第6讲 位置与坐标2.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;3.认识并能画出平面直角坐标系;4.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。
5.在同一直角坐标系中,感受图形平移前后点的坐标变化6.在同一直角坐标系中,感受图形的轴对称(原点对称)变换坐标变化.7.经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。
知识点01 平面直角坐标系的概念1．有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(,)a b ．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，(,)a b 和(,)b a 表示的意义是不同的． 2．平面直角坐标系：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同． 3．点的坐标：如下图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为(,)a b ，其中a 为点P 的横坐标，b 为点P 的纵坐标．b aBP AOy x4．象限和坐标轴：（1）第一象限内的点(,)x y 的坐标满足：>0x ，0y >； （2）第二象限内的点(,)x y 的坐标满足：<0x ，0y >；知识精讲目标导航（3）第三象限内的点(,)x y 的坐标满足：x ＜0，0y <； （4）第四象限内的点(,)x y 的坐标满足：>0x ，0y <. （5）x 轴上的点(,)x y 的坐标满足：0y =； （6）y 轴上的点(,)x y 的坐标满足：0x =； 注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限． 5．坐标系中的特殊直线：（1）与x 轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为y m =； （2）与y 轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为x n =． （3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为x y =； （4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为x y =-． 6．点到特殊直线的距离：（1）点(,)a b 到x 轴的距离为||b ；到直线y m =（m 为常数）的距离为||b m -； （2）点(,)a b 到y 轴的距离为||a ；到直线x n =（n 为常数）的距离为||a n -． 【知识拓展1】（1）点(1,2)a a +-在第一象限，则a 的范围为__________． （2）已知点(2,21)a a --在第二象限，则点(2,25)a a +-在第_________象限． （3）已知点(3,1)a a --在第三象限且它的坐标都是整数，则该点的坐标__________．（4）点(3,1)m m +-，若在x 轴上，则该点坐标为__________；若在y 轴上，则该点坐标为__________． （5）已知点(2,3)A a b -在第一象限，点(4,3)B a b --在第四象限，若a ，b 都为整数，则2a b +=__________． 【解析】（1）12a -<<；（2）四；（3）∵13a <<，∴2a =，∴点的坐标为(1,1)--； （4）(4,0)，(0,4)；（5）7或8．【教师备课提示】这道题主要考查四个象限和坐标轴上点的横纵坐标的关系． 【即学即练1】（1）点(22,1)a a +-在第一象限，则a 的取值范围是__________． （2）在直角坐标系中，点(26,5)P x x --在第四象限，则x 的取值范围是__________． （3）点22(1,1)a a --+在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】（1）11a -<<；（2）35x <<；（3）B ．【知识拓展2】（（1）点(2,3)P x x +在第一象限坐标轴夹角平分线上，那么点(2,23)Q x x -++的坐标为__________．（2）已知点(35,53)A a a ++在第二、四象限的角平分线上，则2009a a +的值为_________．（3）已知点(23)P x x +，在坐标轴夹角平分线上，则点(223)Q x x -++，的坐标为__________．（4）过点(3,5)且与x 轴平行的直线是_________，与y 轴平行的直线是__________．（5）线段AB 的长度为3并且平行于x 轴，已知点A 坐标为(25)-，，则点B 的坐标为__________． （6）若过点P 和点(3,2)A 的直线平行于x 轴，过点P 和(1,2)B --的直线平行于y 轴，则点P 的坐标为__________．【解析】（1）19Q -（，）；（2）2-；（3）(3,1)或(1,9)-；（4）5y =，3x =； （5）(15)--，或(55)-，；（6）(12)-,．【教师备课提示】这道题主要考查平面直角坐标系中特殊的直线．【即学即练2】（1）已知2|2|(3)0x y -++=，则(,)P x y 的坐标为________，在第_______象限． （2）如果点(1,1)M x y --在第二象限，那么点(1,1)N x y --在第_________象限． （3）已知点()A m n ，在第二象限，则点(||,)B m n -在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （4）已知点(2,1)a a +在y 轴上，则该点坐标为__________． 【解析】（1）(23)P -，，在第四象限；（2）三；（3）D ；（4）(01)，． 