数学分析之定积分的应用
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《数学分析》教案
- 1 - 第十章 定积分的应用
教学要求：
1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；
2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等
教学时数：10学时
§ 1 平面图形的面积 （ 2 时 ）
教学要求：
1. 理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；
2. 熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积
一、组织教学：
二、讲授新课：
（一）直角坐标系下平面图形的面积 ：
1.简单图形： 型和 型平面图形 .
2.简单图形的面积 : 给出 型和 型平面图形的面积公式. 《数学分析》教案
- 2 - 对由曲线和 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图 形的几何特征简化计算.
例1 求由曲线 围成的平面图形的面积.
例2 求由抛物线 与直线 所围平面图形的面积.
（二）参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间 上的曲边
梯形的曲边由方程给出 .
又设, 就有↗↗, 于是存在反函数 . 由此得曲边的显式方程.
,
亦即 .
具体计算时常利用图形的几何特征 .
例3 求由摆线 的一拱与 轴所围平面图形的面积.
例4 极坐标下平面图形的面积 : 《数学分析》教案
- 3 - 推导由曲线 和射线所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法 ，并用微元法推导公式 . 半径为 ,
顶角为 的扇形面积为 . )
例5 求由双纽线 所围平面图形的面积 .
解 或 . ( 可见图形夹在过极点,
倾角为 的两条直线之间 ) . 以 代 方程不变,
图形关于 轴对称 ; 以 代 , 方程不变,
图形关于 轴对称 . 参阅P242 图10-6
因此 .
三、小结：
§ 2 由平行截面面积求体积 （ 2 时 ）
教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积
（一）已知截面面积的立体的体积: 设立体之截面面积为 .
推导出该立体之体积 . 《数学分析》教案
- 4 - 祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子 齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )
例1 求由两个圆柱面 和 所围立体体积 .
P244 例1 ( )
例2 计算由椭球面 所围立体 (椭球 )的体积 .
[1] P244例2 ( )
（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式.
.
例3 推导高为 , 底面半径为 的正圆锥体体积公式.
例4 求由曲线 和 所围平面图形绕 轴旋转所得立体体积.
例5 求由圆 绕 轴一周所得旋转体体积.( 1000 )
例6 轴正半轴.绕轴旋转.求所得旋转体体积.
§ 3 曲线的弧长 ( 1 时 )
教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长，
（一） 弧长的定义: 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 《数学分析》教案
- 5 - 即用折线总长的极限定义弧长 . 可求长曲线 .
（二） 弧长计算公式 : 光滑曲线的弧长.
设，，又，
和 在区间 上连续可导且 . 则上以 和
为端点的弧段的弧长为.
为证明这一公式 , 先证以下不等式 : 对 ,有
, Ch 1 §1 Ex 第5题 (P4) .
其几何意义是: 在以点 和 为顶点的三角形中,两边之差不超过第三边 . 事实上，
.
为证求弧长公式, 在折线总长表达式中, 先用Lagrange中值定理,
然后对式插项进行估计 .
如果曲线方程为极坐标形式 连续可导, 则可写出其参数方程 . 于是
.
§ 4 旋转曲面的面积 ( 1 时 ) 《数学分析》教案
- 6 - 教学要求：旋转曲面的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算旋转曲面的面积
用微元法推出旋转曲面的面积公式 :
曲线方程为 时， ；
曲线方程为 时，.例1—2 P254—255例1—2.
§ 5 定积分的物理应用举例 ( 2 时 )
教学要求： 熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算变力作功等
例1—2 P255—257E例1—3.
例3 P257—259例4-5.
第十一章 反 常 积 分
教学目的：
1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；
2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛 《数学分析》教案
- 7 - 散性的判别。
教学时数：8学时
§ 1 反常积分概念 （2学时）
教学目的：深刻理解反常积分的概念。
教学重点难点：反常积分的含义与性质
一 问题的提出: 例（P264）.
二 两类反常积分的定义
定义1. 设函数 定义在无穷区间 上，且在任何有限
区间 上可积，如果存在极限
（1）
则称此极限J为函数 在 上的无穷限反常积分（简称
无穷积分），记作 ,并称 收敛.
如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称 发散.
定义2. 设函数 定义在 上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间 上有界且可积，如果存在极
《数学分析》教案
- 8 - 则称此极限为无界函数 在 上的反常积分，记作
并称反常积分 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 发散.
例1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性 .
⑵ 计算积分 .
例 2 讨论以下积分的敛散性 :
⑴ ; ⑵ .
例3 讨论积分 的敛散性 .
例4 判断积分 的敛散性 .
例5 讨论瑕积分 的敛散性 ,并讨论积分 的敛散性 . 《数学分析》教案
- 9 - 三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 , 为瑕点. 有
, 把瑕积分化成了无穷积分;设 , 有
，把无穷积分化成了瑕积分.
可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .
§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）
教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。
教学重点难点：反常积分敛散性的判别。
一 无穷积分的性质
⑴ 在区间 上可积 , — Const , 则函数 在区间
上可积 , 且 .
⑵ 和 在区间 上可积 , 在区间
上可积 , 且
.
⑶ 无穷积分收敛的Cauchy准则:
Th 积分 收敛 .
⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 《数学分析》教案
- 10 - 绝对收敛 收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .
二 比较判别法
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 ↗. 非负函数无穷
积分敛散性记法.
⑴ 比较判敛法: 设在区间 上函数 和
非负且，又对任何 > , 和 在区间 上可
积 . 则 < , < ； , .
例6 判断积分 的敛散性.
推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间 上函数,
. 则
ⅰ> < < , 与 共敛散 :
ⅱ> , < 时, < ；
ⅲ> , 时, . ( 证 )
推论2 （Cauchy判敛法）: ( 以 为比较对象, 即取 《数学分析》教案
- 11 - .以下 > 0 )设对任何 > , ,
且 , < ；若 且 , .
Cauchy判敛法的极限形式 : 设 是在任何有限区间 可积的正值函数. 且 . 则
ⅰ> < ；
ⅱ> . ( 证 )
例7 讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ> ⅱ>
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:
1.Abel判敛法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛.
2.Dirichlet判敛法: 设 在区间 上有界 ， 在
上单调，且当 时， .则积分 收敛.
例8 讨论无穷积分 与 的敛散性.
例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : 《数学分析》教案
- 12 - , , .
例10 ( 乘积不可积的例 ) 设 , 。由例6的结果, 积分 收敛 . 但积分 却发散.
§3 瑕积分的性质与收敛判别（2学时）
教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。
类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限 的原意写出相应的命题.
Th ( 比较原则 ) P277 Th11.6.
系1 ( Cauchy判别法 ) P277 推论2.
系2 ( Cauchy判别法的极限形式 ) P277 推论3.
例11 判别下列瑕积分的敛散性 :
⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵ .
例12 讨论非正常积分 的敛散性.
注记. C—R积分与R积分的差异:
