高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
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高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
1. ABC中,已知,则ABC的形状为
【答案】直角三角形
【解析】略
2. 在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．
【答案】（1）;（2）．
【解析】（1）利用内角和为，所以,再利用同角基本关系式求;（2），那么利用正弦定理，,求边，最后，
试题解析：（1） ,,
因为,所以，．
（2） ，那么利用正弦定理，,代入数值，，所以．
【考点】1．两角和的三角函数；2．正弦定理．
3. （本题满分13分）已知中，点，动点满足（常数），点的轨迹为Γ．
（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；
（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线Γ相交于两点，是曲线Γ上不同于的动点，试求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义求动点轨迹，注意定义的条件要完整，不要少，另外要注意三角形中三顶点不共线，对轨迹要去杂 （Ⅱ）求面积的最大值，首先要表示出面积，这要用到底乘高的一半，其中底为直线与椭圆的弦长，高为点到直线的距离，而由椭圆的几何性质知当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，因此还要求椭圆的切线，其次利用直线方程与椭圆方程联立方程组，再结合韦达定理可得弦长及切线，最后根据面积的表达式求最值，这要用到导数
试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且， 2分
所以动点的轨迹为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．
设其标准方程为，所以， 3分
所以所求曲线的轨迹方程为．4分
（Ⅱ）当时，椭圆方程为．5分
①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值．6分
②过定点的直线不与轴重合时，
设方程为：，，
若，因为，故此时面积无最大值．
根据椭圆的几何性质，不妨设． 联立方程组消去整理得：， 7分
所以则．8分
因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，
设切线，
联立消去整理得，
由，解得．
又点到直线的距离， 9分
所以， 10分
所以．将代入得：，
令，设函数，则，
因为当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，所以．
故时，面积最大值是．
所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．13分
【考点】椭圆定义，直线与椭圆位置关系
4. 函数的图象的一条对称轴的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据余弦函数的图像和性质，可知，解得，，可知当时得到，故选D．
【考点】余弦函数的图像和性质．
5. 已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东100 B．北偏西100 C．南偏东100 D．南偏西100
【答案】B
【解析】由题意知, ．
由数形结合可得灯塔在灯塔的北偏西．故B正确．
【考点】数形结合．
6. 已知函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，向左平移个单位长度得：，因为关于原点对称，所以，因此的最小正值为，选C．
【考点】三角函数图像与性质
7. 角的终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【考点】三角函数定义
8. 三角形ABC中．．则A的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知不等式结合正弦定理得
则A的取值范围是
【考点】正余弦定理解三角形
9.
已知是锐角的外心，．若，则
A．
B． C．3 D．
【答案】A
【解析】取AB的中点D，连接OA，OD，由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，∴．
，代入已知，
两边与作数量积得到
由正弦定理可得：，
化为cosB+cosCcosA=msinC， ∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，
∴sinAsinC=msinC， ∴m=sinA．∵，∴
【考点】1．向量的线性运算性质及几何意义；2．正弦定理；3．三角函数基本公式
10. 如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，,则的最大值是 （仰角为直线AP与平面ABC所成角）
【答案】
【解析】仰角最大时即为面ACM与面ABC所成的角．过B作BC的垂线交CM于点P,过B作连接PN,则为所求的角，
【考点】1、二面角的平面角；2、线面垂直的应用．
【易错点晴】本题主要考查的是二面角的平面角的应用，属于中档题．本题容易犯的错误是
过B作认为为所求角，从而出错．题中说目标P沿线MC运动，面ACM是确定的，仰角的最大值就是二面角M-AC-B的平面角，再应用三垂线法做出二面角的平面角．
11. 如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．
（1）试确定A，和的值；
（2）现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设（弧度），试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）
【答案】（1）；（2）造价，，在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．
【解析】（1）由“五点法”可求得；（2）由（1）求出点坐标，得半圆的半径，用表示出弦长和弧长，由题意可得造价，，下面用导数的知识求出的最大值．
试题解析：（1）因为最高点B（-1，4），所以A=4；
，
因为
代入点B（-1，4），
， 又；
（2）由（1）可知：
，得点C即，
取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，
即 ，则圆弧段造价预算为万元，
中，，则直线段CD造价预算为万元
所以步行道造价预算，．
由得当时，，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减
所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分
【考点】“五点法”，的解析式，导数与最值．
12. 已知面积为，，则BC长为 ． 【答案】 【解析】由三角形面积公式可知 【考点】三角形面积公式 13. 在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=（ ） A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由正弦定理得
【考点】正弦定理解三角形
14. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c＝2a，则cosB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由a、b、c成等比数列且c＝2，知：，所以，
故选A．
【考点】1、等比数列性质；2、余弦定理．
15. 已知中,角，所对的边分别是，且．
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件的特点，可以考虑余弦定理求，再由半角公式求解；（2）由面积公式知，需求的最值，利用均值不等式即可．
试题解析：（1）
（2）
又
当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为
【考点】1、余弦定理；2、半角公式；3、基本不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是余弦定理、半角的正弦公式和三角形的面积公式及基本不等式，属于中档题．解题时一定要注意所给条件的结构特征，能主动联想余弦定理得角的余弦值，然后利用半角公式变形求解．由面积公式分析面积的最大值即求的最大值，因为考虑基本不等式来处理，注意等号成立的条件，这是易错点．
16. 已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝（－cos，sin），＝（cos，sin），a＝2，且·＝．
（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．
（2）求b＋c的取值范围．
【答案】（1）b＋c＝4,（2）
【解析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=-，结合范围三角形内角的取值范围A∈（0，π），可求A．又由三角形面积公式可求bc，利用余弦定理即可解得b+c的值．
（2）由正弦定理及三角形内角和定理可得b+c=4sin（B＋），根据范围0＜B＜，利用正弦函数的有界性即可求得b+c的取值范围
试题解析：（1）∵＝（－cos，sin），＝（cos，sin），且·＝，
∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈（0，π），∴A＝．
又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，
∴16＝（b＋c）2，故b＋c＝4
（2） 由正弦定理得：＝＝4，
又B＋C＝π－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin（－B）＝4sin（B＋），
∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin（B＋）≤1，即b＋c的取值范围是．
【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式．
【方法点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的