【知识拓展3】（1）点(34)A -，到横轴的距离为__________，到纵轴的距离为__________． （2）点A 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为3，该点坐标为__________． （3）若x 轴上的点P 到y 轴的距离为3，则点P 坐标为（ ）．A ．(30)，B ．(30)，或(3,0)-C ．(0,3)D ．(0,3)或(3,0)- （4）点(3,1)A 到直线1x =-的距离为_________，到直线1y =-的距离为_________． （5）在平面直角坐标系中，点()P a b ，到直线2x =的距离为3，则a 的值为（ ） A ．5 B ．1- C ．5或1- D ．5-或1（6）点(21,1)M a a +-到直线1y =的距离为1，求M 的坐标．【解析】（1）4，3；（2）(3,1)、(3,1)-、(3,1)-、(3,1)--；（3）B ；（4）4，2；（5）C ；（6）|(1)1|1a --=，∴1a =±，∴点M 的坐标为(3,0)或(1,2)-．【教师备课提示】这道题主要考查点到特殊直线的距离．【即学即练3】（1）若点113A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第二象限的角平分线上，则m =__________．（2）点12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第三象限的角平分线上，则a =__________．（3）若点M 在第一、三象限的角平分线上，且点M 到x 轴的距离为2，则点M 的坐标是（ ） A ．(22)，B ．(2,2)--C ．(22)，或(2,2)--D ．(2,2)-或(2,2)- （4）点A 的坐标为(31)-，，点B 的坐标为(33)，，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是__________．（5）已知：(4,0)A ，点C 在x 轴上，且5AC =．则点C 的坐标为__________． （6）已知：点A 坐标为(2,3)-，过A 作AB//x 轴，则B 点纵坐标为（ ） A ．2 B ．3- C ．1- D ．无法确定【知识拓展4】（1）在一三象限的角平分线上有一点到x 轴距离为2，则该点坐标为__________． 在二四象限的角平分线上有一点到x 轴距离为4，则该点坐标为__________． （2）已知点(1,34)m m --到x 轴、y 轴的距离相等，那么该点坐标为__________． 【解析】（1）(2,2)或(2,2)--；(4,4)-或(4,4)-；（2）11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭．【教师备课提示】这样的题对孩子们刚开始学的时候还是容易弄混的，相对较综合，考查角平分线上点，需多练习．【即学即练4】（1）点(54)P -，到x 轴距离为__________，到y 轴距离为__________． （2）若点()P a b ，到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则这样的点P 有（ ） A ．1个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 （3）已知点(2,36)P a a -+，且点P 到两坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是______． （4）点(2,3)-到直线2y =的距离为__________，到直线7x =-的距离为__________． （5）如果点M 在第三象限，且点M 到x 轴距离为3，到y 轴的距离为4，求点M 的坐标． （6）如果点M 到x 轴距离为3，到y 轴的距离为4，求点M 的坐标． 【解析】（1）4，5；（2）B ；（3）(33)，或(66)-，；（4）1，5；（5）(43)--，；（6）(43)，，(43)-,，(4,3)--，(4,3)- 知识点02 平面直角坐标系中点的变换1．坐标系中的平移：（1）将点(,)x y 向右（或向左）平移a 个单位可得对应点(,)x a y +或(,)x a y -． （2）将点(,)x y 向上（或向下）平移b 个单位可得对应点(,)x y b +或(,)x y b -． 总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减． 2．坐标系中的对称：（1）点(,)P a b 关于x 轴的对称点是(,)P'a b -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数． （2）点(,)P a b 关于y 轴的对称点是(,)P'a b -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数． 总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点(,)P a b 关于坐标原点的对称点是(,)P'a b --，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点(,)P a b 关于点(,)Q m n 的对称点是(2,2)P'm a n b --． （5）点(,)P a b 关于x m =的对称点是(2,)P'm a b -． （6）点(,)P a b 关于y n =的对称点是(,2)P'a n b -． （7）点(,)x y 关于一三象限的平分线的对称点为(,)y x ． （8）点(,)x y 关于二四象限的平分线的对称点为(,)y x --．【知识拓展1】（1）点(2,2)A -向上平移3个单位，再向右平移5个单位得到点A '，点A '的坐标为__________． （2）点(,)A m n 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点(2,3)A '，则A 的坐标为__________． （3）在平面直角坐标系中有一个已知点A ，现在x 轴向下平移3个单位，y 轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点A 的坐标为(1,2)-，在旧的坐标系下，点A 的坐标为__________． 