八年级数学上册-第三章位置与坐标知识点总结和典型例题分析

新北师大版八年级数学上册第四章位置与坐标一、生活中确定位置的方法（重难点）1、行列定位法把平面分成若干个行列的组合，然后用行号和列号表示平面中点的位置，要准确表示平面中的位置，需要行号、列号两个独立的数据，缺一不可。

2、方位角加距离定位法此方法也叫极坐标定位法，是生活中常用的方法。

在平面中确定位置时需要两个独立的数据：方位角、距离。

特别需要注意的是中心位置的确定。

3、方格定位法在方格纸上，一点的位置由横向方格数和纵向方格数确定，记作（横向方个数，纵向方个数）。

需要两个数据确定物体位置。

4、区域定位法是生活中常用的方法，也需要两个数据才能确定物体的位置。

此方法简单明了，但不够准确。

A1区，D3区等。

5、经纬度定位法利用经度和纬度来确定物体位置的方法，也同时需要两个数据才能确定物体的位置。

二、平面直角坐标系1、平面直角坐标系及相关概念（重点）在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。

通常两条数轴位置水平和垂直位置，规定水平轴向右和垂直轴向上为两条数轴的正方向。

水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称为y轴或者纵轴，x 轴、y轴统称坐标轴，公共原点O称为坐标系的原点。

两条数轴把平面划分为四个部分，右上部分叫做第一象限，其余部分按逆时针方向分别叫做第二、第三、第四象限。

2、点的坐标表示（重点）在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都可以用坐标来表示。

过点P 分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

在平面直角坐标系中，平面上的任意一点P，都有唯一一对有序实数（即点的坐标）与它对应；反之，对于任意一对有序实数，都可以在平面上找到唯一一点与它对应。

3、特殊位置上点的坐标特点（难点）（1）坐标轴上点的坐标特点x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0。

（2）余坐标轴平行直线上点的坐标特点与x轴平行直线上所有点的纵坐标相同；与y轴平行直线上所有点的横坐标相同。

【例题与讲解】八年级数学上册第三章 1 确定位置1．行列定位法行列定位法是确定平面内某物体位置的重要方法之一，这种方法是把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置；要准确表明某点的位置需要两个互相独立的数据，此方法也是平面直角坐标系内容的一个铺垫．辨误区行列定位法用行列定位法表示平面内某点的位置必须有两个数据，缺一不可．【例1－1】小明站在一个由8行10列组成的队伍中，要想确定小明的位置，需要知道哪些数据？分析：要想确定队伍中某个人的位置，只知道行数不能确定，因为同一行有很多人；只知道列数也不能确定，因为同一列也有很多人，所以，要想确定一个人的位置，必须知道行数和列数．解：需要知道小明所在的行数和列数．【例1－2】你到阳光电影院去看电影，你的票上注明的是9排13号，你准备怎样找到自己的座位？解：路线不唯一，但是总要找到9排，并且找到13号座位．通常先找到排再找到号，也可能先找到号再找到排．2．极坐标定位法这是一种采用方位角和距离的方式来表示物体具体位置的定位方法，运用此方法来确定物体的位置需要两个数据：(1)方位角；(2)距离，两者缺一不可．使用此法首先要找出一个参照点，而其他点的方位角和距离则相对于该参照点而确定下来．【例2】下面为新时代学校的平面示意图，A处是教学楼，B处是实验楼，C处是艺体楼，D处是车棚，E处是办公楼，请你借助刻度尺、量角器，解决下列问题：(1)对教学楼来说，要想确定实验楼的位置，还需要什么数据？(2)对教学楼来说，车棚在什么位置？艺体楼在什么位置？分析：本题可采用极坐标定位法．解：(1)想确定实验楼的位置，还需要知道实验楼在教学楼的哪个方位角上，以及它和教学楼的距离．(2)对教学楼来说，车棚在南偏东35°，图上距离约为0.8 cm；艺体楼在正东方向，图上距离约为1.5 cm.3.经纬定位法经纬定位法就是用经度和纬度来确定物体位置的方法，此法在地理学中有着广泛的应用，使用此法来确定物体的位置必须指明经度和纬度，两者缺一不可．释疑点经纬定位法经纬定位法既适合于在球面上定位，也适合于在平面上定位．【例3－1】“神舟九号”飞船已胜利升空，中国人正在逐渐地向宇宙进军，那么你能猜测出地面上的工作人员是如何来确定飞船的位置的吗？分析：本题为实际应用题目，只要联想到地理上学的经度、纬度，该问题就可以顺利解决．又因为飞船在太空中飞行，所以还需要其与地面的距离才能确定其位置．解：地面上的工作人员一般靠经纬线和飞船所处高度来确定位置．点拨：利用地理学上的经纬度来确定物体的位置的定位方法，应用非常广泛．【例3－2】A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是( )．A．东经130°，北纬50°B．东经130°，北纬60°C．东经140°，北纬50°D．东经140°，北纬60°解析：指明一点的经度和纬度就可以确定物体在地球上的位置．答案：C4．区域定位法它是生活中常用的表示物体位置的方法之一，需要有两个数据才能确定物体的位置，用这种方法确定物体的位置具有简单明了的特点，但有时往往不精确，所以要视情况而定．【例4】如图是某学校平面简图的一部分，其中M1代表仓库，其所在的区域为A2区．M2代表办公楼，M3代表实验楼，试说出办公楼、实验楼所在的区域．分析：要求办公楼、实验楼所在的区域，先竖着找出其所在的字母区域，再横着找出所处的数字区域，两者合在一起便使问题得解．解：办公楼在C3区，实验楼在B4区．析规律区域定位法弄清区域定位法中的字母及数字分别表示的含义，依照已知建筑物的表示方法表示建筑物的位置．5．直角坐标定位法直角坐标定位法是生活中常采用的方法之一，在数学中，它是必须掌握的一种确定位置的方法，是后面学习平面直角坐标系的基础，运用此法确定一个物体的位置也需要有两个数据，一个是横坐标，另一个是纵坐标，两者缺一不可．我们习惯用(a，b)来表示某一个物体的位置，其中a代表横坐标，b代表纵坐标．【例5】如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4,0)表示的位置，用(3,9)表示的位置，那么的位置应表示为( )．A．(8,7) B．(7,8)C．(8,9) D．(8,8)答案：A6．在电影院内如何找到电影票上所指的位置在只有一层的电影院内，确定一个座位的位置需要两个数据，一个是排数，一个是号数．要找到自己电影票上所指的位置，先找到排数，再来找号数，此位置即票上所示的位置．如果是多层的电影院，一般还需要另加一个数据——确定位置在几层．点技巧平面上定点平面上确定物体的位置有多种方式，但基本都需要两个数据．【例6】近期某剧院(座位分单、双座)举办某知名歌星个人演唱会，小强与小华买了两张票去观看，座位号分别为10排12号和10排14号．(1)怎样才能既快又准确地找到座位？(2)小强和小华的座位靠在一起吗？分析：要找到自己电影票上所指的位置，先找到排数，再来找号数．解：(1)由于剧院的座位分为单座和双座，因此要既快又准确地找到自己的座位，应先从双座大门进去，找到第10排，再在第10排中找到12号和14号．(2)由于剧院的座位分单座和双座，因此小强和小华的座位靠在一起．7．坐标在生活中的运用人们常说：“找准人生坐标”，意思是很清楚的．事实上，数学中所说的“坐标”在我们日常生活中的应用极为广泛．例如：如图是某公园示意图，请你根据图中比例尺用坐标的方法确定各景点的位置．分析：入口处是我们最先熟悉的地点，因此我们可以选择入口处为坐标原点，西东方向为横轴；南北方向为纵轴建立平面直角坐标系(如图)，分别量出各景点到横轴、纵轴的距离，这样便可知道各景点的坐标．例如动物园到纵轴的距离约为4.1 cm，到横轴的距离约为2.8 cm，因此动物园的位置是(4.1,2.8)，根据比例尺换算以后，实际是(1 230,840)，这表明动物园在入口处的东 1 230 m，北840 m处．其余景点的位置用相同的方法即可确定．【例7】如图，用点A(3,1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2,3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜．(1)请你写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；(2)若一只兔子从点A到达点B(顺着方格线走)，有以下几条路可以选择：①A→C→D→B；②A→F→D→B；③A→F→E→B，问它走哪条路吃到的胡萝卜最多？走哪条路吃的青菜最多？分析：(1)由点A和B的坐标意义即可类比出其他各点所表示的意义；(2)先将所表示的胡萝卜和青菜数计算出来再相加比较即可．解：(1)因为点A(3,1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2,3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜，所以可以类比：点C的坐标是(2,1)，它表示的意义是放置2个胡萝卜、1棵青菜；点D的坐标是(2,2)，它表示的意义是放置2个胡萝卜、2棵青菜；点E的坐标是(3,3)，它表示的意义是放置3个胡萝卜、3棵青菜；点F的坐标是(3,2)，它表示的意义是放置3个胡萝卜、2棵青菜．(2)若兔子走①A→C→D→B，则可以吃到的胡萝卜数量是3＋2＋2＋2＝9个，吃到的青菜数量是1＋1＋2＋3＝7棵；走②A→F→D→B，则可以吃到的胡萝卜数量是3＋3＋2＋2＝10个，吃到的青菜数量是1＋2＋2＋3＝8棵；走③A→F→E→B，则可以吃到的胡萝卜数量是3＋3＋3＋2＝11个，吃到的青菜数量是1＋2＋3＋3＝9棵；由此可知，走第③条路吃到的萝卜、青菜都最多．。

2020年~2021年最新第三章 位置与坐标知识点1 坐标确定位置知识链接平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点P （a ，b ）的坐标特征：①第一象限：a ＞0，b ＞0； ②第二象限：a ＜0，b ＞0；③第三象限：a ＜0，b ＜0； ④第四象限：a ＞0，b ＜0．（2）坐标轴上点P （a ，b ）的坐标特征：①x 轴上：a 为任意实数，b=0；②y 轴上：b 为任意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．（3）两坐标轴夹角平分线上点P （a ，b ）的坐标特征：①一、三象限：b a =； ②二、四象限：b a -=．同步练习1．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5考点：点到直线的距离；坐标确定位置；平行线之间的距离．解答：如图，∵到直线l 1的距离是1的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离是2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上， ∴“距离坐标”是（1，2）的点是M 1、M 2、M 3、M 4，一共4个．故选C ．2．如图，是用围棋子摆出的图案（用棋子的位置用用有序数对表示，如A 点在（5，1）），如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）A ．黑（3，3），白（3，1）B ．黑（3，1），白（3，3）C ．黑（1，5），白（5，5）D ．黑（3，2），白（3，3）考点：利用旋转设计图案；坐标确定位置；利用轴对称设计图案．解答：A、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误；B、当摆放黑（3，3），白（3，1）时，此时是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；C、当摆放黑（1，5），白（5，5）时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；D、当摆放黑（3，2），白（3，3）时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．3．（2014•台湾）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（）A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺考点：坐标确定位置．解答：依题意，OA=OC=400=AE，AB=CD=300，DE=400-300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为，向北直走AB+AE=700公尺，再向西直走DE=100公尺．故选：A．4．如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（）A．（2，1）B．（0，1）C．（-2，-1）D．（-2，1）考点：坐标确定位置．解答：建立平面直角坐标系如图，城市南山的位置为（-2，-1）．故选C．5．（2014•怀化模拟）小军从点O向东走了3千米后，再向西走了8千米，如果要使小军沿东西方向回到点O的位置，那么小明需要（）A．向东走5千米B．向西走5千米C．向东走8千米D．向西走8千米考点：坐标确定位置．解答：小军从点O向东走了3千米，再向西走了8千米后在点O的西边5千米，所以，要回到点O的位置，小明需要向东走5千米．故选A．6．（2014•遵义二模）在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志点A（2，1）、B（4，-1），这两个标志点到“宝藏”点的距离都是10，则“宝藏”点的坐标是．考点：勾股定理的应用；坐标确定位置；线段垂直平分线的性质．解答：首先确定坐标轴，则“宝藏”点是C和D，坐标是：（5，2）和（1，-2）．故答案是：（5，2）和（1，-2）．7．（2014•曲靖模拟）在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都相等，则“宝藏”点的可能坐标是．考点：坐标确定位置．解答：如图，“宝藏”的可能坐标是（0，-1），（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）．故答案为：（0，-1），（1，0），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）．8．（2014•赤峰）如图所示，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（2，2），“炮”位于点（-1，2），写出“兵”所在位置的坐标．考点：坐标确定位置．解答：建立平面直角坐标系如图，兵的坐标为（-2，3）．故答案为：（-2，3）．9．如图1，是由方向线一组同心、等距圆组成的点的位置记录图．包括8个方向：东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，方向线交点为O，以O为圆心、等距的圆由内向外分别称作1、2、3、…n．将点所处的圆和方向称作点的位置，例如M（2，西北），N（5，南），则P点位置为．如图2，若将（1，东）标记为点A1，在圆1上按逆时针方向旋转交点依次标记为A2、A3、…、A8；到A8后进入圆2，将（2，东）标记为A9，继续在圆2上按逆时针方向旋转交点依次标记为A10、A11、…、A16；到A16后进入圆3，之后重复以上操作过程．则点A25的位置为，点A2013的位置为，点A16n+2（n为正整数）的位置为．考点：规律型：点的坐标；坐标确定位置．解答：由题意得出：P点在第3个圆上，且在东北方向，故P点位置为：（3，东北），由题意可得出每8个数A点向外移动一次，∵25÷8=3…1，故点A25所在位置与A1方向相同，故点A25的位置为（4，东），∵2013÷8=251…5，故点A2013所在位置与A5方向相同，故点A2013的位置为（252，西），∵（16n+2）÷8=2n…2，故点A16n+2所在位置与A2方向相同，故点A16n+2的位置为（2n+1，东北），故答案为：（3，东北），（4，东），（252，西），（2n+1，东北）．10．有一张图纸被损坏，但上面有如图所示的两个标志点A（-3，1），B（-3，-3）可认，而主要建筑C（3，2）破损，请通过建立直角坐标系找到图中C点的位置．解：C点的位置如图．11．如图是某台阶的一部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）．（1）请建立适当的直角坐标系，并写出其余各点的坐标；（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？（3）现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，请你算算要多长的单位长度的地毯？解：以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）；B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5；现要给台阶铺上地毯，单位长度为1，要11个单位长度的地毯12．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置．解：方法1，用有序实数对（a，b）表示，比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3），方法2，用方向和距离表示，比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A 3处．点2知识点2 平面直角坐标系知识链接１点的坐标（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．（2）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画两条有公共原点且垂直的数轴．②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（3）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．2 两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2．说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．同步练习1．（2014•台湾）如图的坐标平面上有P 、Q 两点，其坐标分别为（5，a ）、（b ，7）．根据图中P 、Q 两点的位置，判断点（6-b ，a-10）落在第几象限？（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四考点：点的坐标．解答：∵（5，a ）、（b ，7），∴a ＜7，b ＜5，∴6-b ＞0，a-10＜0，∴点（6-b ，a-10）在第四象限．故选D ．2．（2014•萧山区模拟）已知点P （1-2m ，m-1），则不论m 取什么值，该P 点必不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点：点的坐标．分析：分横坐标是正数和负数两种情况求出m 的值，再求出纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征解答．解答：①1-2m ＞0时，m ＜21，m-1＜0，所以，点P 在第四象限，一定不在第一象限； ②1-2m ＜0时，m ＞21，m-1既可以是正数，也可以是负数，点P 可以在第二、三象限， 综上所述，P 点必不在第一象限．故选A ．3．（2014•闵行区二模）如果点P （a ，b ）在第四象限，那么点Q （-a ，b-4）所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点：点的坐标．分析：根据第四象限的点的坐标特征确定出a 、b 的正负情况，再确定出点Q 的横坐标与纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征判断即可．解答：∵点P （a ，b ）在第四象限，∴a ＞0，b ＜0，∴-a ＜0，b-4＜0，∴点Q （-a ，b-4）在第三象限．故选C ．点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．（2014•北海）在平面直角坐标系中，点M （-2，1）在（ ）2秒3秒（2）当P点从点O出发10秒，可得到的整数点的个数是______个．