高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
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高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
1. 已知中，那么角=
【答案】π/4
【解析】略
2.
已知f(α)＝
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．
【答案】(1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sinα＝，
∴sinα＝－，∴cosα＝－＝－，
∴f(α)＝－cosα＝.
【解析】略
3. 已知函数为奇函数，且，其中
（1）求的值;
（2）若，求的值．
【答案】（1） , ；（2）
【解析】（1）由为奇函数，可得，函数化为，又根据可求；（2）由（1）可得，由得又因为，所以，再根据两角和的正弦可求
试题解析：因为为奇函数，
所以，，则
（2），因为，即
又因为，所以，
【考点】函数的奇偶性，三角函数的性质
4. 设命题函数是奇函数；命题函数的图象关于直线对称．则下列判断正确的是（ ）
A．为真 B．为假 C．为假 D．为真
【答案】C
【解析】因为是偶函数，所以命题是假命题，由余弦函数的性质可知命题是假命题，选项C正确.
【考点】1.三角函数性质；2.逻辑联结词与命题.
5. （本小题满分12分）某同学用五点法画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
-5
0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；
（2）若函数的图像向左平移个单位后对应的函数为，求的图像离原点最近的对称中心．
【答案】（1）；（2）．
【解析】第一问结合三角函数的性质，确定出对应的值，完善表格，从而确定出函数解析式，第二问利用图形的平移变换，将函数的解析式求出来，利用函数的性质，找出函数图像的对称中心，给赋值，比较从而确定出离原点最近的对称中心．
试题解析：（1）根据表中已知数据，解得
数据补全如下表：
0
0
5
0
-5
0
函数表达式为
（2）函数图像向左平移个单位后对应的函数是
， 其对称中心的横坐标满足
，所以离原点最近的对称中心是．
【考点】三角函数的性质，图像的变换．
6. （本小题满分10分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）设，求的值域和单调递减区间．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；（2）先根据x的范围求得，再结合正弦函数的性质可得到函数f（x）的值域，求得单调递减区间．
试题解析：（1）
（2）∵，
， 的值域为．
的递减区间为．
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
7. （本小题满分12分）在中，角的对边分别为，已知，向量
，且∥．
（1）求角的大小；
（2）若成等差数列，求边的大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）利用数量积运算、正弦定理即可得出；（2）由成等差数列，可得，或，即2a=b．再利用直角三角形的边角关系、余弦定理即可得出．
试题解析：（1）∥，得，
由正弦定理可得
，
（2）成等差，
所以
化简整理得：
即或
得或
若
若
【考点】正弦定理；平面向量数量积运算
8. 在中，角所对的边为．已知，且．
（1）求的值；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．
试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，
联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，
或，由已知易得，∴，
∴，． 【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．
9. （本题满分12分）已知，,函数．
（1）求的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
（2）当时，求函数的值域．
【答案】（1）的最小正周期为，其对称中心的坐标为（）（）；（2）的值域为．
【解析】（1）先用降幂公式和辅助角公式，将进行化简整理得到，然后根据正
弦函数的周期公式可得函数的最小正周期，进而求出函数的零点，即为函数的图像对称中心的
坐标；（2）根据可得到，最后结合正弦函数的图像与性质可得函数的
值域．
试题解析：（1）因为
=，
所以的最小正周期为，令，得，∴
故所求对称中心的坐标为（）（）．
（2）∵，∴，∴，即的值域为．
【考点】1、三角函数中的恒等变换；2、三角函数的周期性及其求法；3、正弦函数的图像及其性质．
【方法点晴】本题考查了三角函数中的恒等变换、三角函数的周期性及其求法和正弦函数的图像及其性质，重点考查学生对三角函数的基本概念、基本性质和基本原理，属中档题．解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和差公式等将函数的表达式化简为同角的正弦或余弦形式．因此需要大家应熟练掌握相关公式并结合三角函数的图像及其性质进行求解．
10. 若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：，解得，选A．
【考点】正切函数性质
11. （本小题满分12分）已知向量，．
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，求当时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中，
利用 ，得出，把转化为的式子，从而求解；（2）熟悉三角公式的
整 体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间
的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形，
把形如化为，研究函数的性质由的取值范围确定的
取值范围，再确定的取值范围．
试题解析：（1），，，
（2）
由正弦定理得，得
或，，
因此
，，
即．
【考点】1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的化简；3、求三角函数的值域．
12. （2012秋•泰安期中）已知函数f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若f（α）=，求sin（π﹣4α）的值．
【答案】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）﹣．
【解析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的最小正周期为π，根据周期公式，可求ω的值；
（II）利用正弦函数的单调性，可得函数f（x）的单调增区间；
（III）由f（a）=，可得sin（2a+）=，根据sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1，即可求得结论．
解：（I）∵f（x）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，
∴函数的最小正周期为π ∴=π
∴ω=1；
（II）由（I）知，f（x）=2sin（2x+）
∴﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z
∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（III）∵f（a）=，∴sin（2a+）=
∴sin（π﹣4a）=sin[﹣2（2a+）]=﹣cos[2（2a+）]=2sin2（2a+）﹣1=﹣．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性．
13. 已知向量，且函数在时取得最小值．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，分别是内角的对边，若，，，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式，求的值；
（Ⅱ）先求出，再利用正弦定理，即可求的值．
试题解析：（Ⅰ）
由于
（Ⅱ）由上知,
于是
由正弦定理得:
【考点】正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数，向量的数量积
14. 已知，函数在单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，，由题意，所以，由于，所以只有，． 【考点】三角函数的单调性． 【名师】求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ（ω＞0）”视为一个“整体”；②A＞0（A＜0）时，所列不等式的方向与y＝sin x（x∈R），y＝cos x（x∈R）的单调区间对应的不等式方向相同（反）．