【解析】（1）(3,5)；（2）(3,5)；（3）(3,1)--． 【教师备课提示】这道题主要考查点的上下左右平移．【知识拓展2】（1）如图6-1，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、右眼睛的坐标分别是(42)-，，(22)-，，右边图案中左眼的坐标是34（，），则右边图案中右眼的坐标是_______．（2）如图，把图6-2中的A 经过平移得到O （如图6-3），如果图6-2中A 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图2中的对应点P '的坐标为__________．-3图1-3图2图6-1 图6-2 图6-3【解析】（1）左眼坐标由(42)-，变为34（，），由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右平移7个单位，从而得到右眼平移后的坐标为54（，）． （2）(21m n +-，）；A 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到O ．【教师备课提示】这道题主要考查整个图形的平移，则所有点的平移规律都是一样的． 【知识拓展3】（1）点35P -（，）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(35)--，B ．(53)，C ．(35)-，D ．(35)，（2）点(2,1)P -关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(21)--，B ．(21)，C ．(21)-，D ．(21)-，（3）在平面直角坐标系中，点(2,3)P -关于原点对称点P'的坐标是__________．【解析】（1）D ；（2）B ；（3）(23)-，． 【教师备课提示】这道题主要考查基本的关于x 轴、y 轴和原点的对称．【知识拓展4】（1）已知点()P x y ，的坐标满足方程2|1|(2)0x y ++-=，则点P 关于x 轴的对称点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （2）点1(,3)P a 和点2(2,)P b -关于y 轴对称，则a =__________，b =__________． （3）在直角坐标系中，已知点(32)P -，，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，将点Q 向右平移4个单位得到点R ，则点R 的坐标是__________．（4）已知点(1,21)P a a +-关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．（5）点(23)P ，关于直线3x =的对称点为_______，关于直线5y =的对称点为_______． 【解析】（1）C ；（2）2，3； （3）(1,2)-； （4）112a -<<； （5）(4,3)，(2,7)．【教师备课提示】这道题主要考查点的对称，相对要综合．【知识拓展5】如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．（1）实验与探究：由图观察易知(2,0)A 关于直线l 的对称点A'的坐标为(02)，，请在图中分别标明；(53)B ，，(25)C -，关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们坐标：B '__________，C '__________． （2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P'的坐标为__________（不必证明）．【解析】（1）(3,5)B '，(5,2)C '-；（2）(,)b a ．【教师备课提示】这道题主要考查关于一三象限的角平分线的对称点，建议老师讲解时带着孩子做这道题 时总结（顺便提及一下二四象限的角平分线的对称点情况）．【即学即练1】（1）将点(4,3)P -先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，则得到点P '的坐标为（ ） A ．(2,2)- B ．(6,2)- C ．(6,4)- D ．(24)-, （2）点A 向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点(13)-,，则点A 的坐标为______．（3）在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A ．向右平移了3个单位 B ．向左平移了3个单位 C ．向上平移了3个单位 D ．向下平移了3个单位【解析】（1）D ；（2）(24)，；（3）D ．【即学即练2】（1）在平面直角坐标系中，点(25)A ,与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(5,2)-- B ．(2,5)-- C ．(2,5)- D ．(2,5)- （2）已知点(,)P x y ，(,)Q m n ，如果0x m +=，0y n +=，那么点P ，Q （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于y x =对称（3）已知：2|1|(2)0x y -++=，则(,)x y 关于原点对称的点为__________．（4）已知点(3,3)P a b +与点(5,2)Q a b -+关于x 轴对称，则a =_______，b =______． 【解析】（1）Ｃ；（2）A ；（3）(12)-，；（4）1a =，2b =-；（5）由3523a b a b +=-⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．【能力拓展1】（1）点()1,2A a b +-在第二象限，则点(),1B a b -+在第___________象限． 【答案】一【详解】解：由A （a +1，b -2）在第二象限，得a +1＜0，b -2＞0． 解得-a ＞1，b +1＞3，点B （-a ，b +1）在第一象限， 故答案为：一．（2）在平面直角坐标系中，已知点()1,23M m m -+在x 轴上，则m =______． 【答案】32-【详解】解：由题意，得2m +3=0，解得m =32-， 故答案为：32-． 【能力拓展2】如图，四边形AOBC 是正方形，曲线123CPP P ⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中弧1CP ，弧能力拓展12PP ，弧23P P，弧34P P 的圆心依次按点A ，O ，B ，C 循环，点A 的坐标为()2,0，按此规律进行下去，则点2021P 的坐标为______．【答案】()4044,0【详解】解：由题意可知：正方形的边长为2， ∵A （2，0），B （0，2），C （2，2），P 1（4，0），P 2（0，﹣4），P 3（﹣6，2），P 4（2，10），P 5（12，0），P 6（0，-12）…可发现点的位置是四个一循环，每旋转一次半径增加2， 2021÷4=505……1，故点2021P 在x 轴正半轴，OP 的长度为2021×2+2=4044，即：P 2021的坐标是（4044，0）， 故答案为：（4044，0）．【能力拓展3】在平面直角坐标系中，已知点(6,510)-+M a a ． （1）若点M 在y 轴上，求a 的值；（2）若点M 到x 轴的距离为5，求点M 的坐标；（3）若点M 在过点(2,4)A -且与y 轴平行的直线上，求点M 的坐标．【答案】（1）6a =；（2）点M 的坐标为(7,5)-或(9,5)--；（3）点M 的坐标为(2,50) 【详解】（1）∵M 点在y 轴上，∴a -6=0，∴a =6；（2）∵M 点到x 轴的距离为5，∴|5a +10|=5，∴5a +10=±5 解得：a =-3或a =-1，故M 点坐标为(-9，-5)或(-7，5)； （3）∵M 点在过点A (2，-4)且与y 轴平行的直线上 ∴a -6=2，∴a =8，∴M 点坐标为(2，50)．【能力拓展4】如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）画出ABC 关于y 轴的对称图形111A B C △；（2）在x 轴上求作一点P ，使PAB △的周长最小，并直接写出点P 的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；P ()2,0 【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求．（2）如图所示，点P 即为所求，其坐标为()2,0．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·山东青岛市·八年级期末）已知点P （m ﹣1，m ＋2）在x 轴上，那么P 点的坐标为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（3，0）C ．（0，3）D ．（0，﹣3）【答案】A【分析】根据x 轴上点的纵坐标等于零，可得答案． 【详解】解：由题意，得m +2=0，解得m =-2， ∴m -1=-3，∴点P 的坐标为（-3，0），故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x 轴上的点的纵坐标为0．2．（2021·正定县教育局教研室八年级期中）在平面直角坐标系中，点(1,2)P -所在的象限是（ ） A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】(1,2)P -在第二象限 故选：B【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3．（2021·石家庄市第二十八中学八年级期中）如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）A ．()5,2B ．()6,3-C ．()4,6--D ．()3,4-【答案】B分层提分【分析】根据图形得出笑脸的位置，进而得出答案．【详解】解：由图形可得：笑脸盖住的点在第二象限，故笑脸盖住的点的坐标可能为（−6，3）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，得出笑脸的横纵坐标符号是解题关键．4．（2021·北京八年级期末）如果点P 的坐标是()3,1，那么点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【分析】根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．【详解】解：点P 的坐标为(3,1)，那么点P 在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键：熟记各象限内点的坐标特征是解题关键．5．在平面直角坐标系中，点 ()0,3在（ ）A ．x 轴正半轴上B ．x 轴负半轴上C ．y 轴正半轴上D ．y 轴负半轴上 【答案】C【分析】根据y 轴上点的横坐标为零，可得答案．【详解】解：点()0,3的横坐标为0，纵坐标为3，可得点()0,3在y 轴正半轴上．故选：C【点睛】熟知y 轴上点的横坐标的特点是解题的关键．二、填空题6．（2021·河北八年级期末）如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点()1,0，“炮”位于点()1,1-，则“马”位于点______．【答案】()4,2-【分析】根据炮的坐标建立平面直角坐标系，然后写出马的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，-．“马”位于点(4,2)-．故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是：准确确定出坐标原点的位置．