附息债券久期计算

久期（Duration），也叫持续期。

一、概述1．久期概念：债券所有现金流量发生时间的加权平均值，即衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。

2．权重的概念：Wt：表示某一时刻现金流量的现值与债券价格之比。

Wt=，PV现值，CFt（cash flow）3．久期表达式：===D4．久期概念的用途：考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。

证明：∵P=（1）对（1）式相对于t求一阶导数可得= —（2）将（2）两边同除以价格P，得：×= = —，同时可得：= —D假定收益率曲线平滑，r在中短期内变化微小。

= —D×（）（3）∴D是反映收益变化影响债券价格变化的比例系数，公式负号表示利率上升，债券价格下跌,反之，则上涨。

5．修正久期的概念：定义修正久期为D*=△P= —D*×P×△r (4)二、基于久期的套期保值策略1、套期保值比率HR的确定套期保值所需合约数（张）=×到期日调整系数×加权系数到期日调整系数=举例加权系数有三种：1、转换系数模型；2、回归模型；3、久期系数1、转换系数模型：现货债券如果恰恰是最便宜可交割债券，用这种方法较为理想。

原因：期货市场价格变动与最便宜可交割债券价格变动一致。

缺点：（1）、现货需要保值的债券恰恰是最便宜可交割债券，偶然性大，不被广泛使用。

（2）、最便宜可交割债券随时都在变化，用CF作系数不实用。

2、回归模型：将期货价格与现货价格变化的历史数据作回归分析，以回归线的斜率β作为对冲系数，此方法可以作为套期保值比率系数的一个补充，一个参考。

缺点：（1）新发行债券没有历史数据（2）衍生债券也没有历史数据。

久期值模型：△Ps= —Ds*×Ps×△r (1)△Pf= —Df*×Pf×△r (2)△Ps= △Pf×HR (3)将（1）、（2）代入（3）式得：—Ds*×Ps×△r= —Df*×Pf×△r×HRHR=举例：某投资者持有1500万美元的美国国债现货债券，到期日2018年，息票利率11%，担心近期利率上涨，拟用长期国债期货套期保值，求卖出国债期货的合约数量？已知：Ds* =9.8年，Df*=10.64年，Ps =118.5，Pf =92-16HR==1.18，卖出期货合约数量=×1.18=177张三、久期值的计算1、列表法，求D 麦考莱（Macaulay）1938年，D*=（见书P119）2、封闭式久期计算法D麦=C为年利率，F为面值，r为到期收益率，n为债券剩余期限付息次数，P债券价格举例：见书表4.5已知：F=100，C=10，n=3×2=6，r=0.12年（半年为0.06）D麦= =5.32（半年）D1年麦＝＝2.66年3、有效久期计算法（1）、1996年弗兰克法波齐（Frank Fabozi）（2）、有效久期≈D* (条件：收益率发生很小变动，收益率曲线平滑)（3）、计算公式D有效＝P_ 指收益率下降x个基点债券价格P+ 指收益率上升x个基点时债券价格R_ 指初始收益率减去x个基本点R+ 指初始收益率加上x个基本点P0 指债券初始价格举例：某债券剩余期限为8年，息票利率9.5％，半年付息一次，现价90，到期收益率11.44％，我们用到期收益率5个基点的变化来计算有效久期，即①当收益率为11.44％＋0.05％，P+＝89.77；②当收益率为11.44％－0.05％，P－＝90.25D有效＝＝＝5.33用封闭公式计算D麦来验证。

付息票债券
贴现债（零息票债券 ） (1)T F
P y =+
息票累积债券（一次还本付息）根据情况确定，若说明按复利计算利息，就按复利；若没有说明，则按单利计算利息。

（二） 对处于最后付息周期的附息债券、贴现债券和剩余流通期限在一年以内（含一年）的到期一次还本付息债券，到期收益率计算公式为：
到期收益率 = （到期本息和-债券买入价）/（债券买入价*剩余到期年限）*100%
具体来说：
1、附息票债券
到期收益率=（债券年利息+债券面值-债券买入价）/（债券买入价*剩余到期年限）*100%
2、息票累积债券（一次还本付息债券）到期收益率的计算 到期收益率=[债券面值（1+票面利率*债券有效年限）-债券买入价] /（债券买入价*剩余到期年限）*100%
3、贴现债券（零息债券）到期收益率的计算
1t =
到期收益率=（债券面值-债券买入价）/（债券买入价*剩余到期年限）*100%
债券利率（贴现率）=[（面值-发行价）/（发行价*期限）]*100%
贴现债券的转让价格=面额-面额×{[(期限-持有天数)/360]×年贴现率}
计算到期收益率等收益率，1年都是按365天来计算；只有贴现率按一年360天计算。