（3）当P点从点O出发______秒时，可得到整数点（10，5）考点：点的坐标．分析：（1）在坐标系中全部标出即可；（2）由（1）可探索出规律，推出结果；（3）可将图向右移10各单位，用10秒；再向上移动5个单位用5秒．解答：（1）以1秒时达到的整数点为基准，向上或向右移动一格得到2秒时的可能的整数点；再以2秒时得到的整数点为基准，向上或向右移动一格，得到3秒时可能得到的整数点．P从O点出发时间可得到整数点的坐标可得到整数点的个数1秒（0，1）、（1，0） 22秒（0，2），（2，0），（1，1） 33秒（0，3），（3，0），（2，1），（1，2） 4（2）1秒时，达到2个整数点；2秒时，达到3个整数点；3秒时，达到4个整数点，那么10秒时，应达到11个整数点；（3）横坐标为10，需要从原点开始沿x轴向右移动10秒，纵坐标为5，需再向上移动5秒，所以需要的时间为15秒．知识点3 坐标与图形性质知识链接1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．同步练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，交x 正半轴于点C ，则点C 的坐标为 ．考点：勾股定理；坐标与图形性质．分析：首先利用勾股定理求出AB 的长，进而得到AC 的长，因为OC=AC-AO ，所以OC 求出，继而求出点C 的坐标．解答：∵点A ，B 的坐标分别为（-6，0）、（0，8），∴AO=6，BO=8，∴AB=22BO AO =10，∵以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧，∴AB=AC=10，∴OC=AC-AO=4，∵交x 正半轴于点C ，∴点C 的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）．2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点A 的坐标为（-1，1），AB 平行于x 轴，则点C 的坐标为 ．解答：C （3,5）3．如图，Rt △OAB 的斜边AO 在x 轴的正半轴上，直角顶点B 在第四象限内，S △OAB =20，OB ：AB=1：2，求A 、B 两点的坐标．解答：A （10,0），B （2,-4）4．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（ ）A ．a=bB ．2a+b=-1C ．2a-b=1D ．2a+b=1 考点：作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．分析：根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 与b 的数量关系．解答：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=-1，故选：B ．5．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形COAB ，其中三个顶点的坐标分别为C （0，3），O （0，0）和A （4，0），点B 在⊙O 上． （1）求点B 的坐标； （2）求⊙O 的面积．解答：(1) B （4,3） (2) 25π6．（2014•南平模拟）如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0），点P 在AB 边上，且∠CPB=60°，将△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，则D 的坐标为（ ）A ．（2，32）B ．（23 ， 32-） C ．（2，324-） D ．（23，324-） 考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．分析：作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，根据正方形的性质∴OC=BC=4，∠B=90°，由∠BPC=60°得∠1=30°，再根据折叠的性质得到∠1=∠2=30°，CD=CB=4，所以∠3=30°，在Rt △CDE 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DE=21CD=2，CE=3DE=32，则OE=324-，所DF=324-，然后可写出D 点坐标．解答：作DE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图，∵四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0）， ∴OC=BC=4，∠B=90°， ∵∠BPC=60°， ∴∠1=30°，∵△CPB 沿CP 折叠，使得点B 落在D 处，∴∠1=∠2=30°，CD=CB=4， ∴∠3=30°， 在Rt △CDE 中，DE=21CD=2，CE=3DE=23， ∴OE=OC-CE=324-， ∴DF=OE=324-，∴D 点坐标为（2，324-）．故选C ．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（21，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时PA+PC 的值最小，求出AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．解答：作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ， 则此时PA+PC 的值最小， ∵DP=PA ，∴PA+PC=PD+PC=CD ， ∵B （3，3），∴AB=3，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=32， 由三角形面积公式得：21×OA×AB=21×OB×AM ，∴AM=23， ∴AD=2×23=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°， ∴∠BAM=30°， ∵∠BAO=90°， ∴∠OAM=60°， ∵DN ⊥OA ， ∴∠NDA=30°，∴AN=21AD=23，由勾股定理得：DN=323， ∵C （21，0），∴CN=3-21-23=1，在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC==+22)323(1231， 即PA+PC 的最小值是231， 8．在直角坐标系中，有四个点A （-8，3）、B （-4，5）、C （0，n ）、D （m ，0），当四边形ABCD 的周长最短时，nm的值为（ ） A ．73- B ．23- C ．27- D ．23考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：若四边形的周长最短，由于AB 的值固定，则只要其余三边最短即可，根据对称性作出A 关于x 轴的对称点A′、B 关于y 轴的对称点B′，求出A′B′的解析式，利用解析式即可求出C 、D 坐标，得到nm ．解答：根据题意，作出如图所示的图象：过点B 作B 关于y 轴的对称点B′、过点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B′，直线A′B′与坐标轴交点即为所求．解答：直线AB 方程为y=3x-9，直线OB 斜率为23-． 过O‘点平行于直线OB 的直线方程为：y=23-(x+1) ． 联立两方程，解得交点B′的坐标为（35，－4）．11．已知点D 与点A （8，0），B （0，6），C （a ，-a ）是一平行四边形的四个顶点，则CD 长的最小值为 ．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．分析：①CD 是平行四边形的一条边，那么有AB=CD ；②CD 是平行四边形的一条对角线，过C 作CM ⊥AO 于M ，过D 作DF ⊥AO 于F ，交AC 于Q ，过B 作BN ⊥DF 于N ，证△DBN ≌△CAM ，推出DN=CM=a ，BN=AM=8-a ，得出D （（8-a ，6+a ），由勾股定理得：CD 2=（8-a-a ）2+（6+a+a ）2=8a 2-8a+100=8（a-21）2+98，求出即可．解答：有两种情况：①CD 是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=2286+=10 ②CD 是平行四边形的一条对角线，*12．如图，△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（m ，2n ） D ．（2m ，2n ） 考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据A ，B 两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．解答：∵△ABO 缩小后变为△A′B′O ，其中A 、B 的对应点分别为A′、B′点A 、B 、A′、B′均在图中在格点上，即A 点坐标为：（4，6），B 点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），∴线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A′B′上的对应点P′的坐标为：（2m ，2n）． 故选D ．*13．（2014•海港区一模）如图，在直角坐标系中，有16×16的正方形网格，△ABC 的顶点分别在网格的格点上．以原点O 为位似中心，放大△ABC 使放大后的△A′B′C′的顶点还在格点上，最大的△A′B′C′的面积是（ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．64考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：根据题意结合位似图形的性质与三角形最长边即为216，进而得出答案．解答：如图所示：△A′B′C′即为符合题意的图形， 最大的△A′B′C′的面积是：21×8×16=64．故选：D ．