7．（2020·即墨市第二十八中学八年级期中）已知点P在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，那么点P的坐标为_______．【答案】（-2，-3）【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】解：∵点P（x，y）在第三象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，∴x=-2，y=-3，∴点P的坐标是（-2，-3）．故答案为：（-2，-3）．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．8．（2021·福建八年级期中）在直角坐标系中，点A（2，﹣1）到原点的距离为_____．5【分析】根据A的坐标，利用勾股定理求出点A到原点的距离d即可．【详解】解：根据题意得：d221+2=5则在平面直角坐标系中，点A（2，﹣155【点睛】本题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，灵活运用勾股定理是解本题的关键．9．（2017·山东八年级期中）点P（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为_________．关于y轴对称的点的坐标为_________．【答案】（﹣2，﹣3） （2，3）．【分析】根据：“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标为相反数”、“关于y 轴对称的点，纵坐标形同，横坐标变为相反数”作答即可．【详解】解：点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）；点P （﹣2，3）关于y 轴对称的点的坐标为（2，3）．故答案为：()()2,3,2,3.--【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称变化的规律；掌握好相关基础知识是关键．10．（2021·广西八年级期末）若点()2,A m 与点()2,3B -关于x 轴对称，则m =_______．【答案】3【分析】利用关于x 轴对称“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求得m 的值．【详解】解：∵点A (2，m )与点B (2，-3)关于x 轴对称，∴-3+m =0，∴m =3，故答案为：3【点睛】本题考查了关于x 轴对称点的坐标变化，掌握关于轴对称坐标变化法则是解题关键．11．若点(2,3)P 关于y 轴的对称点是点(1,3)P a +'，则a=______．【答案】-3【分析】关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a 的值．【详解】解：根据两点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得a+1=-2，∴a=-3．故答案为：-3．【点睛】本题主要考查了关于y 轴的对称点的坐标特点，点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）．题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·湖南八年级期末）在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，…，正方形，使得点1A ，2A ，3A ，…，在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，…，在y 轴正半轴上，则点2021B 的坐标为（ ）A ．()202020212,21-B ．()202120212,2C ．()202120222,21-D ．()202020212,21+【答案】A【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标，同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“B n （2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数）”，依此规律即可得出结论．【详解】解：当y ＝0时，有x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点A 1的坐标为（1，0）．∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形，∴点B 1的坐标为（1，1）．同理，可得出：A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），…，∴B 2（2，3），B 3（4，7），B 4（8，15），B 5（16，31），…，∴B n （2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数），∴点B 2021的坐标为（22020，22021﹣1）．故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n ﹣1，2n ﹣1）（n 为正整数）”是解题的关键．2．（2021·四川八年级期中）若点(,)M x y 坐标满足222()2x y x y +=+-，则点M 所在的象限是（ ） A ．第一象限或第三象限B ．第二象限或第四象限C ．第二象限或第三象限D ．无法确定 【答案】B【分析】利用完全平方公式展开并整理得到xy =-1，从而判断出x 、y 异号，再根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：∵（x +y ）2=x 2+2xy +y 2，∴2xy =-2，∴xy =-1，∴x 、y 异号，∴点M （x ，y ）在第二、四象限．故选：B ．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3．