久期以及久期应⽤久期全称麦考雷久期,也称持续期，是1938年由 F. R . M a c a u l a y 提出的。

它是以未来时间发⽣的现⾦流，按照⽬前的收益率折现成现值，再⽤每笔现值乘以其距离债券到期⽇的年限求和，然后以这个总和除以债券⽬前的价格得到的数值..数学定义 如果市场利率是Y，现⾦流（X1,X2,...,Xn）的麦考雷久期定义为：D(Y)=[1*X1/(1+Y)^1+2*X2/(1+Y)^2+...+n*Xn/(1+Y)^n]/[X0+x1/(1+Y)^1+X2/(1+Y)^2+...+Xn/(1+Y)^n] 即 D=(1*PVx1+...n*PVxn)/PVx 其中，PVXi表⽰第i期现⾦流的现值，D表⽰久期。

例⼦：假设有⼀债券，在未来n年的现⾦流为（X1,X2,...Xn），其中Xi表⽰第i期的现⾦流。

假设现在利率为Y0，投资者持有现⾦流不久，利率⽴即发⽣变化，变为Y，问：应该持有多长时间，才能使得其到期的价值不低于现在的价值？ 通过下⾯定理可以快速解答上⾯问题。

定理：PV(Y0)*(1+Y0)^q<=PV(Y)(1+Y)^q的必要条件是q=D(Y0)。

这⾥D(Y0)=(X1/(1+Y0)+2*X2/(1+Y0)^2+...+n*Xn/(1+Y0)^n)/PV(Y0) q即为所求时间，即为久期。

上述定理的证明可通过对Y导数求倒数，使其在Y=Y0取局部最⼩值得到。

（容易）在债券分析中，久期已经超越了时间的概念，投资者更多地把它⽤来衡量债券价格变动对利率变化的敏感度，并且经过⼀定的修正，以使其能精确地量化利率变动给债券价格造成的影响。

修正久期越⼤，债券价格对收益率的变动就越敏感，收益率上升所引起的债券价格下降幅度就越⼤，⽽收益率下降所引起的债券价格上升幅度也越⼤。

可见，同等要素条件下，修正久期⼩的债券⽐修正久期⼤的债券抗利率上升风险能⼒强，但抗利率下降风险能⼒较弱。

正是久期的上述特征给我们的债券投资提供了参照。

2011-10-141CH04 利率风险的度量

本节要点•久期•凸度•久期和凸度公式推导•久期和凸度的经济意义

价格和收益率关系BondCouponMaturityInitial YTM

A12%5 years10%B12%30 years10%C3%30 years10%D3%30 years6%

ABCDChange in yield to maturity (%)

0

期限越长的债券价格的利率敏感性越大–ex.ABC–票面利息($)909090–面值1,000 1,000 1,000–Moody's RatingAaAaAa–期限5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.–YTM9%10%11%–价格1,000939856–Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9% respectively).

––新价格:1,0361,000931–%Price change:3.6%6.6%8.8%

债券期限长度和利率风险•债券期限越长，利率风险越大

$0$50$100$150$200$2500%2%4%6%8%10%12%14%16%RatePrice10 Year20 Year5 Year

鱼和熊掌？？债券期限票面利率面值A58%100B1010%100C1513%100

A？B?C?2011-10-142一个简单例子：•李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全）外，还担心什么？•李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安全的角度看，张同学会选哪种？久期(Duration)•久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏感度越高，风险亦越大。

一.久期与凸性1、久期（仅针对分次附息债券.一次还本债.贴现债久期=剩余期限）（1） 久期含义：与剩余期不同，它指债券未来一系列现金流入的平均到期时间，即完全收回本金利息的加权平均年数。