知识点4 坐标与图形的变化知识链接1 坐标与图形变化---对称 （1）关于x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ）． （2）关于y 轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）． （3）关于直线对称①关于直线x=m 对称，P （a ，b ）⇒P （2m-a ，b ） ②关于直线y=n 对称，P （a ，b ）⇒P （a ，2n-b ） 2 坐标与图形变化---平移 （1）平移变换与坐标变化向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x+a ，y ） 向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x-a ，y ） 向上平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y+b ） 向下平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y-b ）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 3 坐标与图形变化---旋转（1）关于原点对称的点的坐标．即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ）． （2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．同步练习1．（2014•大连）在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位，所得到的点的坐标是（）A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加解答．解答：∵点（2，3）向上平移1个单位，∴所得到的点的坐标是（2，4）．故选：C．2．（2014•呼伦贝尔）将点A（-2，-3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：坐标与图形变化-平移．分析：先利用平移中点的变化规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减) ，,求出点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特点即可判断点B所处的象限．解答：点A（-2，-3）向右平移3个单位长度，得到点B的坐标为为（1，-3），故点在第四象限．故选D．3．（2014•牡丹江）如图，把ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC上点P的坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（）A．（-x，y-2）B．（-x，y+2）C．（-x+2，-y）D．（-x+2，y+2）考点：坐标与图形变化-平移．分析：先观察△ABC和△A′B′C′得到把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为（-x，y+2），即为P′点的坐标．解答：∵把△ABC向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到△A′B′C′，∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（-x，y+2）．故选：B．4．（2014•潍坊）如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-对称、平移．专题：规律型．分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．解答：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选：A．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2）是解此题的关键．5．（2014•昆明）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据点向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）进行计算即可．解答：∵点A坐标为（1，3），∴线段OA向左平移2个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（1-2，3），即（-1，3），故答案为：（-1，3）．6．（2014•宜宾）在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是．考点：坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．解答：点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，2），即（2，2），则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，-2），故答案为：（2，-2）．7．（2014•厦门）在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位，得到线段O1A1，则点O1的坐标是，A1的坐标是．考点：坐标与图形变化-平移．分析：根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变解答．解答：∵点O（0，0），A（1，3），线段OA向右平移3个单位，∴点O 1的坐标是（3，0），A 1的坐标是（4，3）．故答案为：（3，0），（4，3）．*8．（2014•巴中）如图，直线y=−34x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△A0B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是 ．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：首先根据直线AB 来求出点A 和点B 的坐标，B′的横坐标等于OA+OB ，而纵坐标等于OA ，进而得出B′的坐标．解答：直线y=-34x+4与x 轴，y 轴分别交于A （3，0），B （0，4）两点， ∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°∴OA=O′A ，OB=O′B′，O′B′∥x 轴，∴点B′的纵坐标为OA 长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．点评：本题主要考查了对于图形翻转的理解，其中要考虑到点B 和点B′位置的特殊性，以及点B′的坐标与OA 和OB 的关系．9．（2013•梅州）如图，在平面直角坐标系中，A （-2，2），B （-3，-2）（1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为______；（2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为______；（3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．考点：关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移；概率公式．分析：（1）根据关于原点的对称点，横纵坐标都互为相反数求解即可；（2）把点A 的横坐标加5，纵坐标不变即可得到对应点D 的坐标；（3）先找出在平行四边形内的所有整数点，再根据概率公式求解即可．解答：（1）∵点C 与点A （-2，2）关于原点O 对称，∴点C 的坐标为（2，-2）；（2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A （-2，2），B （-3，-2），C （2，-2），D （3，2），∵在平行四边形ABCD 内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（-1，1），（0，0），（1，-1），∴P=153=51． 点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，坐标与图形变化-平移，概率公式．难度适中，掌握规律是解题的关键．10．（黄冈）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标是A （-2，3），B （-4，-1），C （2，0），将△ABC 平移至△A 1B 1C 1的位置，点A 、B 、C 的对应点分别是A 1、B 1、C 1，若点A 1的坐标为（3，1）．则点C 1的坐标为______．考点：坐标与图形变化-平移．分析：首先根据A 点平移后的坐标变化，确定三角形的平移方法，点A 横坐标加5，纵坐标减2，那么让点C 的横坐标加5，纵坐标-2即为点C 1的坐标．解答：由A （-2，3）平移后点A 1的坐标为（3，1），可得A 点横坐标加5，纵坐标减2， 则点C 的坐标变化与A 点的变化相同，故C 1（2+5，0-2），即（7，-2）．故答案为：（7，-2）．点评：本题主要考查图形的平移变换，解决本题的关键是根据已知对应点找到所求对应点之间的变化规律．11．（北京）操作与探究：（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以31，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P 的对应点P′．点A ，B 在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A ，B 的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A 表示的数是-3，则点A′表示的数是______；若点B′表示的数是2，则点B 表示的数是______；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E′与点E 重合，则点E 表示的数是______．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A ，B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．考点：坐标与图形变化-平移；数轴；正方形的性质；平移的性质．分析：（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B 表示的数为a ，根据题意列出方程求解即可得到点B 表示的数，设点E 表示的数为b ，根据题意列出方程计算即可得解；（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F 的坐标为（x ，y ），根据平移规律列出方程组求解即可．解答：（1）点A′：-3×31+1=-1+1=0，设点B 表示的数为a ，则31a+1=2， 解得a=3，设点E 表示的数为b ，则31b+1=b ， 解得b=23；。

初二（上）第三章位置与坐标一．平面内特别位置的点的坐标特征（1）平面直角坐标系的相关概念①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．②各局部名称：程度数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．（2）坐标平面的划分建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四局部，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．（3）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．我们把有依次的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）（4）各象限内点P（a，b）的坐标特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（5）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：①x轴上：a为随意实数，b=0；②y轴上：b为随意实数，a=0；③坐标原点：a=0，b=0．（6）两坐标轴夹角平分线上点P （a ，b ）的坐标特征： ①一、三象限：a=b ；②二、四象限：a=-b ．二．两点间的间隔 公式：设有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则这两点间的间隔 为221221)y -(y )x -(x +=d ．说明：求直角坐标系内随意两点间的间隔 可干脆套用此公式． 1、点到坐标轴的间隔 与这个点的坐标是有区分的，表如今两个方面：①到x 轴的间隔 与纵坐标有关，到y 轴的间隔 与横坐标有关；②间隔 都是非负数，而坐标可以是负数，在由间隔 求坐标时，须要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的根本方法与规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的协助线用“割、补”法去解决问题．三．坐标点的对称（1）关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x ，-y ）．（2）关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点P′的坐标是（-x ，y ）． ☆（3）关于直线对称①关于直线x=m对称，P（a，b）⇒P（2m-a，b）②关于直线y=n对称，P（a，b）⇒P（a，2n-b）☆（4）关于平分线对称①关于直线y=x对称，P（a，b）⇒P（b，a）(x,y轴交换位置，变不变符号视对称后的象限而定)②关于直线y=-x对称，P（-a，b）⇒P（b，-a）(x,y轴交换位置，变不变符号视对称后的象限而定)四．关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的全部性质．但它主要是用坐标改变确定图形．留意：运用时要娴熟驾驭，可以不用图画与结合坐标系，只依据符号改变干脆写出对应点的坐标．五．平移变换与坐标改变①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）（1）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；假如把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度与图形的特别性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特别角度如：30°，45°，60°，90°，180°．。

八年级数学位置与坐标知识点
八年级数学中，位置与坐标是一个重要的知识点。

以下是一些八年级数学位置与坐标
的基本知识点：
1. 直角坐标系：了解二维平面直角坐标系的定义和性质，包括x轴、y轴、原点以及
坐标轴之间的关系。

2. 点的坐标：学习如何根据一个点在直角坐标系中的位置确定它的坐标。

坐标通常用
一个有序数对(x, y)来表示，其中x是点在x轴上的投影坐标，y是点在y轴上的投影
坐标。

3. 坐标与位置关系：了解不同坐标对应于不同的位置，可以用坐标来确定点的位置，
也可以用位置确定点的坐标。

4. 定点与变量：区分定点和变量的概念。

定点是指在一个问题中位置不变的点，而变
量是指在一个问题中位置可以变化的点。

5. 平移：学习如何通过平移来改变点的位置，平移是指将点沿着一个方向按照相同的
距离保持方向不变地移动。

6. 位置关系的判定：学习如何通过坐标来判断点的位置关系，包括相等、平行、垂直、共线等。

7. 距离的计算：学习如何计算两点之间的距离，通常使用勾股定理或者坐标计算公式。

8. 坐标系的平移和旋转：学习如何通过平移和旋转来改变整个坐标系的位置和方向。

以上是八年级数学中位置与坐标的一些基本知识点。

通过学习这些知识点，可以帮助学生更好地理解点的位置和坐标在数学中的应用。

位置与坐标知识点总结1. 位置与坐标的定义位置是指一个物体或点在空间中的具体所在的地方，而坐标是描述一个点在空间中位置的一种方法。

坐标可以用来描述一个点在平面上或者空间中的位置，它通常使用一组数值来表示，包括横坐标和纵坐标（对于平面坐标系）或者横坐标、纵坐标和高度（对于空间坐标系）等。

2.坐标系坐标系是用来描述和表示位置的一种数学工具，它是由几条互相垂直的直线组成的。

常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、球坐标系等。

在直角坐标系中，通常使用x轴和y轴（或者还有z轴）来表示位置，而在极坐标系中，使用角度和半径来表示位置，而在球坐标系中使用两个角度和半径来表示位置。

3. 坐标变换坐标变换是指描述一个点在不同坐标系中的位置关系。

当我们要在不同的坐标系中描述同一个点的位置时，就需要进行坐标变换。

常见的坐标变换包括直角坐标系到极坐标系的变换、直角坐标系到球坐标系的变换等。

坐标变换通常涉及到三角函数、矩阵等数学工具的运用。

4. 坐标之间的距离和方向在空间中，可以通过计算不同点之间的距离和方向来描述它们之间的位置关系。

在直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算，而在其他坐标系中可以通过不同的数学方法来计算。

方向通常使用角度或者方向余弦、方向角等来表示。

5. 应用位置与坐标在现实生活中有广泛的应用，包括地理定位、导航系统、机器人运动、航天飞行、地图绘制等领域。

例如，在导航系统中，通过使用坐标系和坐标变换可以准确定位和导航；在航天飞行中，通过计算不同天体之间的位置关系可以实现航天器的飞行计划。

总之，位置与坐标是数学中非常重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

掌握位置与坐标的知识可以帮助我们更好地描述和理解物体的位置关系，从而应用到现实生活中的各种问题中。

北师大新版八年级第三章《位置与坐标》知识总结一、平面定位方法全攻略： 2014-10-19（1）行列定位法：在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。

（2）“极坐标”定位法：运用此法需要两个数据：方位角和距离，两者缺一不可。

（3）经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。

（4）区域定位法：只描述某点所在的大致位置。

如“小明住在7号楼3层302号”（5）在方格纸上确定物体的位置：在方格纸上，一点的位置由横向格数与纵向格数确定，记作（横向格数，纵向格数）或记作（水平距离，纵向距离），要注意横格数排在前面，纵向格数排在后面。

此种确定位置的方法可看作“平面直角坐标系”中坐标定位法的特例。

二、平面直角坐标系1.平面内确定位置的几种方法:○1有序数对:有两个数据a 和b 表示,记为_______ ○2方位角+距离法 ○3经纬定位法 ○4区域定位法 2.平面直角坐标系:在平面内,两条互相_________且______________的数轴组成平面直角坐标系.其中水平方向的数轴叫______或______，通常约定__________为正方向；竖直方向的数轴叫_______或______；通常约定__________为正方向。

两条数轴交点叫平面直角坐标系的_________________.3.平面内点的坐标:对于平面内任意一点P ，过P 分别向x 轴、y 轴作______线，x 轴上的_______对应的数a 叫P 点的____坐标，y 轴上的________对应的数b 叫P 点的_______坐标。

有序数对___________叫点P 的坐标。

若P 的坐标为(m ，n)，则P 到x 轴距离为_______，到y 轴距离为_______．4.平面直角坐标系内点的坐标特征:(1)坐标轴把平面分隔成四个象限。

根据点所在位置填表(2)坐标轴上的点不属于任何象限，它们的坐标特征:○1在x 轴上的点__________________; ○2在y 轴上的点__________________; (3)平行于x 轴的直线上的点_____________________；平行于x 轴的直线上的点_____________________；(4)象限平分线上点的特征________________________________________________________________；(5)P(a,b)关于x 轴、y 轴、原点的对称点坐标特征：○1 点P(a,b)关于x 轴对称点P 1_____________；○2点 P(a,b)关于y 轴对称点P 2_____________； ○3点P(a,b)关于原点对称点P 3_____________。

第一篇嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊八年级上册数学第三章的那些知识点哟！先来说说位置与坐标。

你得知道平面直角坐标系这个超级重要的东西，就像给每个点都安了个家，有了它咱们就能准确找到每个点的位置啦。

横的叫 x 轴，竖的叫 y 轴，交点就是原点，记住原点的坐标是(0, 0)哟。

还有不同象限里点的坐标特点也得记住。

第一象限里的点，横坐标和纵坐标都是正数，那叫一个“正正得正”，开心得很。

第二象限呢，横坐标是负数，纵坐标是正数，一负一正，有点调皮。

第三象限，横纵坐标都是负数，惨兮兮的。

第四象限，横坐标正数，纵坐标负数，也是一正一负。

坐标平移也蛮好玩的。

向左平移，横坐标就减；向右平移，横坐标就加。

向上平移，纵坐标加；向下平移，纵坐标减。

可别弄混啦！关于轴对称和中心对称，也得好好琢磨琢磨。

轴对称就是沿着一条线对折，两边能完全重合。

中心对称呢，是绕着一个点旋转 180 度能重合。

怎么样，这些知识点是不是还挺有趣的？好好掌握，数学可难不倒咱们！第二篇亲爱的小伙伴们，咱们又见面啦，今天来唠唠八年级上册数学第三章的知识点哟！这一章啊，讲了好多和位置坐标相关的有趣东西。

你想想，平面直角坐标系就像一个大棋盘，每个点都能在上面找到自己的位置。

比如点(3, 4)，就表示在 x 轴上走 3 个单位，y 轴上走 4 个单位。

然后呢，不同象限里的点可有不同的特点哦。

第一象限里的点，都是正数组合，就像阳光灿烂的日子。

第二象限，负正组合，有点小特别。

第三象限，全是负数，感觉有点小可怜。

第四象限，正负组合，也挺有个性的。

再说坐标平移，这就像是让点在棋盘上走来走去。

往左走，横坐标变小；往右走，横坐标变大。

往上走，纵坐标变大；往下走，纵坐标变小。

可别搞错方向哟！还有对称这一块，轴对称图形美美的，沿着对称轴对折两边一样。

中心对称呢，绕着中心点转个圈能重合，也很神奇是不是？这一章的知识点虽然有点多，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，肯定能轻松拿下！加油呀小伙伴们！。

第三章位置与坐标本章归纳总结【知识与技能】掌握平面直角坐标系的概念及组成,学会建立平面直角坐标系以及利用轴对称的坐标规律解决有关问题.【过程与方法】通过梳理本章知识点,充分利用平面直角坐标系与点的坐标之间一一对应关系,才使数与形的相互转化得以体现,加深了对知识的理解.【情感态度】通过实例用有序实数对来表示点的位置和运用有序实数对建立数学模型的过程,让学生感受到平面直角坐标系在实际生活中广泛应用的价值.激发学生的学习热情.【教学重点】平面内点的坐标的表示方法及求法,能建立适当的平面直角坐标来描述点所处的位置以及利用轴对称的坐标规律解决实际问题.【教学难点】建立适当的平面直角坐标系的优化方案和利用轴对称的坐标规律解决问题.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识结构图,让学生对本章所学知识有个系统地了解.教学时,可以边回顾边建立结构图.二、释疑解惑,加深理解1.平面直角坐标系与点的坐标.①一、三象限角平分线上的点横、纵坐标同号；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标异号,但他们到两坐标轴的距离都相等,注意有时要考虑到这两种情况的存在.②点的横坐标与该点到y轴的距离有关,点的纵坐标与该点到x轴的距离有关.不能理解为相反的意思.同时点的横、纵坐标的值可正可负,而距离只可能为非负数.2.在坐标系中求几何图形的面积.在坐标系中求图形的面积一般从两个方面去把握：（一）通常向坐标轴作垂线运用“割”或“补”的方法将要求的图形转化为一些特殊的图形,去间接计算面积；（二）需要将已知点的坐标转化为线段的长度,以备求面积的需要.三、典例精析,复习新知例1若点P(m,n)在第二象限,则点Q（-m,-n）在第象限.【分析】本题考查象限内点的坐标的符号特征.由点P(m,n)在第二象限,可知m<0,n>0,则点Q(-m,-n)坐标的符号特征为-m>0,-n<0,故点Q在第四象限,填四.例2等腰梯形的各点坐标为B（-1,0）,A(0,2),C(4,0),则点D的坐标为 .【分析】求一个点的坐标,首先求出它到x轴与y轴的距离,然后再看它所在的象限,确定其横、纵坐标的符号.解：如图,过点D作DE⊥x轴.∵ABCD为等腰梯形.∴CE=BO=1.又∵C点坐标为（4,0）,∴OC=4.∴OE=4-1=3.∵AD∥BC,∴D点的纵坐标与A点纵坐标相等为2.∴D点的坐标为（3,2）.例3点M（3,-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（）A.（3,4）B.（-3,-4）C.（-3,4）D.（-4,3）【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标.关于x轴对称的两个点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,故M′(3,4),选A.例4在平面直角坐标系中,A（-3,4）,B（-1,2）,O为原点,如图所示.求三角形AOB的面积.【分析】本题考查利用坐标求图形的面积.在平面直角坐标系中求图形的面积,通常将图形面积转化成边在两轴上的图形的面积的和或差,这种可以充分利用点的坐标求出图形中线段的长度.解：过点作AE⊥y轴于E,过点B作BD⊥y轴于D.因为A（-3,4）,B(-1,2),所以E(0,4),D(0,2),所以OD=2,BD=1,AE=3,DE=OE-OD=4-2=2,所以S三角形AOB=S三角形AOE-S三角形OBD-S梯形BDEA=12AE·EO-12BD·OD-12(BD+AE)·DE=12×3×4-12×1×2-12×(1+3)×2=6-1-4=1.【教学说明】典型例题的分析,对学生解题起着非常重要的指导作用.教师在讲评的过程中有必要让学生明白本章的重点有哪些.需要注意哪些问题.逐步加深印象.四、复习训练,巩固提高1.点M（3a-1,1-5a）在y轴上,则M的坐标为 .2.点A（a-1,-3)在第四象限,点B（2,b-1)在第一象限,则点P（b,-a）的第象限.3.点Q（a,b）到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,则符合条件的Q的坐标有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图所示,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出△ABC关于x轴和y轴对称的图形,并指出其对称顶点的坐标.【教学说明】这部分安排了本章几个重点知识的运用,目的是为了检验学生的掌握程度,便于及时查漏补缺.【答案】1.0,-2/3；2.四；3.D4.解：如图所示,先作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′,再作△ABC关于x轴对称的△A″B″C″.因为△ABC三个顶点的坐标为A（-2,4）,B(-4,1),C(-1,1),根据关于坐标轴对称的点的坐标的特点可得A′(2,4),B′(4,1),C′(1,1);A″(-2,-4),B″(-4,-1),C″(-1,-1).五、师生互动,课堂小结本节课你能完整回顾本章所学的与平面直角坐标系有关的知识吗？你认为哪些内容是大家要掌握的？还存在哪些疑难问题？请与同学们探讨.【教学说明】通过师生共同回顾本章所学知识,大胆放手让学生自主讨论,交流形成共识,欠缺的地方教师做必要的补充.1.布置作业：从复习题中选取.2.完成练习册中本课时相应练习.本节课从归纳本章主要内容入手,以精选例题为范本,学生的实际运用为主线,通过学生的归纳整理让本章所学内容全面得到深化,能力进一步提高.。