（2021·河北九年级三模）如图，在平面直角坐标系中，对ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点A 坐标是(1,2)，则经过第2021次变换后点A 的对应点的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)--C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：点A 第一次关于y 轴对称后在第二象限，点A 第二次关于x 轴对称后在第三象限，点A 第三次关于y 轴对称后在第四象限，点A 第四次关于x 轴对称后在第一象限，即点A 回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A 点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（−1，2）．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．4．（2021·郑州市中原区第一中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，第一次将△ABC 作原点的中心对称图形得到△A 1B 1C 1，第二次在作△A 1B 1C 1关于x 轴的对称图形得到△A 2B 2C 2，第三次△A 2B 2C 2作原点的中心对称图形得到△A 3B 3C 3，第四次再作△A 3B 3C 3关于x 轴的对称图形得到△A 4B 4C 4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A 2021B 2021C 2021的图形，若点C （3，2），则C 2021的坐标为（ ）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（3，2）D．（-3，-2）【答案】D【分析】根据题意做出前几次的图像，找出规律，根据规律推出C2021即可【详解】根据题意做出如图前四次图像如下：÷=⋯⋯，由图像知每四次一个循环，则202145051即第2021次在第三象限，∵点C（3，2），∴C2021点坐标为：（-3，-2）；故答案选：D【点睛】此题考查坐标变换，属于规律题，根据前几个图像坐标推算出规律是解题关键．5．（2021·湖南八年级期末）等腰Rt△ABO在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣2，0），AB＝BO，则点B的坐标为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【答案】A【分析】先过B点作x轴的垂线段BC，证明出BC垂直平分OA和OC=BC，再根据A点坐标求解即可，．【详解】解：如下图所示：作BC⊥x轴，垂足为点C，因为ABO是等腰直角三角形，所以BA=BO，∠BOC=45°，所以B点在OA的垂直平分线上，∠OBC=45°，所以BC=OC；又∵BC⊥x轴，∴BC垂直平分OA，∵A（－2，0）∴C（－1，0）∴OC=1，所以BC=1，∴B（－1，1）；故选：A．【点睛】本题综合考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、线段垂直平分线的判定与性质等内容，要求学生熟练掌握相关概念与性质，并能做到熟练运用，考查了学生的分析推理与数形结合的能力．6．（2021·河北八年级期中）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1（1，0），第2次运动到A2（1，1），第3次运动到A3（﹣1，1），第4次运动到A4（﹣1，﹣1），第5次运动到A5（2，﹣1）…则第15次运动到的点A15的坐标是（）A ．（4，4）B ．（﹣4，4）C ．（﹣4，﹣4）D ．（5，﹣4）【答案】B 【分析】通过观察可知右下标是（除A 1外）：数字4的倍数的点在第三象限，4的倍数余1的点在第四象限，4的倍数余2的点在第一象限，4的倍数余3的点在第二象限，由此判断即可．【详解】解：∵15÷4=3…3，∴点A 15在第二象限，∴点A 15的坐标是（-4，4），故选：B ．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据已知的点的坐标得出坐标变化规律是解题关键．二、填空题7．对有序数对(),x y 的一次操作变换记为()1,P x y ，定义其变换法则如下：()1,P x y ＝(),x y x y +-；且规定(),n P x y ＝1P （()1,n P x y -）（n 为大于1的整数）．如()11,2P ＝()31-,，()21,2P ＝1P （()11,2P ）＝()13,1P -＝()2,4，()31,2P ＝1P （()21,2P ）＝()12,4P ＝()6,2-．则()20201,1P -＝________． 【答案】()101010102,2-【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．【详解】依题意可得P 1（1，−1）＝（0，2），P 2（1，−1）＝P 1（P 1（1，−1））＝P 1（0，−2）＝（2，−2），P 3（1，−1）＝P 1（P 2（1，−1））＝P 1（2，−2）＝（0，4）＝（0，22），P 4（1，−1）＝P 1（P 3（1，−1））＝P 1（0，4）＝（4，−4）＝（22，−22），P 5（1，−1）＝P 1（P 4（1，−1））＝P 1（22，−22）＝（0，23），…，()20201,1P -＝()101010102,2-． 故答案为：()101010102,2-．【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．8．如果点(),P x y 的坐标满足x y xy +=，那么称点P 为和谐点．请写出一个和谐点的坐标：________；若0xy >，则点(),P x y 在第________象限．