本科高等数学
第三节 定积分在物理学上的应用
㈠本课的基本要求
掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力作功、引力、压力等）
㈡本课的重点难点
重点是用定积分表达一些物理量，难点是思想的运用
㈢教学内容
一．变力沿直线所作的功
由物理学知识可知，常力F沿直线所作的功等于该常力在直线上的投影及由该常力导致的位移的乘积。若F是沿直线方向的，且物体在该力的作用下沿直线的位移为d，则该力所作的功FdW（单位：NmJ）
但实际上，力的大小常常是改变的。例如用力去压一个弹簧或活塞时，根据胡克定律，弹簧或气缸的反作用力与压力引起的位移成正比。又比如，火箭升空时，由于火箭本身所携带的燃料迅速减少，使火箭的质量不断降低，所以其升空的高度也不能上式简单地算出。
但通常情形丰，力的变化（随着位移或时间）是连续的，功对区间具有可加性，因此可以用定积分处理。
例1 一物体按规律3ctx作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比。计算物体由0x移至ax时，克服介质阻力所作的功。
例2 设有一倒置的圆锥形水池，口径为10m，深为20m，池中贮满水，问现将池中水全部抽出需作功多少。
解 从池中提升等量的水到池外，所作的功等于水的重量×提升高度，所以在如图所示的坐标系中，分割y轴上]20,0[区间，取一典型区间],[dyyy，该区间的池水近似为一圆柱体，其底半径为4yx，故体积为dyyV24。提升高度为my)20(，从而所求总功的微元为dyyygdyyygdW16)20(4)2022
水密度ρ为3/1mt，从而所求总功为
kJdyyygW256503400001678.3016)20(2002
例3 设有某种碎块物品（如矿石等）需堆积保存。该种物品容重为3/mt（容重：指该种物品堆放一定体积的重量。因堆放时碎块间有间隙，所以容重小于比重），由绞车运输到堆顶倒下，而绞车高度随着堆积的增高也在不断升高。设该种物品堆积形状保持为圆锥体，其自然堆积时的坡度与地面形成的“安息角”为α，求将该种物品堆高为hm时需作功多少？
定积分的发展史和应用
思想的发展，使我们了解到一个伟大定理的诞生需要多少细微理论的推动。最后，概述了定积分的定义，并从面积和微元的角度介绍了定积分的几个应用。
關键词：定积分；极限；几何；物理
1 历史背景
赫尔曼·汉克尔曾说，在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一个人所创立的要被另一个人取代，只有数学，每一个人都能在旧体系上增加一点色彩。微积分学作为数学的一个重要的分支，其发展史正印证了这句话。
现代数学分析理论体系中，定积分的规范定义要基于极限论，这和历史并不一致。在人类对微积分的认识初期，积分问题和极限问题是平行发展的。
1.1 定积分问题的提出
积分起源于古希腊，古希腊科学家安提风呈现“穷竭”的方法，然后在公元前三世纪，阿基米德发展了该方法，他在著作中提到了面积和体积的测量：圆拱，球和球帽、螺线盘旋3类面积问题和共轴的旋转双曲面与圆柱交集体积的问题。这是积分思想最初的样子。
1.2 建立极限与积分的联系
（1）1615年开普勒在《酒桶的立体几何》中提出了利用求无数个小圆柱体积之和求旋转体体积的方法，他是是第一个在求积问题中用通俗的语言提出无穷大，无穷小概念的科学家，可以认为是历史首次让“积分论”与“极限论”开始出现交集。
（2）首个用极限思想真正解决导数与积分问题的科学家波尔查诺，但他仍然没有清楚地将极限的本质呈现出来，仍然没有将极限的基本概念解释清楚。直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈的思想进一步较完整地阐述了极限的概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确的定义，微积分长期纠缠在基础问题上的局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨的理论基础，形成了以极限论为核心的函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨的数学分析学。
（3）1893年法国数学家若尔当在自己的著作《分析教程》中首先提出了集合的测度论，后人为纪念他，将这个虽然存在不少缺陷，但启发意义很重大的理论称为若尔当测度论。1898年法国数学家博雷尔在若尔当测度论基础上引入了“σ-代数”概念，这是基于集合可测性的实分析理论的雏形。勒贝格注意到了这套有重大缺陷理论中的深刻思想，通过建立“勒贝格测度论”，成功地开创了自己的一套积分理论，将积分的研究对象推广到所谓“可测函数”，解决了“不可积函数”大量存在的状况，至此，数学家们很少再碰到“不可积的函数”，勒贝格测度与积分理论经后人稍加丰富变成了现在的实分析（也叫实变函数）。
数学分析（2）：定积分计算与应用
1、401cos2xdxx
2、ln2201xedx
3、21211xxdx
4、1220(2)1xdxxx
5、32122dxxx
6、21(1)dxxx
7、21arctanxdxx
8、120arcsin1xxdxx
9、120ln(1)1xIdxx
10、设1220()31()fxxxfxdx，求()fx.
11、设21,0(),0xxxfxex，求30(2)fxdx
12、求由曲线xyxe与直线yex所围成的图形的面积.
13、求曲线yx的一条切线l，使该曲线与切线l及直线0,2xx所围成平面图形面积最小.
14、求函数221xyx在区间13[,]22上的平均值.
15、设平面图形A由222xyx与yx所确定，求图形A绕直线2x旋转一周所得旋转体的体积
16、求摆线1cossinxtytt一拱02t的弧长.
17、设有曲线1yx，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
18、设xOy平面上有正方形{(,)01,01}Dxyxy及直线:lxyt.(0)t
若()st表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求0()(0)xStdtx.
19、设0sinxtfxdtt，计算0fxdx.
20、设()fx在0,a上具有连续的导数，且(0)0f. 证明：20()2aMafxdx，其中'max()axbMfx.
21、设()fx在[0,1]上有二阶连续导数，证明：
110011()[(0)(1)](1)()22fxdxffxxfxdx
积分中值定理及其应用
0 / 36 学号：**********
***师范大学
学士学位论文
题 目 积分中值定理及其应用
学 生 &&&&
指导教师 ****** 副教授
年 级 2009级
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院
***师范大学
2013年4月积分中值定理及其应用
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****** 师 范 大 学
学士学位论文开题报告
论文题目 积分中值定理及其应用
学生姓名 *****
指导教师 ***** 副教授
年 级 2009级
专 业 数学与应用数学
2012年 11 月
积分中值定理及其应用
1 / 36
课题来源：
自拟题目
课题研究的目的和意义：
在自然科学中、工程技术，甚至某些社会科学中，积分是被广泛应用的数学概念，积分贯穿了我们整个的学习时段.既然在数学学习中处于核心地位，本文就积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用这几个方面来深入研究.在以后的学习生活中，积分都是非常重要的基础和工具，具有一定的理论意义和现实意义.
国内外同类课题研究现状及发展趋势：
许多专家学者对积分中值定理及其应用作了研究，并取得了一定的突破.对积分中值定理一系列讨论和证明是本文的核心点，本文通过一些定理来讨论积分中值定理的证明并加以综合运用.
积分中值定理及其应用
2 / 36 课题研究起止时间和进度安排：
起止时间：2012年11月22日至2013年4月15日
2012年11月22日至2012年12月31日 收集论文资料，确定论文题目
2013年1月1日—2013年2月28日 整理论文资料，完成初稿
2013年3月1日—2013年3月31日 教师指导，修改稿
2013年4月1日-2013年4月15日 打印论文，定稿