八年级位置与坐标知识点总结归纳位置和坐标是数学中的基础概念，而在八年级的数学学习中，位置与坐标更是一个重要的知识点。

通过掌握位置和坐标的相关知识，我们可以更好地理解几何形状和图像之间的关系，解决实际问题，以及为进一步学习代数和几何打下坚实的基础。

本文将对八年级位置与坐标知识点进行总结归纳。

一、平面直角坐标系的建立及简单应用平面直角坐标系是描述位置和坐标的常用工具。

在平面直角坐标系中，我们通过确定一个原点及与原点相垂直的两条轴线来建立坐标系。

水平轴称为 x 轴，垂直轴称为 y 轴。

根据这个坐标系，我们可以用有序数对 (x, y) 来表示一个点的位置。

例如，点A在平面直角坐标系中的坐标为 (2, 3)，其中2表示在 x轴上的位置，3表示在 y 轴上的位置。

平面直角坐标系的应用场景很多，比如在地图上确定一个城市的位置，或者描述电商平台中的商品坐标等。

通过了解坐标系的建立和使用，我们可以更好地处理这些实际问题。

二、点的位置关系及区域划分在平面直角坐标系中，点与点之间有着不同的位置关系，这些关系对我们理解图像形状的变化和判断图形位置都非常重要。

1. 同一直线上的点：如果两个点在同一条直线上，那么它们的 x 坐标相同或者它们的 y 坐标相同。

这个概念对于解决线段和直线问题非常有用。

2. 垂直线和水平线：垂直线与 x 轴正交，而水平线与 y 轴正交。

这种关系在确定直角的情况下非常常见。

3. 区域划分：平面直角坐标系可以将平面划分为四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

根据坐标的正负关系，我们可以判断一个点在哪个象限。

通过掌握点的位置关系及区域划分的知识，我们可以在解决问题时更准确地确定坐标的范围和位置。

三、图形的位置和运动在平面直角坐标系中，我们可以通过点的坐标来描述和判断图形的位置和运动。

以下是几种常见的图形情况：1. 点：点的位置由其坐标确定，点的运动就是坐标的变化。

2. 线段：线段是由两个点确定的，可以根据这两个点的坐标求解线段的长度、斜率等。

八年级数学位置与坐标知识点在八年级数学学习中，位置与坐标是非常重要的知识点，也是将来学习更深入数学知识的基础。

本文将介绍八年级数学中的位置与坐标知识点，包括横纵坐标系、向量及其表示、平面图形中的位置关系等内容。

横纵坐标系在二维平面直角坐标系中，横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。

横坐标和纵坐标的交点称为原点，标记为O。

通过横纵坐标系可以描述平面内任意点的位置。

向量及其表示向量是有大小和方向的量，在平面中由起点和终点两个点表示。

向量以箭头表示，箭头的方向是向量的方向，箭头的长度是向量的大小。

向量的大小等于从起点到终点的距离。

例如，向量AB表示从点A到点B的方向和大小。

向量的加减向量的加减分别是将向量的起点放在另一个向量的终点，以终点为新的向量终点的过程。

即向量A+B的终点是向量A的终点连接向量B的终点所得到的点。

向量的减法是将第二个向量取相反数，即把方向相反的向量大小相等地加上，如A-B = A+(-B)。

平面图形中的位置关系在平面图形中，有一些常见的位置关系，包括同位角、垂线、平行四边形等。

同位角是指处于平行直线上的两组内角、外角或余角之间的对应角，它们的大小相等。

垂线是指与另一条直线交成直角的线段。

垂线可以用于判断平面图形的位置关系，如两条直线相交于直角，则其相交点为一个正方形的一个顶点。

平行四边形是由平行的两组边组成的四边形。

平行四边形的对边长度相等，对角线互相平分。

总结本文介绍了八年级数学中的位置与坐标知识点，包括横纵坐标系、向量及其表示、向量的加减、平面图形中的位置关系等内容。

这些知识点是将来学习更深入数学知识的基础，掌握好这些知识将有助于在数学学习中更加顺利地前进。

八年级上册第三章位置与坐标教材目录:2・确定位置2•平面直角坐标系3•坐标与轴对称位置与坐标一、知识要点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

1> 记作（a , b）；2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

（二）平而直角坐标系1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系,用代数方法研究几何图形:2、构成坐标系的各种轻称：3、各种特殊点的坐标特点。

（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴（或横轴）的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴（或纵轴）的直线上的点的横坐标相同。

三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同：第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于X轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数区0）(o,y)(0/0)纵坐标相横坐标相%x<0x<0x>0(gm) \同横坐标同纵坐标x>0y>0y<0不同不同y>0y<0六.利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：•建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确泄X轴、y轴的正方向;・根据具体问题确泄适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度：・在坐标平而内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

七、用坐标表示平移：见下图二.例题及练习知识一.坐标系的理解例「平而内点的坐标是（）A 一个点B 一个图形学生自测1. 在平而内要确窪一个点的位宜，一般需要________ 个数据：在空间内要确宦一个点的位置，一般需要 ________ 个数据.2、在平而直角坐标系内，下列说法错误的是（）A 原点0不在任何象限内B 原点0的坐标是0C 原点0既在X轴上也在Y轴上D 原点0在坐标平而内知识二.已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标点在X轴上，坐标为（x,o）在x轴的负半轴上时，XVO,在x轴的正半轴上时，x>0 点在y轴上，坐标为（O,y）在y轴的负半轴上时，y<0,在y轴的正半轴上时，y>0 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同（即在尸x直线上）；坐标点（x, y） xy>0 第一.~C 一个数D 一个有序数对g 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在尸・X直线上)；坐标点(x, y) xy<0例1点P在x轴上对应的实数是一、庁，则点P的坐标是_______________ •若点Q在V轴上对应的实数是丄，则点Q的坐标是，3 ----------------例2点P (a-l> 2a・9)在x轴负半轴上，则P点坐标是_____________。