【答案】()2,2 一【分析】由题意点(),P x y 的坐标满足x y xy +=，当2x =时，代入得22y y +=，求出y 即可,根据0xy ＞，可得,x y 同号，即0x ＞，0y ＞或0x ＜，0y ＜，又0x y xy +=＞，可得0x ＞，0y ＞，即可判断其所在象限．【详解】解：∵ 和谐点(),P x y 的坐标满足x y xy +=，∴ 取2x =，则22y y +=，解得2y =，这时点P 的坐标为()2,2，若0xy >，则x ，y 同号，即0x >，0y >或0x <，0y <，又∵ 0x y xy +=>，∴ 0x >，0y >，∴ 点(),P x y 位于第一象限．故答案为：()2,2, 一【点睛】本题考查的是新定义情境下的平面直角坐标系内点的坐标特点，同时考查有理数的乘法与加法法则的理解，方程的解的含义，掌握以上知识是解题的关键.9．（2021·重庆市凤鸣山中学八年级月考）已知点(),4M a -与点()6,N b 关于x 轴对称，那么a b -等于______ ．【答案】2【分析】根据轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质在坐标系中得到对应点的坐标．【详解】解：∵点(),4M a -与点()6,N b 关于x 轴对称，∴6a =，()402b +-= 解得4b = ，那么=64=2a b --．故答案为：2．【点睛】主要考查了坐标与图形的变化-对称特点，解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．10．如图，在平面直角坐标系x 轴上有点0(1,0)A ，点0A 第一次跳动至点1(1, 1)A -第二次点1A 跳动至点2(2,1)A 第三次点2A 跳动至点3(2, 2)A -，第四次点3A 跳动至点4(3,2)A ，……依此规律跳动下去，则点2017A 与点2018A 之间的距离是________【答案】2019【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A 2017与点A 2018的坐标，进而可求出点A 2017与点A 2018之间的距离．【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n 次跳动至点的坐标是（n +1，n ），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），第2017次跳动至点A 2017的坐标是（-1009，1009）．∵点A 2017与点A 2018的纵坐标相等，∴点A 2017与点A 2018之间的距离=1010-（-1009）=2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．三、解答题11．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为()1,1A ，()4,2B ，()3,4C ．（1）请画出ABC 关于x 轴成轴对称的图形111A B C △，并写出1A 、1B 、1C 的坐标； （2）求ABC 的面积．【答案】（1）画出图形见解析，1A 、1B 、1C 的坐标为()11,1A -、()14,2B -、()13,4C -；（2）ABC 的面积为72【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】解：（1）画出图形如下：,1A 、1B 、1C 的坐标为()11,1A -、()14,2B -、()13,4C -；（2）ABC 的面积为1117332321132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键．12．（2021·黑龙江八年级期末）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E ．求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB △≌△，即可得到解决，积累经验：（1）请写出证明过程； 类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 与x 轴的距离．拓展提升：（3）如图3，ABC 在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，求点B 的坐标．【答案】（1）见解析；（2）1；（2）()3,4．【分析】（1）根据AD ⊥DE 、BE ⊥DE 得到∠D =∠E =90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC =∠BCE ，进而证明△ADC ≌△CEB ，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，通过证明△AOC ≌△CEB ，进而得出CO =BE ，再根据点C 的坐标即可得到结果；（3）过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，再过点A 、B 分别作AE ⊥CF ，BD ⊥CF ，通过证明△CDB ≌△AEC ，进而得出BD =CE ，AE =CD ，最后根据点A 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(4，2)即可求出点B 坐标． 【详解】解：（1）证明：∵,AD DE BE DE ⊥⊥， ∴90D E ∠=∠=︒， ∴90DAC ACD ∠+∠=︒， 又∵90ACB ∠=︒， ∴90ACD BCE ∠+∠=︒， ∴DAC BCE =∠∠，在ADC 和CEB △中，D EDAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADC ≌CEB △，∴,AD CE CD BE ==；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵90AOC ∠=︒， ∴90OAC ACO ∠+∠=︒， 又∵90ACB ∠=︒， ∴90ACO BCE ∠+∠=︒， ∴OAC BCE ∠=∠，。