可从期限角度反映债券价格对利率（贴现率）变化反应弹性。

简化公式 （2）Macaulay 久期计算 D=1()()=⨯∑Tt PV ct tPD 1=1×[C 1/(1+r)]/p 0+2×[C 2/(1+r)2/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r)n]/p 0当每次现金流相同,公式简化为:D 1=011/(1)()(1)-+--+〈〉⨯nr cn n r p r r每年一次现金流D 1=22011/(1/2)/22()2(1/2)/2-+--+〈〉⨯nr c n n r p r r 半年一次现金流 甲债券,3年为期,年息票80元,面值1000元,到期收益率10%,现市价950.24元.求久期?D 1=1×[80/(1+0.1)]/950.24+2×[80/(1+0.1)2/950.24]+3×[(80+1000)/(1+0.1)3]/950.24 =1×0.0766 +2×0.0696+3×0.8539=2.78年（3）修正久期: D 2 = D 1/1+r(差异在于D 1用连续复利, D 2用离散复利,常用后者) (4) Fisher —w eil 久期:D 3 =1×[C 1/(1+r 1)]/p 0+2×[C 2/(1+r 1)(1+r 2)]/p 0]+….+n ×[(C n +p n )/(1+r 1)(1+r 2)…(1+r n )]/p 0(差异在于r 随时而变) r 1、r 2…r n 用期限结构曲线计算。

组合D=1=∑ni it W D11==∑nit W其它久期计算:永久年金债券D=(1+ r)/ r固定年金债券D=[(1+ r)/r]－T/[(1+ r)T－1]T-年金支付次数 r-年金率带息债D=(1+ r)/r －{(1+ r)＋T(c －r)/c[(1+ r)T－1]＋r}c-每个付息期间息率 T-利息支付次数债券以面值出售时, D=[(1+ r)/r][1－1/(1+ r)T] 2.久期性质1)零息债息债久期=到期期限,有息债久期<到期期限 2)距到期日时间一定时,息票率越低,其久期越长, 3)当息票率一定时, 久期随距到期日时间延长而延长 4)其它因素不变, 到期收益率越低, 其久期越长, 3．久期与债券价格变化关系D 1 =1∆-+r r /∆PP ∆P P =11∆-+r D r ∆P P= —D 2×∆r 例: 乙债券, D 1为10年,到期收益率8%,现市价1000元.如r 由8%上升到9%,市价为多少?∆P P=11∆-+r D r = －10×((0.09－0.08)/1+0.08 = －9.26%∆P = －10×((0.09－0.08)/1+0.08×1000 =－92.6元P ＋∆P =1000－92.6 =907.4元4．债券凸性（1） 凸性定义；价格收益曲线弯曲度量值收益率图中切线表示为：p(r+∆r )=p(r)+(dp/dr)∆r因dp/dr =—D 2×p(r) 故：p(r+∆r )=p(r)—D 2×p(r)∆r—D 2×p(r)为曲线的斜率，斜率与修正久期关联。

债券价格计算与分析债券作为一种固定收益类投资品种，是投资者非常常见的选择之一。

债券价格的计算和分析对于投资者来说十分重要，因为它可以提供投资决策的依据。

本文将介绍债券价格的计算方法，并通过分析债券价格的影响因素，为投资者提供债券投资的参考。

计算债券价格的方法主要有两种，分别是久期法和现金流量法。

久期法是根据债券的久期来计算价格。

久期是债券的平均期限，它反映了债券在现金流量的时间上的权重分配。

久期越长，价格对利率的敏感度越大。

久期法的计算公式为：债券价格 = 现金流量的现值之和现金流量的计算需要考虑债券的期限、票面利率和市场利率等因素。

债券的期限越长，现金流量越多，价格越高。

票面利率越大，每期的现金流量越多，价格越高。

市场利率越低，每期的现金流量的现值越高，价格越高。

因此，久期法计算债券价格时需要考虑债券的现金流量和市场利率的变化。

现金流量法则是根据债券的现金流量来计算价格。

现金流量法的核心思想是将每期的现金流量贴现到现值，再相加得到总价值。

现金流量法计算债券价格的公式如下：债券价格 = 票面金额 / (1+市场利率)^1 + 票面金额 / (1+市场利率)^2 + ... + 票面金额 / (1+市场利率)^n其中，票面金额是债券的面值，市场利率是投资者的要求报酬率，n为债券的期数。

久期越长，价格对利率的敏感度越大。

市场利率越低，每期的现金流量的现值越高，价格越高。

除了久期和现金流量之外，还有一些其他因素也会影响债券价格。

一是到期期限，债券的到期期限越长，其风险越大，价格会相应降低。

二是流动性，流动性越高的债券，价格越高。

三是发行人信用，发行人信用越好，风险越低，价格越高。

在具体分析债券价格时，投资者还可以关注债券的久期变动和凸度。

久期变动指的是当利率发生变化时，债券价格的变动情况。

久期越长，债券价格对利率的敏感度越大。

凸度是评估久期变动的程度，凸度越大，久期变动的影响越大。

在实际投资中，投资者可以根据债券价格的计算和分析，制定相应的投资策略。