝24．故选B ． 3．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( A )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[解析] 9n＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数． 4．(2020·黄浦区二模)二项式(x ＋13x)40的展开式中，其中是有理项的项数共有( B )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项[解析] 二项式(x ＋13x)40的展开式的通项为T r ＋1＝C r 40·(x )40－r·(13x)r ＝C r40·x 120－5r 6．∵0≤r ≤40，且r ∈N ，∴当r ＝0、6、12、18、24、30、36时，120－5r6∈Z ．∴二项式(x ＋13x )40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项．故选B ．5．若二项式(2x ＋a x)7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( C )A ．2B ．54C ．1D ．24[解析] 二项式(2x ＋a x)7的通项公式为T r ＋1＝C r7(2x )7－r(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1．6．(2020·南安高二检测)233除以9的余数是( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C 111910＋C 21199＋…＋C 10119－1＝9(910－C 11199＋…＋C 1011－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A ． 二、填空题7．(2019·天津理，10)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为__28__． [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18r ·x 8－4r ．令8－4r ＝0，得r ＝2，∴常数项为T 3＝C 2826⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝28．8．已知(x －a x)8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是__1或38__．[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x)r＝(－a )r ·C r 8·x8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2，令x＝1得展开式各项系数的和为1或38．9．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为__2n－1__．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9…[解析] 由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1．三、解答题10．对二项式(1－x)10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．[解析] (1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C510(－x)5＝－252x5．(2)C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1024．(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1．B级素养提升一、选择题1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( B )A．第9项B．第8项C．第7项D．第6项[解析] 展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．2．(多选题)若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值可以是( AC )A．110B．13C ．16D ．15[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ T 2>T 1，T 2>T 3，得⎩⎪⎨⎪⎧C 162x >1，C 162x >C 262x 2.∴112＜x ＜15.故选AC ． 二、填空题 3．观察下列等式： (1＋x ＋x 2)1＝1＋x ＋x 2，(1＋x ＋x 2)2＝1＋2x ＋3x 2＋2x 3＋x 4，(1＋x ＋x 2)3＝1＋3x ＋6x 2＋7x 3＋6x 4＋3x 5＋x 6，(1＋x ＋x 2)4＝1＋4x ＋10x 2＋16x 3＋19x 4＋16x 5＋10x 6＋4x 7＋x 8， ……由以上等式推测：对于n ∈N *，若(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 2＝__n n ＋12__．[解析] 观察给出各展开式中x 2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a 2＝n n ＋12．4．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则 (1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝__255__； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝__32_896__． [解析] 令x ＝0，得a 0＝1． (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255． (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896．三、解答题5．(2019·江苏卷，22)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 23＝2a 2a 4． (1)求n 的值；(2)设(1＋3)n ＝a ＋b 3，其中a ，b ∈N *，求a 2－3b 2的值． [解析] (1)因为(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ，n ≥4，n ∈N *， 所以a 2＝C 2n ＝n n －12，a 3＝C 3n ＝n n －1n －26，a 4＝C 4n ＝n n －1n －2n －324．因为a 23＝2a 2a 4， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n －1n －262＝2×n n －12×n n －1n －2n －324．解得n ＝5． (2)由(1)知，n ＝5． (1＋3)n ＝(1＋3)5＝C 05＋C 153＋C 25(3)2＋C 35(3)3＋C 45(3)4＋C 55(3)5＝a ＋b 3． 方法1：因为a ，b ∈N *，所以a ＝C 05＋3C 25＋9C 45＝76，b ＝C 15＋3C 35＋9C 55＝44，从而a 2－3b 2＝762－3×442＝－32． 方法2：(1－3)5＝C 05＋C 15(－3)＋C 25(－3)2＋C 35(－3)3＋C 45(－3)4＋C 55(－3)5＝C 05－C 153＋C 25(3)2－C 35(3)3＋C 45(3)4－C 55(3)5． 因为a ，b ∈N *，所以(1－3)5＝a －b 3．因此a 2－3b 2＝(a ＋b 3)(a －b 3)＝(1＋3)5×(1－3)5＝(－2)5＝－32． 6．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列．(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n n －18，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n n －18，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x )8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r．令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358．(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·12r≥C r ＋18·12r ＋1C r 8·12r ≥C r －18·12r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x ．。
重庆名校“杨辉三角”与二项式系数的性质专题训练专项训练1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．22．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋33．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________．5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为强化训练 一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．232．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．103．已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±24．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( )A ．2 048B ．－1 023C ．－1 024D ．1 0245．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－456．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( ) A ．－150 B ．150 C ．300 D ．－3007．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1 C ．27 D ．27－18．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1 024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．10．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____.三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.13．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m xn展开式的二项式系数之和为256.(1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________.15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中：(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．重庆名校“杨辉三角”与二项式系数的性质专题训练答案1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 B解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项 答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题 答案 C解析 令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －15解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k4(－3)4－k(2x )k，∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．考点 展开式中系数的和问题 题点 多项展开式中系数的和问题 答案358解析 由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4，该项的系数为358.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23 考点 二项式系数的性质 题点 与杨辉三角有关的问题 答案 C解析 根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1xn (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 A解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．2 D ．±2 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 C解析 由条件知2n＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k 1556kx -中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11， 令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45.6．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( ) A ．－150 B ．150 C ．300 D ．－300 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 B解析 由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k4(5x )4－k·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k4342k x -，令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1 C ．27D ．27－1考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 B解析 设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1， 得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n， 即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1 024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小 考点 二项式系数的性质 题点 二项式系数与项的系数问题解析 由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a 10－k(－b )k ＝(－1)k C k 10a10－k b k知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确． 二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________． 考点 二项式系数的性质题点 利用二项式系数的性质进行计算 答案 6解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6.10．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 7解析 令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12. 令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12， ∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27， ∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7. 三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值． (1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，① 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100. (3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.② 与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100.13．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m xn展开式的二项式系数之和为256.(1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k 8m k x8－2k， 故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C k 8m k≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9mm ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72. 所以m 只能等于2.四、探究与拓展 14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________. 考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 －6365 解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大， 即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项T4＝(－1)3C310·27·x4＝－15 360x4.。
高二数学 杨辉三角与二项式系数的性质练习题（二）
班级 姓名
1.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ）
A.第2n+1项 B.第2n+2项 C.第2n项 D第2n+1项或2n+2项
3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若n为奇数，777712211nnnnnnnCCC被9除所得的余数是（ ）
A.0 B.2 C.7 D.8
5.5 n+13 n (nN)除以3的余数是（ ）
A.0 B.0或1 C.0或2 D.2
6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44
7.!20123181920!417181920!21920C04的值是（ ）
A.217 B.218 C.219 D.220
8.(12x)15的展开式中的各项系数和是（ ）
A.1 B.-1 C.215 D.315
9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，则a的值
是 。
10.设112131)13(xx展开式中各项系数和为A，而它的二项式系数之和为B，若A+B=272，那
么展开式中x 2项的系数是 。
11.关于二项式(x1)2007有下列四个命题：
①该二项展开式中非常数项的系数和是1；
②该二项展开式中系数最大的项是第1004项；
③该二项展开式中第6项为200162007xC；
④当x=2008时，(x1)2007除以2008的余数是2007。
其中正确命题的序号是 。
12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，
第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n行全行的数
都为1的是第 行。
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ……… ……… ………
13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.
14.若(a+a)n的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项.
15.求证：32n+28n9（n∈N*）能被64整除。
16.求证：对一切n n∈N*，都有2≤nn)11(＜3。
17.求证：1321232nnnnnnnnCCCC。
