高三数学恒等变换综合试题答案及解析

高三数学恒等变换综合试题答案及解析

1. 已知的定义域为[].

(1)求的最小值.

(2)中,,,边的长为6,求角大小及的面积.

【答案】(1)函数的最小值；(2) 的面积.

【解析】(1)先化简的解析式可得: .将看作一个整体，根据的范围求出的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数的最小值.(2)在中，已知两边及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积.

试题解析：(1)先化简的解析式:

由，得，

所以函数的最小值，此时.

(2)中，，，，故(正弦定理),再由知，故，于是，

从而的面积.

【考点】1、三角恒等变形；2、解三角形.

2. 已知，则( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】．

【考点】三角恒等变形．

3. 求函数的最大值与最小值.

【答案】10与6

【解析】将原式进行化简，利用二倍角公式，同角三角函数关系，将原式化成含的式子，利用换元法，令，根据二次函数的性质求最值.

试题解析：

令，

由于函数在中的最大值为

最小值为

故当时取得最大值，当时取得最小值. 【考点】1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.

4. 函数的图象的一条对称轴方程是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，所以对称轴为：即，结合选项知，选D.

【考点】1、三角变换；2、三角函数的对称轴.

5. 已知锐角三角形ABC中，向量，，且。

（1）求角B的大小；

（2）当函数y=2sin2A+cos()取最大值时，判断三角形ABC的形状。

【答案】（1）；（2）三角形是正三角形.

【解析】（1）由可得：，整理化简得：

即，又为锐角三角形，；（2）由（1），所以，这样，可将中的角C换掉，只留角A，将其看作关于角A的函数，利用三角函数即可求得其最大值时角A值，这样根据三个角的大小可确定三角形的形状.

试题解析：， 2分

即，

即， 4分

又锐角三角形中， 6分

（2）由（1）知，所以

=

=

9分

当时，即时有最大值.

此时，三角形是正三角形. 12分

【考点】1、向量与三角函数；2、三角函数的最值及三角形的形状.

6. 已知 的内角A、B、C所对的边为， , ，且与所成角为.

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的范围为.

【解析】（Ⅰ）由两向量的夹角公式得，将此式变形可得：.这是一个特殊角的三角函数值，再根据角B的范围便可得角B的值.

（Ⅱ）由（1）知，，A+C=这样换掉一个角，可将用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围.

试题解析：（Ⅰ） 与向量所成角为，

，

又， 6分

（Ⅱ）由（1）知，，A+C=

===

，

所以的范围为. 12分

【考点】1、三角恒等变换；2、向量的运算.

7. 已知函数的周期为，其中．

（Ⅰ）求的值及函数的单调递增区间；

（Ⅱ）在中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若，，f(A)=，求b的值．

【答案】(1) ,单调递增区间为 ，;(2)

【解析】(1)根据三角跟等变换化简可得 ，从而根据 可求得，根据 的单调区间可求得 的单调区间 ；（2）根据 可求得 ，然后由余弦定理可知.

试题解析：(1)

.

, .

.

的单调递增区间为 ， .

(2) ,

.

, .

由余弦定理： ,

. .

【考点】1.三角很等变换；2.三角函数的单调性；3.解三角形.

8. 已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.

（Ⅰ）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；

（Ⅱ）求函数图像对称中心的坐标；

（Ⅲ）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数和，使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).

【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）;（Ⅲ）假命题, 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.

【解析】（Ⅰ）将向左平移个单位后得到的解析式是，然后向上平移2个单位得到，再根据题设的真命题得到图像对称中心的坐标是；（Ⅱ）设则的定义域关于原点对称，即是一个关于原点对称的区间，则，此时，再根据求得即可得图像对称中心的坐标是；（Ⅲ）举出这个反例即可说明此命题是假命题.

试题解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为，

∵，，∴是奇函数，

又由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是.

（Ⅱ）设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.

设则，

由不等式的解集关于原点对称,得.

此时.

任取，由，得，

所以函数图像对称中心的坐标是.

（Ⅲ）此命题是假命题.

举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数.

修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.

【考点】1.三角函数的平移；2.求函数的对称中心.

9. 设当时，函数取得最大值，则______.

【答案】；

【解析】.

【考点】本题考查三角恒等变换，考查学生对概念的理解

10. 函数的最小值等于__________

【答案】1

【解析】先根据两角和与差的公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案．

解：因为

所以的最小值为1.

【考点】三角函数的最值．

点评：本题主要考查两角和与差的公式的应用和正弦函数的最值．考查基础知识的综合应用和灵活能力．

11. 设，且，，则等于（ ） A． B． C． D．或

【答案】A

【解析】，，,两式平方相加得，

【考点】三角函数化简求值

点评：求角的大小通常先求角的某一三角函数值，结合角的范围求其值

12. (1)求的定义域；(2)设是第二象限的角，且tan=，求的值.

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)由可得，所以f(x)的定义域为.

(2) 由=，且是第二象限的角，所以=,=,

然后代入= =求值即可．

解：(1)由得（k∈Z), …3分

故的定义域为｛|x|,k∈Z｝…5分

(2)由=,得，而

且α是第二象限的角, 解得=,=,…9分

故= = = =.…12分

13.

【答案】

【解析】解：因为

14. 在中，三个内角，，的对边分别为，，，其中， 且

(1)求证：是直角三角形；

(2)如图6，设圆过三点，点位于劣弧上，求面积最大值.

【答案】（1）是直角三角形；（2）.

【解析】本试题主要考查相似三角形和圆的性质的综合运用，求解面积的最值和证明三角形为直角三角形

(1)证明：由正弦定理得，…………………………………2分

整理为，即 ………………………3分

又因为

∴或，即A=B或…………6分

∵ ∴A=B舍去，故

由可知，∴是直角三角形……………6分

(2)由(1)及c=2，得a=1，b=， ……………7分

设，则， ……………8分

在中，

所以

=

= ……………10分

= ………………………12分

因为所以，

当，即时，最大值等于.…………………………………14分

15. 已知，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，两式方程两边同时平方得：

两式相加得

16. 在中，，，分别是角A,B,C的对边，且.

（1）求角的值；

（2）已知函数，将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，求的单调增区间.

【答案】（1）由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0， ……………… 2分

即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，

得 2sinAcosB+sin(B+C)=0， ……………… 3分

因为 A+B+C=π，所以 sin(B+C)=sinA，得 2sinAcosB+sinA=0， 因为 sinA≠0，所以 cosB=， ……………… 5分

又B为三角形的内角，所以B= . ……………… 6分

（2）∵ B=, ∴ f(x)=2cos(2x-), ………………7分

∴ g(x)=2cos［2(x+)-］=2cos(2x-)=2sin2x, ………………9分

由2k-≤2x≤2k+ (k∈Z),得k-≤x≤k+ (k∈Z),

故f(x)的单调增区间为［k-，k+］(k∈Z)

【解析】略

17. （本小题满分12分）在锐角中，三个内角所对的边依次为．设，，，.

（Ⅰ）若，求的面积；

（Ⅱ）求b+c的最大值．

【答案】

（Ⅱ）由得， ………………9分

∴， ………………11分

，当且仅当时取等号，∴的最大值. …………12分

解法二：由正弦定理得：=＝4， …………9分

又B＋C＝p－A＝，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝sin(B＋)， ……11分

当B＋=时, 即 时，b＋c取最大值．………………12分

【解析】略

18. 设, , 则tan的值等于 ▲ ． 【答案】 【解析】，且，。