高三数学三角恒等变换试题答案及解析

高三数学三角恒等变换试题答案及解析

1. 已知，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将两边平方得，，可得，故选B.

【考点】同角基本关系以及二倍角公式.

2. 已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是( )

A．－ B． C．－ D．

【答案】C

【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．

3. 已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－ (ω>0)的最小正周期为π．

(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C的大小．

【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)

（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．

【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．

∵T＝π，∴ω＝1，

∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

(2)∵f()＝sin(A＋)＝，

角A为△ABC的内角且a

∴A＝．

又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，

也就是sinB＝＝×＝．

∵b>a，∴B＝或B＝，

当B＝时，C＝π－－＝；

当B＝时，C＝π－－＝．

4. 已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是( )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．

5. 在中，若分别为的对边，且，则有（ ）

A．a、c、b成等比数列 B．a、c、b成等差数列

C．a、b、c成等差数列 D．a、b、c成等比数列

【答案】D

【解析】由已知得，，故，又，而，故

，所以，故，从而a、b、c成等比数列．

【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.

6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，

bsin＝a+ csin，则C= . 【答案】 【解析】由已知得，所以， 由，应用正弦定理，得 ， . 整理得，即， 由于，从而，又，故. 【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。

7. 已知，，则的值为 ．

【答案】

【解析】，

．

【考点】两角和与差的正切公式．

8. 若，则_________． 【答案】.

【解析】将两式平方相加得：.

【考点】三角恒等变换.

9. 已知，那么的值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以，选B.

【考点】三角函数的同角公式、倍角公式.

10. 若，则 . 【答案】 【解析】，所以. 【考点】三角恒等变换. 11. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若在区间上的最大值与最小值的和为，求的值． 【答案】(1)，；（2） 【解析】（1）先逆用正弦的二倍角公式和降幂公式，并将函数解析式化为的形式，再利用确定周期，利用复合函数的单调性求递减区间；（2）由，确定的范围，然后结合函数的图象确定函数的最大值与最小值，进而根据最大值与最小值的和为列方程求. 试题解析：（1）==,∴,由，解得，∴的单调递减区间为；

（2）∵，∴，∴，，∴

∴.

【考点】1、三角函数的周期；2、三角函数的单调区间；3、三角函数的最值.

12. 若tan=，∈(0，)，则sin(2+)= ．

【答案】

【解析】,,,, . .

【考点】三角恒等变换

13. 在中,分别是的对边，，，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（1）；（2）7.

【解析】（1）由的值，求出的值，将进行展开，代值就能求出最后的结果；

（2）利用三角形面积公式求出的值，将余弦定理展开，配凑出，就能解出最终的结果.

试题解析：（1）由，则，

所以.

（2）由三角形面积公式，所以

由余弦定理

带入，，解得.

【考点】三角恒等变换，余弦定理，三角形面积公式.

14. 已知设函数

（Ⅰ）当,求函数的值域；

（Ⅱ）当时，若="8," 求函数的值；

【答案】（1）

（2）

【解析】解：（Ⅰ）

4分

由，得，

时，函数的值域为 7分（Ⅱ）,；

所以 10分

= 12分

【考点】三角函数的性质

点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。

15. 在平面直角坐标系中，以为始边，角的终边与单位圆的交点在

第一象限，已知.

（1）若,求的值；

（2）若点横坐标为,求. 【答案】（1） （2）

【解析】

⑴解法1、由题可知：，， ，

，得 ∴，

解法2、

由题可知：， , ，

∵，∴ ,， 得

⑵解法1、

由⑴，记，

∴，

∵ ，得

∴

解法2、

由题意得：的直线方程为 ,则 即

则点到直线的距离为

又，∴

解法3、

即 , 即：， ，

，，

∴

则

【考点】向量三角函数综合

点评：本题充分利用向量和三角函数的基本公式即可解题，属基础题.

16. 若，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，所以。

【考点】诱导公；二倍角公式。 点评：熟练且灵活应用诱导公式是做本题的关键。属于中档题。

17. 若=3，则的值为 ． 【答案】 【解析】。 【考点】和差公式。 点评：我们经常通过凑角来应用三角函数公式来解题，常见凑角： 、、 、等。 18. △ABC中，角A、B、C对边a、b、c，，则△ABC的面积等于 . 【答案】或 【解析】 由正弦定理得得 当时，；当= 【考点】本小题主要考查正、余弦定理及其三角形面积公式。

点评：本题做时要注意时，角C有两个值。

19. （本小题满分14分）

已知数列满足：其中

（1）当时，求的通项公式；

（2）在（1）的条件下，若数列中，且求证：对于恒成立；

（3）对于设的前项和为，试比较与的大小．

【答案】（1）；（2）；（3）＜．

【解析】(I) 当时,可求出从而可得即因而可确定是首项为公比为的等比数列,据此求出其通项公式；

（II）先求出当时，

,

因为b1=1也满足上式，因而当时，

然后根据,从得可求出.

(3) 由得：

即

从而得到是首项为公比为的等比数列，故,

然后可得

＝,

通过分组求和即可求出Sn,到此问题基本得以解决.

（1）当时，

即分

故数列是首项为公比为的等比数列．

故数列的通项公式为 ………………………4分

（2）由（1）得，当时，有

…………………6分

也满足上式，故当时，

，

即…………………………8分

（3）解法一：由得：

即

是首项为公比为的等比数列，故………………9分

＝

＝………………………11分

因此，－＝－

＝

＝

＝

＜．……………………14分

解法二：同解法一得 ……………………9分

……………………11分

＝

＜．…………………14分(其他解法酌情给分)

【考点】三角函数的倍角公式，等比数列的定义，通项公式及前n项和公式，三角函数的值域，分组求和，作差比较法判定两个数的大小.

点评：（1）等差等比数列的定义是判定一个数列是否是等差或等比数列的依据，要勿必掌握.（2）三角函数公式的变形也是解决本题的基础，因此要熟记常见的变形公式如：

，还有等.

（3）在比较两个数或式子大小不易直接比较时，作差比较法是常用也是很有效的方法之一.

20. 若则θ角的终边在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】解：因为则θ的半角的终边在第三象限，那么角θ的终边在第三象限，选C

21. 观察下列一组等式：

①，②，

③，……，

那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是：__ ____网] 【答案】 【解析】解：观察下列一组等式： ①sin230°+cos260°+sin30°cos60°="3" /4 ，

②sin215°+cos245°+sin15°cos45°="3" /4 ，

③sin245°+cos275°+sin45°cos75°="3/" 4 ，…，

照此规律，可以得到的一般结果应该是

sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x），右边的式子：3 /4 ，

故答案为：sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）="3" /4

22. 已知，则

【答案】

【解析】略

23. 若，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】略

24. 已知，则的值为( )